巧用三角函數(shù)極值解決物理問題(待發(fā))

巧用三角函數(shù)求解物理量極值問題摘要：通過一些關(guān)于極值問題的典型例題，如求勻變速運(yùn)動(dòng)中時(shí)間的最大值問題，與速度相關(guān)聯(lián)的洛侖茲力最大值問題，在電場(chǎng)中，哪一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度最大等問題的討論，說明三角函數(shù)方法在處理物理量極值問題上的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：極值問題三角函數(shù)根本不等式三角函數(shù)求物理量的極值，往往是求出與被求物理量相關(guān)的三角函數(shù)表達(dá)式，經(jīng)過三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的有界性或不等式等知識(shí)進(jìn)行處理得出結(jié)論。下面我們就來看幾例利用三角函數(shù)求解物理極值的問題,以求在教學(xué)中能對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的這方面能力有所幫助。1.利用兩角和〔差〕公式及三角函數(shù)有界性求解。三角函數(shù)里有很多關(guān)系式，如：、、,等.有時(shí)，處理物理極值問題時(shí)，這一類關(guān)系式是很需要的。圖1PCAB圖1PCAB斜面的〔垂直〕距離為h,過P點(diǎn)可作假設(shè)干光滑軌道，使質(zhì)點(diǎn)從P點(diǎn)由靜止沿軌道下滑到斜面，試證明當(dāng)軌道與豎直線的夾角時(shí)，質(zhì)點(diǎn)下滑時(shí)間最短，并求最短時(shí)間。解析：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)受力情況和牛頓第二定律，可知質(zhì)點(diǎn)在光滑斜軌道上的加速度： 在中，由幾何知識(shí)有：那么質(zhì)點(diǎn)沿PA做的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為令，那么由“積化和差〞公式：得當(dāng)時(shí)，y有極大值此時(shí)時(shí)間的最小值此題不用“積化和差〞公式而用其他方法也可求極值，但比擬麻煩。另外此題結(jié)論可用“等時(shí)圓〞加以驗(yàn)證。2．利用“化一〞法求三角函數(shù)極值。對(duì)于較為復(fù)雜的三角函數(shù)，例如，要求極值時(shí),先需要把不同名的三角函數(shù)和，變成同名的三角函數(shù)，這個(gè)工作叫做“化一〞。故y的極大值為。例二、如圖2所示，在豎直放置的光滑絕緣圓環(huán)上，有一帶負(fù)電可以滑動(dòng)的小球m套在環(huán)的頂端，整個(gè)裝置在圖示的正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)與圓環(huán)的圓面垂直，假設(shè)小球所受的電場(chǎng)力和重力大小相等，那么當(dāng)小球沿著環(huán)相對(duì)圓心滑過的角度多大時(shí)，它所受的洛侖茲力最大？F電FF電F洛BmE圖2力表達(dá)式為:f=Bqv只要速度達(dá)最大,洛侖茲力即最大那么由動(dòng)能定理知當(dāng)合外力做功最大時(shí)滿足條件,設(shè)小球從圖示位置轉(zhuǎn)過角,那么 ②②由上式知當(dāng)時(shí)合外力做功最大。即物體獲得速度最大，滿足條件。3．利用根本不等式與三角函數(shù)結(jié)合來處理。如果a，b，c為正數(shù)，那么有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，上式取“=〞號(hào)。推論：①三個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，三數(shù)相等時(shí)，其和最小。圖3②三個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，三數(shù)相等時(shí)，其積最大圖3例3、如圖3所示的帶等量同種電荷的兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B所帶電量均為Q，相距2a，那么在它們連線的中垂線上，哪一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度最大？最大值為多少？解析：設(shè)在點(diǎn)電荷A、B的連線的中垂線上有一點(diǎn)P，且AP與中垂線夾角為θ，那么①又有②由①②可得③將③式左右都平方，并整理成由于〔定值〕那么存在極大值。即

所以當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。就是說，當(dāng)〔差不多是55o〕時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度最大：當(dāng)然處理這類問題的數(shù)學(xué)方法還很多，比方上文中涉及的根本不等式法，除此之外還有二次函數(shù)配方法，一元二次方程判別式法，導(dǎo)數(shù)法等，這類問題往往是物理學(xué)公式結(jié)合必要的教學(xué)知識(shí)才得出結(jié)論，這就要求學(xué)生不僅理解掌握物理概念、規(guī)律，還要具備較好的運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。參考