線性代數(shù) 清華版25

§2.5矩陣的初等變換和初等矩陣引例:求解線性方程組一、高斯消元法解線性方程組解:①

②③2②

③③2①④3①②2③+5②④–3②③2④③

④用“回代〞的方法求出解.于是得解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程組的解可記作:(2)其中c為任意常數(shù).或1.上述解方程組的方法稱為消元法．2.始終把方程組看作一個整體變形,用到如下三種變換:歸納以上過程:(3)一個方程加上另一個方程的k倍:(2)以不等于0的數(shù)k乘某個方程:(1)交換方程次序:

i與j相互替換;以i

k替換i;以i+k

j

替換i.由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.3.上述三種變換都是可逆的.因為在上述變換過程中,未知量并未參與本質性運算,僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算,只因某未知量前的系數(shù)化為0,而不顯含該未知量.假設記那么對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.用矩陣的初等行變換解方程組(1).r1

r2r32①

②③2r2–r3r3–2r1r4–3r1②

③③2①④3①r22②2r3+5r2r4–3r2③+5②④–3②r3–2r4r4

r3r2–r3r1–r3r1–r2③2④③

④②

③①

③①

②B6對應的方程組為:或令x3=c(c為任意常數(shù)),方程組的解可記作:矩陣B5和B6都稱為矩陣行階梯形矩陣.特點(1).可劃出一條階梯線,線的下方全為零;特點(2).每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線上的第一個元素為非零元,即非零行的階梯線上的第一個元素為非零元.行階梯矩陣B6還稱為行最簡形矩陣,即非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在的列的其它元素都為零.

注意:

行最簡形矩陣是由矩陣(方程組)唯一確定的,行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)也是由矩陣(方程組)唯一確定的.對任何矩陣Am

n,總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它們變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣.當未知數(shù)的個數(shù)大于有效方程的個數(shù)〔即行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)〕時，有自由未知量，自由未知量可以取任意值.自由未知量的選取不是唯一的，但其個數(shù)是唯一的.一般取每個非零行的第一個非零元對應的未知量為根本未知量，其余的為自由未知量.一般地，對于線性方程組通過高斯消元法將其增廣矩陣化為其中〔1〕方程組有解〔2〕在有解的情況下：〔I〕假設r=n,那么方程組有唯一解：〔II〕假設r<n,那么方程組有無窮多解：取可得方程組的解為假設方程組為齊次方程組，那么方程組一定有解.〔I〕假設r=n,那么方程組有唯一解：〔II〕假設r<n,那么方程組有無窮多解：取可得方程組的解為特別地，假設齊次方程組中方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)，那么方程組一定有無窮多解.用高斯消元法解線性方程組的過程可在方程組的的系數(shù)矩陣或增廣矩陣上實現(xiàn)，所用步驟：〔1〕交換兩行；〔2〕某一行乘以非零數(shù)k；〔3〕將某一行乘以數(shù)k加到另一行上.二、矩陣的初等變換與初等矩陣定義1:下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)對調兩行(對調i,j兩行,記作rirj);〔對換變換〕(2)以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,記作rik);(倍乘變換)(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應元素上去(第j行的k倍加到第i行上去,記作ri+krj).〔倍加變換〕1、矩陣的初等變換類似地，可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r〞換成“c〞)．

定義2:

矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.矩陣的初等變換是矩陣的一種根本運算,應用廣泛.初等變換的逆變換仍為初等變換且變換類型相同.ri

rj的逆變換為rj

ri;ri

k的逆變換為ri(1/k),或ri

k;ri+k

rj的逆變換為ri+(–k)

rj,或ri–k

rj.2、初等矩陣定義:

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應著三種初等矩陣.對調兩行或兩列;以非零數(shù)k乘某行或某列;以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去.對調兩行或兩列對調E中第i,j兩行(或列),得初等對換矩陣Eij:第i行第j行Eij=第i列第j列以非零數(shù)k乘某行或某列以數(shù)k

0乘單位矩陣的第i行(或列)得初等倍乘矩陣

Ei(k).第i行第i列以數(shù)k乘某行(列)加到另一行(列)上去第i行第j行以k乘E的第i行加到第j行上,或以k乘E的第j列加到第i列上得初等倍加矩陣Eij(k).第i列第j列用m階初等矩陣Eij左乘A=(aij)m

n,得EijA=3、初等矩陣在矩陣乘法中的作用第i行第j行用m階初等矩陣Eij左乘A=(aij)m

n,相當于對矩陣A施行第一種初等行變換:把A的第i行與第j行對調(ri

rj).第i列第j列用n階初等矩陣E

ij右乘A=(aij)m

n,得相當于對矩陣A施行第一種初等列變換:把A的第i列與第j列對調(ci

cj).第i行以Ei

(k)左乘矩陣A=(aij)m

n,得相當于以數(shù)k乘A的第i行(ri

k).類似地,以Ei(k)右乘矩陣A=(aij)m

n,其結果相當于以數(shù)k乘A的第i列(ci

k).以Eij(k)左乘矩陣A=(aij)m

n,相當于把A的第i行乘數(shù)k加到A的第j行上(rj+kri).第i行第j行類似地,以Eij(k)右乘矩陣A=(aij)m

n,其結果相當于把A的第j列乘數(shù)k加到A的第i列上(ci+kcj).第i列第j列

結論:

設A是一個m

n矩陣,對A施行一次初等行變換,相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣;對A施行一次初等列變換,相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣.例1計算4、初等矩陣的逆矩陣初等變換都是可逆的，從而初等矩陣都可逆.因為ri

rj的逆變換為rj

ri;ri

k的逆變換為ri(1/k),或ri

k;ri+k

rj的逆變換為ri+(–k)

rj,或ri–k

rj.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣所以也可以這樣理解：因為所以初等矩陣均可逆.又因為所以例1.試求及解：===結論:mn矩陣可以經(jīng)過假設干次初等變換化為如下形式的矩陣：其中二、利用初等變換求逆矩陣定理1：可逆矩陣可以通過假設干次初等變換化為單位矩陣.證明：設A為可逆矩陣，首先A初等行變換行簡化階梯形矩陣U因為A可逆，所以U＝I即A可以通過初等行變換化為單位矩陣.推論1：可逆矩陣A可以表示為假設干個初等矩陣的積.證明：由定理1可知，存在s個初等矩陣使得從而這里仍為初等矩陣，故結論成立.例4將表示成初等矩陣的乘積。解：由故有在推論1中，我們得到對矩陣A和I做相同的初等行變換，當A變?yōu)镮時，I變?yōu)榛蛘撸蓪仃嘇和I做相同的初等列變換，當A變?yōu)镮，I變?yōu)樯厦鎯蓚€式子說明：由上面的分析得到：推論2：假設對可逆矩陣A和同階單位陣I做同樣的初等行變換，那么當A變?yōu)镮時，I變?yōu)椤擦小常闯醯刃凶儞Q初等列變換初等行變換初等列變換也可寫為例2:

設A=求A-1.解:r2–2r1r3–3r1r1+r2r3–r2r1–2r3r2–5r3r2(–2)r3(–1)所以同樣,對矩陣方程AX=B,其中A為n階方陣,B為ns階矩陣,如果A可逆,那么X=A-1B，且也就是說,一系列初等行變換將A化為E的同時也將B化為了A-1B.對于n元線性方程組Ax=b，當A可逆時，方程組有唯一解這里例2:

求矩陣X,使AX=B,其中解:假設A可逆,那么X=A-1B.r2–2r1r3–3r1r1+r2r3–r2r1–2r3r2–5r3r2(–2)r3(–1)所以如果要求Y=CA-1,則可對矩陣作初等列變換.列變換即可求得Y=CA-1.也可改為對(AT|CT)作初等行變換.行變換即可求得YT=(AT)-1CT=(A-1)TCT,從而求得Y=CA-1.例3:n階方陣A=有元素的代數(shù)余子式之和:求A中所解:

因為|A|=2

0,所以A可逆.又A*=|A|A-1.ri–ri+1i=1,2,···,n-1因為A*=|A|A-1,故A*=2A-1.即所以三、小結1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用