濱州雙城教育數(shù)學(xué)競賽講義第章《極限與極值》

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第十四章極限與導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識1．極限定義：（1）若數(shù)列｛un｝滿足,對任意給定的正數(shù)ε,總存在正數(shù)m,當(dāng)n〉m且n∈N時(shí),恒有|un-A|<ε成立（A為常數(shù))，則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x）極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f（x)的左極限。2．極限的四則運(yùn)算：如果f（x）=a，g(x）=b，那么[f（x）±g(x)］=a±b，［f（x)?g（x）］=ab，3.連續(xù)：如果函數(shù)f（x)在x=x0處有定義,且f（x）存在，并且f(x)=f(x0），則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f（x)在［a，b］上有最大值和最小值。5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f（x）在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)（Δx充分?。?因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f（x0+Δx）-f（x0)）。若存在，則稱f(x）在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0）或或，即.由定義知f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)是f（x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x）在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo),則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x）在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f（x）在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率.6．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)=0(c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；(3）（4）;（5）;（6）;（7）;（8)7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u（x），v（x)在x處可導(dǎo)，且u（x)≠0，則(1）；（2）;（3）（c為常數(shù)）；(4）；（5)。8．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法:設(shè)函數(shù)y=f（u）,u=（x)，已知（x）在x處可導(dǎo)，f(u)在對應(yīng)的點(diǎn)u（u=(x)）處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f［（x）]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（f[（x）]=.9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：(1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f（x）在I上連續(xù)；（2)若對一切x∈(a，b）有，則f(x)在（a，b)單調(diào)遞增；（3）若對一切x∈（a，b)有,則f（x）在（a,b)單調(diào)遞減。10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x）在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值,則11。極值的第一充分條件:設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0—δ,x0+δ）內(nèi)可導(dǎo)，（1)若當(dāng)x∈（x—δ，x0）時(shí)，當(dāng)x∈（x0，x0+δ)時(shí)，則f（x）在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x∈(x0-δ，x0）時(shí)，當(dāng)x∈（x0，x0+δ）時(shí),則f（x）在x0處取得極大值。12．極值的第二充分條件:設(shè)f(x）在x0的某領(lǐng)域(x0—δ，x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。(1）若，則f（x）在x0處取得極小值;(2）若，則f（x)在x0處取得極大值.13．羅爾中值定理：若函數(shù)f（x)在［a,b］上連續(xù),在（a，b）上可導(dǎo)，且f(a)=f（b），則存在ξ∈（a,b)，使［證明］若當(dāng)x∈(a,b），f(x）≡f（a)，則對任意x∈(a，b），。若當(dāng)x∈(a，b)時(shí),f(x)≠f（a)，因?yàn)閒（x)在［a，b］上連續(xù)，所以f(x）在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a），不妨設(shè)最大值m>f(a）且f（c)=m，則c∈（a,b），且f(c)為最大值，故，綜上得證.14．Lagrange中值定理：若f(x）在[a,b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，則存在ξ∈（a，b）,使［證明]令F(x)=f（x)—,則F（x）在[a，b]上連續(xù),在(a，b）上可導(dǎo)，且F（a)=F(b),所以由13知存在ξ∈(a，b)使=0，即15．曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f（x）在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1）如果對任意x∈I,，則曲線y=f（x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對任意x∈I,，則y=f（x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。16．琴生不等式:設(shè)α1，α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x）是[a,b］上的凸函數(shù)，則x1,x2，…，xn∈[a,b］有f（a1x1+a2x2+…+anxn）≤a1f（x1）+a2f(x2）+…+anf（x二、方法與例題1．極限的求法.例1求下列極限：（1）；（2）;（3)；（4）例2求下列極限：（1）（1+x）(1+x2）(1+)…(1+)（｜x|〈1）;（2）；(3）。2．連續(xù)性的討論。例3設(shè)f(x）在（-∞，+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1）=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1）時(shí)，f(x)=x（1-x）2，試討論f(x）在x=2處的連續(xù)性。3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1）;（2）；(3）y=ecos2x；(4）;(5）y=（1-2x）x（x〉0且）.5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6設(shè)a〉0，求函數(shù)f(x)=-ln（x+a）（x∈（0，+∞)）的單調(diào)區(qū)間。6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例7設(shè)，求證：sinx+tanx>2x。7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值.例8設(shè)f（x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x）在x1與x2處是取得極大值還是極小值。例9設(shè)x∈[0,π]，y∈[0，1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y—1）sinx+(1—y）sin(1-y）x的最小值.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．=_________。2．已知,則a-b=_________。3．_________。4．_________.5．計(jì)算_________.6．若f（x)是定義在（-∞,+∞）上的偶函數(shù)，且存在，則_________.7．函數(shù)f(x）在（-∞,+∞)上可導(dǎo)，且，則_________。8．若曲線f（x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_________.9．函數(shù)f（x）=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.10．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________.11．若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a。12。求sin290的近似值。13．設(shè)0〈b〈a〈,求證：四、高考水平練習(xí)題1．計(jì)算=_________。2．計(jì)算_________。3．函數(shù)f(x）=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是_________。。4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是_________。5．函數(shù)f（x）在x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實(shí)常數(shù),若，則_________。6．函數(shù)f（x)=ex(sinx+cosx)，x的值域?yàn)開________.7．過拋物線x2=2py上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為_________.8．當(dāng)x〉0時(shí)，比較大小:ln（x+1）_________x.9.函數(shù)f（x)=x5-5x4+5x3+1，x∈［-1，2］的最大值為_________，最小值為_________。10．曲線y=e-x(x≥0）在點(diǎn)M（t,e—t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t），則S（t）的最大值為_________.11．若x〉0，求證：（x2-1)lnx≥(x—1）2。12．函數(shù)y=f(x）在區(qū)間(0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且〉0，x0∈（0,+∞）。y=kx+m是曲線y=f（x)在點(diǎn)（x0，f(x0)）處的切線方程，另設(shè)g（x）=kx+m，(1）用x0,f（x0），表示m；（2）證明：當(dāng)x∈(0,+∞）時(shí),g(x)≥f（x）;（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立,其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系.13。設(shè)各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列{xn｝滿足lnxn+,證明:xn≤1(n∈N+）.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1．設(shè)Mn={(十進(jìn)制）n位純小數(shù)0?只取0或1（i=1,2,…,n—1），an=1｝，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則_________.2．若(1-2x)9展開式的第3項(xiàng)為288，則_________。3．設(shè)f（x),g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，,且g（-3)=0，則不等式f(x）g(x）<0的解集為_________。4．曲線與的交點(diǎn)處的切線夾角是_________.5．已知a∈R+,函數(shù)f(x）=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_________.6．已知在(a,3-a2）上有最大值，則a的取值范圍是_________.7．當(dāng)x∈（1,2]時(shí)，f(x）=恒成立，則y=lg（a2—a+3）的最小值為_________。8．已知f(x)=ln（ex+a)(a>0），若對任意x∈［ln（3a）,ln(4a)］，不等式｜m—f-1(x）｜+ln［]<0恒成立,則實(shí)數(shù)m取值范圍是_________.9。已知函數(shù)f（x）=ln(1+x)—x，g（x)=xlnx，（1）求函數(shù)f（x）的最大值；(2）設(shè)0〈a〈b,證明：0<g(a)+g(b)-〈(b-a)ln2。10.（1)設(shè)函數(shù)f（x）=xlog2x+（1—x)log2(1-x)（0〈x〈1），求f（x)的最小值;（2）設(shè)正數(shù)p1,p2，…，滿足p1+p2+p3+…+=1，求證：p1log2p1+p2log2p2+…+log2≥-n.11。若函數(shù)gA