上海市靜安區(qū)2023年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

47r

1.如圖，用一邊長為友的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為行的雞蛋（視

為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）

V2H石「V2+1n6+1

2222

2.如圖，正方體A8C。一A蜴GA中,E，F(xiàn),G,〃分別為棱CC,,4G、的中點(diǎn)，則下列各直線

中，不與平面AC2平行的是（）

A.直線EFB,直線G"C.直線EHD.直線

3.已知，（1一切）=2+初Q為虛數(shù)單位，a,beR）,則必等于（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

4.已知函數(shù)“X）是R上的偶函數(shù)，g（x）是R的奇函數(shù)，且g（x）=〃x-l）,則“2019）的值為（）

A.2C.-2D.±2

5.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為-2,前〃項(xiàng)和為S“，若生，的，％為某三角形的三邊長，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120。,

則S”的最大值為（）

A.5B.11C.20D.25

6.設(shè)集合A={1,2,3},B={x\x2-2x+m=0],若AcB={3},則3=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

7.函數(shù)/*)=也+叁也在［一2肛())D((),2加上的圖象大致為()

x20

8.一小商販準(zhǔn)備用5()元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進(jìn)價(jià)4元，乙每件進(jìn)價(jià)7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

9.已知直四棱柱ABC?！?4Gq的所有棱長相等，ZA8C=6O°，則直線6G與平面ACGA所成角的正切值等

于()

V6BMC@

V?丁'T

10.已知復(fù)數(shù)Z滿足z-i=z+i,則之在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.已知直線/："-H=O與橢圓0：5_+5=1(。＞。＞0)交于4、B兩點(diǎn)，與圓。2：(%—3)2+(y—爐=1

交于C、。兩點(diǎn).若存在［-2,-1］,使得AC=D6,則橢圓C的離心率的取值范圍為()

12.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是()

?頻率

[獺

0.020k-------------1——r------

0.015[------------\------

0.010[........——-

0.005p—i——-

020406080100成績吩

A.45B.50C.55D.60

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)A/RC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c.若。=2,c=2百，cosA=^-,則匕=

2

14.一次考試后，某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績的平均分為正數(shù)M，若把M當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來的50個(gè)分?jǐn)?shù)

一起，算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為N,則”=________.

N

x-y4-1..0,

15.已知實(shí)數(shù)x,，‘滿足約束條件,3》一)一3,,0,則2=2“+》的最大值為.

J..0,

16.設(shè)“X)為偶函數(shù)，且當(dāng)xe(—2,0]時(shí)，/(x)=-X(X+2)；當(dāng)xe[2,+8)時(shí)，〃x)=(a-x)(x-2).關(guān)于函數(shù)

g(x)=/(x)-m的零點(diǎn)，有下列三個(gè)命題：

①當(dāng)。=4時(shí)，存在實(shí)數(shù)處使函數(shù)g(x)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)；

②若V相函數(shù)g(x)的零點(diǎn)不超過4個(gè)，貝||aK2；

③對Vme(I,+oo),3ae(4,+oo)＞函數(shù)g(X)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且這4個(gè)零點(diǎn)可以組成等差數(shù)列.

其中，正確命題的序號(hào)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在直角坐標(biāo)系X。)，中，圓C的參數(shù)方程.”(9為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極

y=sinQ

軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;

(2)直線/的極坐標(biāo)方程是2psin(e+(J=36，射線OM：e=。與圓C的交點(diǎn)為0、P,與直線/的交點(diǎn)為Q,

求線段PQ的長.

18.(12分)在世界讀書日期間，某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個(gè)容量為2。0的樣本，其中城

鎮(zhèn)居民14()人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有3()人.

(1)填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)

經(jīng)常閱讀10030

不經(jīng)常閱讀

合計(jì)200

(2)調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動(dòng)，若活動(dòng)主辦方從這7位居民中隨

機(jī)選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.

附：心一幽如一

其中n=a+h-\-c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2"o)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)已知點(diǎn)M(-l,0),N(l,0),若點(diǎn)P(x,y)滿足1PMi+|PN|=4.

(I)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(D)過點(diǎn)Q(一百,0)的直線/與(I)中曲線相交于A8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求4AOB面積的最大值及此時(shí)直

線/的方程.

20.(12分)已知f(x)=fcf2+e*(&>o)

(1)當(dāng)X〉，時(shí)，判斷函數(shù)Ax)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

2

(2)記g(x)=/(x)+x2-mlnx[x>；),若存在實(shí)數(shù)f,使直線夕=，與函數(shù)g(x)的圖象交于不同的兩點(diǎn)

A(x,,Z),B(x2,t),求證：m>2X,X2.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*—2x.

(1)若曲線y=/(x)的切線方程為y=6+l,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若函數(shù)°(6=何'(6+2如-％2+3在區(qū)間［-2,4］上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

22.(10分)已知集合4={1,2,,〃},ne2V*.n>2,將A〃的所有子集任意排列，得到一個(gè)有序集合組

其中"=記集合加人中元素的個(gè)數(shù)為，kcN*,k<m,規(guī)定空集中元素的個(gè)數(shù)為

(MPM2,2".40.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，求％+。2++4”的值；

⑵利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論〃(心2)為何值，總存在有序集合組(陷,％,,Mm),滿足任意ieN*,1,

都有何一a,J=1.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離，再加上側(cè)面三角形的高，即可求解.

【詳解】

設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為O',球心為0,

47r447r

由題意，球的體積為一，即一萬斤=—可得球。的半徑為1,

333

又由邊長為0的正方形硬紙，可得圓O'的半徑為g,

利用球的性質(zhì)可得O'O?=Jl2-(1)2=g,

又由。'到底面的距離即為側(cè)面三角形的高，其中高為,，

2

所以球心到底面的距離為且+,=史上1.

222

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)麻〃AC判斷A的正誤.根據(jù)"http://4G，4G/IAC、

判斷B的正誤.根據(jù)"與RC相交，判斷C的正誤.根據(jù)AB//AC,判斷D的正誤.

【詳解】

在正方體中，因?yàn)镋F"AC,所以EF//平面AC。，故A正確.

因?yàn)?7////￡，4G/4C,所以G/7//AC,所以G”//平面ACR故B正確.

因?yàn)?8//。0,所以48//平面AC。一故D正確.

因?yàn)镋H//C、D,C\D與0c相交，所以E”與平面AC"相交，故C錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.

3.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.

【詳解】

i（\-ai）=2+bi9

:.a+i=2+bi,得。=2,b=l.

：.ab=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于g（x）與/（X-1）關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于“X）的關(guān)系式，通過變形求解出了（X）的周期，

進(jìn)而算出“2019).

【詳解】

g(x)為R上的奇函數(shù)，，g(0)=/(-1)=0,g(—X)=-g(x)

???/(-l)=0J(r-l)=-/(I),=

而函數(shù)是R上的偶函數(shù)，=x),.?./(力=一)(%-2)

,/./(x)=〃x-4)

故/(x)為周期函數(shù)，且周期為4

"(2019)=〃-1)=0

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減，再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng)，即可求出前n項(xiàng)和，從而得到最值.

【詳解】

等差數(shù)列｛%｝的公差為-2,可知數(shù)列單調(diào)遞減，則。2，%，%中外最大，出最小，

又。2，生，氏為三角形的三邊長，且最大內(nèi)角為120°,

由余弦定理得+a3a4，設(shè)首項(xiàng)為《，

即(4—2)2=(%-4J+(a「6)2+0—4)(a「6)=0得(4一4)(q-9)=0,

所以4=4或4=9,又％=a1一6>0,即a1>6,q=4舍去,故q=9,d=-2

前n項(xiàng)和sn=9n+“(7)x(―2)=—(〃—5f+25.

故S“的最大值為S$=25.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查求前n項(xiàng)和的最值問題，同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.

6.A

【解析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得3是集合3的元素，代入方程后可求加的值，從而可求3.

【詳解】

依題意可知3是集合3的元素，即32-2x3+m=0,解得機(jī)=一3,由犬2一2X一3=0，解得x=T,3.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；

【詳解】

解：依題意，/（-X）=言（＞）+（二）2fos（N）=吧+不C。竺=/（X）,故函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于）'軸

-x20x20

對稱，排除C；

而/（萬）=—太＜0,排除B；/（2萬）=彳＞＞0,排除D.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可解決.

【詳解】

4%+7y＜50,

設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別X,y利潤為z元，由題意—z=x+l.Sy,

x,yeN,

畫出可行域如圖所示,

顯然當(dāng)y=—：x+gz經(jīng)過A(2,6)時(shí)，z最大.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷x,)’是否是整數(shù)，是否是非負(fù)數(shù)，并準(zhǔn)確的畫出

可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸，AO所在直線為)'軸，AA所在直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.求解平面ACG4的法向量，利用線面角的向量公式即得解.

【詳解】

如圖所示的直四棱柱ABCQ-AgGQ,NABC=60°，取中點(diǎn)E，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸，所在直線為)’軸，A4所在直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

4t__P.

設(shè)AB=2,則A(0,0,0),4(0,0,2),8(后,一1,0),C也1,0),(6,1,2),

BCi=(0,2,2),AC=(6』,0),A4,=(0,0,2).

設(shè)平面ACG4的法向量為幾=（X,乂z）,

"?AC=6x+y=0,

則〈一取x=l,

n-AAi=2z=0,

得幾=（1,一6,0）.

設(shè)直線BC］與平面ACC,A所成角為。,

直線BCi與平面ACC^所成角的正切值等于平

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量法求解線面角，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

10.A

【解析】

設(shè)z=Q+〃(Q,Z?￡R),由Z?i=z+i得：(。+〃)i=a+S+l)，，由復(fù)數(shù)相等可得。力的值，進(jìn)而求出1即可得解.

【詳解】

設(shè)z=a+hi(a,bGR)9由z?i=z+i得：(a+bi)i=?+(/?+l)z,即ai—b=a+(b+l)i,

1

(ju=——

一b—a2ii~1111

由復(fù)數(shù)相等可得：＜,,，解之得：＜「則所以z=-+-i,在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為七二)，

a^b+l,1222222

ib=—

I2

在第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查共挽復(fù)數(shù)的求法，考查對復(fù)數(shù)相等的理解，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

11.A

【解析】

由題意可知直線過定點(diǎn)即為圓心，由此得到A6坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率A與A,6坐標(biāo)的關(guān)系，由

此化簡并求解出離心率的取值范圍.

【詳解】

設(shè)4（不兇）,3（%2，%），且線/：6-y-3左+1=0過定點(diǎn)（3,1）即為G的圓心,

%+/=%+=2x3=6

因?yàn)锳C=08，所以

M+必=%+%=2x1=2

又因?yàn)橘?:y所以

所以q=—號(hào)??3〃

所以k=----丁G[-2,-1],

不一%2a乂+%

,b2「121,a2-c2「12]，\「12

所以薩，所以353，所以°v）e差

所以小憐當(dāng)?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用，難度一般.通過運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而

不求”的目的，大大簡化運(yùn)算.

12.D

【解析】

頻數(shù)

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高x組距計(jì)算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量=舒求出班級(jí)人數(shù).

頻率

【詳解】

根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

.?.樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是病=60（人）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

頻數(shù)

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率=&5^的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題

樣本容量

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2或4

【解析】

試題分析：由COSA=Y3,則可運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系：sinA

22

已知兩邊及其對角，求角C.用正弦定理；a

與?；颌?。，

sinAsinCYe

則；A=30°,C=60°或120°,B=90°或30°，可得8=2或4.

考點(diǎn)：運(yùn)用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)

14.1

【解析】

根據(jù)均值的定義計(jì)算.

【詳解】

M5QM+M.M.

由題意N=-------------=M,

51N

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題.

15.1

【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線的截距最大,

取得最大值,即得解.

【詳解】

作出約束條件表示的可行域

是以4(2,3),5(-1,0),C(l,0),為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(2,3)時(shí)，直線的截距最大

此時(shí)z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.①?③

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

U—K.2)」XG[20,,+2)L)又因?yàn)樾?)、為偶函數(shù)

解：當(dāng)4=4時(shí)=<

可知當(dāng)加=0時(shí)g(x)=/(x)—M有5個(gè)不同的零點(diǎn)；故①正確;

若必“e[0,1],函數(shù)g(x)的零點(diǎn)不超過4個(gè),

即V/?e[0,l],y=f(x)與丁=加的交點(diǎn)不超過4個(gè),

.?.》22時(shí)/(%)40恒成立

又當(dāng)xw[2,+8)時(shí)，/(x)=(a-x)(x-2)

q-x40在xe[2,+8)上恒成立

在xe[2,+8)上恒成立

:.a<2

直線/與圖象的公共點(diǎn)不超過4個(gè)，則“W2,故②正確;

3?e（4,+oo）,使得直線/與g（尤）恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故③正確.

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)Q=2COS。；(2)2

【解析】

ccX=1+COS(P

(1)首先利用ca/e+s山20=1對圓c的參數(shù)方程｛.(夕為參數(shù))進(jìn)行消參數(shù)運(yùn)算，化為普通方程，再

y-sm(p

根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓c的極坐標(biāo)方程.(2)設(shè)Rq,仇),聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程，解得

月，4；設(shè)。(2，矽，聯(lián)立直線與直線的極坐標(biāo)方程，解得0，仇，可得|「。|.

【詳解】

⑴圓C的普通方程為=1,又x=℃os。，y=psin6

所以圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos6.

p=2cos0/

⑵設(shè)pg,可)，則由｛兀解得q=i,a=I，得尸1,]]；

2psin|^+—j=3>/3(、

設(shè)Q(q,&)，則由｛3)解得0,=3,&=￡,得。3,斗；

6=工3<3；

3

所以|PQ|=2

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)方程的求解運(yùn)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能

力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)見解析，有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)—

21

【解析】

(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，然后計(jì)算出長2,與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結(jié)論；(2)由題意得概率為古典概

型，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算可得所求.

【詳解】

(1)由題意可得：

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)

經(jīng)常閱讀10030130

不經(jīng)常閱讀403070

合計(jì)14060200

所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).

(2)在城鎮(zhèn)居民140人中，經(jīng)常閱讀的有100人，不經(jīng)常閱讀的有40人.

采取分層抽樣抽取7人，則其中經(jīng)常閱讀的有5人，記為A、B、C、D、E;

不經(jīng)常閱讀的有2人，記為X、Y.

從這7人中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為AB,AC,AD,AE,AX,AY，BC,BD,BE,BX，

BY，CD,CE,CX,CY,DE,DX,DY,EX,EY,XY，共21種，

被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有10種，

..所求概率為P=3.

21

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率計(jì)算，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，利用列舉法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力.

對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可，

屬于中檔題.

19.(I)?+<=1；(II)AAOB面積的最大值為百，此時(shí)直線/的方程為x=土坐y-6.

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；

(2)設(shè)出直線方程后，采用;x|AB|xd(△表示原點(diǎn)到直線AB的距離)表示面積，最后利用基本不等式求解最值.

【詳解】

解：(I)由定義法可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓且2。=4,c=L

r2V2

因此橢圓的方程為土+L=1.

43

22

(D)設(shè)直線/的方程為x=-百與橢圓?+匕=1交于點(diǎn)A(x”x),

B(x2,y2),聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x可得⑶2+4)/-6石)-3=(),

□n6J3t__3

即x+%=E，、跖=京百

AAOB面積可表示為S^AOB=gI。。I?|y-必1=；,G?犯1+%)2-4兇為

」小J(坐)2-4--=亙坐?的產(chǎn)+3/+4=上?再小

2V3產(chǎn)+43產(chǎn)+423『+43『+4

_____6〃_6V百

令飛3尸+1=11，則〃與1，上式可化為1+3一,3、”，

UH--

U

當(dāng)且僅當(dāng)〃=&,即f=±如時(shí)等號(hào)成立，

3

因此MOB面積的最大值為6，此時(shí)直線I的方程為x=±gy-瓜

【點(diǎn)睛】

常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題：

(1)已知點(diǎn)”(一c,0),N(c,0),若點(diǎn)P(x,y)滿足|PM|+|PN|=2a且2a>2c,則尸的軌跡是橢圓；

(2)已知點(diǎn)M(-c,0),N(c,0),若點(diǎn)P(x,y)滿足IIPMI-|PN||=2a且2a<2C,則尸的軌跡是雙曲線.

20.(1)沒有極值點(diǎn)；(2)證明見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)可得/'(》)=%(2工-6"),再求導(dǎo)可得/〃(月=依2+依h)>0,則/'(X)在[3,+8)遞增,則

/'(%)>/]￡|>0,從而/。)在(；，+8)遞增,即可判斷；

(2)轉(zhuǎn)化問題為存在西,々且玉<々,使8(工1)=8(々)，可得

機(jī)(In々Tn%)=(2+1)(^2一X；)+("仁-e~^)，由(1)可知f(x2)>f(x1)，即""_”3>-k(x；-x；)，則

(\2

mxj-x^--1x

機(jī)(In々-In%)>x；-x；，整理可得萬>:%，則山—>強(qiáng)，設(shè)±=s>l,則可整理為s—L-21ns>0,設(shè)

2mt2m超玉％s

X]

〃(s)=s—21ns,利用導(dǎo)函數(shù)可得。(5)>〃(1)=0,即可求證.

S

【詳解】

(1)當(dāng)X〉；時(shí),/'(x)=Z(2x-e*),f\x)=kQ+&*)>。，

所以f(x)在遞增，所以r(x)〉/(g)=攵(i-e4)〉o,

所以/(x)在(g,+8)遞增，所以函數(shù)fM沒有極值點(diǎn).

22kv

(2)由題,g(x)=/(x)+x-mlnx=(k+l)x-mlnx+e~9

若存在實(shí)數(shù)f,使直線y=r與函數(shù)g(x)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A(X1,r),3(X2J),即存在X,4w(g,+8]且不<々,使

g(%)=g(X2).

由g(』)=g("2)可得皿In々-In玉)=(左+1)(%2-X；)+("3-e-^),x)<x2,

由⑴可知/(工2)>/(占)，可得”的一e*1〉一人(考一X；).,

2)

mx2-5

所以m(ln々TnX|)>考一x：，即221n員，

X

/、2

考-才強(qiáng)_]

下面證明三>“々，只需證明:I*".>寇,

21n寇罰

玉

X1c2-11

令—7=S>1,則證^__->S^S----21ns>0.

x\21nss

設(shè)/i(s)=s」-21ns,那么h'(s)="上>0，

ss

m

所以h(s)>//(1)=0,所以,>尤/2,即m>2再尤2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，考查利用導(dǎo)函數(shù)解決雙變量問題，考查運(yùn)算能力與推理論證能力.

1OZ

21.(1)4=一1；(2)-2e—-

e4d

【解析】

(1)根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(Xo，e"-2%),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程x。1-+1=0,構(gòu)造

函數(shù)〃(x)=xe、-e'+l,并求得〃'(x),由導(dǎo)函數(shù)求得〃(x)有最小值力(0)=0,進(jìn)而可知由唯一零點(diǎn)/=。，即可

代入求得。的值；

(2)將/(%)解析式代入°(x),結(jié)合零點(diǎn)定義化簡并分離參數(shù)得相=一，構(gòu)造函數(shù)g(x)==