隨機(jī)信號(hào)分析課后習(xí)題答案

第一次作業(yè)：練習(xí)一之1、2、3題

1.1離散隨機(jī)變量X由。，1,2,3四個(gè)樣本組成，相當(dāng)于四元通信中的四個(gè)電平，四

個(gè)樣本的取值概率順序?yàn)?/2,1/4,1/8,和l/8o求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差。

解：仇X]=：x,P(X=x.)=0x-!-+lx-+2x-+3x-=-=0.875

tT(,24888

71717171

22222

D[X]=￡(X;-￡[XJ)^=(0--)X-+(1--)X-+(2--)X-+(3--)X-

,_Io2o4oooo

1.2設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)為

0x<0

兀

尸(x)={0.5+Asin[—(x—1)]0<x<2

12x>2

求(1)系數(shù)A；(2)X取值在(0.5,1)內(nèi)的概率P(0.5<x<l)。

TTTT

解：f(x)=^Dh-Acos[-(x-l)]0<x<2

22

dx0其他

8

由jf(X)^=1

—00

8|2

得j—Acos[—(x-l)]dr=Asin[—(x-l)j=2A

-001vz

A」

2

P(0.5<x<l)=F(l)-F(0.5)=1sin[^(l-l)]-|sin[^(0.5一1)]=*=0.35

1.3試確定下列各式是否為連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，如果是概率分布函數(shù)，求

其概率密度。

(1)F(x)=■1-e2xNO

J)x<0

0x<0

(2)斤(x)=.Ax20<x<l

1X>1

X

(3)尸(%)=—[〃(%)—〃()—〃)]a>0

a

(4)F(x)=—u(x)~~~~-u(x-a)a>0

aa

解：(1)F(x)=<1-e2MO

0x<0

當(dāng)xNO時(shí)，對(duì)于當(dāng)"，<F(x2)>F(x,),產(chǎn)(%)是單調(diào)非減函數(shù);

04P(x)41成立;

F(x+)=F(x)也成立。

所以，E(x)是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。

求得，/(幻=蟲區(qū)=<32x>0

dxn

0x<0

(2)F(x)~AA20<x<1

1x>\

在A>0時(shí)，對(duì)于％2的，有產(chǎn)(乙注/區(qū))，F(xiàn)(x)是單調(diào)非減函數(shù);

欲使0W/(x)<1和F(x+)=/(x)成立，必須使A=lo

所以，在A=1時(shí)，/(x)是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。

Plan、"(x)J2Ax1>x>0

I可理，f(x)------=<

dx[0x<0

00

欲滿足J7(x)曲:=1,也必須使A=l。

l>x>0

所以，/(%)==<

ox<0

x

(3)F(x)=—[w(x)-u(x-a)}a>0

a

x

上式可改寫為F(x)=-[mW-心-a)l0<x<a。。

0其他

對(duì)于工2>。>M，F(xiàn)(X2)>F(Xj)不成立。

所以，尸(幻不是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。

xa—x

(4)F(x)=—w(x)-----u(x-a)a>0

aa

JQ

=—[w(x)+u(x-d)]-u(x-a)a>0

0x<Q

1

-XG<x<a?！?

a

a<x

a

當(dāng)a<x時(shí)，不滿足OMF(x)Wl,所以R(x)不是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)。

第二次作業(yè)：練習(xí)一之4、5、6、7題

1.4隨機(jī)變量X在［a,夕］上均勻分布，求它的數(shù)學(xué)期望和方差。

解:因X在[a,四上均勻分布

1

,----a<b<pn

f(x)={p_a

0其他

00Px,a+B

E[X]=JV(x)dx=J----ax=-----

-ooaB—a2

E[X2]=\x2/(x)dx=Jdx=-(a2+2p+p2)

-ooaP

OO|

D[X]=J(x-E[X])2/(x)dr=E[X2]-(E[X])2=-(p-a)2

-00

1

1.5設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為￡(x)=10°"上\求y=5x+i的概率密度函

其他

數(shù)。

解：反函數(shù)X=g)=(Fl)/5

〃()，)=1/5l<y<6

fY(y)=fic(h(y))Ih'(y)I=1x1/5=1/5

51<y<6

于是有/y(y)=r

其他

1.6設(shè)隨機(jī)變量X”X2,…,X“在［a,b］上均勻分布，且互相獨(dú)立。若丫=E；Xj,求

1=1

(l)n=2時(shí)，隨機(jī)變量丫的概率密度。

(2)n=3時(shí)，隨機(jī)變量丫的概率密度。

1

a<x<b

b—ci

解：Z(XJ=<，=1,2,…,〃

0其它

n=2時(shí)，fY(y)=為、(y)*fx2(y)

00

fY(y)=ffXlUi)/%2(y-)血

i

b-a

同理，n=3時(shí)，fy(y)=—-—

b-a

1.7設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為m和o,求隨機(jī)變量r=-3X-2的數(shù)學(xué)期

望、方差及X和丫的相關(guān)矩。

解：數(shù)學(xué)期望：E[Y]^-3m-2

方差：。[丫]=(—3)2。-0=9。

2

RXY=E[XY]=E[X(-3X-2)]=E[-3X-2X]

E[X2]^D[X]+(E[X])2=G+m2

=—2

^目關(guān)矩：RXY3<T—3m—2m

第三次作業(yè)：練習(xí)一之9、10、11題

1.9隨機(jī)變量X和y分別在[0,a]和[0,工]上均勻分布，且互相獨(dú)立。對(duì)于人<a,證明:

2

p(x</?cosy)=—

7ta

TT

證：rv.X和丫分別在[0,a]和[0,—]上均勻分布

-2

2TT

—0<x<a0<y<-

有/(X)=「兀.2

和W)=?

0其它o其它

x<bcosY]0<x<bcosy

八冗x<bcosY

bcosy<b<a]0<y<—

2

p(x<bcosy)=p(0J<Aosy,0"W)

4/2bcosy

=J^^f(x,y)dxdy

00

”/2力cosy

=JdyJf(x)f(y)dxdy因?yàn)閑.X和丫相互獨(dú)立

oo

TT/2bcosy[、

=J辦J----dxdy

o0a萬

2b

701

命題得證

1.10已知二維隨機(jī)變量（X1,X2）的聯(lián)合概率密度為以8小，%2），隨機(jī)變量（X1,X2）

與隨機(jī)變量（X，X）的關(guān)系由下式唯一確定

X,=*+。昌x=aX]+bX2

工…+4及

Y2=cXI+dX2

證明：（LL）的聯(lián)合概率密度為

人也（%，為）=.._及￡氏（q丁+仇力,。，+4%）

證：做由力也（如必）到以出（斗，々）的二維變換

fx,x2（x,,x2）=|j|狐2（九乂）

踴"1)=產(chǎn)%(2)

@L

dxb

}=ad-be

@1d

dx}

1

加（，，為）=/x’xjqy+4%，6必+4%)

\ad-bc\

1.11隨機(jī)變量X,丫的聯(lián)合概率密度為冊(cè)(x,y)=Asin(x+y)0<x,j<y

求：(1)系數(shù)A；(2)X,Y的數(shù)學(xué)期望；(3)X,Y的方差；(4)X.Y的相關(guān)矩及相關(guān)

系數(shù)。

解：

nTVn我

222222

(1)jj冊(cè)(x,y)dxdy=JjAsin(x+y)心dy=AjsinxdxJcosydy+Ajcosx6kjsinydy

00000o

2A=1

A4

Kn

；21\f]2

(2)fx(x)=JfxY。,y)dy=j—sin(x+y)dy=—jsinxcos^^+—jcosrsinydy

—<x>-()22020

=—1(,s?inx+cosx)、

4(x)=g(siny+cosy)

同理

乃

171?2]712

--ycosy

_71

2[nz2

(3)D[X]=D[Y]=f(y-y)12-(siny+cosy)dy=一--f(y-y)2^cos(y+^)

±422J44

開

I2-

馬r""

+V1n2(zy--cos+-

VI244￡22*x4(y4

Oo

7C7C兀n

2222[

(4)相關(guān)矩/?xy==jjxyfxY(x^y^dy=jjxy-sin(x+y)dxdy=—-1

oooo22

9

協(xié)方差品=右一七陽(yáng)肥】=各言-1

萬*-8乃+16

相關(guān)系數(shù)GyCxy

7i~+87r—32

第四次作業(yè)：練習(xí)一之12、13、14、15題

1.12求隨機(jī)變量X的特征函數(shù)，已知隨機(jī)變量X的概率密度

/x(x)=2eex>0

OO00

解：%(⑼=J4(x)ejaKdx=2Ju^e^e^dx

-00-00

利用傅氏變換：u(t)e-a,?——

a+ja>

…、2

%3)=-----

a-jco

1.13已知隨機(jī)變量X服從柯西分布/，求他的特征函數(shù)。

7ca+x

00]8,

j0K

解：2(3)=Jfx(x)edx--j22Mdx

2^27CC"4"X

—00—00

利用傅氏變換：一^?丁胭

a~+x

53)=e?"

1.14求概率密度為%(x)=的隨機(jī)變量X的特征函數(shù)。

00[00

解：2(3)=Jfx(x)ej(axdx=，Je~^eit0Xdx

—00—8

利用傅氏變換：?"煙

a~+co~

1

①x3=1+療

1.15已知相互獨(dú)立的隨機(jī)變量Xi,X2,X3,…，X,的特征函數(shù)，求Xi，X2,X3,…

Xn線性組合r=tqx；+c的特征函數(shù)。?i和C是常數(shù)。

i=\

解：互相獨(dú)立隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各隨機(jī)變量特征函數(shù)之積。

次⑼=￡{expl網(wǎng)才qX,+c)]}=e，"a口"的士]

i=\Z=1

第五次作業(yè)：練習(xí)二之1、2、3、4、5題

2.1隨機(jī)過程X(r)=Acos“+8sina,其中①為常數(shù)，A、8是兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯變

222

量，并且￡TA]=E[B]=O,E[A]=E[B]=(yo求XQ)的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)。

解：E[X(/)]=E[Acosa>r+JSsin&r]=E[Acos<rf]+E[Bsin<z)r]

=E[A]COS6^+E[B]sincot

=0CE[A]=E[B]=O)

Rx(Zp^)-E[X(GX?2)]=￡T(ACOSM4-BSin^)(/4COScot2+fisin(7X2)]

22

=E[Acosa)tlcoscot2+ABcoscotlsin"2+^sin^yr,cos^2+Bsin04sin^2]

22

=E[A]coscot}coscot2+E[A]E[B]coscot}sincot2+E[A]E[B]s}ncot}coscot2+E[B]sincot}sincot2

222

=EfAlcos^cos^2+E[B]sinsinM2(E[X]=D[X]+(E[X]y)

2

二(TCOS69(r2Tj

2

=acosco(r)CT=t2-ty)

2.2若隨機(jī)過程X⑺在均方意義下連續(xù)，證明它的數(shù)學(xué)期望也必然連續(xù)。

證：由均方連續(xù)的定義典現(xiàn)區(qū)《+4)-乂0)門=0,

展開左式為：limE[X\t+A/)-XQ+4)X(。—X(t+4)XQ)+X2(r)]

A/f0

=lim{￡[X?+A/)((XQ+Ar)-X(r))]-￡[X(r)((X(r+Ar)-XQ))]=0

A/->0

固有l(wèi)im+△/)]-aXQ)]=0,證得數(shù)學(xué)期望連續(xù)。

2.3證明隨機(jī)過程存在均方導(dǎo)數(shù)的充分條件是：自相關(guān)函數(shù)在他的自變量相等時(shí)存在

二階偏導(dǎo)數(shù)幽㈤|O

dtxdt2mF

證：

加億4)=11m—MM)=11max.+AGX?LGX?2)]

仇M-0M-o抽

=11m仇X&+AGX&)—X(4)X?2)]_11m仇x「){x(4+AG-xa)}[

M-oAfjM-o△，1

咨㈤=岫aX&+A」){X1+AG—X(G}]—E[X&){X(A+AG—X(4)}]

dt}dt2M->o.刈-o△，1Aj

,limJX6+絕)-X?2)}{Xd+幽)-X(J]在…，時(shí)存在,

A/1->0,AG->0△.M

也就是lima{>(，+加)二乂(。}2]存在。

2.4判斷隨機(jī)過程X(f)=Acos@r+。)是否平穩(wěn)？其中切為常數(shù)，4⑦分別為均勻分

布和瑞利分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。

2

4(^)=—0<9<24；%(。)==e2M?>0

2%(7~

2n?

解：E[cos^yr+0)]=jcos(69/+^>)—d(p=0

E[X(t)]=E\Acos((ot+⑦)]=E[A]E[cos(^t+⑦)]=0

22

Rx(r,r+r)=E[Acos((ot+0)cos{<y(r+r)+0}]=^E[/4]E[cos(26yr+20+COT)+cos69r]

=^E[A2]COSG)T與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，且仇X2?)[<8

因此，是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過程。

2.5證明由不相關(guān)的兩個(gè)任意分布的隨機(jī)變量A、8構(gòu)成的隨機(jī)過程

X(Z)=AcosG(J4-Bsinco。1

是寬平穩(wěn)而不一定是嚴(yán)平穩(wěn)的。其中例/為常數(shù)，A、3的數(shù)學(xué)期望為零，方差，相同。

證：E[X⑺]=E[A]cosco0t+aB]singi=0

Rx(r,r+r)=E[(Acos6y0Z+Bsin690Z)(Acos690(r+r)+3sin/(r+r)J

22

=E[/lcos(^)rcos6y0(r+r)+/lBcos690rsin^y0(r4-r)+ABsin690rcos690(r4-r)+Bsin6y(/sin6^(r+r)]

2

=E[A]cos690rcos690(r+r)+E[A]E[B]cos690rsin690(r+r)+E[A]E[B]sin690rcos690(r+r)

2

+E[B]sing，sin+r)2

2222

=E[A]cos^0Zcos^0(r+r)+E[B]sin^0/sin^0(r+r)(E[X]=D[XJ+(E[XJ))

=a2cosco^r

E[X2(/)]<OO

因此，是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過程。

Rx(A，，2，,3)=EKAcosg：+Bsina)otl)(Acosco0t2+Bsin^or2)(Acos+Bsin690r3)]

22

=￡[(AcosqJ】cos69f/2+ABcossin+ABsin豌4cos690f2+Bsin/"sin0)^2)(Acosco^ty+Bsin

22

=ERA3cosG(/|cos690r2+ABcos(v()tlsina)ot2-i■ABsina)()ticos4%+A產(chǎn)sing,sin4%)cos4%]

2213

+E[(ABcosc()()t]COS69(/2+ABcos@)%sinco()t2+ABsin例由cos^/2+Bsin例由sin6^/2)sinq1J

3

=E[A^cosg"COS69(/2cos卬3]+E[Bsin卬]sin<y0r2sin卬3]

可見，該隨機(jī)過程構(gòu)不成三階平穩(wěn)，因此不符合嚴(yán)平穩(wěn)過程的要求。

第六次作業(yè)：練習(xí)二之6、7、8、9、10題

2.6有三個(gè)樣本函數(shù)%(，)=2,X2。)=2?05，,工3。)=3$山/組成的隨機(jī)過程乂(。，每個(gè)樣

本函數(shù)發(fā)生的概率相等，是否滿足嚴(yán)平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)的條件？

解：X。)={x](r),x2(t),x3(t)}={2,2cosf,3sin，}

3I

￡[X(/)]=y'xi(t)Pi=—(2+2cosf+3sinr)

由于數(shù)學(xué)向望與時(shí)間相關(guān)，不為常數(shù)，因此不滿足一階平穩(wěn)，也就不滿足嚴(yán)平穩(wěn)

或?qū)捚椒€(wěn)的條件。

2.7已知隨機(jī)過程X(f)=Acos@r+。)，中為在[0,2幻內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，A可能

是常數(shù)、時(shí)間函數(shù)或隨機(jī)變量。A滿足什么條件時(shí)，XQ)是各態(tài)歷經(jīng)過程？

解：

(1)考查X")為平穩(wěn)過程的條件

在A為常數(shù)或與中不相關(guān)的隨機(jī)變量時(shí)，滿足

仇X?)]=0

2

Rx(t,t+T)-E[X⑺XQ+T)]=E[Acos(krf+0)cos{tw(/+r)+0}]

1,

=—E[A~]{E[cosQ.a)t+2。+<yr)]+E[cos<yr]}

1,

=—E[A-]cos69r

=Rx?)

(2)考查X⑺為各態(tài)歷經(jīng)過程的條件

在A為常數(shù)或與⑦不相關(guān)的隨機(jī)變量時(shí)，滿足

X(r)=lim——fX(Z)t/r=lim——fAcos@f+初力=lim--cos<I>sina)T=0=E[X(/)]

7T827。T—>oo2T<-OT

—I—1

___________iT<T

而X(/)X(r+r)=lim——jx(r)X(r+v)dt=lim一jA2cos^zx+<P)cos(69(z+r)+<P}dt

—T—T

]rA2

=lim——j——[cosQ"+20+COT)+cosa>r]dt

—T

A2

=——COSCOT

2

只有在A為常數(shù)時(shí)，滿足X(f)X(f+7)=Rx(r)。

欲使X⑺是各態(tài)歷經(jīng)過程，A必為常數(shù)。

2.8設(shè)XQ)和丫⑺是相互獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)過程，他們的乘積是否平穩(wěn)？

解：令Z(r)=X(/)y(r)

E[Z(t)]=E[X(tmt)]=E[Xa)]E[y(r)]=mxmY

Rz(t,t+r)=E[X(t)Y(t)X(t+r)Y(t+r)]

=E[X(/)X(r+r)]￡[y(/)y(r+r)]=Rx?)&?)=&?)

X￡fZ2(r)]=EfX2(z)y2(r)]<a>

XQ)和Y(t)的乘積是平穩(wěn)的。

2.9求用X⑺自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度表示的丫。)=*?)3(卬+到的自相關(guān)函數(shù)及

功率譜密度。其中，⑦為在[0,2?]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，X⑺是與。相互獨(dú)立的隨

機(jī)過程。

解：Ryg+工)=E[Y(t)Y(t+r)]=E[X(r)cos(co^t+0)X(r+r)cos{^0(z+r)+0}1

=E[X(t)X(t+r)J￡[cos(69(/+0)cos{g(，+丁)+G}]

=g/?x(^)cos690r

=Ry(r)

00]8

j(or

SY(co)=JRY(T)e~dT=—j/?x(了)cosgce一""dr

—002_Q0

2_00

]之(7)["對(duì)「+e胸公

4

—00

j7?x+e"f}dr

—00

=[2x3+。0)+§X3-%)]

2.10平穩(wěn)高斯過程X⑺的自相關(guān)函數(shù)為&?)=ge-M,求X⑺的一維和二維概率密

度。

解：=R(oo)=limR(r)=lim—e=0

xr->aoxr->oo2

mx=0

9CI

bj=RX(O)—RX(8)=5

(i)x⑺的一維概率密度：

X2

12x11

2x2

fx(x,t)=------7-e=-r=e

V2

(2)平穩(wěn)高斯過程n維概率密度等于n個(gè)以為概率密度的乘積。

第七次作業(yè)：練習(xí)二之11、12、13、14、15題

2.11對(duì)于兩個(gè)零均值聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程X⑺和丫⑺，已知b；=5,蘇=10,說明下列

函數(shù)是否可能為他們的自相關(guān)函數(shù)，并說明原因。

.2

(1)Hy(r)=-cos(6r)e-M⑵/?r(r)=5f'

(3)Ry(r)=6+4e-3'(4)/?x(r)=5sin(5r)

3r

(5)7?x(r)=5u(r>-(6)&(7)=5e川

解:

(a)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，僅有⑴、(2)、(3)、(6)滿足；

(b)&(。)之|號(hào)")|，(。)中僅有⑵、⑶、⑹滿足；

(c)對(duì)于非周期平穩(wěn)過程有點(diǎn)=&(0)-Rx3)，(b)中僅有(6)滿足。

因此，(6)是自相關(guān)函數(shù)。

2.12求隨機(jī)相位正弦信號(hào)X?)=cos@/+。)的功率譜密度，⑦為在[0,2乃]內(nèi)均勻分布

的隨機(jī)變量，。。是常數(shù)。

RxQ/+z)=E(X(t)X(t+r)]=E(cos((v0t+0)cos{co^(t+r)+<P}1

解：1

=—cos6y0r

8?00

Sx(⑼=J0⑺=萬Jcosg"一叱dz

JI

——[5(刃+60^)+8(^co—。())]

2.13已知隨機(jī)過程X(r)=f4X?),式中g(shù)是常數(shù)，X?)是平穩(wěn)過程，并且相互之

1=1

間是正交的，若Sx,(⑼表示X,")的功率普密度，證明X⑺功率譜密度為

Sx(0)=/雙,3)

/=1

證：因X?)是平穩(wěn)過程，并且相互之間是正交的，與⑺=0,引。

Rx?)=頊X⑺XQ+r)]=⑺ZqX?+r)]

f=l1=1

=/汨Xj(f)X?+T)]=七a?3

1=1Z=1

Sx(⑼=JRx⑺efd=J工。泳式年-論‘亞=工。況,⑼

-oo-ooi=li=l

2.14由X?)和y⑺聯(lián)合平穩(wěn)過程定義了一個(gè)隨機(jī)過程V⑺=X(f)cosgf+y(f)singf

(i)x⑺和y(z)的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)滿足那些條件可使v⑺是平穩(wěn)過程。

(2)將(1)的結(jié)果用到v⑺，求以x⑺和丫⑺的功率譜密度和互譜密度表示的v⑺的

功率譜密度。

(3)如果x⑺和y⑺不相關(guān)，那么v⑺的功率譜密度是什么？

解：

(1)￡LV(r)J=￡[X(r)cos(y0Z+K(Z)sin為門=E[X(r)]cos^+￡[y(r)Jsingf

欲使E[V(r)]與時(shí)間無關(guān)，不隨時(shí)間函數(shù)cos跳f、singr變化，XQ)和V⑺的數(shù)學(xué)

期望必須是￡[X(f)]=0,E[r(r)]=0；

/?v(^,r+r)=E[V(r)V(r+r)]

=E[{X?)cosGo，+y?)singf}{X(，+匯)cosg?+工)+YQ+7)sinq)。+7)}]

=E[XQ)X(t+r)]cos6y0rcos4y0(Z+r)+E[X(t)Y(t+r)]cos6y(/sin%(t+r)

+E[Y(t)X(t+r)]sin供Jcosg。+r)+E[Y(t)Y(t+r)]sin690Zsin+r)

=Rx(T)cos6y0rcos690(r+r)+/?xr(r)cos6y0rsin^)(r+r)

+Ryx(r)sinco^cosa)^+r)+7?r(r)sin6yorsin6y0(r+r)

在0?)=&?)，?)=-%<?)時(shí)，上式可寫作與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的表達(dá)式：

/?v(r)=&(z)cosgc+/?xr(r)sin例/

因此，當(dāng)E[x?)]=o,耳y?)]=o,&Q)=&(「)，&e)=—%?)時(shí)，v⑺是平穩(wěn)

過程。

(2)對(duì)&(r)=Rx(r)cosg7+&y⑺sin%■兩邊同時(shí)作傅氏變換:

008

jC0Tja)T

Sv(69)=JRv(T)e~dr=j[Rx(r)cos690r+/?xr(r)sinco(}T]e~dr

—<?—00

="[5X(67-690)4-Sx(69+690)]+—[Sxr(69-690)+Sxr(69+670)]

(3)X⑺和y⑺不相關(guān)，VQ)的互功率譜密度為零。

SV(CD)=—[Sx(6y-690)+Sx(69+690)]

2.15設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程X⑺和丫⑺各是平穩(wěn)的，且聯(lián)合平穩(wěn)

X(t)=cos@(j+初

K(r)=sin(69oZ+0)

式中，。為在[0,24]內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，g是常數(shù)。他們是否不相關(guān)、正交、統(tǒng)

計(jì)獨(dú)立。

解：E[X(t)]=E[Y(t)]=0

7?x(r)=&⑺=gcos/u

RXY(r)=E[X(t)Y(t+r)]=E[cos@o%+到sin(4f+⑦力=gsinG(/

CXy(r)=RXY(T)-￡[X(Z)]E[r(/)]=gsin?or*0

XQ)和丫⑺是相關(guān)的，不是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；

又Rxy(T)wo,x⑺和丫⑺是非正交的。

第八次作業(yè)：練習(xí)三之1'2、3、4、5題

3.1RC積分電路的輸入電壓為X(f)=Xo+cos@/+0),其中X。和0分別是在[0,1]

和[0,21]上均勻分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。求輸出電壓丫⑺的自相關(guān)函數(shù)。

解：Rx(r)=E[X(t)X(t+r