小學(xué)數(shù)學(xué)5年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第20講 最小公倍數(shù)含解析

第20講最小公倍數(shù)

0學(xué)習(xí)目標(biāo)

京掌握倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，最小公倍數(shù)的求法；

小會利用最小公倍數(shù)解決實(shí)際問題。

舉知

一、約數(shù)和倍數(shù)的定義

整數(shù)A能被整數(shù)B整除，A叫做B的唐數(shù)，B就叫做A的約粼在自然數(shù)的范圍內(nèi)）。

如：2和6是12的約數(shù)，12是2的倍數(shù)，12也是6的倍數(shù)；

18的約數(shù)有1、18、2、9、3、6o

注意：①一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是有限的，一個數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個。

②任何數(shù)都有最小的約數(shù)1,最大的約數(shù)本身，最小的倍數(shù)也是本身。

③一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……

其中最小的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

④因數(shù)和約數(shù)的區(qū)別：約數(shù)必須在整除的前提下才存在，而是從乘積的角度來提出的。如果

數(shù)a與數(shù)b相乘的積是數(shù)c,a與b都是c的。

二、2、3和5倍數(shù)的特征

2的倍數(shù)的數(shù)特征是個位是0、2、4、6、8,是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)

叫奇數(shù)

5的倍數(shù)的數(shù)特征是個位是0或5

3的倍數(shù)的數(shù)特征是一個數(shù)各位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)

三、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

（1）只有1和本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）

（2）除了1和本身外還有其它因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)

(3)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)

(4)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、

59、61、67、71、73、79、83、89、970

(5)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小

公倍數(shù),如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18.....

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的

最小公倍數(shù)。記作⑵3]=6。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

注意：最大公約數(shù)x最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積，

即(a,b)x[a,b]=axb。

〉典例分析

考點(diǎn)一：最小公倍數(shù)的求法

例1、列舉法：求6和10的最小公倍數(shù)。

例2、短除法：求56和24的最小公倍數(shù)。

例3、分解質(zhì)因數(shù)法：求120和100的最小公倍數(shù)

例4、多個數(shù)求最小公倍數(shù)：求45、60和75的最小公倍數(shù)

考點(diǎn)二：應(yīng)用最小公倍數(shù)巧算

例1、一次數(shù)學(xué)競賽均是填空題，小明答錯的恰是題目總數(shù)的上，小亮答錯5道題，兩人都答錯的題目占題

4

目總數(shù)的已知小明、小亮答對的題目數(shù)超過了試題總數(shù)的一半，則他們都答對的題有多少道.

6

例2、某加油站有二位員工，從今年1月1日起規(guī)定：員工甲每工作3天后休息1天，員工乙每工作5天后

休息2天，當(dāng)遇到二人都休息時，必須另聘一位臨時工，則今年共有多少天要聘1個時工人？

例3、一個植樹小組原計(jì)劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且己經(jīng)挖好坑。后來改為每隔6

米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？（希望杯考題）

考點(diǎn)三：最小公倍數(shù)綜合

例1、有一些畫片，如果平均分給3個同學(xué)，還余1張；如果平均分給5個同學(xué)，還余3張；如果平均分給

4個同學(xué)，則少2張.這些畫片至少有多少張？

例2、有一位天文觀察家，他觀察一顆行星靠近地球的情況是有規(guī)律的，只要是年份數(shù)除以10余數(shù)是5,

且被3、5、7、9除時，沒有余數(shù)，從公元00年到公元2000年時，星球飛近多少次？

承實(shí)戰(zhàn)演練4

》一-課堂狙擊

一、填空題

1、30以內(nèi)3的倍數(shù)有（）,4的倍數(shù)有（）,3和4的公倍

數(shù)有（）,最小公倍數(shù)是（）。

2、在12、15、36、64、450、950六個數(shù)中，是3的倍數(shù)有（）,是5的倍數(shù)的有（），

是2的倍數(shù)的有（）；是2和5的公倍數(shù)的有（）,是2和3的公倍數(shù)的

有（），是3和5的公倍數(shù)的有（）；同時是2、3和5的公倍數(shù)的數(shù)是（）。

3、用0、3、5、7四個數(shù)組成一個同時是2和5的倍數(shù)的四位數(shù)，最大是（），最小是（）。

4、要使601口既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，那么□里可以填（）。

二、解答題

5、寫出每組數(shù)的最小公倍數(shù)

8和1051和35和4

57和1991和79和1

6、一個汽車站內(nèi)有兩路公共汽車.甲路汽車每隔4分鐘發(fā)出一輛，乙路汽車每隔6分鐘發(fā)出一輛，至少每

隔多少分鐘，兩路汽車會同時發(fā)車？

7、一排路燈，原來每兩盞之間的距離是30米，現(xiàn)在改用50米，如果起點(diǎn)的一盞路燈不動，至少再隔多少

米又有一盞不必移動？

8、有一批水果，總數(shù)在1000個以內(nèi)。如果每24個裝一箱，最后一箱差2個；如果每28個裝一箱，最后

一箱還差2個；如果每32個裝一箱，最后一箱只有30個。這批水果共有多少個？

＞課后反擊

一、判斷題

1、一個數(shù)最小的倍數(shù)與它最大的因數(shù)相等。（）

2、兩個質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。（）

二、選擇題

3、a是一個質(zhì)數(shù)，則a的倍數(shù)有0個

A、1個B、2個C、無數(shù)個

4、如果b是一個整數(shù)，那么2b一定是0

A、合數(shù)B、偶數(shù)C、素?cái)?shù)

三、解答題

5、甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去

一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會，問至少再過多少天他們?nèi)擞衷趫D書館相會？

6、兩個數(shù)的最大公約數(shù)是9,最小公倍數(shù)是90,求這兩個數(shù)分別是多少？

7、一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊?

8、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地點(diǎn)同時同方向跑步,

經(jīng)過多少時間三人又同時從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)？

重點(diǎn)回顧

1、倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，最小公倍數(shù)的求法；

2、利用最小公倍數(shù)解決實(shí)際問題。

電名師點(diǎn)撥

1、解答與公因數(shù)或公倍的應(yīng)用題，關(guān)鍵是先求出最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，然后按題意解答要求的問題。

最小公倍數(shù)的應(yīng)用題，解題方法比較獨(dú)特。當(dāng)有些題中所求的數(shù)不正好是已知數(shù)的最小公倍數(shù)時，我們可

以通過“增加一部分”或“減少一部分”的方法，使問題轉(zhuǎn)換成已知數(shù)的最小公倍數(shù)，從而求出結(jié)果。

2、幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個公倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

自然數(shù)a、b的最小公倍數(shù)可以記作［a、bj＞當(dāng)（a、b）=l時，［a、b］=axb。

兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有著下列關(guān)系：

最大公約數(shù)x最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積

即（a、b）x[a,b]=axb

要解答求最小公倍數(shù)的問題，關(guān)鍵要根據(jù)題目中的已知條件，對問題作全面的分析，若要求的數(shù)對己

知條件來說，是處于被除數(shù)的地位，通過就是求最小公倍數(shù)，解題時要避免和最大公約數(shù)問題混淆。

學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)

＞本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

第20講最小公倍數(shù)

箏？教學(xué)目標(biāo)...

>教學(xué)目標(biāo)掌握倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，最小公倍數(shù)的求法；

也會利用最小公倍數(shù)解決實(shí)際問題。

覆知識描里...

一、約數(shù)和倍數(shù)的定義

整數(shù)A能被整數(shù)B整除，A叫做B的詹教，B就叫做A的約數(shù)(在自然數(shù)的范圍內(nèi))。

如：2和6是12的約數(shù)，12是2的倍數(shù)，12也是6的倍數(shù)；

18的約數(shù)有1、18、2、9、3、6。

注意：①一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)是有限的，一個數(shù)的倍數(shù)有無數(shù)個。

②任何數(shù)都有最小的約數(shù)1,最大的約數(shù)本身，最小的倍數(shù)也是本身。

③一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小

的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

④因數(shù)和約數(shù)的區(qū)別：約數(shù)必須在整除的前提下才存在，而是從乘積的角度來提出的。如果數(shù)a與數(shù)b相

乘的積是數(shù)c,a與b都是c的。

二、2、3和5倍數(shù)的特征

2的倍數(shù)的數(shù)特征是個位是0、2、4、6、8,是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)

5的倍數(shù)的數(shù)特征是個位是0或5

3的倍數(shù)的數(shù)特征是一個數(shù)各位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)

三、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

(1)只有1和本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù))

(2)除了1和本身外還有其它因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)

(3)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)

(4)100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2,3,5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53>59、61、67>

71、73、79、83、89、97。

(5)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù),如2

的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18.......

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。

記作12,31=6。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

注意：最大公約數(shù)x最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積，

即(a,b)x[a,b]=axb。

典例分析

考點(diǎn)一：最小公倍數(shù)的求法

例1、列舉法：求6和10的最小公倍數(shù)。

【解析】先分別寫出6和8各自的倍數(shù)，再從中找出公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。

6的倍數(shù)：6,12,18,24,30,36,42,48...

10的倍數(shù)：10,20,30,40,50...

所以6和10的最小公倍數(shù)是30。

例2、短除法：求56和24的最小公倍數(shù)。

[解析]21PG-%----------

2[2812

2.146

73

56和24的最小公倍數(shù)是2X2X2X7X3=168

例3、分解質(zhì)因數(shù)法：求120和100的最小公倍數(shù)

【解析】120=2x2x2x3x5

100=2x2x5x5

[120,1001=2x2x2x3x5x5=600

例4、多個數(shù)求最小公倍數(shù)：求45、60和75的最小公倍數(shù)

【解析】3456090

3152030

55?010

21L2

121

[45,60,90]=180（當(dāng)除到任意兩數(shù)還有公因數(shù)時，則還要繼續(xù)除下去）

考點(diǎn)二：應(yīng)用最小公倍數(shù)巧算

例1、一次數(shù)學(xué)競賽均是填空題，小明答錯的恰是題目總數(shù)的小亮答錯5道題，兩人都答錯的題目占題

4

目總數(shù)的已知小明、小亮答對的題目數(shù)超過了試題總數(shù)的一半，則他們都答對的題有多少道.

6

【解析】因小明答錯的恰是題目總數(shù)的,，兩人都答錯的題目占題目總數(shù)的工，所以題目的總數(shù)應(yīng)是4和

46

6的倍數(shù)，然后根據(jù)小明、小亮答對的題目數(shù)超過了試題總數(shù)的一半，分情況進(jìn)行解答。

解：已知題目個數(shù)一定是整數(shù).設(shè)為X

X是4和6的倍數(shù).

x

且一<5,X<30；

6

X

有一VX-5,X>10；

2

*>5時，即X>20時，

4

所以X=24；

答：都答對的題有24-5-6+4=17。

例2、某加油站有二位員工，從今年1月1日起規(guī)定：員工甲每工作3天后休息1天，員工乙每工作5天后

休息2天，當(dāng)遇到二人都休息時，必須另聘一位臨時工，則今年共有多少天要聘1個時工人？

【解析】甲每到4的倍數(shù)就休息，而乙每到7的倍數(shù)和比7的倍數(shù)少一天都休息.因?yàn)?/p>

4和7的最小公倍數(shù)是28,因?yàn)榻衲晔瞧侥?，所以?8的倍數(shù)休息的日子時；

365+28H5（天），而在比7的倍數(shù)少一天休息時，甲乙第一次重逢的日子是

第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345（天），345+28=12（天）

所以甲乙兩人共同休息的天數(shù)是15+12+1=28（天）

例3、一個植樹小組原計(jì)劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且已經(jīng)挖好坑。后來改為每隔6

米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？（希望杯考題）

【解析】這一段地全長96米，從一端每隔4米挖一個坑，一共要挖樹坑：

96+4+1=25（個）

后來，改為每隔6米栽一棵樹，原來挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6

的最小公倍數(shù)是12,所以從第一個坑開始，每隔12米的那個坑不必挖。

96米中有8個12米，有8個坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個坑，一共有9個坑不必重新挖。

9672+1=9（個）答：。重新挖樹坑時可以少挖9個。

考點(diǎn)三：最小公倍數(shù)綜合

例1、有一些畫片，如果平均分給3個同學(xué)，還余1張；如果平均分給5個同學(xué)，還余3張；如果平均分給

4個同學(xué)，則少2張.這些畫片至少有多少張？

【解析】由于平均分給3個同學(xué)，還余1張則這個數(shù)減1是3的倍數(shù)；如果平均分給5個同學(xué)，還余3張

則這個數(shù)減3是5的倍數(shù)；如果平均分給4個同學(xué)，則少2張則這個數(shù)加2是4的倍數(shù).因此，我們可

從3,4,5的最小公倍數(shù)入手來分析一下，3,4,5的最小公倍數(shù)為3x4x6x=60.由于是求最小，我們

可從減開始，如果平均分給4個同學(xué)，則少2張，60-2=58,58+3=19…1,58+5=11...3,所以這個數(shù)最

小為58.

解：根據(jù)題意可知，這個數(shù)減1是3的倍數(shù)，減3是5的倍數(shù)，加2是4的倍數(shù).

3,4,5的最小公倍數(shù)為3x4x6x=60.

60-2=58,

58+3=19…1,

58+5=11…3,

所以這個數(shù)最小為58.

例2、有一位天文觀察家，他觀察一顆行星靠近地球的情況是有規(guī)律的，只要是年份數(shù)除以10余數(shù)是5,

且被3、5、7、9除時，沒有余數(shù)，從公元00年到公元2000年時，星球飛近多少次？

【解析】因?yàn)?、5、7、9的最小公倍數(shù)是：5x7x9=315,

所以2000以內(nèi)，3、5、7、9的公倍數(shù)有：315、630、945、1260、1575、1890；

其中630、1260、1890是10的倍數(shù)，不符合題意；

所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次.

答:從公元00年到公元2000年時，星球飛近3次.

實(shí)戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

一、填空題

1、30以內(nèi)3的倍數(shù)有（），4的倍數(shù)有（），3和4的公倍數(shù)有0,最小公倍數(shù)是0。

【解析】（3、6、9、12、15、18、21、24、27、30）,（4、8、12、16、20、24、28）,（12、24）,（12）

2、在12、15、36、64、450、950六個數(shù)中，是3的倍數(shù)有（），是5的倍數(shù)的有（），是2的倍數(shù)的有（）；

是2和5的公倍數(shù)的有（），是2和3的公倍數(shù)的有（），是3和5的公倍數(shù)的有（）；同時是2、3和5的公倍

數(shù)的數(shù)是0。

【解析】（12、15、36、450）,（15、450、950）,（12、36、64、450、950）,（450、950）,（12、36、450）,（15、

450）,（450）

3、用0、3、5、7四個數(shù)組成一個同時是2和5的倍數(shù)的四位數(shù)，最大是（），最小是（）。

【解析】（7530）,（3570）

4、要使601口既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，那么口里可以填（）o

【解析】（2、5、8）

二、解答題

5、寫出每組數(shù)的最小公倍數(shù)

8和1051和35和4

57和1991和79和1

【解析】40,51,20,57,91,9

6、一個汽車站內(nèi)有兩路公共汽車.甲路汽車每隔4分鐘發(fā)出一輛，乙路汽車每隔6分鐘發(fā)出一輛，至少每

隔多少分鐘，兩路汽車會同時發(fā)車？

【解析】4和6的最小公倍數(shù)為12,

如果每天兩車首發(fā)為同一時間的話，則兩車至少每隔12分鐘會同時發(fā)車。

7、一排路燈，原來每兩盞之間的距離是30米，現(xiàn)在改用50米，如果起點(diǎn)的一盞路燈不動，至少再隔多少

米又有一盞不必移動？

【解析】因?yàn)?0和50的最小公倍數(shù)是150,

所以至少再隔150米又有一盞不必移動；

答：至少再隔150米又有一盞不必移動.

8、有一批水果，總數(shù)在1000個以內(nèi)。如果每24個裝一箱，最后一箱差2個；如果每28個裝一箱，最后

一箱還差2個；如果每32個裝一箱，最后一箱只有30個。這批水果共有多少個？

【解析】根據(jù)題意可知，這批水果再增加2個后，每24個裝一箱，每28個裝一箱或每32個裝一箱都能裝

整箱數(shù)，也就是說，只要把這批水果增加2個，就正好是24、28和32的公倍數(shù)。我們可以先求出24、28

和32的最小公倍數(shù)672,再根據(jù)“總數(shù)在1000以內(nèi)”確定水果總數(shù)。

[24,28,32]=672

672—2=670（個）

即：這批水果共有670個。

＞課后反擊

一、判斷題

1、一個數(shù)最小的倍數(shù)與它最大的因數(shù)相等。（）

2、兩個質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。（）

【解析】V,V

二、選擇題

3、a是一個質(zhì)數(shù)，則a的倍數(shù)有0個

A、1個B、2個C、無數(shù)個

4、如果b是一個整數(shù)，那么2b一定是（）

A、合數(shù)B、偶數(shù)C、素?cái)?shù)

【解析】C,B

三、解答題

5、甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去

一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會，問至少再過多少天他們?nèi)擞衷趫D