三單元立體及其表面交線

第三單元立體及其表面交線第一節(jié)平面體及其切割的投影作圖第二節(jié)

曲面體及其切割的投影作圖第三節(jié)兩圓柱體正交及同軸回轉(zhuǎn)體相貫的投影作圖第一節(jié)平面體及其切割的投影作圖

表面由平面圍成的立體稱為平面體。常見的平面體主要有棱柱和棱錐。棱柱和棱錐通過疊加或切割可以構(gòu)成形狀各異的主體。

平面與立體表面的交線稱為截交線，該平面為截平面。平面與平面體相交，截交線是由直線圍成的平面多邊形，是截平面與平面體的共有線。一、棱柱1

投影分析正六棱柱的頂面和底面是互相平行的正六邊形，六個棱面均為矩形，且與頂面和底面垂直。為作圖方便，選擇正六棱柱的頂面和底面平行于水平面，并使前、后兩個棱面與正面平行。2作圖步驟

1）作正六棱柱的對稱中心線和底面基線，先畫出具有輪廓特征的俯視圖——正六邊形。

2）按長對正的投影關(guān)系，并量取正六棱柱的高度畫出主視圖，再按高平齊、寬相等的投影關(guān)系畫出左視圖。3棱柱體表面上的點的投影已知正六棱柱的側(cè)棱面ABCD上的點M的正面投影m′，求作m和m″。由于點M所在棱面是鉛垂面，其水平投影積聚成直線abcd，因此，點M的水平投影必在該直線上，可由m′直接作出m，再由m′和m作出m″。因為棱面ABCD的側(cè)面投影可見，所以m″可見。

正六棱柱的投影特征是：頂面和底面的水平投影重合，并反映實形——正六邊形，六邊形的正面和側(cè)面投影均積聚為直線.

六個棱面的水平投影分別積聚為六邊形的六條邊；正面投影反映實形，側(cè)面投影積聚成兩條直線；正面和側(cè)面投影雖仍為矩形，但都小于原形。二、棱錐1投影分析四棱錐前后、左右對稱，其水平投影反映實形。左、右兩個棱面垂直于正面，它們的正面投影積聚成直線。前、后兩個棱面垂直于側(cè)面，側(cè)面投影積聚成直線。與錐頂相交的四條棱線不在三個投影面上的投影都不反映實長。2作圖步驟

1）作四棱錐的對稱中心線、軸線和底面，先畫出底面俯視圖——矩形。

2）根據(jù)四棱錐的高度在軸線上定出錐頂S的三面投影位置，然后在主、俯視圖上分別用直線連接錐頂與底面四個頂點的投影，即得四條棱線的投影。再由主、俯視圖畫出左視圖。3四棱錐體表面上點的投影已知四棱錐棱面SBC上的點M的正面投影m′，求作m和m″。作圖方法是：在SBC棱面上，由錐頂S過點M作輔助線SE，因為點M在直線SE上，則點M的投影必在直線SE的同面投影上。所以只要作出SE的水平投影se，即可作出M點的水平投影m。

在主視圖上由s′過m′作直線交于b′c′得e′，再由s′e′作出se，在se上定出m。由于棱面SBC是側(cè)垂面，也可由m′直接作出m″?！景咐?】繪制正六棱柱被正垂面切割后的三視圖。

六棱柱被正垂面切割，截平面P與六棱柱的六條棱線都相交，截交線是一個六邊形。六邊形的頂點為各棱線與P平面的交點?！景咐?】畫出平面切割體的三視圖。該切割體可看成是用正垂面P和鉛垂面Q分別切去長方體的左上角和左前角而形成。平面P與長方體表面的交線ⅠⅡ、ⅢⅣ是正垂線；平面Q與長方體表面的交線AB、CD是鉛垂線；而P面與Q面的交線AD則是一般位置直線。一、圓柱第二節(jié)曲面體及其切割的投影圖

圓柱體的表面是圓柱面與上、下兩底面。圓柱面可看作由一條直母線繞平行于它的軸線回轉(zhuǎn)而成。直母線在圓柱面上的任一位置稱為圓柱面的素線。1投影分析當圓柱軸線垂直于水平面時，圓柱上、下底面的水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓柱面的水平投影積聚為一圓周，與兩底面的水平投影重合。2作圖方法畫圓柱體的三視圖時，先畫各投影的中心線，再畫圓柱面投影具有積聚性圓的俯視圖，然后根據(jù)圓柱體的高度畫出另外兩個視圖。3圓柱體表面上點的投影已知圓柱面上點M的正面投影m′，求作m和m″。首先根據(jù)圓柱面水平投影的積聚性作出m。由于m′是可見的，則點M必在前半圓柱面上，m必在水平投影圓的前半圓周上。再按投影關(guān)系作出m″。由于點M在右半圓柱面上，所以（m″）不可見。二、圓錐1投影分析錐底面平行于水平面，水平投影反映實形，正面和側(cè)面投影積聚成直線。圓錐面的三個投影都沒有積聚性，其水平投影與底面的水平投影重合，全部可見。2作圖方法畫圓錐的三視圖時，先畫各投影的軸線，再畫底面圓的各投影，然后畫出錐頂?shù)耐队昂湾F面的投影（等腰三角形），完成圓錐的三視圖。3圓錐體表面上點的投影已知圓錐表面上點M的正面投影m′，求作m和m″。根據(jù)點M的位置和可見性，可確定點M在前、左圓錐面上，點M的三面投影均為可見。作圖方法：（1）輔助素線法。（2）輔助緯圓法。三、圓球1投影分析球面上最大圓A將圓球分為前、后兩個半球，前半球可見，后半球不可見，正面投影為圓a′，形成了主視圖的輪廓線，而其水平投影和側(cè)面投影都與相應(yīng)的中心線重合，不必畫出；最大圓B將圓球分為上、下兩個半球，上半球可見，下半球不可見，俯視圖中只要畫出B的水平投影圖b。2作圖方法先確定球心的三面投影，過球心分別畫出圓球垂直于投影面的軸線的三投影，再畫出與球等直徑的圓。3圓球表面上的點的投影已知球面上點M的正面投影（m′），求m和m″。由于球面的三個投影都沒有積聚性，可利用輔助緯圓法求解。過（m′）作水平緯圓的正面投影a′b′，再作出其水平投影（以o為圓心，a′b′為直徑畫圓）。由（m′）在該圓的水平投影上求得m，由于（m′）不可見，所以m在后半球面上。又由于（m′）在下半圓球面上，所以m不可見，在投影符號上加括號。再由（m′）、（m）求得m″。由于點M在左半球面上，m″可見。四、平面切割回轉(zhuǎn)曲面體

平面切割曲面體時，截交線的形狀取決于曲面體表面的形狀以及截平面與曲面體的相對位置。平面與回轉(zhuǎn)曲面體相交時，其截交線一般為封閉的平面曲線或直線，或直線與平面曲線組成的封閉平面圖形。作圖的基本方法是求出曲面體表面上若干條素線與截平面的交點，然后光滑連接而成。截交線上一些能確定其形狀和范圍的點，如最高與最低點、最左與最右點、最前與最后點，以及可見與不可見的分界點等，均稱為特殊點。作圖時通常先作出截交線上的特殊點，再按需要作出一些中間點，最后依次連接各點，并注意投影的可見性?！景咐?】圓柱被正垂面斜切，已知主、俯視圖，補畫左視圖。截平面P與圓柱的軸線傾斜，截交線為橢圓。P面是正垂面，截交線的正面投影積聚在p′上；圓柱面的水平投影有積聚性，截交線的水平投影積聚在圓周上。1）求特殊點。最低點A和最高點B是橢圓長軸的兩端點，也是位于圓柱最左、最右素線上的點。最前點C和最后點D是橢圓短軸的兩端點，也是位于圓柱最前、最后素線上的點。

2）求中間點?？上茸鞒鏊鼈兊乃酵队癳、f、g、h和正面投影e′（f′）、g′（h），再作出側(cè)面投影e″、f″、g″、h″。

3）依次光滑連接a″、e″、c″、g″、b″、h″、d″、f″、a″，即為所求截交線橢圓的側(cè)面投影。【案例2】求作帶切口圓柱的側(cè)面投影。圓柱切口由水平面P和側(cè)平面Q切割而成，由截平面P所產(chǎn)生的截交線是一段圓弧，其正面投影是一段水平線，水平投影是一段圓弧。截平面P與Q的交線是一條正垂線BD，其正面投影積聚成點b′（d）′，水平投影b和d在圓周上。由截平面Q所產(chǎn)生的截交線是兩段鉛垂線AB和CD。

1）由p′向右引投影連線，再從俯視圖上量取寬度定出b″、d″。

2）由b″、d″分別向上作豎線與頂面交于a″、c″，即得由截平面Q所產(chǎn)生的截交線AB、CD的側(cè)面投影a″b″、c″d″。【案例3】補全接頭的三面投影。接頭是由一個圓柱體左端開槽（中間被兩個正平面和一個側(cè)平面切割）、右端切肩（上、下被水平面和側(cè)平面對稱地切去兩塊）而形成。所產(chǎn)生的截交線均為直線和平行于側(cè)面的圓弧。

1）根據(jù)槽口的寬度，作出槽口的側(cè)面投影（兩條豎線），再按投影關(guān)系作出槽口的正面投影。

2）根據(jù)切肩的厚度，作出切肩的側(cè)面投影（兩條虛線），再按投影關(guān)系作出切肩的水平投影。第三節(jié)兩圓柱體正交及同軸回轉(zhuǎn)體相貫的投影作圖1空間及投影分析兩圓柱軸線垂直相交稱為正交，當直立圓柱軸線為鉛垂線，水平圓柱軸線為側(cè)垂線時，直立圓柱面的水平投影和水平圓柱面的側(cè)面投影都具有積聚性。2作圖步驟

1）求特殊點。最高素線與直立圓柱最左、最右素線的交點A、B是相貫線上的最高點，也是最左、最右點。

2）求中間點。利用積聚性，在側(cè)面投影和水平投影上定出e″、f″和e、f，再作出e′、f′。

3）依次光滑連接a′、e′、c′、f′、b′，即為相貫線的正面投影。一、不等徑兩圓柱正交1）如圖a所示，若在水平圓柱上穿孔，就出現(xiàn)了圓柱外表面與圓柱孔內(nèi)表面的相貫線。這種相貫線可以看成是直立圓柱與水平圓柱相貫后，再把直立圓柱抽去而形成。再如圖b所示，若要求作兩圓柱孔內(nèi)表面的相貫線，作圖方法與求作兩圓柱外表面相貫線的方法相同。2）如下圖所示，當正交兩圓柱的相對位置不變，而相對大小發(fā)生變化時，相貫線的形狀和位置也將隨之變化。4不等徑圓柱正交時相貫線的簡化畫法工程上兩圓柱正交的實例很多，為了簡化作圖，國家標準規(guī)定，允許采用簡化畫法作出相貫線的投影，即以圓弧代替非圓曲線。當軸線垂直相交，且軸線均平行于正面的兩個不等徑圓柱相交時，相貫線的正面投影以大圓柱的半徑為半徑畫圓弧即可。案例：已知相貫體的俯、左視圖，求作主視圖，該相貫體由一直立圓筒與一水平半圓筒正交，內(nèi)外表面都有交線。外表面為兩個等徑圓柱面相交，相貫線為兩條平面曲線（橢圓），其水平投影和側(cè)面投影都積聚在