數(shù)學(xué)九年級上冊專題24.3 垂徑定理-重難點題型（人教版）（教師版）

專題24.3垂徑定理-重難點題型【人教版】【知識點1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。绢}型1垂徑定理（連半徑）】【例1】（2021春?海門市期中）如圖，以c為直徑的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．則MD的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝r，OM＝16﹣r，根據(jù)垂徑定理得到AM＝BM＝8，再根據(jù)勾股定理得到82+（16﹣r）2＝r2，解方程求出r＝10，然后計算CD﹣CM即可．【解答】解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝r，OM＝16﹣r，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10，∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．故選：A．【變式1-1】（2021?淄川區(qū)一模）如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，則⊙O的半徑為（）A．4 B．42 C．46 D．43【分析】如圖，連接OA，OC．設(shè)OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，構(gòu)建方程組求出r即可．【解答】解：如圖，連接OA，OC．∵OP⊥CD，CD∥AB，∴OP⊥AB，∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，設(shè)OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，則有r2解得，r＝46，故選：C．【變式1-2】（2020秋?衢州期中）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：（1）CD的弦心距OF的長；（2）弦CD的長．【分析】（1）根據(jù)題意求出OE，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OF；（2）連接OD，根據(jù)勾股定理求出DF，根據(jù)垂徑定理解答即可．【解答】解：（1）∵AE＝1cm，BE＝5cm，∴AB＝AE+EB＝6cm，∴OE＝OA﹣AE＝2cm，∵OF⊥CD，∠DEB＝30°，∴OF=12OE=1（2）連接OD，在Rt△ODF中，由勾股定理得：DF=OD2?OF∵OF⊥CD，∴CD＝2DF＝42（cm）．【變式1-3】（2020秋?蜀山區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AD，過點O作OF⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面積．【分析】連接OD，先由垂徑定理得CE＝DE=12CD＝3，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝r﹣1，OD＝r，由勾股定理求出r＝5，則OE＝4，AE＝9，求出S△AED=272，S△OED＝6，則S△AOD＝S△AED﹣S【解答】解：連接OD，如圖所示：∵CD⊥AB，∴CE＝DE=12設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝r﹣1，OD＝r，在Rt△ODE中，由勾股定理得：（r﹣1）2+32＝r2，解得：r＝5，∴OE＝4，AE＝5+4＝9，∴S△AED=12AE?DE=12×9×3=272，S△∴S△AOD＝S△AED﹣S△OED=272?∵OF⊥AD，OA＝OD，∴AF＝DF，∴S△AOF=12S△AOD【題型2垂徑定理（作垂線）】【例2】（2020秋?江干區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，則CD的長為（）A．34 B．62 C．234 D．12【分析】根據(jù)題意過點O作OE⊥CD于點E，連接OD，從而得出△OPE是等腰直角三角形，結(jié)合圖形由線段之間的關(guān)系推出PE＝OE=2，從而利用勾股定理推出DE=34，再由垂徑定理得到CE＝DE，從而推出CD＝2DE＝2【解答】解：如圖，過點O作OE⊥CD于點E，連接OD，∵AB＝AP+BP＝4+8＝12，∴OD＝OA＝6，∴OP＝OA﹣AP＝6﹣4＝2，∵∠OPE＝∠APC＝45°，∴△OPE是等腰直角三角形，∴PE＝OE=2在Rt△OED中，DE=OD∵OE⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2DE＝234，故選：C．【變式2-1】（2020?東勝區(qū)一模）如圖，在圓⊙O內(nèi)有折線OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，則AB的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】延長AO交BC于D，過點O作BC的垂線，設(shè)垂足為E，根據(jù)∠A、∠B的度數(shù)易證得△ABD是等邊三角形，設(shè)AB的長為x，由此可表示出OD、BD和DE的長；在Rt△ODE中，根據(jù)∠ODE的度數(shù)，可得出OD＝2DE，進(jìn)而可求出x的值．【解答】解：延長AO交BC于D，過點O作OE⊥BC于E，如圖所示：設(shè)AB的長為x，∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB為等邊三角形；∴BD＝AD＝AB＝x；∵OA＝4，BC＝10，∴BE=12BC＝5，DE＝x﹣5，OD＝又∵∠ADB＝60°，∴DE=12∴x﹣5=12（解得：x＝6．故選：C．【變式2-2】（2020?泰興市模擬）如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A為圓心AB為半徑作圓A，延長BC交圓A于點D，則CD長為（）A．5 B．4 C．92 D．2【分析】如圖，過點A作AE⊥BD于點E，連接AD，可得AD＝AB＝5，根據(jù)垂徑定理可得DE＝BE，得CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，再根據(jù)勾股定理即可求得DE的長，進(jìn)而可得CD的長．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥BD于點E，連接AD，∴AD＝AB＝5，根據(jù)垂徑定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根據(jù)勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE=13∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=9故選：C．【變式2-3】（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．（1）求證：AC＝BD；（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【分析】（1）過O作OH⊥CD于H，根據(jù)垂徑定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出結(jié)論；（2）過O作OH⊥CD于H，連接OD，由垂徑定理得CH＝DH=12CD，再證△OCD是等邊三角形，得CD＝OC＝4，則【解答】（1）證明：過O作OH⊥CD于H，如圖1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：過O作OH⊥CD于H，連接OD，如圖2所示：則CH＝DH=12∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH=OC2∴AH=OA2∴AC＝AH﹣CH＝26?【題型3垂徑定理（分類討論）】【例3】（2021秋?江夏區(qū)校級期末）已知圓中兩條平行的弦之間距離為1，其中一弦長為8，若半徑為5，則另一弦長為（）A．6 B．221 C．6或221 D．以上說法都不對【分析】如圖，分CD＝8和AB＝8這兩種情況，利用垂徑定理和勾股定理分別求解可得．【解答】解：如圖，①若CD＝8，則CF=12∵OC＝OA＝5，∴OF＝3，∵EF＝1，∴OE＝2，則AE=21∴AB＝2AE＝221；②若AB＝8，則AE=12∵OA＝OC＝5，∴OE＝3，∵EF＝1，∴OF＝4，則CF＝3，∴CD＝2CF＝6；綜上，另一弦長為6或221，故選：C．【變式3-1】（2021?松桃縣模擬）已知⊙O的直徑CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝96cm，則AC的長為（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm【分析】分兩種情況，根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)垂徑定理求出AM的長，連接OA，由勾股定理求出OM的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：連接AC，AO，∵⊙O的直徑CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，∴AM=12AB=12×96＝48（cm），OD如圖1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，∴OM=OA2∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），∴AC=AM2如圖2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝50﹣14＝36（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2綜上所述，AC的長為80cm或60cm，故選：B．【變式3-2】（2021春?鼓樓區(qū)校級月考）若弦AB，CD是⊙O的兩條平行弦，⊙O的半徑為13，AB＝10，CD＝24，則AB，CD之間的距離為（）A．7 B．17 C．5或12 D．7或17【分析】過O點作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA、OC，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OF⊥CD，則利用垂徑定理得到AE＝BE＝5，CF＝DF＝12，再利用勾股定理可計算出OE＝12，OF＝5，討論：當(dāng)圓心O在AB、CD之間，如圖1，EF＝OE+OF；當(dāng)圓心O不在AB、CD之間，如圖2，EF＝OE﹣OF．【解答】解：過O點作OE⊥AB于E，交CD于F，連接OA、OC，如圖，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE=12AB＝5，CF＝DF=在Rt△OAE中，OE=O在Rt△OCF中，OF=O當(dāng)圓心O在AB、CD之間，如圖1，EF＝OE+OF＝12+5＝17，當(dāng)圓心O不在AB、CD之間，如圖2，EF＝OE﹣OF＝12﹣5＝7，綜上所述，AB，CD之間的距離為7或17．故選：D．【變式3-3】（2021秋?濱江區(qū)期末）在半徑為25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，則弦AB所對的弧的中點到AB的距離是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm【分析】點C和D為弦AB所對弧的中點，連接CD交AB于E，連接OA，如圖，根據(jù)垂徑定理的推論得到CD為直徑，CD⊥AB，則AE＝BE=12AB＝20，再利用勾股定理計算出OE＝15，然后分別計算出DE和【解答】解：點C和D為弦AB所對弧的中點，連接CD交AB于E，連接OA，如圖，∵點C和D為弦AB所對弧的中點，∴CD為直徑，CD⊥AB，∴AE＝BE=12在Rt△OAE中，∵OA＝25，AE＝20，∴OE=O∴DE＝OD+OE＝40，CE＝OC﹣OE＝10，即弦AB和弦AB所對的劣弧的中點的距離為10cm，弦AB和弦AB所對的優(yōu)弧的中點的距離為40cm．故選：D．【題型4垂徑定理（動點問題）】【例4】（2020秋?齊河縣期末）如圖，已知⊙O的半徑為4，M是⊙O內(nèi)一點，且OM＝2，則過點M的所有弦中，弦長是整數(shù)的共有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【分析】過點M作AB⊥OM交⊙O于點A、B，根據(jù)勾股定理求出AM，根據(jù)垂徑定理求出AB，進(jìn)而得到答案．【解答】解：過點M作AB⊥OM交⊙O于點A、B，連接OA，則AM＝BM=12在Rt△AOM中，AM=OA2∴AB＝2AM＝43，則43≤過點M則弦長是整數(shù)的共有長度為7的兩條，長度為8的一條，共三條，故選：C．【變式4-1】（2020秋?喀什地區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為13，弦AB＝24，P是弦AB上的一個動點，不在OP取值范圍內(nèi)的是（）A．4 B．5 C．12 D．13【分析】過O點作OH⊥AB于H，連接OA，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH＝12，則利用勾股定理可計算出OH＝5，然后利用垂線段最短得到OP的范圍，從而可對各選項進(jìn)行判斷．【解答】解：過O點作OH⊥AB于H，連接OA，如圖，∵OH⊥AB，∴AH＝BH=12在Rt△OAH中，OH=O∵P是弦AB上的一個動點，∴5≤OP≤13．故選：A．【變式4-2】（2020秋?天心區(qū)月考）如圖，P為⊙O內(nèi)的一個定點，A為⊙O上的一個動點，射線AP、AO分別與⊙O交于B、C兩點．若⊙O的半徑長為3，OP=3，則弦BCA．23 B．3 C．6 D．【分析】過點O作OE⊥AB于E，由垂徑定理易知E是AB中點，得OE是△ABC中位線，則BC＝2OE，而OE≤OP，故BC≤2OP，即可得出答案．【解答】解：過點O作OE⊥AB于E，如圖：∵O為圓心，∴AE＝BE，∴OE=12∵OE≤OP，∴BC≤2OP，∴當(dāng)E、P重合時，即OP垂直AB時，BC取最大值，∴弦BC的最大值為：2OP＝23．故選：A．【變式4-3】（2021?利州區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分別是AB，AD邊上的動點，PQ＝52，以PQ為直徑的⊙O與BD交于點M，N，則MN的最大值為（）A．48 B．45 C．42 D．40【分析】過A點作AH⊥BD于H，連接OM，如圖，先利用勾股定理計算出BD＝75，則利用面積法可計算出AH＝36，再證明點O在AH上時，OH最短，此時HM有最大值，最大值為24，然后根據(jù)垂徑定理可判斷MN的最大值．【解答】解：過A點作AH⊥BD于H，連接OM，如圖，在Rt△ABD中，BD=A∵12×AH×BD=12∴AH=60×45∵⊙O的半徑為26，∴點O在AH上時，OH最短，∵HM=O∴此時HM有最大值，最大值為26∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值為2×24＝48．故選：A．【題型5垂徑定理（翻折問題）】【例5】（2020?青羊區(qū)模擬）如圖，將半徑為4cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（）A．43cm B．23cm C．【分析】連接AO，過O作OD⊥AB，交AB于點D，交弦AB于點E，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知OE＝DE，再根據(jù)垂徑定理可知AE＝BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的長，進(jìn)而可求出AB的長．【解答】解：如圖所示，連接AO，過O作OD⊥AB，交AB于點D，交弦AB于點E，∵AB折疊后恰好經(jīng)過圓心，∴OE＝DE，∵⊙O的半徑為4，∴OE=12OD∵OD⊥AB，∴AE=12在Rt△AOE中，AE=OA2∴AB＝2AE＝43．故選：A．【變式5-1】（2016?丹東模擬）半圓形紙片的半徑為1cm，用如圖所示的方法將紙片對折，使對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則折痕CD的長為cm．【分析】作MO交CD于E，則MO⊥CD．連接CO．根據(jù)勾股定理和垂徑定理求解．【解答】解：作MO交CD于E，則MO⊥CD，連接CO，對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則ME＝OE=12在直角三角形COE中，CE=1折痕CD的長為2×32=【變式5-2】（2021秋?袁州區(qū)校級期中）如圖，將半徑為8的⊙O沿AB折疊，AB恰好經(jīng)過與AB垂直的半徑OC的中點D，則折痕AB長為．【分析】觀察圖形延長CO交AB于E點，連接OB，構(gòu)造直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出AB的長．【解答】解：延長CO交AB于E點，連接OB，∵CE⊥AB，∴E為AB的中點，由題意可得CD＝4，OD＝4，OB＝8，DE=12（8×2﹣4）OE＝6﹣4＝2，在Rt△OEB中，根據(jù)勾股定理可得：OE2+BE2＝OB2，代入可求得BE＝215，∴AB＝415．故答案為415．【變式5-3】（2021?姜堰市校級二模）如圖，⊙O的半徑為6cm，將圓折疊，使點C與圓心O重合，折痕為AB，E、F是AB上兩點（E、F不與A、B重合且E在F右邊），且AF＝BE．（1）判定四邊形OECF的形狀；（2）AF為多少時，△CFB為直角三角形？【分析】將圓折疊，使點C與圓心O重合，折痕為AB，知AB⊥CO，CD＝OD，證明DF＝DE，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定：△CFB為直角三角形，求出∠OBD，求出BF、AF的長．【解答】解：（1）連CO交AB于D，由對稱性可以得到CD＝DO＝3cm，AD＝BD，AB＝63cm又∵OA＝OB＝6cm，∴OACB是菱形，∵AF＝BE，∴DE＝DF，又CD＝DO，∴OECF為平行四邊形，又AB⊥CO，∴四邊形OECF是菱形；（2）∠CBA＝∠BAO，CB＝6cmDC=12CB＝3∴∠OBD＝30°，∴BF＝43cm∴AF＝AB﹣BF＝63?43=23【知識點2垂徑定理的應(yīng)用】

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【題型6垂徑定理的實際應(yīng)用】【例6】（2021?裕華區(qū)校級模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點，D為弧AB的中點）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．【分析】（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點，CD⊥AB于C，延長DC經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長，再求出EF的長即可．【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點，CD⊥AB于C，延長DC經(jīng)過O點，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）OH⊥F′E′于H，則OH＝CE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF′中，HF′=2∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），∴在離橋的一端4米處，橋墩高4米．【變式6-1】（2020秋?江門期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3.4m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解；（2）連接ON，OB，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6又∵CD＝4m，設(shè)OB＝OC＝ON＝r，則OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．（2）∵CD＝4m，船艙頂部為長方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN=7.44（m∴MN＝2EN＝2×7.44≈5.4