2024屆江蘇省南京市秦淮區(qū)四校九年級數學第一學期期末考試試題含解析

2024屆江蘇省南京市秦淮區(qū)四校九年級數學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧，點是這段弧所在圓的圓心，，點是的中點,D是AB的中點，且，則這段彎路所在圓的半徑為（）A． B． C． D．2．下列圖形中的角是圓周角的是（）A． B．C． D．3．書架上放著三本古典名著和兩本外國小說，小明從中隨機抽取兩本，兩本都是古典名著的概率是（）A． B． C． D．4．如圖，正方形的四個頂點在半徑為的大圓圓周上，四條邊都與小圓都相切，過圓心，且，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．5．已知拋物線y=﹣x2+bx+4經過（﹣2，﹣4），則b的值為（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．46．如圖，四邊形內接于⊙，．若⊙的半徑為2，則的長為（）A． B．4 C． D．37．如圖，點在反比例函數的圖象上，過點的直線與軸，軸分別交于點，，且，的面積為，則的值為（）A． B． C． D．8．如圖，關于拋物線，下列說法錯誤的是（）A．頂點坐標為(1，)B．對稱軸是直線x=lC．開口方向向上D．當x>1時，y隨x的增大而減小9．下列四個點,在反比例函數y=圖象上的是(

)A．(1,-6) B．(2,4) C．(3,-2) D．(-6,-1)10．如圖，等腰直角三角形位于第一象限，，直角頂點在直線上，其中點的橫坐標為，且兩條直角邊，分別平行于軸、軸，若反比例函數的圖象與有交點，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．11．如圖，一段拋物線，記為拋物線，它與軸交于點;將拋物線繞點旋轉得拋物線，交軸于點；將拋物線繞點旋轉得拋物線，交軸于點.···如此進行下去，得到一條“波浪線”，若點在此“波浪線”上，則的值為（）A． B． C． D．12．已知點是線段的一個黃金分割點，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．已知二次函數的圖象與軸的一個交點為，則它與軸的另一個交點的坐標是__________．14．如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交CD于點F，交AD的延長線于點E，若AB＝4，BM＝2，則的面積為_____________．15．如圖三角形ABC的兩條高線BD，CE相交于點F，已知∠ABC等于60度，，CF=EF，則三角形ABC的面積為________(用含的代數式表示).16．一個不透明的袋子中裝有除顏色外其他都相同的2個紅球和1個黃球，隨機摸出一個小球后，放回并搖勻，再隨機摸岀一個，則兩次都摸到黃球的概率為__________．17．若＜2，化簡_____________18．將二次函數y＝－2(x－1)2＋3的圖象關于原點作對稱變換，則對稱后得到的二次函數的解析式為____________．三、解答題（共78分）19．（8分）一個不透明的布袋中裝有4個只有顏色不同的球，其中1個黃球、1個藍球、2個紅球．（1）任意摸出1個球，記下顏色后不放回，再任意摸出1個球．求兩次摸出的球恰好都是紅球的概率（要求畫樹狀圖或列表）；（2）現(xiàn)再將n個黃球放入布袋，攪勻后，使任意摸出1個球是黃球的概率為，求n的值．20．（8分）（1）計算：（2）解不等式組：，并求整數解。21．（8分）我校數學社團成員想利用所學的知識測量某廣告牌的寬度(圖中線段MN的長)．直線MN垂直于地面，垂足為點P，在地面A處測得點M的仰角為60°，點N的仰角為45°，在B處測得點M的仰角為30°，AB＝5米．且A、B、P三點在一直線上，請根據以上數據求廣告牌的寬MN的長．(結果保留根號)22．（10分）計算：|-2|+2﹣1﹣cos61°﹣(1﹣)1．23．（10分）如圖，AB∥CD，AC與BD交于點E，且AB＝6，AE＝4，AC＝1．（1）求CD的長；（2）求證：△ABE∽△ACB．24．（10分）如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，過B點的切線交OP于點C（1）求證：∠CBP=∠ADB（2）若OA=2，AB=1，求線段BP的長.25．（12分）一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四個個球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．（1）若從中任取一個球，球上的漢字剛好是“宜”的概率為多少？（2）甲同學從中任取一球，記下漢字后放回袋中，然后再從袋中任取一球，請用畫樹圖成列表的方法求出甲同學取出的兩個球上的漢字恰能組成“魅力”或“宜昌”的概率p甲；（3）乙同學從中任取一球，不放回，再從袋中任取一球，請求出乙同學取出的兩個球上的漢字恰能組成“魅力”或“宜昌”的概率p乙，并指出p甲、p乙的大小關系．26．在平面直角坐標系中，直線分別與，軸交于，兩點，點在線段上，拋物線經過，兩點，且與軸交于另一點.（1）求點的坐標（用只含，的代數式表示）；（2）當時，若點，均在拋物線上，且，求實數的取值范圍；（3）當時，函數有最小值，求的值.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】根據題意，可以推出AD＝BD＝20，若設半徑為r，則OD＝r﹣10，OB＝r，結合勾股定理可推出半徑r的值．【詳解】解：，，在中，，設半徑為得：，解得：，這段彎路的半徑為故選A．【點睛】本題主要考查垂徑定理的應用、勾股定理的應用，關鍵在于設出半徑為r后，用r表示出OD、OB的長度．2、C【解析】根據圓周角的定義來判斷即可.圓周角必須符合兩個條件：頂點在圓上，兩邊與圓相交，二者缺一都不是.【詳解】解：圓周角的定義是：頂點在圓上，并且角的兩邊和圓相交的角叫圓周角.A、圖中的角的頂點不在圓上，不是圓周角;B、圖中的角的頂點也不在圓上，不是圓周角;C、圖中的角的頂點在圓上，兩邊與圓相交，是圓周角;D．圖中的角的頂點在圓上，而兩邊與圓不相交，不是圓周角;故選：【點睛】本題考查了圓周角的定義.圓周角必須符合兩個條件.3、C【分析】畫樹狀圖（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說）展示所有20種等可能的結果數，找出從中隨機抽取2本都是古典名著的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示兩本外國小說），共有20種等可能的結果數，其中從中隨機抽取2本都是古典名著的結果數為6，所以從中隨機抽取2本都是古典名著的概率=．故選：C．【點睛】本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關鍵是正確畫出樹狀圖或表格，然后用符合條件的情況數m除以所有等可能發(fā)生的情況數n即可,即.4、C【分析】由于圓是中心對稱圖形，則陰影部分的面積等于大圓的四分之一，即可求解．【詳解】解：由于圓是中心對稱圖形，則陰影部分的面積等于大圓的四分之一．故陰影部分的面積=．故選：C．【點睛】本題利用了圓是中心對稱圖形，圓面積公式及概率的計算公式求解，熟練掌握公式是本題的解題關鍵．5、C【分析】將點的坐標代入拋物線的解析式求解即可．【詳解】因為拋物線y=﹣x1+bx+4經過(﹣1，﹣4)，所以﹣4=﹣(﹣1)1﹣1b+4，解得：b=1．故選：C．【點睛】本題主要考查的是二次函數的性質．解題的關鍵是掌握二次函數的性質，明確拋物線經過的點的坐標滿足拋物線的解析式是解題的關鍵．6、A【分析】圓內接四邊形的對角互補，可得∠A，圓周角定理可得∠BOD，再利用等腰三角形三線合一、含有30°直角三角形的性質求解．【詳解】連接OB、OD，過點O作OE⊥BD于點E，∵∠BOD＝120°，∠BOD＋∠A＝180°，∴∠A＝60°，∠BOD＝2∠A＝120°，∵OB＝OD，OE⊥BD，∴∠EOD＝∠BOD＝60°，BD＝2ED，∵OD＝2，∴OE＝1，ED＝，∴BD＝2，故選A．【點睛】本題考查圓內接四邊形的對角互補、圓周角定理、等腰三角形的性質，熟悉“三線合一”是解答的關鍵．7、D【分析】過點C作CD⊥x軸交于點D，連接OC，則CD∥OB，得AO=OD，CD=2OB，進而得的面積為4，即可得到答案．【詳解】過點C作CD⊥x軸交于點D，連接OC，則CD∥OB，∵，∴AO=OD，∴OB是?ADC的中位線，∴CD=2OB，∵的面積為，∴的面積為4，∵點在反比例函數的圖象上，∴k=2×4=8，故選D．【點睛】本題主要考查反比例函數比例系數k的幾何意義，添加輔助線，求出的面積，是解題的關鍵．8、D【分析】根據拋物線的解析式得出頂點坐標是（1，-2），對稱軸是直線x=1，根據a=1＞0，得出開口向上，當x＞1時，y隨x的增大而增大，根據結論即可判斷選項．【詳解】解：∵拋物線y=（x-1）2-2，A、因為頂點坐標是（1，-2），故說法正確；B、因為對稱軸是直線x=1，故說法正確；C、因為a=1＞0，開口向上，故說法正確；D、當x＞1時，y隨x的增大而增大，故說法錯誤．故選D．9、D【解析】由可得xy=6，故選D．10、D【解析】設直線y=x與BC交于E點，分別過A、E兩點作x軸的垂線，垂足為D、F，則A（1，1），而AB=AC=2，則B（3，1），△ABC為等腰直角三角形，E為BC的中點，由中點坐標公式求E點坐標，當雙曲線與△ABC有唯一交點時，這個交點分別為A、E，由此可求出k的取值范圍.解：∵，．．又∵過點，交于點，∴，∴，∴．故選D.11、D【分析】根據圖象的旋轉變化規(guī)律以及二次函數的平移規(guī)律得出平移后解析式，進而求出m的值．【詳解】∵一段拋物線：，∴圖象與x軸交點坐標為：（0，0），（6，0），∵將C1繞點A1旋轉180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉180°得C3，交x軸于點A3；……如此進行下去，直至得Cn．∴Cn的與x軸的交點橫坐標為（6n，0），（6n+3，0），∴在C337，且圖象在x軸上方，∴C337的解析式為：，當時，．即，故答案為D.【點睛】此題主要考查了二次函數的平移規(guī)律，根據已知得出二次函數旋轉后解析式是解題關鍵．12、A【解析】試題分析：根據題意得AP=AB，所以PB=AB-AP=AB，所以PB：AB=．故選B．考點：黃金分割點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點；其中AC=AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】確定函數的對稱軸=-2，即可求出.【詳解】解：函數的對稱軸=-2，則與軸的另一個交點的坐標為（-3,0）故答案為（-3,0）【點睛】此題主要考查了拋物線與x軸的交點和函數圖像上點的坐標的特征，熟練掌握二次函數與坐標軸的交點、二次函數的對稱軸是解題的關鍵.14、1【分析】先根據正方形的性質可得，從而可得，再根據相似三角形的判定與性質可得，從而可得CF的長，又根據線段的和差可得DF的長，然后根據相似三角形的判定與性質可得，從而可得出DE的長，最后根據直角三角形的面積公式即可得．【詳解】四邊形ABCD是正方形，，即在和中，，即解得又，即，即解得則的面積為故答案為：1．【點睛】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定定理與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定定理與性質是解題關鍵．15、【分析】連接AF延長AF交BC于G．設EF=CF=x，連接AF延長AF交BC于G．設EF=CF=x，因為BD、CE是高，所以AG⊥BC，由∠ABC=60°，∠AGB=90°，推出∠BAG=30°，在Rt△AEF中，由EF=x，∠EAF=30°，可得在Rt△BCE中，由EC=2x，∠CBE=60°可得．由AE+BE=AB可得，代入即可解決問題．【詳解】解：連接延長交于，設==，是高，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，.【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，掌握勾股定理和30°直角三角形是解題的關鍵.16、【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到黃球的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有9種等可能結果，其中兩次都摸到黃球的有1種結果，

∴兩次都摸到黃球的概率為；

故答案為：．【點睛】此題考查列表法或樹狀圖法求概率．解題關鍵在于掌握注意畫樹狀圖與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．17、2-x．【分析】直接利用二次根式的性質化簡求出答案．【詳解】解：∵x＜2，∴x-2＜0，故答案是：2-x．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確把握二次根式的性質是解題關鍵．18、y＝2(x＋1)2－3【分析】根據關于原點對稱點的特點，可得答案．【詳解】解：y=?2(x?1)2+3的頂點坐標為(1，3)，故變換后的拋物線為y=2(x+1)2?3，故答案為y=2(x+1)2?3【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，拋物線關于原點對稱變換后只是開口方向改變，頂點關于原點對稱，而開口大小并沒有改變．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）1.【解析】（1）先利用樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出兩次摸出的球恰好都是紅球的所占的結果數，然后根據概率公式求解；（2）根據概率公式得到，然后利用比例性質得，求解即可．【詳解】解：（1）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的球恰好都是紅球的占2種，所以兩次摸出的球恰好都是紅球的概率==；（2）根據題意得,解得n=1．【點睛】本題考查的是概率問題，熟練掌握樹狀圖法和概率公式是解題的關鍵.20、（1）；（2）原不等式組的整數解為:-4，±1，±2，±1,0.【分析】（1）根據實數的運算法則計算即可；（2）先求出不等式組中每個不等式的解集，然后求出其公共解集，進而求其整數解即可．【詳解】（1）解：（1）原式．（2）解：由①得≥；由②得≤1；∴﹣4≤x≤1．∴原不等式組的整數解為:-4，±1，±2，±1,0【點睛】本題考查了實數的混合運算和解不等式組，正確解出不等式組的解集是解決本題的關鍵．21、米【分析】設AP=NP=x，在Rt△APM中可以求出MP=x，在Rt△BPM中，∠MBP=30°，求得x，利用MN＝MP－NP即可求得答案．【詳解】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴PA＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，設PA＝PN＝x，∵∠MAP＝60°，∴MP＝AP·tan∠MAP＝x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝30°，AB＝5，∴=，∴x＝，∴MN＝MP－NP＝x－x＝．答：廣告牌的寬MN的長為米．【點睛】本題考查解直角三角形在實際問題中的應用，將實際問題抽象為數學問題，選用適當的銳角三角函數解直角三角形是解題的關鍵，屬于中考的必考點．22、1-【解析】利用零指數冪和絕對值的性質、特殊角的三角函數值、負指數次冪的性質進行計算即可．【詳解】解：原式＝．【點睛】本題考查了零指數冪和絕對值的性質、特殊角的三角函數值、負指數次冪的性質，熟練掌握性質及定義是解題的關鍵．23、（1）；（2）見解析【分析】（1）由線段的和差關系可求出CE的長，由AB//CD可證明△CDE∽△ABE，根據相似三角形的性質即可求出CD的長；（2）根據AB、AE、AC的長可得，由∠A為公共角，根據兩組對應邊成比例，且對應的夾角相等即可證明△ABE∽△ACB．【詳解】（1）∵AE＝4，AC＝1∴CE=AC-AE＝1-4＝5∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．（2）∵，∴∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵.24、（1）證明見解析；（2）BP=1.【解析】分析：（1）連接OB，如圖，根據圓周角定理得到∠ABD=90°，再根據切線的性質得到∠OBC=90°，然后利用等量代換進行證明；（2）證明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的長．詳（1）證明：連接OB，如圖，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，∴∠A+∠ADB=90°，∵BC為切線，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB；（2）解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，∴△AOP∽△ABD，∴，即，∴BP=1．點睛：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質．25、（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根據題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與取出的兩個球上的漢字恰能組成“魅力”或“宜昌”的情況，再利用概率公式即可求得答案；（3）首先根據題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與取出的兩個球上的漢字恰能組成“魅力”或“宜昌”的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：（1）從中任取一個球，球上的漢字剛好是“宜”的概率為；（2）列表如下：魅力宜昌魅（魅，魅）（力，魅）（宜，魅）（昌，魅）