高中數(shù)學(xué)-第二章-推理與證明-2.3-數(shù)學(xué)歸納法課件-新人教B版選修2-2

§2.3數(shù)學(xué)歸納法第二章

推理與證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式等簡單的數(shù)學(xué)命題.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法在學(xué)校，我們經(jīng)常會看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會倒下.思考1

試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？答案答案(1)第一輛自行車倒下.(2)任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下導(dǎo)致后一輛一定倒下.思考2

利用這種思想方法能解決哪類數(shù)學(xué)問題？答案答案一些與正整數(shù)n有關(guān)的問題.(1)數(shù)學(xué)歸納法一個與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果①當(dāng)n取

時命題成立；②在假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時命題成立的前提下，推出當(dāng)n＝

時命題也成立，那么可以斷定，這個命題對n取

的所有正整數(shù)成立.梳理第一個值n0k＋1第一個值后面(2)數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示題型探究類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式證明(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立.由(1)(2)可得對于任意的n∈N＋等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題時，關(guān)鍵在于先“看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時，等式兩邊會增加多少項(xiàng)；再“兩湊”，將n＝k＋1時的式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形式——湊假設(shè)，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論所需的形式——湊結(jié)論.反思與感悟證明左邊＝右邊，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時，等式成立，當(dāng)n＝k＋1時，∴當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立.由①②可知，對一切n∈N＋等式成立.類型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明即n＝1時不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時不等式成立，那么當(dāng)n＝k＋1時，所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立.(1)驗(yàn)證第一個n值時，要注意n0不一定為1，若n>k(k為正整數(shù))，則n0＝k＋1.(2)證明不等式的第二步中，從n＝k到n＝k＋1的推導(dǎo)過程中，一定要用到歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙贇w納假設(shè).反思與感悟(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明.(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時成立得n＝k＋1時也成立，主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.證明證明(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝2.左邊<右邊，不等式成立.則當(dāng)n＝k＋1時，(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N＋)時，不等式成立，∴當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立.由(1)(2)可知，原不等式對任意n∈N＋都成立.解答類型三歸納—猜想—證明例3已知數(shù)列{an}中，a2＝a＋2(a為常數(shù))，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且Sn是nan與na的等差中項(xiàng).(1)求a1，a3；解由已知2Sn＝nan＋na＝n(an＋a).當(dāng)n＝1時，S1＝a1，所以2a1＝a1＋a，即a1＝a；當(dāng)n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3，所以有2(a1＋a2＋a3)＝3(a3＋a)，因?yàn)閍2＝a＋2，a1＝a，所以a3＝a＋4.解答(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.解由a1＝a，a2＝a＋2，a3＝a＋4，猜想：an＝a＋2(n－1).證明：①當(dāng)n＝1時，左邊＝右邊，等式成立；當(dāng)n＝2時，由a2＝a＋2知，等式也成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時，等式成立，即ak＝a＋2(k－1).那么當(dāng)n＝k＋1時，所以2ak＋1＝(ak＋1＋a)(k＋1)－(ak＋a)·k.所以(k－1)ak＋1＝kak－a.將ak＝a＋2(k－1)代入，得所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立.由①②知，對任意n∈N＋，等式an＝a＋2(n－1)都成立.反思與感悟(1)“歸納—猜想—證明”的解題步驟(2)歸納法的作用歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法.歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想.“觀察—猜想—證明”是解答與自然數(shù)有關(guān)命題的有效途徑.解答跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)a>0，f(x)＝

，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；解因?yàn)閍1＝1，an＋1＝f(an)，解答(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.解①易知當(dāng)n＝1時，結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，猜想成立，則當(dāng)n＝k＋1時，即當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立.當(dāng)堂訓(xùn)練1.若命題A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)時命題成立，則有n＝k＋1時命題成立.現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N＋)時命題成立，則有A.命題對所有正整數(shù)都成立B.命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C.命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)

都成立D.以上說法都不正確√解析由已知得n＝n0(n0∈N＋)時命題成立，則有n＝n0＋1時命題成立；在n＝n0＋1時命題成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1時命題也成立，依此類推，可知選C.答案23451解析2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”.在驗(yàn)證n＝1時，左端計(jì)算所得項(xiàng)為A.1＋a B.1＋a＋a2C.1＋a＋a2＋a3 D.1＋a＋a2＋a3＋a4答案√23451解析將n＝1代入a2n＋1得a3，故選C.解析3.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值為√答案23451解析234514.用數(shù)學(xué)歸納法證明

在第二步證明從n＝k到n＝k＋1不等式成立時，左邊增加的項(xiàng)數(shù)為____.2k解析左邊增加的項(xiàng)數(shù)為2k＋1－2k＝2k.答案解析解答234515.請觀察以下三個式子：歸納出一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.23451解結(jié)論：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)證明：①當(dāng)n＝1時，左邊＝3，右邊＝3，所以命題成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，命題成立，則當(dāng)n＝k＋1時，234511×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)23451所以當(dāng)n＝k＋1時，命題成立.由①②知，命題成立.規(guī)律與方法在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題時應(yīng)注意