新概念測(cè)量學(xué)(中卷)

新概念測(cè)量學(xué)

（中）

史錦順

2005

第6章計(jì)時(shí)與測(cè)頻的新概念

1計(jì)時(shí)的物理公式與測(cè)量公式

時(shí)間這個(gè)物理量，基本又重要。關(guān)于時(shí)間測(cè)量，不僅該貫徹區(qū)分測(cè)得值法則，重新表達(dá)

測(cè)量公式，還要考察其物理公式，重新表達(dá)物理公式本身。

1.1時(shí)間概念

時(shí)間概念包括時(shí)刻和時(shí)間間隔這兩個(gè)概念。時(shí)間間隔又常簡(jiǎn)稱為時(shí)間。這樣，時(shí)間便有

廣義狹義兩種含義。狹義時(shí)間概念指時(shí)間間隔；廣義時(shí)間泛指時(shí)刻與時(shí)間間隔。

時(shí)間坐標(biāo)上的點(diǎn)是時(shí).刻，點(diǎn)間距離是時(shí)間間隔?；疖囌镜摹奥每土熊嚂r(shí)刻表”，時(shí)刻一詞

很準(zhǔn)確；學(xué)校的作息時(shí)間表，時(shí)間則是廣義時(shí)間概念，包括時(shí)刻和時(shí)間間隔。

時(shí)鐘是時(shí)間的標(biāo)度裝置。時(shí)鐘的示值是時(shí)刻的標(biāo)記。時(shí)刻是客觀物理量，時(shí)刻的標(biāo)記就

是時(shí)刻的測(cè)得值。時(shí)刻的標(biāo)記反映時(shí)刻，二者又不完全相同（各鐘的示值不同）。

時(shí)間間隔的測(cè)量結(jié)果稱時(shí)間的測(cè)得值。

為了討論計(jì)時(shí)公式，即時(shí)間的測(cè)量公式，我們引入兩個(gè)用語及其符號(hào)：其對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

時(shí)刻測(cè)得值L對(duì)應(yīng)時(shí)刻ti；

時(shí)間間隔測(cè)得值tw對(duì)應(yīng)時(shí)間間隔t（時(shí)間間隔符號(hào)t上無腳標(biāo)）。

1.2時(shí)間間隔的物理公式

時(shí)間的測(cè)量又稱作計(jì)時(shí)。分析一下人們的計(jì)時(shí)工具鐘表，分析一下人類計(jì)時(shí)依據(jù)的地球

自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)，特別是分析一下現(xiàn)代計(jì)時(shí)工具石英鐘與原子鐘，可知計(jì)時(shí)的基本方式是計(jì)相。

時(shí)鐘刻度的本質(zhì)是相位。相位代表時(shí)刻，相位差代表時(shí)間間隔。人們以周期性物質(zhì)運(yùn)動(dòng)

來量度與表征時(shí)一間。若周期運(yùn)動(dòng)的頻率恒定，其公式為：

。（。=2型+慮（6.1）

相位差⑴-九］與f成正比。人們正是利用這一點(diǎn)來計(jì)時(shí)的。對(duì)（6.1）式這個(gè)人們熟知

的公式，兩處f的含義，要分辨一下。

0⑴是，時(shí)刻的即時(shí)相位值，因而0⑴中的，是時(shí)刻；而2"/，中的，是計(jì)相開始到計(jì)相

結(jié)束所用的時(shí)間，是時(shí)間間隔。相位項(xiàng)2"■"是r時(shí)間間隔內(nèi)相位的變化量。

這種自選時(shí)間坐標(biāo)系，以計(jì)時(shí)開始時(shí)刻為0點(diǎn)，時(shí)間間隔與時(shí)刻值簡(jiǎn)并，用起來方便，

但其含義不能混淆。

為使表達(dá)明確，在時(shí)刻，上加序號(hào)，表示某事件對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。

以h表示某次測(cè)量的開始時(shí)亥J,而以女表示該次測(cè)量的結(jié)束時(shí)刻。

幾）=如）+2型

記

武）=。（，2）-。（，1）

"/）=2/

時(shí)間間隔的物理公式:

式中相位差W（力中的f是時(shí)間間隔。/是鐘的實(shí)際運(yùn)行頻率。當(dāng)頻率/不是恒定值時(shí),

這里的/是運(yùn)行頻率的平均值，稱平均頻率。

1.3時(shí)間間隔的測(cè)量公式——新計(jì)時(shí)公式（一）

以人，表示時(shí)間間隔的測(cè)得值，時(shí)間間隔的測(cè)量公式為：

/(f)

式中另是鐘的標(biāo)稱頻率值，wm（r）是相位差的測(cè)得值。

時(shí)間間隔的測(cè)得值函數(shù)

,一一G）,

廠醞

1.4關(guān)于時(shí)刻公式

設(shè)時(shí)刻",對(duì)應(yīng)初始的o事件，時(shí)刻。對(duì)應(yīng)終結(jié)的i事件，有

）+2型

2球2可

時(shí)刻的物理公式為：

記〃為"的測(cè)得值，〃。為%的測(cè)得值，九時(shí)間間隔測(cè)得值，則有:

時(shí)刻的測(cè)量公式-新計(jì)時(shí)公式（二）

憶?。┮?/p>

叭。著

2時(shí)差公式的推導(dǎo)

2.1時(shí)間間隔的測(cè)量偏差

A小量法

比較時(shí)間間隔的測(cè)量公式與物理公式，得測(cè)得值函數(shù)的相對(duì)形式為：

V=匕血￡（6.7）

變量：時(shí)間測(cè)得值，八相位差測(cè)得值％”⑺、鐘頻率實(shí)際值/,將這三量展成定量加小量:

t+A-_[M）+A心（M+V）

t武沆

1+氣=[1+惻“（理（1+刈

『和用+第（6.8）

為求相對(duì)的頻差與絕對(duì)的相差的作用，（6.8）式可表為：

△%=份匕”[）+?'=，△%"⑴+1濟(jì)（69）

B微分法

對(duì)測(cè)得值函數(shù)（6.4）微分

力”品"用+錯(cuò)用（6-10）

得到：

V焉小卜）嚅內(nèi)⑹口）

第=惻陽+牙（6.12）

微分法相對(duì)時(shí)差的比較標(biāo)準(zhǔn)是時(shí)間的測(cè)得值（被〃除）。測(cè)得值的偏差同測(cè)得值比，這便

于計(jì)算；小量法相對(duì)時(shí)差的比較標(biāo)準(zhǔn)是客觀時(shí)間（即標(biāo)準(zhǔn)鐘記出的時(shí)間），物理意義清楚。

2.2計(jì)時(shí)（時(shí)刻標(biāo)記，時(shí)刻的測(cè)得值）的偏差

將（6.6）式同（6.5）式相比較（取二者之差），有

(6.13)

（6.13）式表示，計(jì)時(shí)偏差等于初始時(shí)差加時(shí)間間隔的測(cè)量偏差。

2.3特例：計(jì)算石英晶體鐘的計(jì)時(shí)差

設(shè)晶體鐘的初始頻率為老化率為。，初始頻差為4/■，則其頻率隨時(shí)間的值為

f^f,l+^f+Dfnt（6.14）

晶體鐘對(duì)時(shí)間間隔的測(cè)得值：

%=占？兀）于出'==t+gD/

2毋“2胡“：J?*Jo2

時(shí)刻測(cè)得值：

A/,1-2

t廣+十t+3Dt-（6.15）

Jo乙

標(biāo)準(zhǔn)時(shí)為：。=%+，

計(jì)時(shí)差為

&=4如+加+（6.16）

JoL

第一項(xiàng)為初始時(shí)差，第二項(xiàng)為初始頻差作用，第三項(xiàng)為老化率作用。

式（6.16）表明，準(zhǔn)確的時(shí)鐘必須滿足三個(gè)條件：頻率要極穩(wěn)定，漂移率（。）要極小；

要調(diào)準(zhǔn)頻率；要調(diào)準(zhǔn)初始時(shí)刻。

3采樣頻率與時(shí)頻關(guān)系

3.1采樣頻率的定義

頻率是周期運(yùn)動(dòng)快慢程度的表征，是單位時(shí)間的周期運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。類似速度分即時(shí)速度

和平均速度，頻率也有即時(shí)頻率和平均頻率。即時(shí)頻率定義為相位的變化率除以2n：

八八2%dt⑹⑺

實(shí)際測(cè)到的頻率都是一段時(shí)間的平均頻率：

/j/C（618）

AJ-A

取得一個(gè)頻率值的時(shí)間稱采樣時(shí)間。采樣頻率是指定采樣時(shí)間的平均頻率。記采樣時(shí)間

為T,采樣頻率為：

（6.19）

t-l

上世紀(jì)中葉，阿侖提出采樣頻率概念。這是時(shí)頻界一件大事。盡管同時(shí)提出的阿侖方差

有問題，但提出采樣頻率概念意義很大。頻率穩(wěn)定度、頻率準(zhǔn)確度的表征都要標(biāo)明采樣時(shí)一間，

都是對(duì)特定采樣時(shí)間而言的。頻率測(cè)量的采樣概念的提出與普及，澄清了許多混亂與爭(zhēng)議，

一時(shí)同行學(xué)人頗有撥散迷霧之感。

3.2采樣頻率的幾個(gè)關(guān)系

定理一采樣頻率由采樣時(shí)間首尾二時(shí)刻的相位確定，與采樣時(shí)間內(nèi)頻率如何變化無

關(guān)。

證明

由式（6.19）與式（6.17）

/〃*）=/J1）一如一叫（6.20）

證畢。

推理一般來說，不能由采樣頻率求出即時(shí)頻率。頻率瞬時(shí)特性描述的程度，由最小采

樣時(shí)間限定。

定理二以采樣時(shí)間T小均勻且連續(xù)采樣，當(dāng)T大等于N倍T小時(shí)，諸T小采樣頻率的平

均值等于T大采樣頻率：

（之兒7?。?/。，聯(lián)）（6.21）

/V/=1

證明

T7￡/匕，?。?（｛-［曲）一也-??。?7^-［加一7■?。┮粌阂???。?......

Ni=iN271T小2"小

+-^―［的一（N—1）7小）一如一NT?。荩?:［如）-兒一7大）］=/匕"大）

2"小2加Vc小

（6.21）式得證。

推理均勻且足夠密的某一采樣時(shí)間的諸采樣頻率的平均值，近似等于另一采樣時(shí)間的

采樣頻率，后一采樣時(shí)間等于前各采樣時(shí)間及間隔時(shí)間的總合。

下面論述時(shí)頻正比關(guān)系。

時(shí)間與頻率的關(guān)系如何？我們可不能隨便說''時(shí)間與頻率成反比”。搞研究最忌人云亦云,

某些書上的說法對(duì)不對(duì)，我們?cè)摽季恳幌隆?/p>

二量比例關(guān)系的討論前提是二量的特定的聯(lián)系條件。一般來說，時(shí)間是時(shí)間，頻率是頻

率，二者并沒有必然的聯(lián)系。例如原子頻標(biāo)的特點(diǎn)與優(yōu)點(diǎn)是其頻率不隨時(shí)間變化，即原子頻

標(biāo)的頻率與時(shí)間無關(guān)。我們討論計(jì)時(shí)問題，著眼點(diǎn)是時(shí)鐘。時(shí)鐘計(jì)時(shí)的基礎(chǔ)是其穩(wěn)定的頻率

源。時(shí)鐘把計(jì)時(shí)量與鐘頻率聯(lián)系起來，下面證明，計(jì)時(shí)量(人們認(rèn)識(shí)到的時(shí)間)與鐘頻率成

正比。

定理三計(jì)時(shí)量與鐘規(guī)一頻率成正比。

證明

計(jì)準(zhǔn)相位值，即不考慮相位本身的測(cè)量誤差，有Wm(t)=W(t),測(cè)得值函數(shù)變?yōu)椋?/p>

tw=?=vt(6.22)

Jn

式中V是鐘頻率的實(shí)際值與鐘頻率的標(biāo)稱值之比，稱鐘規(guī)一頻率。

時(shí)鐘1:

(6.23)

時(shí)鐘2：

t==vt

Iff2￡./?2Z(6.24)

Jn2

故有：

(6.25)

定理得證。

特例加=加，則有:

(6.26)

tylfl

這是在比較時(shí)鐘或計(jì)算鐘偏差時(shí)常見的情況。此時(shí)，計(jì)時(shí)量與鐘頻率成正比，計(jì)時(shí)量是人

們認(rèn)識(shí)到的時(shí)間，簡(jiǎn)單的說，就是“時(shí)頻正比”。

3.3比相測(cè)頻公式的推導(dǎo)

將時(shí)間的測(cè)得值與客觀時(shí)間區(qū)分，可以方便地推出比相測(cè)頻公式。

測(cè)準(zhǔn)相位值，即不考慮相位本身的測(cè)量誤差，有見”⑴=°/⑴，測(cè)得值函數(shù)變?yōu)?

=^)Lt=—f=Kf

'W?fn(6.27)

比對(duì)時(shí)鐘時(shí)，對(duì)同一客觀時(shí)間t,各鐘測(cè)得結(jié)果不同，計(jì)時(shí)量即人們認(rèn)識(shí)的時(shí)間，與鐘頻

率實(shí)際值成正比。

對(duì)(6.27)式求微分并寫成差分形式，則有

老一絲

(6.28)

fh

這是著名的比相測(cè)頻公式。此式常有人推錯(cuò)。在本文新計(jì)時(shí)公式提出后，此公式的推導(dǎo)

異常簡(jiǎn)單。此公式的通常表達(dá)形式為:

￥_AT

f~T(6.29)

需知，此處7是總計(jì)時(shí)量，而是計(jì)時(shí)差；(28)式可減少誤解。

4頻率日老化率公式正解

4.1晶振日老化率公式的推導(dǎo)

先推導(dǎo)一般直線數(shù)據(jù)擬合公式。

設(shè)函數(shù)為:

Y=A+KX(6.30)

對(duì)應(yīng)X測(cè)得值為Yi

作函數(shù):

N2

Q=Z(%—A_KX,)(6.31)

/=1

令

有

N

Z[—2億一A-KXj]=0(6.32)

/=1

N

2(匕-A-KX,)X[=0(6.33)

三1

整理

NN

NA-KZX,=O

(6.34)

NNN

ZXj—A^Xj—KZX；=O

(6.35)

i-[i-\i-\

取自變量的對(duì)稱形式：

Xj=r.(6.36)

其中

1N

N白’

必有

N

Zx,.=o

i=l

聯(lián)立方程簡(jiǎn)化為

N

?=NA

(6.37)

r=!

NN

名次句〃一，）2=0

—K￡(6.38)

/=!Z=1

解（6.37）（6.38）的聯(lián)立方程式并將匕換成力，得

N

i=\

N(6.39)

i=l

1N

A=Q力(6.40)

7V；=1

（6.39）式是嚴(yán)格推導(dǎo)的頻率隨時(shí)間的漂移率的公式。

4.2現(xiàn)行晶振日老化率公式的問題及糾正

現(xiàn)行檢定規(guī)程中晶振老化率計(jì)算公式為:

吃"”)

-(6.41)

應(yīng)…

i=l

式中:

fo—頻率的標(biāo)稱值;

n—每日的測(cè)量次數(shù);

N-取樣個(gè)數(shù)；

力一取樣時(shí)序，用自然數(shù)列表示；

Z-。時(shí)刻測(cè)得的被測(cè)晶振頻率實(shí)際值。

評(píng)論

(1)公式(6.41)不是按物理內(nèi)容推導(dǎo)的結(jié)果，公式中的n以及規(guī)程中另外4個(gè)公式中的2,

是憑某種理解加進(jìn)去的。實(shí)際上，〃也好，2也好，都包含在力中。

(2%是時(shí)間變量，是有量綱的量。它包含自然順序數(shù)與時(shí)間間隔這兩個(gè)部分，說它是時(shí)

刻的序號(hào)，是自然數(shù)列，是不正確的。

(3)老化率是單位時(shí)間的變化量，老化率表達(dá)式中，必須有r-1的量綱，規(guī)程上的公式抹

煞了這一點(diǎn)。

下面給出正確表達(dá)。推導(dǎo)出的基本公式(39)表成相對(duì)形式為：

N

1=1(6.42)

(6.43)

i為自然順序數(shù)，T為采樣周期。一天測(cè)一次，T=ld,半天測(cè)一次，T=0.5d?將(6.43)式代入

(6.42)式,有

N

E7,0-)

N(6.44)

等5a

式中:

(6.45)

一般取7=0.5日，代入(44)式

N

K_1=1/

量綱是物理公式的基本要素，當(dāng)然也是測(cè)量公式的基本要素。量綱正誤是判別公式正誤

f-f

的基本依據(jù)之一。

計(jì)算很麻煩，其實(shí)并無必要。直接用測(cè)得值即可。

4.3關(guān)于晶振老化率的評(píng)定方法

就前些年我國(guó)晶振生產(chǎn)水平而言，按老化率公式算出的老化率，常有夸張現(xiàn)象。由于存

在頻率波動(dòng)，計(jì)得值比實(shí)際值偏高。

建議在老化率評(píng)定時(shí)加上限制條件，即老化率的給出值不能優(yōu)于波動(dòng)量的均方根值。

筆者畫過幾百條晶振的7周天頻率曲線圖。無非是在一條直線上疊加一條波浪線。大體

上說，直線的斜率表征晶體的老化，波浪線的起伏程度表征恒溫槽的控溫水平。

線性變化與波動(dòng)性都需要表征。

我國(guó)特有的"日波動(dòng)"（每小時(shí)測(cè)一次，測(cè)24小時(shí)，得25個(gè)值，取最大值與最小值之差為

測(cè)得值，這樣做，問題甚多：取最大最小，犯統(tǒng)計(jì)學(xué)大忌；只測(cè)一天，無統(tǒng)計(jì)意義；需值夜

班，討人煩。

現(xiàn)介紹一下筆者在工程計(jì)量中采用的老化率與波動(dòng)性綜合處理方法。

依常規(guī)測(cè)出7周天15個(gè)數(shù)據(jù)。按最小二乘法擬合一條直線。直線斜率是日老化率計(jì)算

值。將各數(shù)據(jù)與擬合線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的值作差，取這些差值的均方根值為波動(dòng)量。當(dāng)波動(dòng)量小于

日老化率計(jì)算值時(shí)，日老化率計(jì)算值有效；當(dāng)波動(dòng)量大于日老化率計(jì)算值時(shí)，以波動(dòng)量的相

對(duì)值評(píng)定日老化率水平。

附注：依上述方案，計(jì)算機(jī)BASIC程序如單（可大大簡(jiǎn)化）。

10LPRINT*'Agingrate',20INPUTNo30LPRINT"No";No

40INPUTN50DIMD(N),L(N),X(N)60LETA=0

70LETB=080FOR1=1TON90READD(I)

100LETZ=0110LETA=A+D(I)120LETB=B+(I-(N+1)/2)*D⑴

130NEXTI140LETE=(N-1)*N*(N+1)/12150LETK=B/E

160LETM=A/N170LPRINT180FOR1=1TON

190LETL(I)=M+K*(I-(N+l)/2)200LETX(I)=D(I)-L(I)210LETZ=Z+X(I)A2

220LETL=INT(L(I)*100+.5)/100230LETX=INT(X(I)*100+.5)/100240LPRINTI,D(I),L,X

250NEXTI260LETY=Z/N270Q=SQR(Y)

280LETQ=INT(Q*100+.5)/100300LPRINT"(D-L)smr=";Q310LETV=ABS(X(1))

320FOR1=1TO(N-l)330LETW=ABS(X(I+1))340IFW<=VTHEN360

350LETV=W360NEXTI370LETV=INT(V*1()0+.5)/100

380LPRINT"ABS(D-L)max=',;V390LETK=INT(K*100+.5)/100400LPRINT"K="；2*K

410DATA910,948,954,952,955,……420END

5幾種計(jì)時(shí)公式的比較

有些教科書將計(jì)時(shí)公式表達(dá)為

t=nT(6.47)

式中T是某周期運(yùn)動(dòng)的周期。此式雖然簡(jiǎn)單易被接受，但它未反映出計(jì)時(shí)是計(jì)相這一本質(zhì)，

式中不顯含相位量，難以計(jì)算時(shí)差。當(dāng)然，也不可能反映出計(jì)時(shí)量與客觀時(shí)間的區(qū)別與聯(lián)系。

某些計(jì)時(shí)學(xué)專著作如下表述。計(jì)時(shí)學(xué)基本方程為

x-a+bt+（6.48）

忽略非線性部分。⑴，則有

x=a+bt（6.49）

量x的引入，尚無區(qū)分時(shí)間測(cè)得值與客觀時(shí)間的意識(shí)，僅是指計(jì)時(shí)該用與時(shí)間成正比的

某量。這種計(jì)時(shí)方程也過于空洞，連賴以計(jì)時(shí)的頻率源的頻率（或周期）都不在式中出現(xiàn)，

這實(shí)在難為了應(yīng)用者；這也大大限制了計(jì)時(shí)方程的應(yīng)用。（6.49）式的積極意義在于它指出計(jì)

時(shí)方程應(yīng)具有的形式。

本文給出的計(jì)時(shí)公式的時(shí)刻測(cè)得值為：

t_t+t+%刈乙（6.6）

（6.6）式既體現(xiàn)了（6.49）式的形式，又有完備的內(nèi)容。

頗為有趣的是，計(jì)時(shí)學(xué)界長(zhǎng)期尋求的計(jì)時(shí)學(xué)方程，在用了區(qū)分測(cè)得值法則后，竟順手拈

來，可見“區(qū)分測(cè)得值”這一條，其言雖簡(jiǎn)，效力卻大，不愧法則之稱。

第7章測(cè)距的新概念一相位折合理論

距離測(cè)量，又稱長(zhǎng)度測(cè)量，是個(gè)古老的命題，基本又重要。人類的日常生活，生產(chǎn)交通

交換，都需要長(zhǎng)度測(cè)量。通常用尺量長(zhǎng)度，米尺、卡尺、千分尺，這是人們熟知的。修鐵路

修公路，建高樓架大橋，都需要精確測(cè)量距離，要用測(cè)距儀；偵察敵機(jī)位置、控制人造衛(wèi)星,

要求測(cè)得遠(yuǎn)測(cè)得快，這就要利用電磁波來測(cè)量距離。電磁波測(cè)距方便快捷，只要能提高精度，

應(yīng)用前景十分廣闊。

電磁波在空間的傳播速度是常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是光速C。這一點(diǎn)被人們用來測(cè)量距離，

既快又可以準(zhǔn)確。雷達(dá)定位，主要是電磁波測(cè)距。光也是電磁波，將射頻電磁波調(diào)制在激光

上，使測(cè)距精確又便捷。

利用電磁波測(cè)量距離，主要有兩種方式。一種是測(cè)量收發(fā)脈沖間的延遲時(shí)間，稱脈沖測(cè)

距；一種是測(cè)量收發(fā)正弦信號(hào)間的相位差，即測(cè)量相滯，這就是相位測(cè)距。由于相滯等于時(shí)

延與角頻率的乘積，若取頻率很高，則微小的時(shí)延相當(dāng)于很大的相滯。這樣，相位測(cè)距的分

辨力遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于脈沖測(cè)距的分辨力。分辨力是準(zhǔn)確度的基礎(chǔ)。本文在現(xiàn)有高穩(wěn)石英晶體信源、

集成頻練這些技術(shù)背景下，提出以微波相位測(cè)量來進(jìn)行距離測(cè)量，可達(dá)極高的測(cè)量精度。與

此類似，用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀測(cè)量電纜長(zhǎng)度，標(biāo)準(zhǔn)偏差約0.1mm。

相位測(cè)距的重要問題是如何確定收發(fā)相差的整周數(shù)，這通常稱解模糊。現(xiàn)有的理論，解

模糊的方式很繁難，且沒有給出統(tǒng)…公式。本文揭示相位測(cè)距中各頻率信號(hào)間的關(guān)系，建立

一套折合測(cè)尺理論，方便地得到計(jì)算距離的統(tǒng)一公式。公式極簡(jiǎn)明，請(qǐng)品評(píng)。

本文僅提供中近程精密測(cè)距的基本思路與理論基礎(chǔ)。經(jīng)過努力形成一些實(shí)用技術(shù)是

可以期望的。

1掃頻式微波相位測(cè)距技術(shù)

1.1工作程式

圖7.1

距離量的每一次測(cè)量（元測(cè)量），由三部分組成。。時(shí)刻至f2時(shí)刻，發(fā)射頻率為力，測(cè)量收

發(fā)相位差91，例是總相差扣除2〃|萬后的尾數(shù)，即相位計(jì)的示值。

f2時(shí)刻至,3時(shí)刻，頻率從力掃至力。由于掃頻，相位計(jì)示值快速變化，用計(jì)數(shù)器計(jì)出相

位計(jì)的翻轉(zhuǎn)次數(shù)N。

時(shí)刻至久時(shí)刻，發(fā)射頻率為力，測(cè)出收發(fā)相位差°2。82是總相差扣除2〃2"后的尾數(shù)，

即相位計(jì)的示值。

由測(cè)得的數(shù)據(jù)外、。2、N和已知量?jī)簗、兒2計(jì)算出距離量。

1.2折合測(cè)尺

單看頻率力，測(cè)尺不完整，缺2小〃；單看頻率力，測(cè)尺也不完整，缺2〃2開。但由上述

三步測(cè)量形成的頻率仍大)的測(cè)尺卻是完全的測(cè)尺，它可以完整地定出距離量。這把等效的測(cè)

尺稱折合測(cè)尺。

關(guān)于折合測(cè)尺本身的理論僅是折合理論的初階，折合測(cè)尺到精測(cè)尺的轉(zhuǎn)換才是折合理論

的精髓。先講折合測(cè)尺。

對(duì)方信號(hào)，發(fā)信號(hào)的相位

中發(fā)1=2福]f+①0](7J)

收信號(hào)的相位

①收?=2域/=0>01—號(hào)L(7,2)

收發(fā)相位差1

①I=①收1一①發(fā)I=一下乙(7.3)

44

2%兀+劭=--丁L(7.4)

對(duì)方信號(hào)，發(fā)信號(hào)的相位

①發(fā)2=2和/+①02

(7.5)

收信號(hào)的相位

c4萬

①收2=26=0。2-丁L(6.6)

Z2

收發(fā)相位差2

①2=①收2一①發(fā)2二一丁乙(7.7)

47r

2〃)乃+(P?=-----L(7.8)

幾2

將收發(fā)相位差①2與收發(fā)相位差①1作差，稱折合相差。由(7.3)式與(7.7)式:

4-4,

①s=0>2-①I=一一(7.9)

2萬(〃2—“J+%-％=-4E(7.10)

'/上ti一

由(7.10)式解得距離L

￡=_1(?0_?)JA___L4.外，(7.H)

2?2,-2224—友2萬

掃頻過程中測(cè)得的折合相差為：

①，=①？_<!>]=-2NTI一甲\(7.12)

比較(7.9)、(7.10)、(7.12)式,有

N=-(n2-ni)(7.13)

引入稱折合波長(zhǎng)為入s：

(7.14)

相應(yīng)的折合頻率恰為二頻率之差：

九=*=*一*=九一

7ts424

稱K為折合系數(shù)：

K=4=%(7.15)

4一丸2fl~f\

折合測(cè)尺測(cè)距(粗測(cè))公式為：

4(7.16)

、2TT)2

(7.16)式在形式上與傳統(tǒng)的相位測(cè)距公式相似，但其中的量：折合波長(zhǎng)、折合整數(shù)N、不

同頻率下的相差之差即折合相差，都有新的物理內(nèi)容。

掃頻是頻率變化的過程。在掃頻過程中，頻率由低向高，相差指示必定由大變小，即由

正往負(fù)變化。變化到最低位時(shí)，示值翻轉(zhuǎn)跳變到最高值，再變小。每跳一次表示有-2"的折

合相差，跳幾次就有幾倍的-2n的折合相差。

N是相位計(jì)翻轉(zhuǎn)即正跳變的次數(shù)，是正整數(shù)，表示折合相差的整周期數(shù)。N可用正沿有

效的計(jì)數(shù)器計(jì)得。

1.3精測(cè)尺

以頻率力測(cè)得的相位差92,是精密測(cè)距尺度，簡(jiǎn)稱精測(cè)尺。例如，力取10GHz,半波長(zhǎng)

為15mm,若相位誤差為2.4°,相應(yīng)測(cè)距誤差為0.1mm。

經(jīng)距離L的往返傳播，精測(cè)尺的全相差為

①2-2n27r+(p2

相位計(jì)只能計(jì)出。2,不能計(jì)出“2,"2需從折合測(cè)尺導(dǎo)出來。這里推證其間的理論關(guān)系。

引理電磁波在空間傳播，當(dāng)距離L一定時(shí)，收發(fā)相差(相滯)與波長(zhǎng)成反比。

--?一)

①?22

由表達(dá)式(3)與(7),相除即為(17)式。

定理精測(cè)尺相差等于折合測(cè)尺相差乘以折合系數(shù)。

證明

由(7.17)式作比例變換

①2_4_^s__K

①,一①]4一“2

即

①2=K(①2-①J=K①、(718)

定理得證。這個(gè)定理內(nèi)容很簡(jiǎn)單，但它可以執(zhí)行一個(gè)重要的使命：實(shí)施折合測(cè)尺與精測(cè)尺之

間的轉(zhuǎn)換，從而求出精測(cè)尺的整周數(shù)。

由(18)式:

2〃[兀+(p2=K[-2N兀+(92-(P\)]

2萬(〃2+KN)=K((p2~(pt)-(p2

記：

m=_(〃2+KN)=[與_(夕2_%)+半

(7.19)

夕2、91是測(cè)知量，K是已知量，加是計(jì)算得知量,N可由計(jì)數(shù)器計(jì)得，這樣，可計(jì)算

得知，進(jìn)而算出整周數(shù)〃2來。

解(19)式有：

〃2=-KN_m(7.20)

①2二(?KN-m)2不+夕2(7.21)

由(7)式，有：

(7.22)

22乃

將(20)式、(21)式代入(22)式，即得精測(cè)尺測(cè)距公式。

精測(cè)尺測(cè)距公式為：

L=^-(KN

(7.23)

21-2萬J

式中符號(hào)的意義:

42：頻率為力時(shí)的波長(zhǎng);

K：折合系數(shù)

4-%A~f\fs

N：相位計(jì)的翻轉(zhuǎn)跳變次數(shù)。

m-.尺間轉(zhuǎn)換定位關(guān)系數(shù)，它是(19)式定義的加值經(jīng)有效數(shù)字處理去掉小數(shù)部分后變

成的整數(shù)。可表示為：

m=[m+0.5](7.24)

田表示取值不大于x的整數(shù)。

當(dāng)無誤差時(shí)，加是整數(shù)，〃，等于典。實(shí)際測(cè)量中總有誤差，計(jì)算出的加值常常不是整數(shù)，

這時(shí)要進(jìn)行整化處理，將加值四舍五入，變成整數(shù)值典。

注意，精測(cè)尺測(cè)距公式中用的是a而不是計(jì)算精確的加值不能用，卻一定要用經(jīng)

過整化處理的典值，有點(diǎn)辯證法。

理解m值是理解相位測(cè)距折合理論的關(guān)鍵。如何取準(zhǔn)m值是相位測(cè)距設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，又

是相位測(cè)距技術(shù)的關(guān)鍵性操作。

2折合原理

上節(jié)就掃頻式相位測(cè)距方式(只有兩個(gè)頻率的相位值)的具體情況，闡述了折合理論，

推導(dǎo)了有關(guān)公式。下面將其發(fā)展為一般形式，以便用于多個(gè)運(yùn)行頻率、多個(gè)折合頻率的場(chǎng)合,

即頻率綜合式相位測(cè)距方式。

2.1折合定理

發(fā)射信號(hào)的相位

①發(fā)=O>o+2型(7.25)

接收信號(hào)的相位

47r

①收=%+29—丁L+①目(7.26)

收發(fā)相差為：

/I'TT

①(L)=(D收一①發(fā)=一二L+①目(7.27)

/I

校零:

cD(0)=6日(7.28)

距離L引入的傳播相差一一相滯為:

(D=①億)一①(0)=—--L(7.29)

引理當(dāng)距離L一定時(shí)，相滯與頻率成正比。

由(29)式

加4〃4萬,「

①=------Lr=-------Lf(7.30)

幾c

定理一(差折合定理)當(dāng)傳播距離一定時(shí);二頻率信號(hào)的相滯之差，等于一折合頻率

信號(hào)的相滯，該折合頻率等于二頻率之差。

由(30式)，懈力的相滯為

47r

中尸——于1

C(7.31)

頻率力的相滯為

4%

中2==-一V(7.32)

(32)式減(31)式

-(7.33)

記為:

①—f.L(7.34)

稱①s為折合相滯:

①s=①2-①1(7.35)

稱舟為折合頻率

fs=h-f\(7.36)

定理二(倍折合定理)當(dāng)轉(zhuǎn)播距離L一定時(shí)，甲頻率相滯等于乙頻率相滯乘以甲頻率對(duì)

乙頻率的倍數(shù)。此倍數(shù)稱折合系數(shù)。

(31)式除以(32)式

(7.37)

①i=K①2(7.38)

定理三差折合定理、倍折合定理對(duì)實(shí)際運(yùn)行頻率或?qū)φ酆项l率或?qū)λ鼈兊慕M合都成立。

由于相滯與頻率成正比，此定理的各種情況，易由比例性質(zhì)證明，此處不再贅述。

2.2相位距離曲線圖

邏輯推導(dǎo)用公式，形象思維靠圖。圖可以幫助理解原理、公式，圖又可以啟發(fā)進(jìn)一步思

考，達(dá)到新認(rèn)識(shí)，找到新規(guī)律。

弄清兩種圖：①L⑴圖和①,(L)圖。①/.⑺圖主要對(duì)應(yīng)掃頻式相位測(cè)距，但在頻率合成式相

位測(cè)距中也用。①\(D圖對(duì)理解頻率綜合式相位測(cè)距很重要。

中圖如圖7.2,是解掃顯示器(相位計(jì))上顯示的圖?？v坐標(biāo)為收發(fā)相差，即相滯，

橫坐標(biāo)是頻率。

掃頻起點(diǎn)力，掃頻終點(diǎn)及，折合頻率從零變到力:/i。頻率為力時(shí)相滯尾數(shù)3”頻率為力

時(shí)相滯尾數(shù)92,掃頻力到五，相位計(jì)跳變N次。

當(dāng)￡=0時(shí)-，曲線斜率為零。此點(diǎn)有重要應(yīng)用。調(diào)零就是使①V)等于零，即。等于常數(shù)。

一般做至UL=O時(shí)，8心92,中間波動(dòng)滿足一定要求即可。折合測(cè)尺相位值可不進(jìn)行零值修正;

精測(cè)尺相位值必須進(jìn)行零值修正。

①'(L)圖如圖7.3,是以波長(zhǎng)兒為參量的相滯對(duì)距離關(guān)系圖

(P

5

0°L

-180°_

①②①②

圖7.36⑷圖

相滯直線因相位值的周期性而成為折線。折線的一個(gè)整段表示相滯一個(gè)周期。相滯直線

的斜率與波長(zhǎng)成反比。圖7.3中相滯線②的波長(zhǎng)是相滯線①波長(zhǎng)的4倍。相滯線③的波長(zhǎng)是

相滯線②波長(zhǎng)的4倍。

將①線除以4變成④線，④線與②線平行。在①線的任一整周內(nèi)，④線與②線之差為一

常數(shù)，此常數(shù)除以2"/4成為整數(shù)，這個(gè)整數(shù)稱機(jī)數(shù)，加數(shù)標(biāo)志考察點(diǎn)L對(duì)應(yīng)的劭所在的①線

上的那個(gè)周期在②線一個(gè)周期內(nèi)的的位置。同樣，將②線除以4變成⑤線，⑤線與③線平行。

于是可以找出②線一個(gè)周期對(duì)③線關(guān)系的“數(shù)。這種測(cè)尺間的關(guān)系我們可以逐級(jí)引申開，于

是導(dǎo)致頻率綜合式相位測(cè)距計(jì)算的公式化、簡(jiǎn)明化。

3頻率綜合式相位測(cè)距原理

3.1工作程式

發(fā)射機(jī)的信源是高穩(wěn)定的頻率綜合器，它按指令工作于多個(gè)頻率值。接收機(jī)對(duì)目標(biāo)反射

回的各頻率信號(hào)測(cè)相。

至少發(fā)射主頻人，測(cè)得收發(fā)相差歿；八至攵，發(fā)射副頻力，測(cè)得收發(fā)相差外；至，3,

發(fā)射副頻及，測(cè)得收發(fā)相差夕2；……h(huán)至fN+”發(fā)射副頻/N，測(cè)得收發(fā)相差ON。

利用已知量人，力，力，…”亦，測(cè)得量%，91，夕2,……（PN，按下述頻率綜合式相位測(cè)

距公式算出距離L

3.2測(cè)尺組

主頻/。（波長(zhǎng)九）是精密測(cè)距的基礎(chǔ)。選其為微波頻率（例如10GHz）,稱主測(cè)尺或精測(cè)尺。

副頻力，力，……亦，選在人附近。相應(yīng)波長(zhǎng)為41，兒2，……兒N。

副頻的編號(hào)順序：折合頻率順序成倍縮小，而折合波長(zhǎng)順序倍增。副頻N個(gè)，以下各i

從1到N。副頻與主頻之差構(gòu)成折合測(cè)尺，稱副尺。

折合測(cè)尺(副尺)的頻率為

fsi=f0-fi(7.39)

相應(yīng)的折合波長(zhǎng)為

4=4=(7.40)

JoJi

各折合測(cè)尺對(duì)主測(cè)尺的折合系數(shù)為：

「土廠與二卜七…k,(7.41)

JoJiJsi

各測(cè)尺間的折合系數(shù)為：

kfo_far。、

"i=丁=f-f=~T(7.42)

女2=2■=.一＞=(7.43)

k=4N_f。一fN-l=fs,N-\

-f(7.44)

4,NTJo一JNJsN

取刖，心，&3,……樂都是10上下的整數(shù)。

3.3①入(力圖與必?cái)?shù)

分析中式L)圖，容易意識(shí)到，主尺與各折合測(cè)尺，可以按其倍增的波長(zhǎng)值,從小到大排成

一個(gè)系列，并建立逐級(jí)遞推關(guān)系。

①'(L)圖啟示我們：各測(cè)尺間存在著必然的相互關(guān)系。稱這種關(guān)系為，”值定位關(guān)系。

仰除以所，其圖形變成與陽線平行的一系列線段，稱其為仰的公分之一線。仰的加分

之一線與陽線之差，其值在主尺一個(gè)周期內(nèi)是常數(shù)，且此常數(shù)是2〃伙1的整數(shù)倍，記這個(gè)

整數(shù)為機(jī)。。〃?°數(shù)標(biāo)定了仰所在的那個(gè)主尺周期在副1尺的一個(gè)周期中的位置，是心個(gè)段中

的哪一段。即在被副1尺…個(gè)周期框住的心個(gè)主尺周期中是哪個(gè)周期。該主尺周期是第小用

個(gè)周期，其前有恤個(gè)整周期，即外包含有加。個(gè)整周。恤的取值范圍從零到e-1。

同理，為除以女2,其圖形變成與后2線平行的一系列線段，稱其為知的公分之一線。

的公分之一線與后2線之差，其值在同一個(gè)副1尺周期內(nèi)是常數(shù)，口此常數(shù)是2〃色的整數(shù)倍,

記這個(gè)整數(shù)為四。見數(shù)標(biāo)定待測(cè)量L對(duì)應(yīng)的肉所在的那個(gè)副1尺周期在副2尺一個(gè)周期中

的位置，是依個(gè)段中的哪一段.。即在被副2尺一個(gè)周期框住的幻個(gè)副1尺周期中是哪個(gè)周期。

該副1尺周期是第W+1個(gè)周期，其前有如個(gè)整周期，即應(yīng)包含有W個(gè)整周。叫的取值范

圍從零到正

這樣逐級(jí)推開，直到半波長(zhǎng)過界測(cè)尺為止。

這樣，由測(cè)得值化，（P\,...,孫I，便可計(jì)算出mo,m\,....m^.\,從而定出主尺半波

長(zhǎng)整數(shù)倍〃。來，L便可求了。

3.4距離公式推導(dǎo)

注意到前述三個(gè)折合定理再利用中\(zhòng)?）圖中的加值定位關(guān)系，便可推導(dǎo)距離公式?，F(xiàn)用

例舉遞推法。

例1

設(shè)有三個(gè)運(yùn)行頻率：f0,力，力；測(cè)知量化，（p\,（P1O可構(gòu)成：

主尺：f0,測(cè)得量（P。；

副1尺：卜=卜儲(chǔ)測(cè)得量伙尸（p0-6

副2尺：fs2=fo-fl，測(cè)得量@2=<po-（pl

過界測(cè)尺：人2，即”2=0。

主尺與副1尺

①0=匕①si

7+9“=匕（2〃西+化|）

?,?k\（p-一（p.

令

機(jī)。=一（〃。一女四）=（魯一化』+F（745）

副尺2與副尺1

①、-2①,2

2〃區(qū)+化I=左2化2

24

令

叼=一〃1=（答_化2+三（746）

"%、如由相位測(cè)得值求得。推導(dǎo)出〃。為:

〃o=-mo+k\n\--m0-k\m\(7.47)

例2

設(shè)有四個(gè)頻率：/）,h，力；相位測(cè)得量仰，6,6,如

治是過界測(cè)尺.即〃3=0。

主尺與副1尺

①0=3.

2〃。乃+夕。=匕（2〃/+化|）

〃_kn_k\<PL（P。

noK\n\~c

271

令

機(jī)。=_（〃。_勺〃J=［魯-

［匕）k\(7.48)

副尺1與副尺2

①sl二七①s2

2“產(chǎn)+化1=%2（2〃2〃=化2）

k沖0一（p八

%k2n2=~2乃

令

叫=一（〃「的"2）=臣-化a〉子

［七）k2(7.49)

副尺2與副尺3

①$2=仁3①$3

2"+%2=陽化3

_38s3-化2

2一2幾

令

（化212%

%=一〃2=仔一心3十丁(7.50)

13）^3

由（48）2、弱十￡5伊耀成求得，小、，〃2、，〃3，并推得〃。為：

n?/=町產(chǎn)泉尸_一?,+kt（-m}+k2n2）=-mo-%+