高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（53）第八章 解析幾何 第四講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案53]第四講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2019·溫州十校聯(lián)考)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx－1與圓C：x2＋y2－2x－2＝0的位置關(guān)系是(C)A．相離 B．相切C．相交 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能[解析]直線y＝kx－1恒經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心為C(1,0)，半徑為eq\r(3)，而|AC|＝eq\r(2)<eq\r(3)，故直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交．2．(2020·河南八市質(zhì)檢)過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(B)A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0[解析]由題意，過點(diǎn)(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則點(diǎn)(3,1)在圓上，圓心與切點(diǎn)連線的斜率為k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴切線的斜率為－2，則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，選B.3．(2019·山東濟(jì)寧期末)圓C1：x2＋(y－1)2＝1與圓C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切線的條數(shù)為(A)A．4 B．3C．2 D．1[解析]兩圓的圓心距|C1C2|＝4>2＋1，∴4．(2020·河北滄州段考)已知直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝(B)A．2 B．6C．4eq\r(2) D．2eq\r(10)[解析]∵圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圓心為C(2,1)，半徑為2.由題意可得，直線l：x＋ay－1＝0經(jīng)過圓C的圓心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，點(diǎn)A(－4，－1)．∵|AC|＝eq\r(－4－22＋－1－12)＝2eq\r(10)，|CB|＝R＝2，∴切線的長(zhǎng)|AB|＝eq\r(40－4)＝6，故選B.5．(2019·銅川模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點(diǎn)A(－1,0)，B(1,2)．在圓C上存在點(diǎn)P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]設(shè)P(x，y)，則(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因?yàn)閨2－2|<eq\r(2－02＋0－12)<2＋2，所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交，所以點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.選B.6．(2019·四川南充模擬)若直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程是(D)A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]依題意，直線l：y＝kx＋1過定點(diǎn)P(0,1)．圓C：x2＋y2－2x－3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.故圓心為C(1,0)，半徑為r＝2.則易知定點(diǎn)P(0,1)在圓內(nèi)．由圓的性質(zhì)可知當(dāng)PC⊥l時(shí)，此時(shí)直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因?yàn)閗PC＝eq\f(1－0,0－1)＝－1，所以直線l的斜率k＝1，即直線l的方程是x－y＋1＝0.7．(2019·唐山模擬)若方程eq\r(16－x2)－x－m＝0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍(B)A．－4eq\r(2)≤m≤4eq\r(2) B．－4≤m≤4eq\r(2)C．－4≤m≤4 D．4≤m≤4eq\r(2)[解析]由題意知方程eq\r(16－x2)＝x＋m有實(shí)數(shù)解，分別作出y＝eq\r(16－x2)與y＝x＋m的圖象，若兩圖象有交點(diǎn)，需－4≤m≤4eq\r(2).二、多選題8．直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，則直線的傾斜角可能為(AD)A．eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)[解析]由題意可知，圓心P(2,3)，半徑r＝2，∴圓心P到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，由d2＋(eq\f(2\r(3),2))2＝r2，可得eq\f(4k2,1＋k2)＋3＝4，解得k＝±eq\f(\r(3),3).設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα＝±eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0若直線y＝k(x＋1)上存在一點(diǎn)P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的值可以是(AB)A．1 B．2C．3 D．4[解析]x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∵過P所作的圓的兩條切線相互垂直，所以P、圓心C、兩切點(diǎn)構(gòu)成正方形，PC＝2eq\r(2)，由題意知，直線y＝k(x＋1)與以C為圓心，以2eq\r(2)為半徑的圓(x－2)2＋y2＝8相交，∴d＝eq\f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，即－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2)，故選AB.10．(2020·山東德州期末)已知點(diǎn)A是直線l：x＋y－eq\r(2)＝0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q是圓x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，若∠PAQ的最大值為90°，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是(AC)A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)[解析]如下圖所示：原點(diǎn)到直線l距離為d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，則直線l與圓x2＋y2＝1相切，由圖可知，當(dāng)AP、AQ均為圓x2＋y2＝1的切線時(shí)，∠PAQ取得最大值，連接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值為90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，則四邊形APOQ為正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，由兩點(diǎn)間的距離公式得|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，設(shè)A(t，eq\r(2)－t)整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或eq\r(2)，因此，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)，故選AC.三、填空題11．自圓外一點(diǎn)P作圓x2＋y2＝1的兩條切線PM，PN(M，N為切點(diǎn))，若∠MPN＝90°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是__x2＋y2＝2__.[解析]由題意知四邊形OMPN是正方形，所以|OP|＝eq\r(2)，于是點(diǎn)P的軌跡是圓心在原點(diǎn)，半徑為eq\r(2)的圓，其方程是x2＋y2＝2.12．(2019·安徽安慶五校聯(lián)盟聯(lián)考)當(dāng)圓C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圓心到直線l：mx＋y＋m－1＝0的距離最大時(shí)，m＝－eq\f(3,4).[解析]∵圓C的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝16，∴圓C的圓心C(2，－3)，∵直線l的方程為mx＋y＋m－1＝0，∴直線l過定點(diǎn)A(－1,1)，∴圓心到直線l：mx＋y＋m－1＝0的距離最大為圓心C與點(diǎn)A(－1,1)，之間的距離∴kl·kAC＝－1，即－m·eq\f(－3－1,2－－1)＝－1，∴m＝－eq\f(3,4).13．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝__1__.[解析]兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝eq\f(1,a)，又a>0，結(jié)合圖形，利用半徑、弦長(zhǎng)的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知eq\f(1,a)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1?a＝1.四、解答題14．(2019·江西贛州)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在圓C上，求點(diǎn)P到直線x－y－5＝0距離的最大值與最小值．[解析](1)圓C的方程可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，即圓心的坐標(biāo)為(－1,2)，半徑為eq\r(2)，因?yàn)橹本€l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以可設(shè)直線l的方程為x＋y＋m＝0，于是有eq\f(|－1＋2＋m|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，得m＝1或m＝－3，因此直線l的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)因?yàn)閳A心(－1,2)到直線x－y－5＝0的距離為eq\f(|－1－2－5|,\r(1＋1))＝4eq\r(2)，所以點(diǎn)P到直線x－y－5＝0距離的最大值與最小值分別為5eq\r(2)和3eq\r(2).15．(2017·課標(biāo)Ⅲ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)，當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值．[解析](1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況，理由如下：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐標(biāo)為(0,1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為eq\f(－1,x1)·eq\f(－1,x2)＝－eq\f(1,2)，所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．(2)證明：由BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(x2,2)，eq\f(1,2))，可得BC的中垂線方程為y－eq\f(1,2)＝x2(x－eq\f(x2,2))．由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂線方程為x＝－eq\f(m,2).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(m,2)，,y－\f(1,2)＝x2x－\f(x2,2)，))又xeq\o\al(2,2)＋mx2－2＝0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(m,2)，,y＝－\f(1,2).))所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(－eq\f(m,2)，－eq\f(1,2))，半徑r＝eq\f(\r(m2＋9),2).故圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－\f(m,2)2)＝3，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值．B組能力提升1．(2018·課標(biāo)Ⅲ卷)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(A)A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)][解析]由圓(x－2)2＋y2＝2可得圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(2)，△ABP的面積記為S，點(diǎn)P到直線AB的距離記為d，則有S＝eq\f(1,2)|AB|·d.易知|AB|＝2eq\r(2)，dmax＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(12＋12))＋eq\r(2)＝3eq\r(2)，dmin＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(12＋12))－eq\r(2)＝eq\r(2)，所以2≤S≤6，故選A.2．(2019·山東濟(jì)寧期末)已知圓M：(x－a)2＋y2＝4(a>0)與圓N：x2＋(y－1)2＝1外切，則直線x－y－eq\r(2)＝0被圓M截得線段的長(zhǎng)度為(D)A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)[解析]由題意，eq\r(a2＋1)＝2＋1，∴a＝2eq\r(2)，圓心M(2eq\r(2)，0)到直線x－y－eq\r(2)＝0的距離d＝eq\f(|2\r(2)－0－\r(2)|,\r(2))＝1，∴直線x－y－eq\r(2)＝0被圓M截得線段的長(zhǎng)度為2eq\r(4－1)＝2eq\r(3)，故選D.3．(2020·棗莊模擬)已知點(diǎn)A(0，－6)，B(0,6)，若對(duì)圓(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一點(diǎn)P，都有∠APB為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A．(－5eq\r(5)，5eq\r(5))B．(－eq\r(55)，eq\r(55))C．(－∞，－5eq\r(5))∪(5eq\r(5)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(55))∪(eq\r(55)，＋∞)[解析]若對(duì)圓(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一點(diǎn)P，都有∠APB為銳角，則圓(x－a)2＋(y－3)2＝4與圓x2＋y2＝36外離，即圓心距大于兩圓的半徑之和，eq\r(a2＋32)>6＋2，解得a2>55，a>eq\r(55)或a<－eq\r(55).選D.4．(2020·安徽“江南十校”聯(lián)考)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，則圓C的方程為__(x－1)2＋(y＋1)2＝2__.[解析]解法一：所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)．又∵所求圓與直線x－y＝0相切，∴半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋(eq\f(\r(6),2))2＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2，解得a＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.解法二：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|a－b－3|,\r(2))，∴r2＝eq\f(a－b－32,2)＋eq\f(3,2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①由于所求圓與直線x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②又∵圓心在直線x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.5．(2019·天津市和平區(qū)模擬)已知a，b為正數(shù)，若直線2ax＋by－2＝0被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，則aeq\r(1＋2b2)的最大值是eq\f(9\r(2),8).[解析]由題意知圓心到直線的距離d＝eq\r(4－3)＝1，∴eq\f(|2|,\r(4a2＋b2))＝1，即4a2＋b2＝4.∴aeq\r(1＋2b2)＝eq\f(1,2\r(2))·2eq\r(2)a·eq\r(1＋2b2)≤eq\f(1,2\r(2))·eq\