高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)練習(xí)題（附答案）

答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)練習(xí)題（附答案）學(xué)校：___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)，則（

）A． B． C． D．2．若為奇函數(shù)，則的值為（

）A．-1 B．0 C．1 D．-1或13．某種品牌手機(jī)的電池使用壽命X（單位：年）服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為0.9，則該品牌手機(jī)電池至少使用6年的概率為（

）A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.14．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為（

）A． B． C． D．5．三星堆古遺址作為“長(zhǎng)江文明之源"，被譽(yù)為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.3號(hào)坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會(huì)中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學(xué)者認(rèn)為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn)，如圖，假定某玉琮形狀對(duì)稱，由一個(gè)空心圓柱及正方體構(gòu)成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．6．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，則（

）A． B．16 C．30 D．7．已知橢圓：的兩條弦相交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且軸，軸.若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．設(shè)，和，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知事件A，B滿足和，則（

）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨(dú)立，則 D．若，則A與B相互獨(dú)立10．已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為(，)且的極大值點(diǎn)為，記，則（

）A．B．C．D．11．下列說法中，其中正確的是（

）A．命題：“”的否定是“”B．化簡(jiǎn)的結(jié)果為2C．…D．在三棱錐中，點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的體積為.12．同學(xué)們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無理數(shù)），對(duì)于函數(shù)以下結(jié)論正確的是（

）A．是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件；B．是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件；C．如果，那么為單調(diào)函數(shù)；D．如果，那么函數(shù)存在極值點(diǎn).三、填空題13．過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為14．?dāng)?shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是．15．已知直線，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為.若過點(diǎn)的圓與直線相切，且與直線交于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)直線的斜率為.16．三個(gè)元件，和獨(dú)立正常工作的概率分別是，和，把它們隨意接入如圖所示電路的三個(gè)接線盒，和中（一盒接一個(gè)元件），各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是．四、解答題17．已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的值和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知銳角中，角，和所對(duì)的邊分別為，和，且.(1)若角，求角；(2)若，求的最大值19．如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，是底面圓周上一點(diǎn)，與平面所成的角為30°，點(diǎn)，分別在，上，且平面.(1)求的值；(2)求平面與平面夾角的余弦值.20．抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次性筷子，3雙是非一次性筷子，每次使用筷子時(shí)從抽屜中隨機(jī)取出1雙，若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的個(gè)數(shù)（雙）的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)取了，…）次后，所有一次性筷子剛好全部取出的概率．21．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率是，拋物線的焦點(diǎn)是的一個(gè)頂點(diǎn).設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，B，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn).(1)求證：點(diǎn)在定直線上；(2)直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)：22．已知，設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，且恒成立.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)的零點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，證明：.參考答案：1．B【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)椋驗(yàn)樗约鲜怯伤衅鏀?shù)的一半組成而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故.故選：B2．A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，取特殊情況，可以快速求解出的值.【詳解】由題得：，故.故選:A.3．D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可.【詳解】由題得：，故因?yàn)?，所以根?jù)對(duì)稱性得：.故選：D.4．B【分析】由正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得，由此可以求出的值.【詳解】由題得：，故，而，所以.故選：B.5．C【分析】根據(jù)題意可知正方體的體對(duì)角線即是外接球的直徑，又因圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，可利用勾股定理得出正方體邊長(zhǎng)，繼而求出球的表面積.【詳解】不妨設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，球О的半徑為R，則圓柱的底面半徑為a因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線即為球О直徑，故利用勾股定理得：，解得，球的表面積為故選：C.6．D【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可求出等比數(shù)列的公比、首項(xiàng)，由求和公式得解.【詳解】由題得：①，②，①②得：和則，代入①中，即故故選：D.7．B【分析】設(shè)，進(jìn)而得的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性得，再代入橢圓方程整理得，最后求解離心率即可.【詳解】解：設(shè)，則由題知關(guān)于x軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱所以，即所以所以，即所以，即所以橢圓的離心率為.故選：B8．A【分析】由指數(shù)式的取值范圍可得且，通過構(gòu)造函數(shù)證明不成立，可得到正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，若，則，設(shè)在上單調(diào)遞增，所以，即，不合題意.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于，由，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性證明若則存在矛盾.9．BD【分析】對(duì)于A，由題意可得，從而即可判斷；對(duì)于B，由互斥事件的概率計(jì)算公式計(jì)算即可；對(duì)于C，先求得，再根據(jù)獨(dú)立事件的計(jì)算公式計(jì)算即可；對(duì)于D，判斷是否成立即可.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)樗裕叔e(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)锳與B互斥，所以，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，即，所以又因?yàn)?，所以所以A與B相互獨(dú)立，故正確.故選：BD10．BCD【分析】利用隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)可得到，可判斷A；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上遞增，在上遞減，即的極大值點(diǎn)為，故可判斷B；根據(jù)密度曲線關(guān)于對(duì)稱，可判斷CD【詳解】對(duì)于A，由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為可得因?yàn)?，所以，所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上遞增，在上遞減由函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得(，)在上遞增，在上遞減所以的極大值點(diǎn)為，所以，所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，故正確；對(duì)于C，因?yàn)椋炙?，即，故正確；對(duì)于D，因?yàn)樗?，故正確；故選：BCD11．BCD【分析】根據(jù)存在性量詞命題的否定即可判斷A；根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可判斷B；根據(jù)二項(xiàng)式定理即可判斷C；利用線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合正弦定理、勾股定理和球的體積公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：命題：“”的否定是“”故A錯(cuò)；B：故B正確；C：…故C正確；D：如圖所示由，則，得由是的中點(diǎn)，易知：△為等邊三角形且又，所以，得又，平面，所以平面.設(shè)球心為且在過△中心垂直于面的垂線上，點(diǎn)到底面的距離為由正弦定理得的外接圓半徑球的半徑所以三棱錐的外接球的體積為.故D正確.故選：BCD.12．BCD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義、充分條件和必要條件的定義即可判斷AB；利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，故即，又，故所以是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)因?yàn)?，?所以是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槿?，則恒成立，則為單調(diào)遞增函數(shù)若則恒成立，則為單調(diào)遞減函數(shù)故，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，令得，又若當(dāng)，函數(shù)為單調(diào)遞減.當(dāng)，函數(shù)為單調(diào)遞增.函數(shù)存在唯一的極小值.若當(dāng)，函數(shù)為單調(diào)遞增.當(dāng)，函數(shù)為單調(diào)遞減.故函數(shù)存在唯一的極大值.所以函數(shù)存在極值點(diǎn)，故D正確.故答案為：BCD.13．或【分析】分斜率存在與否兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可得解．【詳解】解：將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)直線方程為是圓的切線，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)可設(shè)直線方程為，即利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得即此直線方程為故答案為：或．14．28【分析】分類討論四個(gè)數(shù)的組成后，由計(jì)數(shù)原理求解即可．【詳解】顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論．最大數(shù)為5的情況：①，此時(shí)共有種情況；最大數(shù)為4的情況：②，此時(shí)共有種情況；③，此時(shí)共有種情況．當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，故沒有滿足題意的情況．綜上，滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是．故答案為：28．15．【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，易知過點(diǎn)且與直線相切的圓就是以為直徑的圓，設(shè)則，由有設(shè)直線的方程為，代入有所以，結(jié)合，得.故答案為:16．【分析】根據(jù)題意可知電路正常工作的條件為正常工作，和中至少有一個(gè)正常工作，然后利用獨(dú)立事件乘法公式分類討論，和接入的元件不同的情況下電路正常工作的概率，結(jié)合，和的大小關(guān)系判斷最大概率.故答案為：17．（Ⅰ）;（Ⅱ）.【詳解】（Ⅰ）由已知，有，即所以，又因?yàn)?，故，由，得?dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以的通項(xiàng)公式為（Ⅱ）由（Ⅰ）得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則兩式相減得整理得所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.考點(diǎn)：等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法求和.18．(1)(2)最大值為【分析】（1）運(yùn)用兩角和差的正余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得到，然后把表示為的函數(shù)，再利用降次公式化簡(jiǎn)，結(jié)合內(nèi)角取值范圍及求解.【詳解】（1）由題意知.所以所以所以因?yàn)椋运?，因?yàn)椋杂山?，所?（2）由（1）知，所以因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫海砸驗(yàn)?，所以所以因?yàn)闉殇J角三角形，且，則有，得，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)取得最大值所以的最大值為.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線面角定義先求證出到平面的投影落于點(diǎn)O，得出的結(jié)論，再以為原點(diǎn)，和，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，找出P、N、C三點(diǎn)坐標(biāo)即可解出答案；（2）根據(jù)（1）坐標(biāo)系，找出平面與平面的法向量，根據(jù)法向量與面面角關(guān)系即可解出答案.【詳解】（1）過作，垂足為，∵底面，平面∴平面平面，∴平面∴為直線與平面所成的角，即.∴，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即.以為原點(diǎn)，和，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，和，和.設(shè)，則.故.∵平面，∴，即即，解得，所以.（2）∵平面，∴是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，所以，取則.所以平面與平面夾角的余弦值為.20．(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(3)答案見解析【分析】（1）運(yùn)用條件概率公式計(jì)算；（2）按照獨(dú)立事件計(jì)算；（3）運(yùn)用獨(dú)立事件的概率乘法公式結(jié)合等比數(shù)列求和計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)取出的是第一次是一次性筷子為事件A，取出的是第二次非一次性筷子為事件B則所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率；（2）對(duì)于，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的，；對(duì)于，表示三次中有一次筷子，對(duì)應(yīng)的情況有第一次，第二次，第三次是一次性筷子；對(duì)于，表示三次中有一次是非一次性筷子，同樣有第一次第二次第三次之分；X012P數(shù)學(xué)期望；（3）n次取完表示最后一次是一次性筷子,則前次中有一次取得一次性筷子所以21．(1)證明見解析(2)最大值，點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓的，和的關(guān)系，解得和，進(jìn)而得到橢圓的方程，設(shè)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的方程，再令，可得.進(jìn)而得到定直線；（2）由直線的方程為，令，可得，運(yùn)用三角形的面積公式，可得，化簡(jiǎn)整理，再，整理可得的二次方程，進(jìn)而得到最大值及此時(shí)的坐標(biāo).【詳解】（1）證明：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為即有解得可得橢圓的方程為；設(shè),可得由的導(dǎo)數(shù)為，即有切線的斜率為則切線的方程為可化為，代入橢圓方程可得，可得.設(shè)，），）可得，即有中點(diǎn)，）直線的方程為，可令，可