研究生入學(xué)考試第六章 二階線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法模版課件

第六章二階線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法

數(shù)學(xué)物理方法——數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中的二階線性常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為方程的系數(shù)→解的解析性級(jí)數(shù)解法得到的解總是指某一指定點(diǎn)

z0

的鄰域內(nèi)收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)。p(z)、q(z)在z0點(diǎn)的解析性級(jí)數(shù)解在z0點(diǎn)的解析性。超幾何方程6.1二階線性常微分方程的常點(diǎn)和奇點(diǎn)

定義

假設(shè)p(z)、q(z)在z0點(diǎn)解析，稱z0點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。假設(shè)p(z)、q(z)中至少有一個(gè)在z0點(diǎn)不解析，稱z0點(diǎn)為方程的奇點(diǎn)。

舉例有限遠(yuǎn)處p(z)、q(z)有兩個(gè)奇點(diǎn)，z=0和z=1。所以，z=0和z=1是超幾何方程的奇點(diǎn)，有限遠(yuǎn)處的其它點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。勒讓德方程

舉例有限遠(yuǎn)處p(z)、q(z)有兩個(gè)奇點(diǎn)，z=1和z=-1。所以，z=0和z=1是勒讓德方程的奇點(diǎn)，有限遠(yuǎn)處的其它點(diǎn)為方程的常點(diǎn)。要判斷z=∞是否為方程的奇點(diǎn)，作自變量變換二階線性齊次常微分方程可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式為假設(shè)t=0是常點(diǎn)/奇點(diǎn)，那么z=∞就是常點(diǎn)/奇點(diǎn)。和不含t負(fù)冪項(xiàng)

t=0(z=∞)為方程常點(diǎn)的條件可見(jiàn)，z=∞是勒讓德方程和超幾何方程的奇點(diǎn)。將代入方程得

例題解求二階線性常微分方程，使其解為和。

設(shè)所求方程為即

(1)代入(2)得將代入方程得即

即所求方程為

假設(shè)p(z)和q(z)在圓內(nèi)單值解析，那么在此圓內(nèi)常微分方程初值問(wèn)題(c0，c1為任意常數(shù))有唯一的一個(gè)解w(z)，且w(z)在這個(gè)圓內(nèi)單值解析。6.2方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解

定理∴均可展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)：求解方法說(shuō)明

其中an，bn，c0，c1，確定出cn可求出方程的解。將展開(kāi)為級(jí)數(shù)的p(z)，q(z)和w(z)代入方程：∵

p(z)和q(z)在圓內(nèi)單值解析，可知冪次項(xiàng)(z-z0)n的系數(shù)全為0考察各冪次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)為以此類(lèi)推cn均可用c0和c1表示

例題解求勒讓德方程在z=0鄰域內(nèi)的解，l為參數(shù)。統(tǒng)一求和指標(biāo)，k均從0記z=0為常點(diǎn)，有代入方程得zk同次冪合并后，得合并ck的系數(shù)，得即得遞推關(guān)系為偶次冪系數(shù)為同理，奇次冪系數(shù)為引進(jìn)記號(hào)那么∴勒讓德方程在內(nèi)的解就是任意給定初始條件c0和c1，就可得到一個(gè)特解。尤其當(dāng)和時(shí)，即得特解二者的任意線性組合即為通解。求解過(guò)程中，ck+2只與ck有關(guān)，而與ck+1無(wú)關(guān)，w1(z)是偶函數(shù)，w2(z)是奇函數(shù)。對(duì)于z→-z變換，勒讓德方程的形式不變，故w(-z)也是方程的解，且w(z)+w(-z)是偶函數(shù)，w(z)-w(-z)是奇函數(shù)。在常點(diǎn)鄰域內(nèi)求級(jí)數(shù)解的一般步驟1、將方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，代入方程；2、比較系數(shù)，獲得系數(shù)間的遞推關(guān)系；3、反復(fù)利用遞推關(guān)系，求出系數(shù)ck的普遍表達(dá)式〔用c0和c1表示〕，最后得出級(jí)數(shù)解。線性方程線性遞推關(guān)系w1(z)和

w2(z)是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解

例題解求方程

在z=0鄰域內(nèi)的兩個(gè)級(jí)數(shù)解。

代入方程得z=0是方程的常點(diǎn)，令

考察同次冪系數(shù)零次冪系數(shù)一次冪系數(shù)二次冪系數(shù)三次冪系數(shù)四次冪系數(shù)五次冪系數(shù)n次冪系數(shù)同理所以對(duì)應(yīng)和有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解：

例題設(shè)是方程的解，在區(qū)域G1內(nèi)解析，假設(shè)是在區(qū)域G2內(nèi)的解析延拓，即試證明：仍是方程的解。設(shè)證明g(z)在G2內(nèi)的解析是方程在G1內(nèi)的解，故在內(nèi)仍滿足方程而時(shí)，故在G2內(nèi)滿足方程即，由解析函數(shù)唯一性可知∵和線性無(wú)關(guān)∴

朗斯基行列式

例題設(shè)和是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，且均在區(qū)域G1內(nèi)解析，假設(shè)和是和在G2內(nèi)的解析延拓，即時(shí)，試證：和仍線性無(wú)關(guān)上個(gè)例子已經(jīng)證得和仍是方程的解證明所以，和在G2內(nèi)仍線性無(wú)關(guān)。由解析函數(shù)的唯一性可知在G2內(nèi)解析設(shè)

∵∴由以上例題可知，方程在不同區(qū)域內(nèi)的解式互為解析延拓，因此，可以由方程在某一區(qū)域內(nèi)的解式出發(fā)，通過(guò)解析延拓推出方程在其它區(qū)域內(nèi)的解式。假設(shè)z0是方程的奇點(diǎn)，那么在p(z)和q(z)都解析的環(huán)域內(nèi)，方程的線性無(wú)關(guān)解是6.3方程正那么奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解定理其中為常數(shù)。當(dāng)或不是整數(shù)，或，方程的解均為多值函數(shù)，z0為其支點(diǎn)。將和代入方程，難以求出系數(shù)的普遍公式〔無(wú)窮多正冪項(xiàng)與負(fù)冪項(xiàng)〕，當(dāng)級(jí)數(shù)解中只有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，總可以調(diào)整值，使級(jí)數(shù)中沒(méi)有負(fù)冪項(xiàng)。說(shuō)明稱為正那么解。方程在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)有兩個(gè)正那么解的條件是什么？定理充分必要條件富克斯定理方程在其奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)有兩個(gè)正那么解和在z0點(diǎn)解析z=0和z=1均為超幾何方程的正那么奇點(diǎn)。

舉例z0

=0時(shí)，和在z0

=0處解析。z0

=1時(shí)，和在z0

=1處解析。z=1和z=-1均為勒讓德方程的正那么奇點(diǎn)。

舉例z0

=1時(shí)，和在z0

=0處解析。z0

=1時(shí)，和在z0

=1處解析。要判斷z=∞是否為方程的奇點(diǎn)，作自變量變換〔前面已推得〕方程化為在t=0

處，解析。那么z=∞是方程的正那么奇點(diǎn)。判斷z=∞是否為超幾何方程和勒讓德方程的正那么奇點(diǎn)。

例題超幾何方程：在t=0處解析，t=0為正那么奇點(diǎn)。z=∞為超幾何方程的正那么奇點(diǎn)。勒讓德方程：在t=0處解析，t=0為正那么奇點(diǎn)。z=∞為勒讓德方程的正那么奇點(diǎn)。將代入方程比較系數(shù)，求出指標(biāo)和系數(shù)遞推關(guān)系在正那么奇點(diǎn)z0處將代入方程正那么奇點(diǎn)鄰域內(nèi)級(jí)數(shù)解的求解思路整數(shù)求得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解只求得一個(gè)解求解過(guò)程設(shè)z=0是方程的正那么奇點(diǎn)，在z=0的鄰域內(nèi)，方程的系數(shù)作洛朗展開(kāi)：設(shè)解為代入方程，有由于的存在，c0不會(huì)因求導(dǎo)而消失，k仍從0取起。約去，整理得的系數(shù)為即指標(biāo)方程其中獲得指標(biāo)，其中和〔規(guī)定〕的系數(shù)為系數(shù)遞推關(guān)系反復(fù)利用系數(shù)遞推關(guān)系，得到★假設(shè)整數(shù)，分別代入和可得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解★假設(shè)，第二特解必含對(duì)數(shù)項(xiàng)★假設(shè)〔整數(shù)〕，第二特解可能含有對(duì)數(shù)項(xiàng)補(bǔ)充討論：當(dāng)〔整數(shù)〕時(shí)，假設(shè)第二特解含有對(duì)數(shù)項(xiàng)，其系數(shù)有∵∴因此，①時(shí)，無(wú)解；②時(shí)，任意。對(duì)于①，

一定含有對(duì)數(shù)項(xiàng)；對(duì)于②，

同時(shí)依賴于和，有兩項(xiàng)，一項(xiàng)正比于，一項(xiàng)正比于，而此時(shí)可取任意值，取。因此，〔整數(shù)〕，第二特解可能含有對(duì)數(shù)項(xiàng)補(bǔ)充證明：普遍理論對(duì)二階常微分方程，假設(shè)已求出，總可以通過(guò)積分求出第二解的級(jí)數(shù)。得

證明即

∵∴可知兩端同除以得

積分得

再積分，即

例題解求方程

在z=0鄰域內(nèi)的兩個(gè)級(jí)數(shù)解。

又知z=0是方程的正那么奇點(diǎn)。方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為易知在z=0點(diǎn)解析

z=0是方程的奇點(diǎn)

指標(biāo)方程為指標(biāo)為將代入系數(shù)遞推公式可得即所以當(dāng)時(shí)，由系數(shù)遞推公式可得所以不是指標(biāo)。

n不能取1，意味著不存在，令A(yù)=1，代入得∴方程在z=0鄰域內(nèi)的兩個(gè)級(jí)數(shù)解為

可知是方程的奇點(diǎn)。6.4貝塞耳方程的解在柱坐標(biāo)中對(duì)亥姆霍茲方程或拉普拉斯方程別離變量，可以得到貝塞耳方程〔g階貝塞耳方程〕g是常數(shù)，均在解析，所以是方程的正那么奇點(diǎn)。

討論：貝塞耳方程在的鄰域內(nèi)的解設(shè)代入方程有約去，得∴時(shí)時(shí)任意由級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性可知，作系數(shù)比較項(xiàng)的系數(shù)：可得指標(biāo)方程即項(xiàng)的系數(shù)：即項(xiàng)的系數(shù)：可知遞推關(guān)系：反復(fù)使用遞推關(guān)系：用代入系數(shù)通式，可得那么取就有解：

g階貝塞耳函數(shù)用代入系數(shù)通式，可得那么當(dāng)整數(shù)時(shí)，取就有解：-g階貝塞耳函數(shù)當(dāng)時(shí)，以上只給出同一解補(bǔ)充討論的情形，任意，假設(shè)，那么此時(shí)即，那么只是又增加了一項(xiàng)當(dāng)