應(yīng)用數(shù)值分析【研究生課程】課后習(xí)題答案05章

應(yīng)用數(shù)值分析【研究生課程】課后習(xí)題答案05章第五章習(xí)題解答1、給出數(shù)據(jù)點:(1)用構(gòu)造二次插值多項式,并計算的近似值。(2)用構(gòu)造二次插值多項式,并計算的近似值。(3)用事后誤差估計方法估計、的誤差。解:(1)利用,作插值函數(shù)代入可得。(2)利用,構(gòu)造如下差商表：一階差商二階差商１９３１５３４６－９－４于是可得插值多項式：代入可得。(3)用事后誤差估計的方法可得誤差為◆2、設(shè)插值基函數(shù)是試證明:=1\*GB3①對,有=2\*GB3②其中為互異的插值節(jié)點。證明：=1\*GB3①由插值多項式的誤差表達(dá)式知，對于函數(shù)進行插值，其誤差為，亦即精確成立，亦即。=2\*GB3②分別取被插值函數(shù)，當(dāng)時插值多項式的誤差表達(dá)式，即，亦即，對于，由=1\*GB3①可知結(jié)論成立；對于時，特別地取，那么有；而當(dāng)時知其插值誤差為，于是有，即，特別取可得，證畢?！?、試驗證插值多項式滿足。解：由插值多項式可知◆4、，求函數(shù)的階差商。解：由差商和函數(shù)值的關(guān)系式可知，當(dāng)時總有◆5、假設(shè)，試證明：證明：由差商定義◆6、假設(shè)，求和。解：由向前差分、中心差分和函數(shù)值的關(guān)系可得7、考慮構(gòu)造一個函數(shù)的等距節(jié)點函數(shù)表，要使分段線性插值的誤差不大于，最大步長應(yīng)取多大？解：由等距分段線性插值的誤差表達(dá)式從而可得8、考慮構(gòu)造一個函數(shù)的等距節(jié)點函數(shù)表，要使分段插值的誤差不大于，最大步長應(yīng)取多大？解：由等距分段插值的誤差表達(dá)式從而可得9、對函數(shù)，取節(jié)點，且；=1\*GB3①試對構(gòu)造二次插值多項式確定上式中基函數(shù)。=2\*GB3②假設(shè)要使存在且唯一，插值節(jié)點應(yīng)滿足什么條件？解：=1\*GB3①依題意，二次多項式基函數(shù)應(yīng)分別滿足： 〔1〕 〔2〕 〔3〕由〔1〕〔2〕〔3〕可得，，=2\*GB3②由〔1〕〔2〕〔3〕可知欲使存在且唯一，只需且必須插值節(jié)點互異且。10、設(shè)，證明：其中。證明：令二次多項式那么易見滿足：于是滿足：因而，引入輔助函數(shù)，那么共有四個零點，依廣義定理，存在滿足：從而，。證畢。11、設(shè)為插值基函數(shù)，，試證明：=1\*GB3①=2\*GB3②證明：由插值，其誤差表達(dá)式，故對于次數(shù)不高于一次的多項式函數(shù)有，從而，特別地取，分別可得=1\*GB3①；=2\*GB3②12、試構(gòu)造一個三次多項式逼近函數(shù)，滿足以下條件。解：取，由插值，，其中，，，代入可得。13、試判斷下面函數(shù)是否為三次樣條函數(shù)：=1\*GB3①=2\*GB3②解：據(jù)三次樣條函數(shù)的定義=1\*GB3①中函數(shù)是三次樣條函數(shù)，=2\*GB3②中函數(shù)不是三次樣條函數(shù)，因其在內(nèi)節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。14、給出如下的數(shù)據(jù)：=1\*GB3①試用重節(jié)點差商法構(gòu)造五次插值多項式滿足所給條件，并給出插值誤差式。=2\*GB3②假設(shè)用型根本函數(shù)法，應(yīng)如何構(gòu)造節(jié)點基函數(shù)。解：=1\*GB3①利用重節(jié)點構(gòu)造如下差商表一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商-10-10-2-10-2100113-7010-1-4313223/211/4-1/8于是可得插值誤差為:=2\*GB3②假設(shè)用型根本函數(shù)法,設(shè)基函數(shù)為,其中均為五次多項式且滿足,,,,,。15、數(shù)據(jù)對=1\*GB3①給出自然邊界條件，試用三彎矩方程構(gòu)造三次樣條函數(shù)，并計算的近似值。=2\*GB3②給出固定邊界條件，試用三轉(zhuǎn)角方程構(gòu)造