湖南省長(zhǎng)沙市老梁倉(cāng)第六中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

湖南省長(zhǎng)沙市老梁倉(cāng)第六中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考

試卷含解析

一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共5()分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的

.1

1.將函數(shù)丫=5徐(x+-6)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右

K

平移萬(wàn)個(gè)單位,那么所得圖象的一條對(duì)稱軸方程為()

nJTJrn

A.x=-4B.x=-2C.x=8D.x=4

參考答案:

B

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(wx+<t>)的圖象變換.

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】根據(jù)函數(shù)丫=八5行(3X+0)的圖象變換規(guī)律,余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,可得結(jié)

論.

.1

【解答】解:將函數(shù)y=sin(x+~6)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不

71

變),可得函數(shù)丫=$門(2x+-6)的圖象,

K7T71

再向右平移互個(gè)單位,那么所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin[2(x-至)+E]=sin

71

(2x-2)=-cos2x,

k-

故最后所得函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為2x=k”,即x=T,kez,

結(jié)合所給的選項(xiàng)可得只有B滿足條件,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=Asin(3x+@)的圖象變換規(guī)律,余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱

性,屬于中檔題.

參考答案:

C

3.已知拋物線C:X'=23p>0)的焦點(diǎn)為凡拋物線上一點(diǎn)滿足網(wǎng)=6,則

拋物線C的方程為()

A.V=21B.J=4rc,V=8xD,丁=161

參考答案:

D

/(A)=

4.已知函數(shù)a\x<1,在R上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0.1)D.

參考答案:

B

5.設(shè)雙曲線叫的離心率為百,且直線“=-'7(c是雙曲線的

半焦距)與拋物線>''=4x的準(zhǔn)線重合,則此雙曲線的方程為

B.2412

參考答案:

D

由己知,,■收鄴=&

拋物線y=4x的準(zhǔn)線方程為x=-l,由題意,T=-1,1=。,②

w_已=[

由①②,解得a=4,c=3,所以b=J^此雙曲線的方程為彳-不=.選0.

6.若某市8所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示如圖,其中莖為十位數(shù),葉為

個(gè)位數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是

887

9I34203

A.915.5B.915

C.925.5D.925

參考答案:

A

7.函數(shù)/(力癥"18^)的定義域?yàn)?)

A.(0,3)B.(l,+oo)C.(1,3)D.[1,3)

參考答案:

D

8.已知向量;=(-2])工=(-3口,則占在2方向上的投影為()

A.-石B.35C.-2D.2

參考答案:

9.己知。力€K且a>b,則下列不等式中成立的是

PB,-MW?

參考答案:

D

]

10.函數(shù)y=l-x的圖象與函數(shù)y=2sinnx,(-2WxW4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

等于()

A.8B.6C.4D.2

參考答案:

A

【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合;數(shù)列的求和.

]

【分析】函數(shù)yi=l-x與yz=2sinnx的圖象有公共的對(duì)稱中心(1,0),作出兩個(gè)函數(shù)的

圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.

]

【解答】解:函數(shù)y,=Lx,

yz=2sinnx的圖象有公共的對(duì)稱中心(1,0),

作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖,

當(dāng)1VXW4時(shí),yi<0

而函數(shù)y?在(1,4)上出現(xiàn)L5個(gè)周期的圖象,

3_”工

在(1,萬(wàn))和(萬(wàn),I)上是減函數(shù);

a"z

在(5,2)和(2,4)上是增函數(shù).

???函數(shù)y,在(1,4)上函數(shù)值為負(fù)數(shù),

且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E、F、G、H

相應(yīng)地,y,在(-2,1)上函數(shù)值為正數(shù),

且與yz的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D

且:XA+XH=XB+XG=XC+XF=XD+XE=2,

故所求的橫坐標(biāo)之和為8.

故選:A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分

II.數(shù)列(4)的前n項(xiàng)和為其,若數(shù)列的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列:

112123123412

1

----(一

,33444555,5

2月?

有如下運(yùn)算和結(jié)論:

3

」"=一,

①8

②數(shù)列?出+%為+%+。6歷+。8+%…是等比數(shù)列;

TJ』

③數(shù)列勺.%+與.為+的+<36.的+。8+09+。加.…的前n項(xiàng)和為,4

&<10,凡.1210.則收=2

④若存在正整數(shù)k,使

其中正確的結(jié)論有(填寫序號(hào))。

參考答案:

①③④

12.已知向量》=(1,2),q=(x,3),若D_Lq,則|p+q|=

參考答案:

5M

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

【分析】可得二?10,解得x.再利用向量模的計(jì)算公式即可得出.

【解答】解:Vplq,=x+6=0,解得x=-6.

Ao+q=(-5,5).

???D+q|=V(-5)2+52=5?.

故答案為:5?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量模的計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)

算能力,屬于基礎(chǔ)題.

13.已知數(shù)列{%}滿足:(a=LZ…),若巧=3,則

'=__________________

參考答案:

4

_33_3._3

試題分析:因,=3,故當(dāng)勺時(shí);也=3即可,5時(shí)即一二,所以

".用當(dāng)外>也時(shí),公+2=3,%=1,即例>1時(shí)尸1+2=1可得卬=一】<1,不成立,所以

33

a,=——

4,應(yīng)填4.

考點(diǎn):分段數(shù)列的通項(xiàng)及運(yùn)用.

2

£(\x+l,x>0

f(x)=<

14.已知函數(shù)I】x<0,則滿足不等式f(1-x?)>f(2x)的x的范圍

是.

參考答案:

(-1,V2-1)

考點(diǎn):分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法;其他不等式的解法.

專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.

分析:由題意f(x)在[0,+8)上是增函數(shù),而XV0時(shí),f(x)=1,故滿足不等式f

,1-X2>2X

(1-X2)>f(2x)的X需滿足11-x2>0,解出X即可.

1~x2〉2x廣,廠、

,(-1,V2-1)

解答:解:由題意,可得I1-x>0

故答案為:(一1,V2-D

點(diǎn)評(píng):本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式,考查利用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解

決問(wèn)題的能力.

15.如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排四所學(xué)校的學(xué)生參觀順義啤酒廠,每天最多只安排

一所學(xué)校,要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天,其余學(xué)校均只參觀一天,那么不同的安排方法有

種(用數(shù)字作答).

參考答案:

360

試題分析:第一步安排甲學(xué)校,由于甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天,所以只能有6種不同的按排

方法;

第二步按排余下的三所學(xué)校,由于這三所學(xué)校均只參觀一天,所以有6種不同的按排方

法;

由分步計(jì)數(shù)原理得共有不同的安排方法有6d=6x5x4x3=360種.

故答案為:360.

考點(diǎn):排列組合.

sin(8+90°)+cos8

16.已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)(4,-3),則tank,sin8-cos(8-180°)

參考答案:

_3_

~4,8.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值;任意角的三角函數(shù)的定義.

【分析】直接利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解tan。,利用誘導(dǎo)公式,同角三角函

數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求即可計(jì)算得解.

【解答】解:..?角0終邊上一點(diǎn)P(4,-3),

__3

...由三角函數(shù)的定義可得tan。=7,

sin(8+90°)+cos8_____cos8+cos82

/.sin6~cos(9_180°)=sin6~(~cos9)=tan9+1=8,

_3,

故答案為:~4,8.

17.不等式I*—61Tx—4|〈二的解集為o

參考答案:

{x|0<x<3}

三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算

步驟

18.已知函數(shù)外0=工*0/+6、*,曲線/=/(/)過(guò)點(diǎn)P(1,0),且在P點(diǎn)處的切線斜

率為2.

(I)求實(shí)數(shù)區(qū)5的值;

(II)設(shè)函數(shù)虱。=/W-2x+2,求函數(shù)g(*)的最大值.

參考答案:

五X)=].lot._

(I)X2分

心?!俊?0

由已知可得7(1)=2

a=-1

解得”=3........................6分

(II,)£*)=/1工)-2工+2=-,-曰3觸工+2,X€(0L4CD)

建*)=-2x-l+-=-(不712r”)

XX..................

人火工)=峭k1機(jī)=-2倍去)

列表分析函數(shù)g(a在區(qū)間(°??"))上的單調(diào)性如下:

X(OJ)1(E)

+0-

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

二函數(shù)g(x)的最大值為g0)=°............12分

19.已知函數(shù)/㈤4ah*THaM1+”,aeR

(1)當(dāng)。=1時(shí),求不等式的解集;

⑵若任意工疝,力,使得爐02恒成立,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

參考答案:

H、

(1)1」(2)a,l或aW-l.

【分析】

(1)把a(bǔ)的值代入不等式中,去掉絕對(duì)值符號(hào),利用分類討論的思想去掉絕對(duì)值的解集

即可。

⑵經(jīng)分析,要使任意*'卬1,使得爐”1=2恒成立,則

(1-fllBx)(14atai)<0,分離參數(shù)a,即可求出a的范圍。

【詳解】解⑴當(dāng)時(shí),/(工)=1}工一1|一1}工+1|21.

①當(dāng)即0<JC<*T時(shí),則-Inx+l+Jnic+lNl,

得2N1,所以0<X<,T

②當(dāng)一iVlnxvl,即時(shí),則-Inx+l-liix-lNl,即一21BXA1,

i1

解得0<x4*’,所以/工工4?’.

③當(dāng)InxNl,即i2“時(shí),則bijc-l-加x-lil,

解得一2?1,所以工七,

0.31

綜上,不等式的解集為iJ

(2)已知任意*e[='],使得鞏訃2恒成立,

由II“■/一1]TabrQ"hl1-A4T“qQaln目?(1+oia?|=2

可知,當(dāng)且僅當(dāng)Q-amxNQ+dbQK。時(shí)等號(hào)成立.

11

由此可得1一"必'工40,即記丘,當(dāng)x=e時(shí),取得最大值L

即解得a>l或aW-l.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求法:利用零點(diǎn)分段討論法解不等式,以及函數(shù)恒成立

的問(wèn)題,屬于中檔題。

20.如圖,在四棱錐A-BCOE中,△/1£)£是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,平面AOEJ?平面

1

BCDE,底面BCOE是等腰梯形,DE\\BC,DE=2BC,BE=DC=2,80=2拈,點(diǎn)M

是邊。E的中點(diǎn),點(diǎn)N在BC上,且BN=3。

B

(I)證明:BZXL平面AMN;

(II)設(shè)BZ)riMN=G,求三棱錐A-8GN的體積。

參考答案:

(I)???△//)££*邊加陽(yáng).AI0DE晌中起.;.4MIDE

KflMADEl-f向BCDE.f微ADEC\f倒BCDE■DE

:,AM1TlMBCDE.,.AM1HD.........3分

vA/D=WF-1.AV-3.DEf/BC.DE?*BC,

MDlLcN.:.四邊形MNCD是平行四邊形,MNIICD

又BD=2』,BC=4.CD=2.BD^CD1=BC'.ABD1CD,

BD1MN且/MDMV=Af.二即,平面4MN...........................6分

(n)ft](I)知4MJ.平面8C£>E./A/為三棱錐/-8GN的高.

???△/DE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.,4W=JL.........................8分

易知GN=3C£>=3,

42

又」I(I)如BDXMN.BG=y/B^-NG2=—

2

c1vr134丫39G

,的22228

?1_?MA9

心此出/M=5X-^-X>/3=-12分

21.在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量;=GJ-&)1=(Hj+物(kwR),

a16,動(dòng)點(diǎn)M(xj)的軌跡為T.

(1)求軌跡T的方程,并說(shuō)明該方程表示的曲線的形狀;

k=]_

(2)當(dāng)一5時(shí),已知點(diǎn)3(0,-我),是否存在直線/:y=丁+加,使點(diǎn)B關(guān)

于直線/的對(duì)稱點(diǎn)落在軌跡T上?若存在,求出直線,的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理

由.

參考答案:

解:⑴VaLb④)&?+應(yīng))=0

得*?+/-2=。即匕’+/=2--------------------------------------------------------2分

當(dāng)上=0時(shí),方程表示兩條與X軸平行的直線;?

3分

當(dāng)k=1時(shí);方程表示以原點(diǎn)為圓心,以立為半徑的圓;--------------------

————4

當(dāng)左>0且上Hl時(shí),方程表示橢圓;----------------------------------------

—5分

當(dāng)上<0時(shí),方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

------6分

左」T-+^=1

⑵當(dāng)2時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡7的方程為42----------------------------------

-7分

設(shè)滿足條件的直線?存在,點(diǎn)B關(guān)于直線上的對(duì)稱點(diǎn)為"'(%?%),則由軸對(duì)稱的性

兒+短=.1%-0=幺+-

質(zhì)可得:為22

解得:%=-&-肛%=內(nèi),-----------------------------------------------

一10分

(一4

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