2022年全國甲卷高考試題解析語數(shù)外

2022年全國甲卷高考理科數(shù)學(xué)試題解析

1.若z=-l+石3則—=()

ZZ-1

A.-1+V3iB.T-亞D.

也.

3一丁

【答案】C

【分析】由共聊復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.

【詳解】z=-l-V3i,zz=(-l+V3i)(-l-V3i)=l+3=4.

z.,

------------------------------------1-------1

zJ-1333

故選：C

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位

社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講

座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

95%

90%

管85%

售80%...........................................*■....*講座前

田75%............................./..................?講座后

70%..............*-.................................

65%........*.....................................*.................................................

..........*........水................................

'11111111tl.

12345678910^

居民編號

則()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準差小于講座后正確率的標(biāo)準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

70%+75%

【詳解】講座前中位數(shù)為>70%,所以A錯:

2

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后

問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準差大于講座后正確

率的標(biāo)準差，所以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%，所以D錯.

故選:B.

3.設(shè)全集U={—2,—1,0,1,2,3},集合/={—1,2},8={X|F—4X+3=0},則

①(Nu8)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.

{-2,0}

【答案】D

【分析】解方程求出集合8,再由集合的運算即可得解.

【詳解】由題意，5={X|X2-4X+3=0}={1,3}，所以ZuB={-l,l,2,3},

所以?(4口8)={-2,0}.

故選：D.

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的

體積為()

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

2+4

則該直四棱柱的體積/=——x2x2=12.

2

故選：B.

7171

5.函數(shù)、=（3*—37）COSX在區(qū)間-三,二的圖象大致為（）

22

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.

【詳解】令/(x)=(3、—3「')cosx,xG——,

則/(-x)=-3、)cos(-x)=-(3"-3一")cosx=-/(x),

所以/(x)為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)xe(0,])時，3'-3-x>0,cosx>0,所以/(x)>0,排除C

故選：A.

6.當(dāng)x=l時，函數(shù)/(%)=4出》+2取得最大值_2,則八2)=()

x

1?

A.-1B.——C.TD.1

22

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知/(1)=-2,/<1)=0即可解得。/，再根據(jù)/'(X)即可解出.

【詳解】因為函數(shù)〃x)定義域為(0,+8),所以依題可知，f(1)=-2,/'⑴=0,而

1oo

=------z-,所以6=—2,〃一力=0,即〃=-2/=-2,所以,(x)=——+—,因

XXXX

此函數(shù)/(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，X=1時取最大值，滿足題意，即有

/,(2)=-1+1=-1.

故選：B.

7.在長方體中，已知片。與平面和平面44蜴8所成的角均為

30°,則()

A.AB=2ADB.48與平面/4G。所成的角為30°

C.AC=C5,D.6Q與平面34G。所成的角為

45°

【答案】D

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)Z3=a,/Z)=b,/4=c，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與。與平面48c。所

,ch

成角為片。與平面44向8所成角為/。4/,所以sin30即

DyL)D}D

b=c,B.D=2c=y/a2+h2+c2，解得a=岳.

對于A,AB-a,AD-b,4B="J^ZAD>A錯誤；

對于B,過8作于E，易知回_L平面44G。，所以ZB與平面所成

角為NBAE,因為tan/8ZE=g=也，所以NB4EH3(T，B錯誤；

a2

22

對于C，4c=J6+『=Gc,C5,=-\lb+c=y/2c?ACCBX,C錯誤；

對于D,8Q與平面84GC所成角為NOB。，sinZD5,C=—=—=—,而

BQ2c2

0<ZZ)5,C<90°,所以ND4c=45°.D正確.

故選：D.

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，

如圖，標(biāo)是以0為圓心，04為半徑的圓弧，C是的Z8中點，。在筋上，CDLAB.”會

_cn2

圓術(shù)”給出前的弧長的近似值S的計算公式：S=AB+~^-.當(dāng)CU=2,NNO8=60。

時，s=()

.11-373n11-473「9-3右

222

9-40

2

【答案】B

【分析】連接0C,分別求出Z8,OC,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接0C,

因為。是Z8的中點，

所以。C1Z8,

又CD上AB,所以三點共線，

即0D=0A=0B=2,

又403=60°,

所以48=3=08=2,

則。。=6，故CD=2-拒,

（2-V3）'11-4^.

所以-8+需

ZH----------------------=-------------------

22

故選：B.

D

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙,

體積分別為4和噲.若22,則梟（）

3乙/乙

D.平

A.逐B(yǎng).期C.M

【答案】C

【分析】設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為乙圓錐底面圓半徑為與，根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得4=2々，再結(jié)合圓心角之和可將斗與分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩

圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長為/,甲圓錐底面半徑為乙圓錐底面圓半徑為與，

則萍嗎=2=2,

3乙乃弓/r2

所以（=2&,

r2孫2孫c

又一L+—Z=2兀，

則三=1,

所以6=:/，弓=，

所以甲圓錐的高4

乙圓錐的高

-7rn2h.

3?r

所以%93=Vio.

乙§乃弓〃2)x嗚

93

故選：C.

10.橢圓C：?+q=l（a>b>0）的左頂點為力,點尸，0均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若

CTb~

直線ZP,N。的斜率之積為則C的離心率為（）

4

A.—B.—C.yD.-

2223

【答案】A

【分析】設(shè)。（須,乂），則。（-西,凹），根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得?，=!，再根據(jù)

-X1+Q4

工+工=1,將乂用玉表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

ab

【詳解】解：4（一。,0）,

設(shè)尸（XQ1），則。（-占,必），

凹

則如凹^AQ

玉+Q-X]+Q

必必

故k/p*kQ

A玉+Q一再+Q4

22b2(a2-x^

又%+4=1,則M2

a2h2a2

,2v2

故選：A.

11.設(shè)函數(shù)〃X）=Sin（5+（J在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則。的取值范

圍是（）

,-513）「51外<138]

L36；L36；（63」

（巨四

I656.

【答案】C

1T

【分析】由X的取值范圍得到。x+一的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，

3

解得即可.

【詳解】解：依題意可得力〉0,因為xe（0,乃），所以①不+^],

要使函數(shù)在區(qū)間（0,乃）恰有三個極值點、兩個零點，又〉=5也》，xe]。,3萬）的圖象如下

所示：

則<。乃+囚V3乃，解得即。一.

2363163」

故選：C.

3111

12.已知a=—,6=cos—,c=4sin—,貝ij()

3244

A.c>b>aB.h>a>cC.a>b>cD.

a>c>h

【答案】A

c]

【分析】由一=4tan—結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c〉/）；構(gòu)造函數(shù)

b4

f（x）=cosx+-x2-1,XG（0,+00）,利用導(dǎo)數(shù)可得人。，即可得解.

c1，兀、

【詳解】因為一=4tan—,因為當(dāng)0,—,sinx<x<tanx

b4I2J

11

所以tan-〉一,即c所以c>b：

44b

設(shè)/(^)=COSX+—x2-1,XG(0,+OO),

f\x)=-sinx+x＞0,所以f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增,

(1A131

則＞/(°)=0,所以?。5工一石＞0,

所以&>%所以c〉b〉a,

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)向量2,區(qū)的夾角的余弦值為:，且"=1,1|=3,則（2a+可力=.

【答案】11

【分析】設(shè)々與5的夾角為。，依題意可得cos6=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出￡石，最

后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.

【詳解】解：設(shè)々與3的夾角為。，因為￡與族的夾角的余弦值為:，即cos6=；,

又卜|=1,"=3,所以小3=卜川3k056=以3*；=1,

所以（2Q+]）%=2Q4+^~=2Q%+W=2x1+3?=11.

故答案為：11.

2

14.若雙曲線j=i（加>o）的漸近線與圓/+/一外+3=0相切，則

m"

m—

【答案】3

3

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準式，即可得到圓心坐標(biāo)與半

徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

2

【詳解】解：雙曲線V—1=1（機>0）的漸近線為y=±\,即X±叼=0,

不妨取x+my=0,圓丫2+/一4歹+3=0,即x?+（丁一2『=1,所以圓心為（0,2）,半

徑〃二1,

依題意圓心（0,2）到漸近線X+叼=0的距離d=/雪=1,

J1+加之

解得〃2=3或加=-3（舍去）.

33

故答案為：息.

3

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.

【答案】—.

35

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個頂點中任取4個，有〃=C；=70個結(jié)果，這4個點在同一個平面

m126

的有機=6+6=12個，故所求概率尸=—=.

n7035

故答案為：—

35

AT

16.已知AZBC中，點。在邊8C上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)——取得最

AB

小值時,BD=

【答案】V3-]-1+

AC2

【分析】設(shè)CZ）=28O=2〃?>0,利用余弦定理表示出‘二后，結(jié)合基本不等式即可得

AB-

解.

【詳解】設(shè)CD=2BD=2m>0,

則在△48。中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m，

在△ZC0中，AC2CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4/n2+4-4w.

_4掰2+4-4加_4(〃/+4+2』)-12。+m)_心12

所以~ABr一加2+4+2—―蘇+4+2———(3

加+1+----

'7m+1

>4——(I2=4—26

2.(m+!)■——

V7m+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)加+1=——即加=百-1時，等號成立，

加+1

Ar

所以當(dāng)？上取最小值時，W=V3-1.

AB

故答案為：、萬-1.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

（一）必考題：共60分.

17.記S“為數(shù)歹ij｛4｝的前〃項和.已知—+〃=2a+1.

nn

（1）證明：｛q｝是等差數(shù)列；

（2）若%，%，生成等比數(shù)列，求S”的最小值.

【答案】（1）證明見解析；

(2)-78.

S],〃=1

[分析「1)依題意可得25“+〃2=2〃勺+〃，根據(jù)風(fēng)=《1',作差即可得到

IS.-S,T，〃N2

an~an-\~1"從而得證；

(2)由(1)及等比中項的性質(zhì)求出％,即可得到｛4｝的通項公式與前"項和，再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【小問1詳解】

2s

解：因為一-+n=2an+1,即2s“+〃2=+〃①，

n

當(dāng)〃22時，2S,I+(〃_1)2=2(〃_l)a,T+(〃_l)②，

①一②得，2s“+“2-2s一(〃一I)?=2〃a,+“一2(“一1)%_]—(〃-1),

即2all+2〃-1=2nan-2(/?-1)??_]+1,

即2(〃一1”“一2(〃-1"“_]=2(〃-1),所以4-4_|=1,且〃wN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

解：由(1)可得%=%+3,47=6+6，%=6+8，

又&，%，為成等比數(shù)列，所以

即(q+6)2=(q+3>(q+8),解得q=-12,

由…_?(?-1)1225If25丫625

所以Q〃=〃一]3,所以S”=-42〃H-------——n~----n=—n-------------，

“2222(2J8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時(S“L=-78.

18.在四棱錐尸一48C￡>中，PDJ_底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=也.

（1）證明：BD工PA；

（2）求尸。與平面P4B所成的角的正弦值.

【答案】（D證明見解析；

⑵也.

5

【分析】（1）作。于E，CFLAB于F,利用勾股定理證明4018D，根據(jù)線

面垂直的性質(zhì)可得尸0,5。，從而可得8O_L平面PZQ，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得

證；

（2）以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：在四邊形力88中，作于E,CF工4B于F,

因為CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形力8C7）為等腰梯形，

所以/E=8F='，

2

故DE=*，BD=yjDE2+BE2=VJ-

所以452+802=282,

所以4）_L80，

因為尸平面48C。，BDu平面4BCD,

所以「。工8。，

又PDcAD=D,

所以80,平面P/D,

又因尸/u平面產(chǎn)/。，

所以6。，尸力；

【小問2詳解】

解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=5

則4(1,0,0),8(0,石,0),尸(0,0,6),

則AP=(-1,0，凡麗=(o,-6,6),而=(o,o,6b

設(shè)平面PAB的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=-x+Gz=0

則有｛可取7=(31,1),

n-BP——'/iy+幣)z=0

nDP_V5

則c

所以P。與平面PAB所成角的正弦值為—

5

19.甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0

分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中

獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.6；

（2）分布列見解析，E（X）=13.

【分析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為4氏C，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲

勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出：

（2）依題可知，X的可能取值為0/0,20,30,再分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列，

即可求出期望.

【小問1詳解】

設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P^P[ABC）+P（ABCyP（ABCyP（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小問2詳解】

依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

尸（X=0）=0.5x04x0.8=0.16,

P（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P[X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

尸（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E（X）=0x016+10x044+20x0.34+30x0.06=13.

20.設(shè)拋物線。:/=215>0）的焦點為尸，點。（口,0）,過尸的直線交C于N兩

點.當(dāng)直線垂直于x軸時，|3|=3.

（1）求C的方程;

（2）設(shè)直線ND與C的另一個交點分別為4,B,記直線MN,48的傾斜角分別為

a,p.當(dāng)《一4取得最大值時，求直線的方程.

【答案】（1）y2=4x；

(2)AB:x=V2J/+4.

【分析】（1）由拋物線的定義可得+即可得解；

（2）設(shè)點的坐標(biāo)及直線MN：x=，〃y+l,由韋達定理及斜率公式可得尢“M=2e8,再由

差角的正切公式及基本不等式可得幻8=孝，設(shè)直線48:x=0+〃，結(jié)合韋達定理可

解.

【小問1詳解】

拋物線的準線為x=當(dāng)A/D與x軸垂直時，點M的橫坐標(biāo)為p,

此時|A/E|=p+"=3,所以7=2,

所以拋物線C的方程為y2=4x；

【小問2詳解】

(2\(2\/2\(2、

設(shè)M多,，N今,%,8空,外直線MN:x=+1,

I"J

x=〃少+1)

由〈2可得J?一4"少一4=0,A>0，M%=-4,

y=4x

k；乂一為—4,--乂_4

AB

由斜率公式可得±_yl~yl+y2，-yj+y4,

4444

x,—2,4(X1—2)

直線:x=二——y+2,代入拋物線方程可得y2一一J一?y-8=0,

凹凹

△〉0,乂%=一8,所以％=2%,同理可得%=2乂，

所以用^=品；=2（凹：％）=警

又因為直線MN、的傾斜角分別為a,，，

ck.tana

所以左加=tanP=-^=-y-,

若要使a—4最大，則夕€（0,叁

設(shè)kMN=2kAB=2后>0,則

tan(f)…=

1+tanatan°

1J?

當(dāng)且僅當(dāng)一二2左即左二注時,等號成立,

左2

所以當(dāng)a一尸最大時，除=與，設(shè)直線工8：》=島+〃，

代入拋物線方程可得/-4向，-4〃=0，

A>0,y3y4=-4?=4y1y2=-16,所以〃=4,

所以直線N8:x=J5y+4.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對斜率進行化簡，利用韋達定理得

出坐標(biāo)間的關(guān)系.

21.已知函數(shù)/(x)=---lnx+x—a.

（1）若〃x）20,求。的取值范圍;

（2）證明：若/（X）有兩個零點陽,七，則環(huán)中2<1.

【答案】(1)(―00,e+1]

（2）證明見的解析

【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解;

ex-

（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為一一xe，-2>0,再利用導(dǎo)數(shù)即

x

可得證.

【小問1詳解】

/(x)的定義域為(0,+8),

e1-1—e、+1」X-1.I

r(x)=

XXXXXX)

令/(x)=0,得x=l

當(dāng)xe(0,1)J'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)Xe(1,+8),/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增f(x)>/⑴=e+1—a,

若/(x)i0,則e+1—aNO,即aKe+1

所以“的取值范圍為(-8,e+1]

【小問2詳解】

由題知,/(x)一個零點小于1,一個零點大于1

不妨設(shè)玉＜1＜》2

1

要證須吃＜1,即證m＜一

X2

1、

因為項，一€(01),即證/&)〉/-

X2

因為/(為)=/(々),即證/(&)＞/—

x-1

即證-e---\nx+x-xex-\nx——>0,xG(l,-i-oo)

x

即證Jxl-2

X

下面證明X〉1時,

、e—

設(shè)g(x)=----xe\x>1,

x

11\_

貝|Jg'(x)=er+xev-ex-ex

X

設(shè)夕(x)=y^ev>0

XkXXJX

所以e(x)〉^l)=e，而1<e

所以e；>0,所以g'(x)>0

X

所以g(x)在(L+8)單調(diào)遞增

即g(x)>g(D=0,所以￡--xex>0

x

令/?(%)=Inx——x—,x>1

2(x)

hr(x)=—

x捫分”工與匚。

所以〃（X）在（1,+8）單調(diào)遞減

即h(x)<力⑴=0,所以Inx-<0；

綜上，—~xex-2Inx-gjx-L]|>0,所以X/2<1?

x[_21x力

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式

/?（x）=lnx——這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，

則按所做的第一題計分.

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

'2+t

X-

22.在直角坐標(biāo)系X。中，曲線G的參數(shù)方程為J6”為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方

2+s

x=-----

程為彳6（s為參數(shù)）.

、y=M

（1）寫出G的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為

2cos8-sin6?=0,求C3與G交點的直角坐標(biāo)，及C3與G交點的直角坐標(biāo).

【答案】（1）/=6x-2（y>0）;

（2）G，G的交點坐標(biāo)為（1，2），G，02的交點坐標(biāo)為,g，T），（-1,-2）.

【分析】（1）消去/，即可得到G的普通方程：

（2）將曲線。2，G的方程化成普通方程，聯(lián)立求解即解出.

【小問1詳解】

因為x="，y=&,所以x=即G的普通方程為y2=6x—2（yN0）.

66

【小問2詳解】

2+vi~~

因為x=---,y=-^,所以6x=—2—/，即。2的普通方程為必=-6x-2（yW0）,

6

由2cose-sine=0n2pcose-psine=0,即C3的普通方程為2x-y=0.

y2=6x-2（j/>0）x1

聯(lián)立解得:2或<即交點坐標(biāo)為

2x-y=01u2

y

Mm，解得:二河口，即交點坐標(biāo)叫t，

（T-2）.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知〃，b,c均為正數(shù)，且/+62+4（?=3，證明:

（1）Q+b+2c?3；

（2）若b=2c,則—I—23.

ac

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)/+/+4。2=。2+/+（20）2,利用柯西不等式即可得證；

（2）由（1）結(jié)合已知可得0<。+4。<3,即可得到」一21，再根據(jù)權(quán)方和不等式即

。+4c3

可得證.

【小問1詳解】

證明：由柯西不等式有a2+b2+（2c）2（l2+l2+l2）>（a+/）+2c）2,

所以a+b+2cW3,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2c=1時，取等號，

所以a+b+2cW3；

【小問2詳解】

證明：因為6=2c,a〉0，b>0,c>0>由（1）得a+b+2c=a+4c?3,

即Oca+4c43,所以一-—>-,

a+4c3

由權(quán)方和不等式知_1+，=二+二之（1+2）2=_9_23,

aca4ca+4ca+4c

171

當(dāng)且僅當(dāng)一二一，即a=l,c=—時取等號，

a4c2

所以—I—23.

ac

2022年全國甲卷高考文科數(shù)學(xué)試題解析

1.設(shè)集合/={-2,-l,0,l,2},8={x|04x<g）,則203=O

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】A

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出.

【詳解】因為/={-2,—1,0,1,2},5=k|0<x<|L所以〃08={0,1,2}.

故選：A.

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位

社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講

座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%

90%

治85%

喈80%*講座前

田75%?講座后

70%

65%*........*

60%....**....

0；

12345678910

居民編號

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準差小于講座后正確率的標(biāo)準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

70%A.75%

【詳解】講座前中位數(shù)為>70%,所以A錯;

2

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后

問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%,所以B對;

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準差大于講座后正確

率的標(biāo)準差，所以C錯;

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯.

故選:B

3.若z=l+i.貝ij|iz+35|=()

A.475B.4V2C.275D.2V2

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共規(guī)復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計算公式即可求出.

【詳解】因為z=l+i,所以匕+3彳=1（1+。+3（1-1）=2-2"所以

|iz+3z|-,4+4=2V2.

故選：D.

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積〃=——x2x2=12.

2

故選：B.

5,將函數(shù)/（x）=sin（5+；［（3>0）的圖像向左平移］個單位長度后得到曲線C,若C

關(guān)于夕軸對稱，則口的最小值是（）

111,

A.-B.-C.—D.—

6432

【答案】C

TTn

【分析】先由平移求出曲線C的解析式，再結(jié)合對稱性得——+—=一+左肛左eZ,即可

232

求出0的最小值.

I77ITTmjrTT

［x+yl+y=sin（（yx+—+y）,又c關(guān)于N

軸對稱，則---1—=—I-kn,k&,

232

解得。=』+2左,AeZ,又⑦>0,故當(dāng)左=0時，⑦的最小值為

33

故選：C.

6.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1122

A.-B.-C.-D.一

5353

【答案】C

【分析】先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即

可.

【詳解】從6張卡片中無放回抽取2張，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）

15種情況,

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6種情況，故概率為

6_2

15-5'

故選：C.

7.函數(shù)^=（3，-3-）85》在區(qū)間一5,'的圖象大致為（）

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.

乃71

【詳解】令/（x）=（3'-3T）cosx,xe

一5'3

則/(-x)=(3-v_3、)cos(-x)=-(3x-3-')cosx=-/(x),

所以/（x）為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)xw0,5時，3'—3->0,cosx>0,所以/（x）〉0,排除c.

故選：A.

8.當(dāng)x=l時，函數(shù)/(幻=。山》+2取得最大值_2,則/'(2)=()

X

11

A.—1B.---C.-D.1

22

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知/(1)=-2,/'(1)=0即可解得a,b,再根據(jù)/'(x)即可解出.

【詳解】因為函數(shù)/(x)定義域為(0,+8),所以依題可知，f(1)=-2,/'(1)=0,而

1。G

/'(x)=———-,所以6=_2,4_力=0,即4=-2,：=-2,所以,(%)=——+—,因

XXXX

此函數(shù)/(x)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，X=1時取最大值，滿足題意，即有

V'22

故選：B.

9.在長方體/88-48G2中，已知6Q與平面力88和平面力/田田所成的角均為

30°,則()

A.AB=2ADB.48與平面ZAG。所成的角為30。

C.AC=CB}D,與平面6gGC所成的角為

45°

【答案】D

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)==依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面28CD所

cb

成角為NBQB,片。與平面4445所成角為/。4/,所以$畝30。=苒7；="7；,即

D