【數(shù)學(xué)】余弦定理、正弦定理課件 2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

6.4.3余弦定理、正弦定理學(xué)習(xí)目標1.借助向量的運算，探究三角形邊長與角度的關(guān)系.2.掌握余弦定理、正弦定理.3.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.學(xué)習(xí)重難點學(xué)習(xí)重點余弦定理、正弦定理的理解學(xué)習(xí)難點余弦定理、正弦定理的應(yīng)用課堂導(dǎo)入

一個三角形含有各種各樣的幾何量，例如三邊邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)、面積等，它們之間存在著確定的關(guān)系，例如，在初中，我們得到過勾股定理、銳角三角函數(shù)，這是直角三角形中的邊、角定量關(guān)系.對于一般三角形，我們已經(jīng)定性地研究過三角形的邊、角關(guān)系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法，這些判定方法表明，給定三角形的三個角、三條邊這六個元素中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的.那么三角形的其元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關(guān)系?下面我們利用向量方法研究這個問題.探究分析：因為涉及的是三角形的兩邊和它們的夾角，我們考慮用向量的數(shù)量積來探究.于是我們得到了三角形邊角關(guān)系的一個重要的定理余弦定理探究

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？余弦定理及其推論把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進行了刻畫.探究一下

勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，你能說說這兩個定理之間的關(guān)系嗎？余弦定理的應(yīng)用（1）可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求第三邊.（2）可以由三角形的三邊直接計算出三角形的三個角.（3）勾股定理的推廣.解三角形的定義例題分析方法總結(jié)已知三角形的三邊求解三角形的內(nèi)角時，可以利用余弦定理的推論先求出兩個內(nèi)角，再利用三角形的內(nèi)角和定理求得第三個內(nèi)角.方法總結(jié)已知兩邊求其夾角（1）在已知兩邊及其夾角求第三邊時，直接利用余弦定理求解即可.(2)在已知兩邊及其夾角求角時，要先求出第三邊，此時求角有兩種方法：方法1，繼續(xù)選用余弦定理求解，此方法計算量稍大但是不會出現(xiàn)多解；方法2，用正弦定理求解，此方法計算量小，但是會出現(xiàn)多解，因此會出現(xiàn)計算錯誤或多解不會排除的情況，計算時只能多加小心，利用正弦定理求解時，一定要考慮用“大邊對大角，小邊對小角”來排除多余解.探究一下

余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式.如果已知兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢？下面先研究銳角三角形的情形.正弦定理正弦定理常用的變形式正弦定理的應(yīng)用可以解決已知兩角和一邊，解三角形的問題，也可以解決已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形的問題.例題分析方法總結(jié)已知三角形的兩角和任意一邊解三角形時，可以先由三角形內(nèi)角和定理計算出三角形的第三個角，然后由正弦定理求出另外兩邊.方法總結(jié)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形首先用正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值，若這個角不是直角，則利用三角形中“大邊對大角”看能否判斷所求的這個角是銳角，當(dāng)已知的角為大邊所對的角時，則能判斷另一邊所對的角為銳角，當(dāng)已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷，此時就有兩解，再分別求解即可；然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角；最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊.在實踐中，我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實際問題.解決這類問題，通常需要借助經(jīng)緯儀以及卷尺等測量角和距離的工具進行測量.具體測量時，我們常常遇到“不能到達”的困難，這就需要設(shè)計恰當(dāng)?shù)臏y量方案.下面我們通過幾道例題來說明這種情況.需要注意的是，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件.事實上，這些條件往往隱含著相應(yīng)測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個測量方案，而且是這種情境與條件限制下的恰當(dāng)方案.測量距離測量高度測量角度C運用正弦定理和余弦定理解決實際問題的步驟如下：（1）分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖.（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型.（3）求解：利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型