新疆2021屆高考數(shù)學(xué)第二次診斷性測(cè)試試卷(文科)(含答案解析)

新疆2021屆高考數(shù)學(xué)第二次診斷性測(cè)試試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

-TT

1.命題“若。二三，則tana=1”的逆否命題是（）

4

A.若awF，則tana工1B.若a=三，則tanaH1

44

?TTTT

C.若tana#1,則aH—D.若tanaK1,則a=—

44

2.己知集合4={-1,0,1）,B={x|x2-l=0},則4nB=（）

A.{1}B.{1,0}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

3.已知點(diǎn)P（3,4）,Q（2,6）,向量定=（—l,Q,若麗〃前，則實(shí)數(shù)；l的值為（）

A.：B.2C.—；D.-2

22

4.設(shè)x,y為正實(shí)數(shù)，且滿足xW2,y<3,x+y=3,貝!H/+y3的最大值是（）

A.24B.27C.33D.45

5.定義某種運(yùn)算M=a0b,運(yùn)算原理如圖所示，則式子（2tcm?）0

/輸入。b/

sin1+（4cos》0G）T的值為（）

A.4

/輸出c，Al）//輸出Hc-4/

1

B.8~~~

C.H

D.13

6.命題“若4>1則久>0”的否命題是（）

A.若x<1,則x<0B.若x<1,則%>0

C.若%>1,則％<0D.若％<1,貝ijx<0

7,橢圓W+^=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為4在橢圓上存在點(diǎn)尸滿足線

段4P的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F,則橢圓離心率的取值范圍是（）

A.（0,爭(zhēng)B.（0,1]C.[V2-1.1）D.[i,l）

8.已知5臺(tái)機(jī)器中有2臺(tái)存在故障，現(xiàn)需要通過(guò)逐臺(tái)檢測(cè)直至區(qū)分出2臺(tái)故障機(jī)器為止.若檢測(cè)

一臺(tái)機(jī)器的費(fèi)用為2000元，則所需檢測(cè)費(fèi)的均值為（）

A.6400元B.6800元C.7000元D.7200元

3

9.已知cosa=p則cos2a+sin2a的值為（）

D18623

A2BD型

*25-HC?病

10.李華通過(guò)英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率是3他連續(xù)測(cè)試5次，那么其中恰有2次獲得通過(guò)的概率是(

AA.—80B.—C.—D.-

24324324315

11.雙曲線--3y2=3右頂點(diǎn)到漸近線的距離為()

A.\B.fC.V3D.2

12.己知岫<謝?<1則函數(shù)朋=浦-司的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(）

A.1B.2C.3D.4

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知一=b+4i(a,b6R),其中i為虛數(shù)單位，則|a+bi|=；

14.已知函數(shù)/(%)是(-8,+8)上的偶函數(shù)，若對(duì)于X20,都有f(x+2)=f(x),且當(dāng)［0,2)時(shí),

/(X)=log2(x+1).則/(一2017)=.

15.在AaBC中，B=三,AB=2,。為AB的中點(diǎn)，△BCD的面積為這，則AC=___.

34

16.在六棱錐P-4BCDEF中，底面是邊長(zhǎng)為近的正六邊形，PA=2且與底面垂直，則該六棱錐外

接球的體積等于.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

x

17.已知數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和S”=i(aM-l)(nG/V)

(1)求由和Cl2的值.

(2)求證：數(shù)列｛%J為等比數(shù)列.

18.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從48兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，以下莖葉圖

記錄了這40個(gè)用戶對(duì)產(chǎn)品滿意度的評(píng)分.

A地區(qū)B地區(qū)

468

351364

64262455

688643733469

9286518321

7552913

(I)通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即

可)；

(n)將用戶對(duì)產(chǎn)品滿意度的評(píng)分從低到高分為兩個(gè)等級(jí)：

滿意度評(píng)分低于80分高于80分

滿意度等級(jí)不滿意滿意

根據(jù)莖葉圖提供的數(shù)據(jù)，直接寫出列聯(lián)表中mb,c,d,m,〃的值.

地區(qū)和滿意度等級(jí)列聯(lián)表

滿意不滿意總計(jì)

A地區(qū)ab

8地區(qū)Cd20

總計(jì)mn40

能否有85%的把握認(rèn)為用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的滿意度與地區(qū)有關(guān)?

下面的臨界值表，供參考：

P(K2>k0)0.150.100.05

2.0722.7063.841

2

2n(ad-bc)

(參考公式：K=(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d)

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB//CD,ii.^BAP=^CDP=90°.

(I)證明：平面PAB1平面PAD；

(II)若24=PD=DC=24B,^APD=90°,求二面角/一PB—C的余弦值.

20.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，它與圓=9相交，公共弦MN的長(zhǎng)為26，求該

拋物線的方程，并寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.

21.已知函數(shù)/(X)=/-2/+1

(I)求函數(shù)在［-1,2］上的最大值和最小值；

(II)曲線f(%)上是否存在一點(diǎn)P,使得在點(diǎn)P處的切線平行于直線2x+y+3=0?若存在，求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

22.在直角坐標(biāo)系xO_y中，曲線G的參數(shù)方程為｛f?+靠%為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的

正半

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為P=4s譏%

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和。2的直角坐標(biāo)方程；

(2)曲線C1，C2分別交于A,8兩點(diǎn)，求線段A8的長(zhǎng).

23.已知a>0,b>0.

(I)若唳y/3a+log9=2,求+匕2的最小值；

(口)若；+盛=2,求a+b的最小值.

【答案與解析】

1.答案：C

JTTT

解析：命題“若&=上，則tana=1”的逆否命題是"若tana#1,則

44

2.答案：C

解析：解：???集合4={-1,0，1}，

B=[x\x2-1=0}={-1,1},

二4nB={1,1}.

故選：C.

利用交集定義直接求解.

本題考查交集、并集的求法，考查交集、并集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.答案：B

解析：解：PQ=(-1,2);

■■■PQ//EF;

-l-A-2(-l)=0；

?-X=2.

故選：B.

先求出向量所坐標(biāo)，由所〃前，根據(jù)共線向量的坐標(biāo)關(guān)系便可建立關(guān)于;I的方程，從而可得出2的

值.

考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量平行的概念，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系.

4.答案：C

解析：解：?.?x+y=3,

???y=3—x.

4x3+y3=4x3+(3-x)3=3x3-9x2+27x-27=/(x).

22

Af(x)=9x-18x+27=9(x-l)+18>0.

???函數(shù)f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)x=2,y=l時(shí)，f(x)取得最大值,/(2)=33.

故選：C.

由％+y=3,可得y=3—x,4x34-y3=4%34-(3—%)3=3x3—9x2+27x—27=/(%).利用導(dǎo)數(shù)研

究其單調(diào)性即可得出.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性極值與最值，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：D

解析：解：模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，得出該程序框圖運(yùn)行的結(jié)果是計(jì)算并輸出M=Q?)b=

(a(b+1)a>b

(b(Q+1)a<b'

???2tan-=2>sin-=1,4cos-=2<(-)-1=3,

423

???(2tan^)8sin,+(4cos；)?(|)-1

=2014-203

=2x(l+l)+3x(2+l)=13.

故選：D.

模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程,得出該程序框圖運(yùn)行的結(jié)果是計(jì)算并輸出M=a^b=?：：：

的值，利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算比較，即可求值得解.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，從而得出該程序框圖運(yùn)行的

結(jié)果是什么，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：解：命題“若x>1則x>0”的否命題是“若x<1,則x<0”,

故選：D.

根據(jù)否命題的定義寫出.

本題考查四種命題的關(guān)系以及判斷命題的真假，否命題為將條件和結(jié)論分別否定是解決本題的關(guān)鍵.

7.答案：D

解析：解：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P,使得線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)尸，即尸點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距

離相等

而|F/|=~~c=~

\PF\G[a—c,a+c]

于是丁￡[Q—c,a+c]

222

即QC—c<b<acc

(ac—c2<a2—c2

la2—c2<ac+c2

c?c1

.薩T或產(chǎn)2

又eG(0,1)

故選：D.

由題意，橢圓上存在點(diǎn)尸，使得線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)F,即尸點(diǎn)到尸點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等，根

據(jù)|PF|的范圍求得田川的范圍，進(jìn)而求得:的范圍即離心率e的范圍.

本題主要考查橢圓的基本性質(zhì).屬基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：解：設(shè)檢測(cè)機(jī)器所需檢測(cè)費(fèi)為X,則X的可能取值為4000,6000,8000,

P(X=4000)=|X[=M

P(X=6000)=-x-xi+-x-xi+-x-xi=-,

'754354354310

P(X=8000)=1-P(4000)-P(6000)=1--^-^=^,

E(X)=4000x-+6000x-+8000x-=7000,

vJ101010

故選：c.

設(shè)檢測(cè)機(jī)器所需檢測(cè)費(fèi)為X,則X的可能取值為4000,6000,8000,分別求出相應(yīng)的概率，由此能

求出所需檢測(cè)費(fèi)的均值.

本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的性

質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

9.答案：A

解析：解：COSa=I，

???sin2a=1—cos2a=—,

25

貝！]cos2a+sin2a=1-2sin2a+sin2a=1—sin2a=1-=^.

故選：A.

由cosa的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin2a的值，原式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公

式化簡(jiǎn)合并后，將sin2a的值代入計(jì)算即可求出值.

此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)

鍵.

10.答案：A

解析：

本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可得他連續(xù)測(cè)試5次，那么其中恰有2次獲得通過(guò)的概率是盤?)2(1一》5-2,計(jì)算求得結(jié)果.

解：記李華連續(xù)測(cè)試5次，獲得通過(guò)的次數(shù)為X,每次通過(guò)的概率為%

則獲得通過(guò)的次數(shù)X滿足二項(xiàng)分布X?

恰有2次獲得通過(guò)時(shí)，X=2,

所求概率P(X=2)=廢?)2(1一｝5-2=果.

故選：A.

11.答案：B

解析：

本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式，先由題目所給雙曲線方程得到右頂點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到

直線距離公式求出即可得到結(jié)論.

解：???雙曲線方程為y2=i,

則雙曲線的右頂點(diǎn)為(遮,0),漸近線方程為y=±^x,

則由雙曲線的對(duì)稱性可知到兩直線距離相等，

為公篇1號(hào)

故選B.

12.答案:B

解析:試題分析：函數(shù)的定義域是(0,+8),y=：/-恤鼠崗盟㈤，令y=0,則#=恤霹;

在同一直角坐標(biāo)系中做出函數(shù)y=4'和y=M司的圖象可知，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)

的零點(diǎn)由2個(gè)，故選艮

考點(diǎn)：1.函數(shù)的零點(diǎn)；2.函數(shù)的圖像.

13.答案：5

解析：解：???牛=b+4i(a,beR),其中，為虛數(shù)單位,

ai+3i2

=3—ai=b+43

i2

???Q=3,b=—4,

\a+bi\=yja2+b2=+16=5.

故答案為：5.

推導(dǎo)出"釁_=3一出=力+43解得Q=3,b=-4,由此能求出|a+的值.

本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.答案：1

解析：解：由已知函數(shù)是偶函數(shù)，且x20時(shí)，都有/(%+2)=f(x),

當(dāng)時(shí)，

［0,2)/(%)=log2(x+1).

所以

f(—2017)=f(2017)=/(2X1008+1)=/(l)=log22=1.

故答案為：1.

利用函數(shù)的奇偶性的定義以及函數(shù)的周期性化簡(jiǎn)，可得/(-2017)=/(1),代入已知解析式，求解即

可得到答案.

本題考查函數(shù)的周期性以及函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于基

礎(chǔ)題.

15.答案:V7

解析：解：在AABC中，B=^,AB=2,。為AB的中點(diǎn)，△BCD的面積為挈，/\

可得=抑。.乎，\

BD=1,S^BCD=\BC-BD-sinB14=

解得BC=3,

在44BC中，可得心=AB2+CB2-2AB-CB-cosg

=4+9-2x2x3x|=7,

則4c=V7,

故答案為：A/7.

由三角形的面積公式，解方程可得BC,再在△ABC中，運(yùn)用余弦定理，計(jì)算可得所求值.

本題考查三角形的面積公式和余弦定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：4757T

解析：解：六棱錐P-ABCDEF中，底面是邊長(zhǎng)為近的正六邊形，PA=2且與底面垂直，

可得P。是該六棱錐外接球的直徑，底面是邊長(zhǎng)為近的正六邊形的對(duì)角線差為：2近，

可得PD=J22+(2V2)2=V12=2V3>

外接球的半徑為：V3.

外接球的體積為：=|X7Tx(V3)3=4V37T.

故答案為：4V3TT

求出六棱錐外接球的半徑，然后求解該六棱錐外接球的體積.

本題考查幾何體的外接球的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，空間想象能力.

17.答案：解：(1)?.<“=；(每一l)(n€NX),

.,.當(dāng)n=l時(shí)，的=；(%-1),解得的=-，，

當(dāng)n=2時(shí)，+a2=^(.a2-1),解得(^=

證明：(2)當(dāng)n?2時(shí)，an=Sn-Sn_i=｝(an-l)-；(an_i-1)=；即一；斯-1，

即3a九—一。九一1,

則W

an-l$

二數(shù)列｛斯｝是公比q=-的等比數(shù)列.

解析：(1)分別令n=l,2即可求的和a2的值.

(2)根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列｛aj為等比數(shù)列.

本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，結(jié)合等比數(shù)列的定義以及a0=Sn-Sn-i是解決本題的關(guān)鍵.

18.答案：解：(I)通過(guò)莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于8地區(qū)用戶滿意度評(píng)

分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，8地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.

(n)地區(qū)和滿意度等級(jí)列聯(lián)表

滿意不滿意總計(jì)

A地區(qū)101020

B地區(qū)51520

總計(jì)152540

依=4°崇°；。比黑:2667>2.072,

所以有85%的把握認(rèn)為用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的滿意度與地區(qū)有關(guān).

解析：（I）通過(guò)莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于8地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平

均值；A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，8地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散;

（II）列列聯(lián)表，利用公式解得K2ss2.（訪7>2.072,則有85%的把握認(rèn)為用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的滿意度與

地區(qū)有關(guān).

19.答案：證明：（I）因?yàn)镹BAP=/COP=90。，所以4B14P,CD1PD,

V.AB//CD,所以4B1PD

又因?yàn)?Pu平面PAO,PDu平面PAO,APQPD=P.

所以4B1平面P4O,又ABu平面尸48,

故平面PAB1平面PAD；

解：（n）取AO的中點(diǎn)O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令PA=2a,

則P0=0D=04=&a,

則4（缶,0,0）,B（V2a,a,0）,C（一夜a,2a,0）,P（0,0,Via）

所以PA=(y/2a,0,—\l2d),PB=(V2a,a,—\/2a),PC=(—V2a,2a,—\l2d)

令平面PAH的法向量為元i=（Xi，Vi，Zi）,

則有=所以r=（1,0,1）

〔PB.%=0

令平面PBC的法向量為五2=（%2，y2，z2）>

則有得?二;所以元2=

則cosB=|,故二面角A-PB-C的余弦值為一|.

解析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.

(I)推導(dǎo)出AB_L4P,CD1PD,從而4BJ.P。，進(jìn)而4B_L平面PA。，由此能證明平面P4B1平面

PAD.

(11)取4。的中點(diǎn)0,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令PA=2a,貝IPO=。。=04=&a，求

出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角2-PB-C的余弦值.

20.答案：解：???拋物線與圓/+y2=9相交，公共弦MN的長(zhǎng)為2遍，

二設(shè)M(一通,瓶)、/V(V5,m).

將M、N坐標(biāo)代入圓方程，得5+m2=9,解得m=±2,

M(-V5,2)>N(V5,2),或M(一遍2)、N(75,-2),

設(shè)拋物線方程為/=2ay(a。0),

■:點(diǎn)M、N在拋物線上，

5=2aX(+2),解得2a=±|,

故拋物線的方程為/=|y或/=_|y.

拋物線/=打的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0己,準(zhǔn)線方程為y=-|；

拋物線/=-5y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),準(zhǔn)線方程為y=

Zoo

解析：根據(jù)公共弦長(zhǎng)為2遮，設(shè)而)、N(m,V5),代入圓方程解出血=±2,從而得出點(diǎn)M、

N的坐標(biāo).再設(shè)拋物線方程為/=2ay(a*0),代入M、N坐標(biāo)解出。值，即可得到拋物線的方程，

進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.

本題已知拋物線與圓相交所得的弦長(zhǎng)，求拋物線的方程.著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、拋物線

的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

21.答案：解：(I)/'(x)=3/-4x,由((x)=0得%=0,x2=1

當(dāng)x在上變化時(shí)，/(x)和/'(%)的變化情況如下表

X-1(TO)0(0,)(，2)2

f(x)+0—0+

f(x)-2增函數(shù)1減函數(shù)—增函數(shù)1

由表格可知，函數(shù)/Q)在［-1,2］上的最大值為1,最小值為-2.

(〃)由(/)知:/(X)=3x2-4x,

??.”(x)e［一支+8),即曲線上的點(diǎn)P處的切線的斜率的取值范圍是［一%+8)

???直線2x+y+3=0的斜率為-2,且一2C

???曲線上不存在點(diǎn)P,使得P處的切線平行于直線2x+y+3=0.

解析：(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0