上海市靜安區(qū)2023年高三第二次診斷性檢測數學試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

47r

1.如圖，用一邊長為友的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為行的雞蛋（視

為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）

V2H石「V2+1n6+1

2222

2.如圖，正方體A8C。一A蜴GA中,E，F,G,〃分別為棱CC,,4G、的中點，則下列各直線

中，不與平面AC2平行的是（）

A.直線EFB,直線G"C.直線EHD.直線

3.已知，（1一切）=2+初Q為虛數單位，a,beR）,則必等于（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

4.已知函數“X）是R上的偶函數，g（x）是R的奇函數，且g（x）=〃x-l）,則“2019）的值為（）

A.2C.-2D.±2

5.已知等差數列｛4｝的公差為-2,前〃項和為S“，若生，的，％為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為120。,

則S”的最大值為（）

A.5B.11C.20D.25

6.設集合A={1,2,3},B={x\x2-2x+m=0],若AcB={3},則3=()

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

7.函數/*)=也+叁也在［一2肛())D((),2加上的圖象大致為()

x20

8.一小商販準備用5()元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價4元，乙每件進價7元，甲商品每賣出

去1件可賺1元，乙商品每賣出去1件可賺1.8元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數應分別為

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

9.已知直四棱柱ABC。—44Gq的所有棱長相等，ZA8C=6O°，則直線6G與平面ACGA所成角的正切值等

于()

V6BMC@

V?丁'T

10.已知復數Z滿足z-i=z+i,則之在復平面上對應的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.已知直線/："-H=O與橢圓0：5_+5=1(。＞。＞0)交于4、B兩點，與圓。2：(%—3)2+(y—爐=1

交于C、。兩點.若存在［-2,-1］,使得AC=D6,則橢圓C的離心率的取值范圍為()

12.某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于60分的人數是18人，則該班的學生人數是()

?頻率

[獺

0.020k-------------1——r------

0.015[------------\------

0.010[........——-

0.005p—i——-

020406080100成績吩

A.45B.50C.55D.60

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設A/RC的內角的對邊分別為a,b,c.若。=2,c=2百，cosA=^-,則匕=

2

14.一次考試后，某班全班50個人數學成績的平均分為正數M，若把M當成一個同學的分數，與原來的50個分數

一起，算出這51個分數的平均值為N,則”=________.

N

x-y4-1..0,

15.已知實數x,，‘滿足約束條件,3》一)一3,,0,則2=2“+》的最大值為.

J..0,

16.設“X)為偶函數，且當xe(—2,0]時，/(x)=-X(X+2)；當xe[2,+8)時，〃x)=(a-x)(x-2).關于函數

g(x)=/(x)-m的零點，有下列三個命題：

①當。=4時，存在實數處使函數g(x)恰有5個不同的零點；

②若V相函數g(x)的零點不超過4個，貝||aK2；

③對Vme(I,+oo),3ae(4,+oo)＞函數g(X)恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數列.

其中，正確命題的序號是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在直角坐標系X。)，中，圓C的參數方程.”(9為參數)，以。為極點，x軸的非負半軸為極

y=sinQ

軸建立極坐標系.

(1)求圓C的極坐標方程;

(2)直線/的極坐標方程是2psin(e+(J=36，射線OM：e=。與圓C的交點為0、P,與直線/的交點為Q,

求線段PQ的長.

18.(12分)在世界讀書日期間，某地區(qū)調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為2。0的樣本，其中城

鎮(zhèn)居民14()人，農村居民60人.在這些居民中，經常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農村居民有3()人.

(1)填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關?

城鎮(zhèn)居民農村居民合計

經常閱讀10030

不經常閱讀

合計200

(2)調查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨

機選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經常閱讀居民的概率.

附：心一幽如一

其中n=a+h-\-c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2"o)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)已知點M(-l,0),N(l,0),若點P(x,y)滿足1PMi+|PN|=4.

(I)求點P的軌跡方程；

(D)過點Q(一百,0)的直線/與(I)中曲線相交于A8兩點，。為坐標原點，求4AOB面積的最大值及此時直

線/的方程.

20.(12分)已知f(x)=fcf2+e*(&>o)

(1)當X〉，時，判斷函數Ax)的極值點的個數；

2

(2)記g(x)=/(x)+x2-mlnx[x>；),若存在實數f,使直線夕=，與函數g(x)的圖象交于不同的兩點

A(x,,Z),B(x2,t),求證：m>2X,X2.

21.(12分)已知函數/(x)=e*—2x.

(1)若曲線y=/(x)的切線方程為y=6+l,求實數。的值；

(2)若函數°(6=何'(6+2如-％2+3在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點，求實數〃?的取值范圍.

22.(10分)已知集合4={1,2,,〃},ne2V*.n>2,將A〃的所有子集任意排列，得到一個有序集合組

其中"=記集合加人中元素的個數為，kcN*,k<m,規(guī)定空集中元素的個數為

(MPM2,2".40.

(1)當〃=2時，求％+。2++4”的值；

⑵利用數學歸納法證明：不論〃(心2)為何值，總存在有序集合組(陷,％,,Mm),滿足任意ieN*,1,

都有何一a,J=1.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側面三角形的高，即可求解.

【詳解】

設四個支點所在球的小圓的圓心為O',球心為0,

47r447r

由題意，球的體積為一，即一萬斤=—可得球。的半徑為1,

333

又由邊長為0的正方形硬紙，可得圓O'的半徑為g,

利用球的性質可得O'O?=Jl2-(1)2=g,

又由。'到底面的距離即為側面三角形的高，其中高為,，

2

所以球心到底面的距離為且+,=史上1.

222

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及球的性質的綜合應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與計算能力,

屬于基礎題.

2.C

【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據麻〃AC判斷A的正誤.根據"http://4G，4G/IAC、

判斷B的正誤.根據"與RC相交，判斷C的正誤.根據AB//AC,判斷D的正誤.

【詳解】

在正方體中，因為EF"AC,所以EF//平面AC。，故A正確.

因為67////￡，4G/4C,所以G/7//AC,所以G”//平面ACR故B正確.

因為48//。0,所以48//平面AC。一故D正確.

因為EH//C、D,C\D與0c相交，所以E”與平面AC"相交，故C錯誤.

故選：C

【點睛】

本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.

3.A

【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求解.

【詳解】

i（\-ai）=2+bi9

:.a+i=2+bi,得。=2,b=l.

：.ab=2.

故選：A.

【點睛】

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，是基礎題.

4.B

【解析】

根據函數的奇偶性及題設中關于g（x）與/（X-1）關系，轉換成關于“X）的關系式，通過變形求解出了（X）的周期，

進而算出“2019).

【詳解】

g(x)為R上的奇函數，，g(0)=/(-1)=0,g(—X)=-g(x)

???/(-l)=0J(r-l)=-/(I),=

而函數是R上的偶函數，=x),.?./(力=一)(%-2)

,/./(x)=〃x-4)

故/(x)為周期函數，且周期為4

"(2019)=〃-1)=0

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數的奇偶性，函數的周期性的應用，屬于基礎題.

5.D

【解析】

由公差d=-2可知數列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.

【詳解】

等差數列｛%｝的公差為-2,可知數列單調遞減，則。2，%，%中外最大，出最小，

又。2，生，氏為三角形的三邊長，且最大內角為120°,

由余弦定理得+a3a4，設首項為《，

即(4—2)2=(%-4J+(a「6)2+0—4)(a「6)=0得(4一4)(q-9)=0,

所以4=4或4=9,又％=a1一6>0,即a1>6,q=4舍去,故q=9,d=-2

前n項和sn=9n+“(7)x(―2)=—(〃—5f+25.

故S“的最大值為S$=25.

故選：D

【點睛】

本題考查等差數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.

6.A

【解析】

根據交集的結果可得3是集合3的元素，代入方程后可求加的值，從而可求3.

【詳解】

依題意可知3是集合3的元素，即32-2x3+m=0,解得機=一3,由犬2一2X一3=0，解得x=T,3.

【點睛】

本題考查集合的交，注意根據交集的結果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎題.

7.A

【解析】

首先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可利用排除法解得；

【詳解】

解：依題意，/（-X）=言（＞）+（二）2fos（N）=吧+不C。竺=/（X）,故函數/（X）為偶函數，圖象關于）'軸

-x20x20

對稱，排除C；

而/（萬）=—太＜0,排除B；/（2萬）=彳＞＞0,排除D.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數圖象的識別，函數的奇偶性的應用，屬于基礎題.

8.D

【解析】

由題意列出約束條件和目標函數，數形結合即可解決.

【詳解】

4%+7y＜50,

設購買甲、乙兩種商品的件數應分別X,y利潤為z元，由題意—z=x+l.Sy,

x,yeN,

畫出可行域如圖所示,

顯然當y=—：x+gz經過A(2,6)時，z最大.

故選：D.

【點睛】

本題考查線性目標函數的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷x,)’是否是整數，是否是非負數，并準確的畫出

可行域，本題是一道基礎題.

9.D

【解析】

以A為坐標原點，AE所在直線為x軸，AO所在直線為)'軸，AA所在直線為z軸，

建立空間直角坐標系.求解平面ACG4的法向量，利用線面角的向量公式即得解.

【詳解】

如圖所示的直四棱柱ABCQ-AgGQ,NABC=60°，取中點E，

以A為坐標原點，AE所在直線為x軸，所在直線為)’軸，A4所在直線為z軸，

建立空間直角坐標系.

4t__P.

設AB=2,則A(0,0,0),4(0,0,2),8(后,一1,0),C也1,0),(6,1,2),

BCi=(0,2,2),AC=(6』,0),A4,=(0,0,2).

設平面ACG4的法向量為幾=（X,乂z）,

"?AC=6x+y=0,

則〈一取x=l,

n-AAi=2z=0,

得幾=（1,一6,0）.

設直線BC］與平面ACC,A所成角為。,

直線BCi與平面ACC^所成角的正切值等于平

故選：D

【點睛】

本題考查了向量法求解線面角，考查了學生空間想象，邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.

10.A

【解析】

設z=Q+〃(Q,Z?￡R),由Z?i=z+i得：(。+〃)i=a+S+l)，，由復數相等可得。力的值，進而求出1即可得解.

【詳解】

設z=a+hi(a,bGR)9由z?i=z+i得：(a+bi)i=?+(/?+l)z,即ai—b=a+(b+l)i,

1

(ju=——

一b—a2ii~1111

由復數相等可得：＜,,，解之得：＜「則所以z=-+-i,在復平面對應的點的坐標為七二)，

a^b+l,1222222

ib=—

I2

在第一象限.

故選：A.

【點睛】

本題考查共挽復數的求法，考查對復數相等的理解，考查復數在復平面對應的點，考查運算能力，屬于?？碱}.

11.A

【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到A6坐標的關系，再根據點差法得到直線的斜率A與A,6坐標的關系，由

此化簡并求解出離心率的取值范圍.

【詳解】

設4（不兇）,3（%2，%），且線/：6-y-3左+1=0過定點（3,1）即為G的圓心,

%+/=%+=2x3=6

因為AC=08，所以

M+必=%+%=2x1=2

又因為偌;:y所以

所以q=—號??3〃

所以k=----丁G[-2,-1],

不一%2a乂+%

,b2「121,a2-c2「12]，\「12

所以薩，所以353，所以°v）e差

所以小憐當?

故選：A.

【點睛】

本題考查橢圓與圓的綜合應用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設而

不求”的目的，大大簡化運算.

12.D

【解析】

頻數

根據頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高x組距計算成績低于60分的頻率，再根據樣本容量=舒求出班級人數.

頻率

【詳解】

根據頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

.?.樣本容量（即該班的學生人數）是病=60（人）.

故選：D.

【點睛】

頻數

本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率=&5^的應用問題，屬于基礎題

樣本容量

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2或4

【解析】

試題分析：由COSA=Y3,則可運用同角三角函數的平方關系：sinA

22

已知兩邊及其對角，求角C.用正弦定理；a

與?；颌?。，

sinAsinCYe

則；A=30°,C=60°或120°,B=90°或30°，可得8=2或4.

考點：運用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)

14.1

【解析】

根據均值的定義計算.

【詳解】

M5QM+M.M.

由題意N=-------------=M,

51N

故答案為：L

【點睛】

本題考查均值的概念，屬于基礎題.

15.1

【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉化目標函數z=2x+y為y=-2x+z,當目標函數經過點(2,3)時，直線的截距最大,

取得最大值,即得解.

【詳解】

作出約束條件表示的可行域

是以4(2,3),5(-1,0),C(l,0),為頂點的三角形及其內部,

轉化目標函數z=2x+y為y=-2x+z

當目標函數經過點(2,3)時，直線的截距最大

此時z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案為：1

【點睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學生轉化劃歸，數形結合，數學運算能力，屬于基礎題.

16.①?③

【解析】

根據偶函數的圖象關于y軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.

【詳解】

U—K.2)」XG[20,,+2)L)又因為小/)、為偶函數

解：當4=4時=<

可知當加=0時g(x)=/(x)—M有5個不同的零點；故①正確;

若必“e[0,1],函數g(x)的零點不超過4個,

即V/?e[0,l],y=f(x)與丁=加的交點不超過4個,

.?.》22時/(%)40恒成立

又當xw[2,+8)時，/(x)=(a-x)(x-2)

q-x40在xe[2,+8)上恒成立

在xe[2,+8)上恒成立

:.a<2

直線/與圖象的公共點不超過4個，則“W2,故②正確;

3?e（4,+oo）,使得直線/與g（尤）恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確.

故答案為：①②③

【點睛】

本題考查函數方程思想，數形結合思想，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)Q=2COS。；(2)2

【解析】

ccX=1+COS(P

(1)首先利用ca/e+s山20=1對圓c的參數方程｛.(夕為參數)進行消參數運算，化為普通方程，再

y-sm(p

根據普通方程化極坐標方程的公式得到圓c的極坐標方程.(2)設Rq,仇),聯(lián)立直線與圓的極坐標方程，解得

月，4；設。(2，矽，聯(lián)立直線與直線的極坐標方程，解得0，仇，可得|「。|.

【詳解】

⑴圓C的普通方程為=1,又x=℃os。，y=psin6

所以圓C的極坐標方程為p=2cos6.

p=2cos0/

⑵設pg,可)，則由｛兀解得q=i,a=I，得尸1,]]；

2psin|^+—j=3>/3(、

設Q(q,&)，則由｛3)解得0,=3,&=￡,得。3,斗；

6=工3<3；

3

所以|PQ|=2

【點睛】

本題考查圓的參數方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標方程，考查極坐標方程的求解運算，考查了學生的計算能

力以及轉化能力，屬于基礎題.

18.(1)見解析，有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.(2)—

21

【解析】

(1)根據題中數據得到列聯(lián)表，然后計算出長2,與臨界值表中的數據對照后可得結論；(2)由題意得概率為古典概

型，根據古典概型概率公式計算可得所求.

【詳解】

(1)由題意可得：

城鎮(zhèn)居民農村居民合計

經常閱讀10030130

不經常閱讀403070

合計14060200

所以有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.

(2)在城鎮(zhèn)居民140人中，經常閱讀的有100人，不經常閱讀的有40人.

采取分層抽樣抽取7人，則其中經常閱讀的有5人，記為A、B、C、D、E;

不經常閱讀的有2人，記為X、Y.

從這7人中隨機選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為AB,AC,AD,AE,AX,AY，BC,BD,BE,BX，

BY，CD,CE,CX,CY,DE,DX,DY,EX,EY,XY，共21種，

被選中的2位居民都是經常閱讀居民的情況有10種，

..所求概率為P=3.

21

【點睛】

本題主要考查古典概型的概率計算，以及獨立性檢驗的應用，利用列舉法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力.

對于古典概型，要求事件總數是可數的，滿足條件的事件個數可數，使得滿足條件的事件個數除以總的事件個數即可，

屬于中檔題.

19.(I)?+<=1；(II)AAOB面積的最大值為百，此時直線/的方程為x=土坐y-6.

【解析】

(1)根據橢圓的定義求解軌跡方程；

(2)設出直線方程后，采用;x|AB|xd(△表示原點到直線AB的距離)表示面積，最后利用基本不等式求解最值.

【詳解】

解：(I)由定義法可得，P點的軌跡為橢圓且2。=4,c=L

r2V2

因此橢圓的方程為土+L=1.

43

22

(D)設直線/的方程為x=-百與橢圓?+匕=1交于點A(x”x),

B(x2,y2),聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x可得⑶2+4)/-6石)-3=(),

□n6J3t__3

即x+%=E，、跖=京百

AAOB面積可表示為S^AOB=gI。。I?|y-必1=；,G?犯1+%)2-4兇為

」小J(坐)2-4--=亙坐?的產+3/+4=上?再小

2V3產+43產+423『+43『+4

_____6〃_6V百

令飛3尸+1=11，則〃與1，上式可化為1+3一,3、”，

UH--

U

當且僅當〃=&,即f=±如時等號成立，

3

因此MOB面積的最大值為6，此時直線I的方程為x=±gy-瓜

【點睛】

常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題：

(1)已知點”(一c,0),N(c,0),若點P(x,y)滿足|PM|+|PN|=2a且2a>2c,則尸的軌跡是橢圓；

(2)已知點M(-c,0),N(c,0),若點P(x,y)滿足IIPMI-|PN||=2a且2a<2C,則尸的軌跡是雙曲線.

20.(1)沒有極值點；(2)證明見解析

【解析】

(1)求導可得/'(》)=%(2工-6"),再求導可得/〃(月=依2+依h)>0,則/'(X)在[3,+8)遞增,則

/'(%)>/]￡|>0,從而/。)在(；，+8)遞增,即可判斷；

(2)轉化問題為存在西,々且玉<々,使8(工1)=8(々)，可得

機(In々Tn%)=(2+1)(^2一X；)+("仁-e~^)，由(1)可知f(x2)>f(x1)，即""_”3>-k(x；-x；)，則

(\2

mxj-x^--1x

機(In々-In%)>x；-x；，整理可得萬>:%，則山—>強，設±=s>l,則可整理為s—L-21ns>0,設

2mt2m超玉％s

X]

〃(s)=s—21ns,利用導函數可得。(5)>〃(1)=0,即可求證.

S

【詳解】

(1)當X〉；時,/'(x)=Z(2x-e*),f\x)=kQ+&*)>。，

所以f(x)在遞增，所以r(x)〉/(g)=攵(i-e4)〉o,

所以/(x)在(g,+8)遞增，所以函數fM沒有極值點.

22kv

(2)由題,g(x)=/(x)+x-mlnx=(k+l)x-mlnx+e~9

若存在實數f,使直線y=r與函數g(x)的圖象交于不同的兩點A(X1,r),3(X2J),即存在X,4w(g,+8]且不<々,使

g(%)=g(X2).

由g(』)=g("2)可得皿In々-In玉)=(左+1)(%2-X；)+("3-e-^),x)<x2,

由⑴可知/(工2)>/(占)，可得”的一e*1〉一人(考一X；).,

2)

mx2-5

所以m(ln々TnX|)>考一x：，即221n員，

X

/、2

考-才強_]

下面證明三>“々，只需證明:I*".>寇,

21n寇罰

玉

X1c2-11

令—7=S>1,則證^__->S^S----21ns>0.

x\21nss

設/i(s)=s」-21ns,那么h'(s)="上>0，

ss

m

所以h(s)>//(1)=0,所以,>尤/2,即m>2再尤2

【點睛】

本題考查利用導函數求函數的極值點，考查利用導函數解決雙變量問題，考查運算能力與推理論證能力.

1OZ

21.(1)4=一1；(2)-2e—-

e4d

【解析】

(1)根據解析式求得導函數，設切點坐標為(Xo，e"-2%),結合導數的幾何意義可得方程x。1-+1=0,構造

函數〃(x)=xe、-e'+l,并求得〃'(x),由導函數求得〃(x)有最小值力(0)=0,進而可知由唯一零點/=。，即可

代入求得。的值；

(2)將/(%)解析式代入°(x),結合零點定義化簡并分離參數得相=一，構造函數g(x)==