人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第13章 軸對(duì)稱 單元測(cè)試卷（含答案解析）

人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第13章軸對(duì)稱單元測(cè)試卷

一、選擇題（共10小題；每小題3分，共30分）

1.在XABC中，口0，8為鈍角.用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點(diǎn)D.使口八〃。=

2口區(qū)則符合要求的作圖痕跡是（）

2.如圖，在4A8C中，邊AB,AC的垂直平分線交于點(diǎn)P,連接BP,CP,若口八=

C.130°D.150°

3.如圖，已知△Q8C中，口兒:呂二彳9，尸是高加和C6的交點(diǎn)，QD=3,CD=5,

則線段BF的長(zhǎng)度為（）

A.7D.4戊一3

4.在等邊A4?C中，D,E分別為A及AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BD=2AE,連接OE,以O(shè)E為邊

在AABC內(nèi)作等邊ADER,連接C尸，當(dāng)D從點(diǎn)A向B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合）時(shí)，ZECFtfj

變化情況是（

A.不變B.變小C.變大D.先變大后變小

5.如圖，四邊形ABCD中，NBAD=120°,ZB=ZD=90°，在8C、C￡＞上分別找到一點(diǎn)M、

N,使周長(zhǎng)最小時(shí)，則ZAAW+ZAMW的度數(shù)為（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

6.如圖,在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點(diǎn)加,A/,使口小BZ=30°.若八例=m,

/A/=x,CN=n,則以x,m,n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨x,加，〃的值而定

7.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).己知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是

圖中的格點(diǎn)，且使得A45C為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（)

A.10B.6C.7D.8

8.如圖，ZMON內(nèi)有一點(diǎn)P,P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱點(diǎn)是G,P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H,GH

分別交OMON于A、B點(diǎn).若GH的長(zhǎng)為10cm,求4PAB的周長(zhǎng)為（）

A.5cmB.10cmC.20cmD.15cm

9.如圖，四邊形ABCD中，HD,AC=5,\JDCB=90°,則四邊形ABCD

的面積為（）

A.15B.12.5C.14.5D.77

10.尺規(guī)作圖要求：i.過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；ii.過直線上一點(diǎn)作這條直

線的垂線；適.作角的平分線.下圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖，則正確的配

A.①一ii，②一i,③一iiiB.①一ii,②一iii,③一i

C.①一iii,②一ii,③一iD.①一iii,②一i,③一ii

二、填空題（24分）

11.如圖，NAOB=30°,OC為N4O8內(nèi)部一條射線，點(diǎn)尸為射線OC上一點(diǎn)，OP=6,點(diǎn)M,N

分別為04,邊上動(dòng)點(diǎn)，則△MA儼周長(zhǎng)的最小值為

12.如圖，在AABC中，A8=AC=10cm,AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,且△BCD的周

長(zhǎng)為17cm,則BC=cm.

13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(a,力與點(diǎn)N(3,-l)關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b的值是

14.如圖，直線Z,為線段48的垂直平分線，交A8于M,在直線乙上取一點(diǎn)G，使得

MCLMB,得到第一個(gè)三角形兇8￡；在射線例&上取一點(diǎn)使得GC2=BG；得到第

二個(gè)三角形A/1BG；在射線MG上取一點(diǎn)G，使得GG=BC2,得到第三個(gè)三角形

15.如圖，AC平分ZDC3,CB=CD,D4的延長(zhǎng)線交8c于點(diǎn)E,若NE4C=49,則NS4E

的度數(shù)為.

16.如圖，在AA3C中，8c的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)E、F.若△AFC是等邊三

角形，則N8=°.

三o解答題(66分)

17.(6分)如圖，在中，ZA=90。，AB=AC,。為BC的中點(diǎn)，E,尸分別是A8,

AC上的點(diǎn)，且求證：(1)DE=DF；(2)DE1DF.

18.(8分)如圖，已知A8〃CD,A8=C2AE=ED,

(1)求證：BE=CF；

(2)若E尸平分NB尸C,求證：AB肝是等腰三角形.

AD

E

19.(8分)如圖.等腰AABC中，AB=AC,點(diǎn)D為直線BC下方一點(diǎn)，

(1)如圖1,若BD=CD,求證：AD平分

⑵如圖2,若ZABD+ZACD=180。(448。>ZAC￡>),DA平分/或心，過點(diǎn)A作CD的垂線,

垂足為點(diǎn)E,DE=3,CD=5.求BD的長(zhǎng)度.

20.(10分)如圖，aABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)D,DF_LCA,DG±

AB,垂足分別為F、G

.⑴求證：BG=CF；

(2)若AB=17,AC=5,求AF的長(zhǎng)度.

21.(10分)如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在8C的延長(zhǎng)線上

(1)如圖1,AE=EC=CD,求證：BE=ED-,

(2)如圖2,若E為AC上異于A、C的任一點(diǎn)，AE=CD,(1)中結(jié)論是否仍然成立？為什

么？

22.(12分)如圖，4ABC中，/ACB=90°,以AC為邊在AABC外作等邊三角形ACD,過點(diǎn)

D作AC的垂線，垂足為F,與AB相交于點(diǎn)E,連接CE.

(1)說明：AE=CE=BE；

(2)若AB=15cm,P是直線DE上的一點(diǎn).則當(dāng)P在何處時(shí)，PB+PC最小，并求出此時(shí)PB+PC

的值.

AEB

23.(12分)(8分)【問題提出】在bABC中，口/?。8=2口8,AD為口區(qū)外:的角

平分線，探究線段A8,AC,CD的數(shù)量關(guān)系.

(1)【問題解決】如圖7,當(dāng)口4：8=9?！?過點(diǎn)D作DELAB,垂足為E,易

得AB=flC+CD-,由此，如圖2,當(dāng)口八。8。90°時(shí)，猜想線段A8,AC,CD

有怎樣的數(shù)量關(guān)系?給出證明.

(2)【方法遷移】如圖3,當(dāng)口閂。笈彳9?！?AD為4ABe的外角平分線時(shí)，探

究線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論，不證明.

E/

BCD

圖3

答案解析

一、選擇題（共10小題；每小題3分，共30分）

1.在4ABC中，"CB為鈍角.用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)。.使AADC=

2乙B,則符合要求的作圖痕跡是（）

B

【解析】???^ADC=2乙B且Z.ADC=NB+乙BCD,

**.乙B=LBCD.

當(dāng)點(diǎn)D是線段BC的垂直平分線與AB的交點(diǎn)時(shí)，DC=DB.

設(shè)BC的垂直平分線與BC交于點(diǎn)M.

DC=DB,

在△OMC與2DMB中MC=MB,

DM=DM,

???△DM3AOM/SSS）,

Z-B=乙MCD.

當(dāng)點(diǎn)D是線段BC的垂直平分線與AB的交點(diǎn)時(shí)，有乙40c=2NB.

2.如圖，在&ABC中，邊AB,AC的垂直平分線交于點(diǎn)P,連接BP,CP,若乙4=50°,

則4BPC=（）

【解析】連接AP,延長(zhǎng)BP交AC于D,

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A

D

???Z.BPC=乙PDC+Z.ACP=Z.BAC+乙ABP+乙ACP,

???點(diǎn)P是AB9AC的垂直平分線的交點(diǎn),

???PA=PB=PC,

???乙ABP=LBAP,Z-ACP=^CAP,

???乙BPC=Z.BAC+^BAP+乙CAP=乙BAC+Z.BAC=2乙BAC=2x50°=100°,

故選B.

3.如圖，已知AABC中，乙4cB=45°,F是高BD和CE的交點(diǎn)，AD=3,CD=5,

則線段BF的長(zhǎng)度為（)

B.1D.4V2-3

B

【解析】?:F是高BD和CE的交點(diǎn),

???乙CDF=Z-ADB=乙CEB=90°,

vZ.CFD=乙BFE,

???Z.DCF=Z.DBA,

vZ.ACB=45°,Z-CDB=90°,

:.乙DCB=乙DBC,

:.CD=BD,

在ACDF和小BDA中，

、乙DCF=LDBA,

CD=BD,

、乙CDF=Z.BDA,

.*.△CDg△BDA(ASA),

??.DP=AD=3,

???BF=BD-DF=5-3=2,

故選：B.

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4.在等邊AABC中，D,E分別為AB,AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BD=2AE,連接力E,以￡>E為邊在

△ABC內(nèi)作等邊ADM,連接C/，當(dāng)D從點(diǎn)A向B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合）時(shí)，/ECF的變

化情況是（）

A.不變B.變小C.變大D.先變大后變小

【答案】A

【詳解】如圖，在AC上截取C7V=AE,連接RV.

,/AABC是等邊三角形，

AZA=60°,AB=AC.

VBD=2AE,:.AD=EN.

ADE尸是等邊三角形，

ADE=EF,"EF=60°.

ZADE=180°-Z4-ZAED=180°-60°-ZAED=1200-Z^ED,

Z7VEF=180°-ZDEF-ZAED=180°-60°-ZAED=1200-ZAED,

:.ZADE=ZNEF.在和ANE尸中，

AD=EN,

:"NADE=NNEF,

ED=EF,

:△ADE/ANEF(SAS),

AE=FN,ZFNE=ZA=6O0,

：.FN=CN,

』NCF=/NFC.

'：ZFNE=ZNCF+ZNFC=f)O°,

Z^CF=30°,即NECF=30°,

NEC廠的大小不變，故選A.

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B

5.如圖，四邊形488中，ZBAD=120\ZB=ZD=90°,在8C、CD上分別找到一點(diǎn)M、

N,使AAMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則ZAMV+ZAMW的度數(shù)為（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】C

【詳解】作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A',A",連接A'A",交BC于M,交CD于N,則A'A"

即為△AMN的周長(zhǎng)最小值.

VZDAB=120°,，NAA'M+/A”=60°.

VZMA'A=ZMAA',NNAD=NA”,

且/MA'A+/MAA'=NAMN,ZNAD+ZA^ZANM,

.?.ZAMN+ZANM=ZMA'A+ZMAA'+ZNAD+ZA,,=2(ZAA'M+ZA")=2x60°=120o.

故選C.

6.如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點(diǎn)M,N,使乙MBN=30°.若AM=m,

MN=x,CN=n,則以x,m,n為邊長(zhǎng)的三角形的形狀為（）

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m

BC

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨x,m,n的值而定

【解析】將ZABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到4CBH.連接HN.

???△ABC是等邊三角形，

Z.ABC=Z-ACB=Z,A=60°,

v乙MBN=30°,

???44BM+4C8N=30°,

???乙NBH=Z.CBH+乙CBN=30°,

???乙NBM=乙NBH,

???BM=BH,BN=BN,

,MNBM咨ANBH,

MN=NH=%,

???乙BCH=^A=60°,CH=AM=m,

???乙NCH=120°,

.?.X,m,n為邊長(zhǎng)的三角形4NCH是鈍角三角形,

故選：C.

7.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是

圖中的格點(diǎn)，且使得“1BC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A.10B.6C.7D.8

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【答案】D

【詳解】解：如圖，分情況討論：

①AB為等腰4ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；

②AB為等腰4ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).

故選：D.

8.如圖，ZMON內(nèi)有一點(diǎn)P,P點(diǎn)關(guān)于0M的軸對(duì)稱點(diǎn)是G,P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H,

GH分別交OM、ON于A、B點(diǎn).若GH的長(zhǎng)為10cm,求4PAB的周長(zhǎng)為（）

【答案】B

【詳解】試題分析：..1點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱點(diǎn)是G,P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H,

；.PA=AG,PB=BH,

.".△PAB的周長(zhǎng)=AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm.

故選B.

9.如圖，四邊形ABCD中，4B=AD,AC=5,^DAB=乙DCB=90。，則四邊形ABCD

的面積為（）

12.5C.14.5D.17

B

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【解析】如圖，過4作AEA.AC,交CB的延長(zhǎng)線于E,

Z.D+Z.ABC=180°=Z.ABE+Z.ABC,

z.￡)=/.ABE,

又v/.DAB=/.CAE=90°,

乙CAD=Z.EAB,

又AD=AB,

:.XACD迫AAEB,

AC=AE>SMCD=S—EB，

四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等,

S^ACE=_x5x5=12.5,

四邊形ABCD的面積為12.5,

故選B.

io.尺規(guī)作圖要求：i.過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；ii.過直線上一點(diǎn)作這條直

線的垂線；iii.作角的平分線.下圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖，則正確的配

①②③

A.①一ii,②一i,③一iiiB.①一ii,②一iii,③一i

C.①一iii,②一ii,③一iD.①一iii,②一i,③一ii

D

【解析】圖中的作圖分別是作角平分線、過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線和過已知直線上一

點(diǎn)作該直線的垂線.

二、填空題（24分）

11.如圖，N4O8=30°,OC為NAO8內(nèi)部一條射線，點(diǎn)尸為射線OC上一點(diǎn)，OP=6,點(diǎn)、M,N

分別為邊上動(dòng)點(diǎn)，則△MNP周長(zhǎng)的最小值為.

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oB

6

【解析】

【分析】

作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)Pi,點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)P2,連結(jié)P1P2,與0A的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,

與0B的交點(diǎn)即為點(diǎn)N,則此時(shí)M、N符合題意，求出線段P1P2的長(zhǎng)即可.

【詳解】

解：作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)Pi,點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)P2,連結(jié)P1P2與0A的交點(diǎn)即為點(diǎn)

M,與0B的交點(diǎn)即為點(diǎn)N,

0PMN的最小周長(zhǎng)為PM+MN+PN=PIM+MN+P2N=PIP2,即為線段P1P2的長(zhǎng)，

連結(jié)OPi、0P2.則OPI=OP2=OP=6,

X00PIOP2=20AOB=6O",

00OP1P2是等邊三角形，

團(tuán)PIP2=OPI=6,

即EIPMN的周長(zhǎng)的最小值是6.

故答案是：6.

12.如圖，在AABC中,A8=AC=10cm,A8的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，且△5。的周

長(zhǎng)為17cm,則8C=cm

【解析】

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【分析】

根據(jù)OE是4B的垂直平分線可得AD=%>,結(jié)合ABCD的周長(zhǎng)為17cm可得結(jié)論.

【詳解】

回是AB的垂直平分線，

回AD=BD-

回△BCD的周長(zhǎng)為17cm,

QBC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=n(cm),

乂國(guó)AB=AC=10cm,

EBC=17-10=7(cm).

故答案為：7.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(a涉)與點(diǎn)N(3,-l)關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+b的值是.

4

【解析】

【分析】

根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)求得a、b的值即可求得答案.

【詳解】

?.?點(diǎn)M(a,b)與點(diǎn)M(3,-l)關(guān)于x軸對(duì)稱，

..6?=3,b=1,

則a+b的值是：4,

故答案為4.

14.如圖，直線L為線段AB的垂直平分線，交AB于在直線乙上取一點(diǎn)G，使得

MG=MB,得到第一個(gè)三角形AABG；在射線MG上取一點(diǎn)C?,使得GG=BG；得到第

二個(gè)三角形AABCz；在射線MG上取一點(diǎn)G，使得6。3=8。2,得到第三個(gè)三角形MBC3......

依次這樣作下去，則第2020個(gè)三角形A48C202。中ZAC2O2OB的度數(shù)為

【解析】

【分析】

第17頁共29頁

根據(jù)前3個(gè)三角形總結(jié)出N4Q8的規(guī)律，利用規(guī)律即可解題.

【詳解】

第一個(gè)二角形中，NAG3=90o=黃

第二個(gè)三角形中，

SCjQ=BC、

,ZC2C,B=ZC,BC2

?.?/。2&8+/。田。2=45°

.?.NC2G8=22.5。

AC2=BC2

90°

???ZAC2B=2/C2GB=45°=—

90°

同理，第三個(gè)三角形中，NAG8=22.50=黃

90°

第2020個(gè)三角形AABGoz。中^AC2moB的度數(shù)為聲

90°

故答案為了而

15.如圖，AC平分NOCB,CB=CD,D4的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E,若NE4C=49,則NS4E

的度數(shù)為.

D

82°.

【解析】

【分析】

如圖，連接瓦），延長(zhǎng)C4與8。交于點(diǎn)尸,利用等腰三角形的三線合一證明C尸是BO的垂直

平分線，從而得到AB=AD,再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：ND4F=NBAF,從而可得答

第18頁共29頁

案.

【詳解】

解：如圖，連接80,延長(zhǎng)C4與8。交于點(diǎn)￡

???AC平分NOC3,CB=CD,

..ChBD,DF=BF,

.?.C9是8。的垂直平分線，

/.AB=AD,

ZDAF=NBAF,

?.-ZE4C=49°,

/.ZDAF=ZBAF=ZEAC=49°,

/.ZBAE=180°-49°-49°=82°,

故答案為：82°.

16.如圖，在AABC中，8c的垂直平分線分別交8C、A8于點(diǎn)E、F.若是等邊三

角形，則/8=1

30

【解析】

【分析】

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到回B=E)BCF,再利用等邊三角形的性質(zhì)得到回AFC=60。，從而可得回B.

【詳解】

解：回EF垂直平分BC,

0BF=CF,

第19頁共29頁

00B=0BCF,

甌ACF為等邊三角形,

03AFC=6O°,

0E)B=!3BCF=3O,.

故答案為：30.

一、解答題(共66分。)

17.(6分)如圖，在AABC中，ZA=90。，AB^AC,。為3c的中點(diǎn)，E,F分別是48,

AC上的點(diǎn)，且=求證：

(1)DE=DF；(2)DE1DF.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【解析】

⑴

證明：連接AD,如圖,

VZBAC=90°,。為3c的中點(diǎn),

/.AD=BD=CD=-BC,

2

；AB=AC,NBAC=90°,

ZB=ZC=45°,

：AB=AC,力為BC的中點(diǎn)，

ZDAC=±ZBAC=-^0=45?,

22

第20頁共29頁

，/B=NDAF=45°,

在ABDE與AADF中，

BD=AD

■NB=ZDAF,

BE=AF

.".△BDE^AADF(SAS),

ADE=DF.

(2)

證明：由(1)知：Z\BDE空Z\ADF,

.\ZBDE=ZADF,

VAB=AC,。為BC的中點(diǎn)，

.".ADIBC,

；.NADB=90°,

AZBDE+ZEDA=ZADB=90°,

?\ZEDF=ZADF+ZEDA=90°,

ADE1DF.

18.(8分)如圖，已知A8〃8,A8=CZ),AE=a>,

⑴求證：BE=CF；

⑵若E尸平分ZBFC,求證：AB所是等腰三角形.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)AB〃C￡>,可得/A=/D,利用SAS證明4ABE<Z\DCF即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NAEB=NDFC,進(jìn)而可得NBEF=/CFE,然后利用角平分

線的定義等量代換后可得NBEF=NBFE,求出BE=BF可得結(jié)論.

第21頁共29頁

AB=DC

(1)證明：AB//CD,/.ZA=ZD,在ZkABE和ADCF中，，ZA=ND,.".△ABE^ADCF

AE=DF

(SAS),.\BE=CF；

(2)證明：VAABE^ADCF,，NAEB=NDFC,；NBEF=180"—NAEB,ZCFE=180°

-ZDFC,/.ZBEF=ZCFE,又；E尸平分NBFC,AZBFE=ZCFE,ZBEF=ZBFE,

BE=BF,...“BE尸是等腰三角形.

19.(8分)如圖.等腰AABC中，A5=AC,點(diǎn)D為直線BC下方一點(diǎn),

⑴如圖1,若BD=CD,求證：AD平分NBDC

⑵如圖2,若ZABD+ZACD=180°(ZABD>ZACO),DA平分N80C,過點(diǎn)A作CD的垂線,

垂足為點(diǎn)E,DE=3,CD=5.求BD的長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見詳解

⑵1

【解析】

(1)

證明：-：AB=AC,DB=CD,

.■.AD垂直平分BC，

-,-AB=AC,

.?.A￡>平分NBDC；

(2)

解：如圖，過點(diǎn)A作Ab_L3。于F,

第22頁共29頁

A

?/ZABD+ZACD=180o,ZABD+ZABF=180°,

??.ZABF=ZACE,

在A43戶和A4C石中，

^AFB=AAEC=90°

<NABF=NACE

AB=AC

.-.AABF^MCE(AAS),

:.AF=AE,BF=CE,

在RtAADF和RtA/WE中,

jAD=AD

[AF=AE'

RtAADF^RtAAZ)E(HL),

:.DF=DE,

?.?DE=DF=3,CD=5

:.CE=2=BF,

:.BD=DF-BF=1.

20.（10分）如圖，△ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)D,DF±CA,DG

±AB,垂足分別為F、G.

(1)求證:BG=CF；

⑵若AB=17,AC=5,求AF的長(zhǎng)度.

第23頁共29頁

【答案】⑴見解析

(2)6

【分析】(1)連接8。，CD,證明ABDGgACO尸，由此可得BG=CE；

(2)由勾股定理證AF=AG,由ABDG絲ACDF證3G=CF，設(shè)3G=b=x,AG=AF=y,

則由題意可列出關(guān)于x,y的二元一次方程組，由此進(jìn)行求解.

⑴

證明：連接80，CD.

:AO平分NBAF，DGA.AB,DF1CF,

DG=DF.

??1垂宜平分BC,

BD=CD.

在Rt^BDG與Rt^CDF中，

[DG=DF

\BD=CD'

■■■RtABDGqRt/XCDF(HL).

BG=CF.

(2)

解：?；R3DG冬RtACDF,

BG=CF.

:DG=DF,

AD2-DG'=AD2-DF2,EPAG2=AF~,

：.AG^AF.

設(shè)3G=CF=x,AG=AF=y,

則AB=8G+AG=x+y=17①，

AC^CF-AF=x-y=5?.

聯(lián)立①②，解得x=ll,y=6.

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???AF的長(zhǎng)度為6.

21.(10分)如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上.

⑴如圖1,AE=EC=CD,求證：BE=ED；

(2)如圖2,若E為AC上異于A、C的任一點(diǎn)，AE=CD,(1)中結(jié)論是否仍然成立？為什

么？

【答案】⑴證明見解析

⑵成立，理由見解析

【解析】

(1)

證明：；A/WC是等邊三角形，AE=EC=CD,

，BE平分ZABC,NCED=ZD.

ZACB=NCED+ZD=60。，

NCED=ZD=30。，NEBD=-4ABC=30°,

2

NEBD=ZD,

：.BE=ED；

(2)

解：(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

:AABC是等邊三角形,過點(diǎn)E作EF〃BD交AB于點(diǎn)F,如圖所示,

則NAFE=NABC,ZAEF=ZACB,

；.AAFE是等邊三角形.

"：AE=CD,

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，AE=AF=EF=CD,

：.AB-AF=AC-AE,

即8尸=￡€.

,/NBFE是zMFE的外角，ZECD足AABC的外角,

ZBFE=NECD,

EF=CD

在4BFE和AECD中，-4BFE=ZECD,

BF=EC

；.ABFE絲AECD(SAS).

：.BE=ED

22.（12分）如圖，ZXABC中，/ACB=90°,以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD,過

點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F,與AB相交于點(diǎn)E,連接CE.

（1）說明：AE=CE=BE；

（2）若AB=15cm,P是直線DE上的一點(diǎn).則當(dāng)P在何處時(shí)，PB+PC最小，并求出此時(shí)PB+PC

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)P在E處時(shí)，PB+PC=15cm.

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形“三合一”的性質(zhì)證得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的

判定知AE=CE,根據(jù)等邊對(duì)等角、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)以及等量代換求得/

BCE=/B；最后根據(jù)等角對(duì)等邊證得CE=BE,所以AE=CE=BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC,故PC=PA：由等量代換知PB+PC=PB+PA；根據(jù)兩點(diǎn)之

間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P、