《算法設(shè)計(jì)：第九講》課件

算法設(shè)計(jì)第九講Contents目錄算法設(shè)計(jì)概述分治算法貪心算法動(dòng)態(tài)規(guī)劃回溯算法算法設(shè)計(jì)概述01算法設(shè)計(jì)是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)可執(zhí)行的一系列操作的過(guò)程，目的是為了解決特定的問(wèn)題或?qū)崿F(xiàn)特定的目標(biāo)。算法設(shè)計(jì)的定義包括分析問(wèn)題、選擇合適的算法策略、設(shè)計(jì)算法的細(xì)節(jié)、編寫(xiě)代碼實(shí)現(xiàn)算法、測(cè)試和優(yōu)化算法等。算法設(shè)計(jì)的步驟算法設(shè)計(jì)的定義

算法設(shè)計(jì)的重要性提高問(wèn)題解決效率通過(guò)算法設(shè)計(jì)，可以將復(fù)雜的問(wèn)題分解為更小的子問(wèn)題，并采用更高效的策略來(lái)解決，從而提高問(wèn)題解決的效率。提升軟件質(zhì)量良好的算法設(shè)計(jì)可以提高軟件的質(zhì)量，減少軟件中的錯(cuò)誤和缺陷，提高軟件的可靠性和穩(wěn)定性。推動(dòng)計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展算法設(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心內(nèi)容之一，不斷優(yōu)化和創(chuàng)新算法，可以推動(dòng)計(jì)算機(jī)科學(xué)的不斷發(fā)展。算法設(shè)計(jì)的原則算法應(yīng)該具有明確的目標(biāo)和意圖，每個(gè)步驟都應(yīng)該有明確的定義和解釋。算法的每個(gè)步驟都應(yīng)該是可行的，并且能夠在有限的時(shí)間內(nèi)完成。算法應(yīng)該能夠有效地解決問(wèn)題，具有較好的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。算法應(yīng)該能夠處理異常和錯(cuò)誤情況，具有一定的容錯(cuò)能力和魯棒性。明確性可行性有效性健壯性分治算法02分治算法通常適用于規(guī)模較大、復(fù)雜度較高的問(wèn)題，通過(guò)分治策略將問(wèn)題分解為更小、更易于處理的子問(wèn)題，降低問(wèn)題的復(fù)雜度。分治算法的基本思想是將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解為兩個(gè)或更多的相同或相似的子問(wèn)題，直到最后子問(wèn)題可以簡(jiǎn)單的直接求解，原問(wèn)題的解即子問(wèn)題的解的合并。分治算法的核心在于將大問(wèn)題分解為小問(wèn)題，通過(guò)解決小問(wèn)題來(lái)間接解決大問(wèn)題。分治算法的基本思想歸并排序是分治算法的一個(gè)典型實(shí)例，它將一個(gè)無(wú)序數(shù)組拆分成若干個(gè)子數(shù)組，遞歸地對(duì)子數(shù)組進(jìn)行排序，最后將有序的子數(shù)組合并成一個(gè)有序的數(shù)組。歸并排序的主要步驟包括分解、遞歸排序、合并。在分解階段，將數(shù)組拆分成若干個(gè)子數(shù)組；在遞歸排序階段，對(duì)子數(shù)組進(jìn)行排序；在合并階段，將有序的子數(shù)組合并成一個(gè)有序的數(shù)組。歸并排序的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)，其中n為數(shù)組的長(zhǎng)度。歸并排序是一種穩(wěn)定的排序算法，即相等的元素在排序后保持原有順序。分治算法的實(shí)例：歸并排序分治算法的時(shí)間復(fù)雜度分析主要基于問(wèn)題的規(guī)模和遞歸調(diào)用的深度。在平均情況下，分治算法的時(shí)間復(fù)雜度通常為O(nlogn)，例如歸并排序和快速排序。在最好情況下，分治算法的時(shí)間復(fù)雜度可以達(dá)到線性級(jí)別，例如在合并排序中，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)已經(jīng)有序時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。在最壞情況下，分治算法的時(shí)間復(fù)雜度可能達(dá)到指數(shù)級(jí)別，例如在快速排序中，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)已經(jīng)有序或接近有序時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度可能達(dá)到O(n^2)。分治算法的時(shí)間復(fù)雜度分析常見(jiàn)的分治算法包括歸并排序、快速排序、堆排序等。分治算法在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集、優(yōu)化組合問(wèn)題、求解數(shù)學(xué)難題等方面具有顯著的優(yōu)勢(shì)和效果。分治算法廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)等。分治算法的應(yīng)用場(chǎng)景貪心算法03貪心算法是一種在每一步選擇中都采取在當(dāng)前狀態(tài)下最好或最優(yōu)（即最有利）的選擇，從而希望導(dǎo)致結(jié)果是最好或最優(yōu)的算法。它通常采用自頂向下的方式，不斷地做貪心選擇，最終希望這樣的局部最優(yōu)選擇能夠?qū)е氯值淖顑?yōu)解。貪心算法并不一定保證能找到全局最優(yōu)解，但在許多情況下能夠得到相當(dāng)不錯(cuò)的近似最優(yōu)解。貪心算法的基本思想最小生成樹(shù)算法是貪心算法的一個(gè)典型應(yīng)用，用于尋找一個(gè)圖的最小生成樹(shù)，即權(quán)重和最小的樹(shù)。Prim算法從某個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始，每次選擇與已選頂點(diǎn)集合相連的權(quán)值最小的邊，將其對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)加入集合，直到所有頂點(diǎn)都被加入。常見(jiàn)的最小生成樹(shù)算法有Prim算法和Kruskal算法。Kruskal算法則是按照邊的權(quán)重從小到大排序，然后從最小的邊開(kāi)始，如果這條邊不會(huì)與已選擇的邊形成環(huán)路，就加入到最小生成樹(shù)中。貪心算法的實(shí)例：最小生成樹(shù)算法貪心算法的時(shí)間復(fù)雜度取決于具體問(wèn)題的規(guī)模和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。在最壞情況下，貪心算法的時(shí)間復(fù)雜度可能較高，例如在某些NP完全問(wèn)題中。但是，對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題，貪心算法往往能夠提供高效的解決方案。貪心算法的時(shí)間復(fù)雜度分析貪心算法在許多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。常見(jiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景包括：資源分配問(wèn)題、背包問(wèn)題、排程問(wèn)題等。在這些場(chǎng)景中，貪心算法能夠提供快速的近似最優(yōu)解，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的解決具有很好的實(shí)用價(jià)值。貪心算法的應(yīng)用場(chǎng)景動(dòng)態(tài)規(guī)劃04將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干個(gè)子問(wèn)題，子問(wèn)題的解可以用來(lái)求解原問(wèn)題。分解問(wèn)題存儲(chǔ)子問(wèn)題的解自底向上求解為了避免重復(fù)計(jì)算子問(wèn)題的解，使用一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)存儲(chǔ)已解決的子問(wèn)題的解。從子問(wèn)題開(kāi)始，逐步求解較大的問(wèn)題，最終得到原問(wèn)題的解。030201動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想給定一組物品，每個(gè)物品有一個(gè)重量和一個(gè)價(jià)值，求在不超過(guò)背包承重的情況下，使得背包中物品的總價(jià)值最大。0-1背包問(wèn)題在0-1背包問(wèn)題的基礎(chǔ)上，允許多個(gè)物品放入背包，求使得背包中物品的總價(jià)值最大。多背包問(wèn)題在0-1背包問(wèn)題的基礎(chǔ)上，每個(gè)物品可以放入多個(gè)，求使得背包中物品的總價(jià)值最大。完全背包問(wèn)題動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)例：背包問(wèn)題空間復(fù)雜度動(dòng)態(tài)規(guī)劃需要使用一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)存儲(chǔ)子問(wèn)題的解，因此空間復(fù)雜度為O(n)，其中n為問(wèn)題的規(guī)模。時(shí)間復(fù)雜度動(dòng)態(tài)規(guī)劃的時(shí)間復(fù)雜度取決于問(wèn)題的規(guī)模和子問(wèn)題的數(shù)量。對(duì)于0-1背包問(wèn)題，時(shí)間復(fù)雜度為O(nW)，其中n為物品的數(shù)量，W為背包的承重。對(duì)于多背包問(wèn)題和完全背包問(wèn)題，時(shí)間復(fù)雜度會(huì)更高。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的時(shí)間復(fù)雜度分析如Floyd-Warshall算法、Dijkstra算法等。最短路徑問(wèn)題如背包問(wèn)題、任務(wù)調(diào)度問(wèn)題等。資源分配問(wèn)題如旅行商問(wèn)題、排班問(wèn)題等。決策優(yōu)化問(wèn)題動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用場(chǎng)景回溯算法05回溯算法是一種通過(guò)探索所有可能解來(lái)求解問(wèn)題的算法。它采用深度優(yōu)先搜索策略，通過(guò)遞歸的方式嘗試所有可能的解，并在搜索過(guò)程中記錄已經(jīng)訪問(wèn)過(guò)的狀態(tài)，避免重復(fù)搜索?；厮菟惴ǖ暮诵乃枷胧钱?dāng)探索到某個(gè)狀態(tài)無(wú)法得到有效解時(shí)，能夠“回溯”到上一個(gè)狀態(tài)，繼續(xù)探索其他可能的解?；厮菟惴ǖ幕舅枷牖厮菟惴ǖ膶?shí)例：八皇后問(wèn)題八皇后問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的回溯算法應(yīng)用實(shí)例，要求在8x8的棋盤(pán)上放置8個(gè)皇后，使得任何兩個(gè)皇后都不能處于同一行、同一列或同一對(duì)角線上。通過(guò)回溯算法，我們可以遞歸地嘗試在每一行放置一個(gè)皇后，并檢查是否滿足條件。如果不滿足條件，則回溯到上一行重新嘗試。0102回溯算法的時(shí)間復(fù)雜度分析這是因?yàn)閷?duì)于每個(gè)皇后，都有N種可能的位置可以放置，而皇后的數(shù)量為N，因此總共有N!種可能的解。回溯算法的