小學(xué) 六年級(jí) 上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解 第1課《工程問題》試題附答案

小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第1課《工程問題》試題附答案

第一講工程問題

工程問題是應(yīng)用題中的一種類型.在工程問題中，一般要出現(xiàn)三個(gè)量：工

作總量、工作時(shí)間（完成工作總量所需的時(shí)間）和工作效率（單位時(shí)間內(nèi)完成

的工作量）.

這三個(gè)量之間有下述一些關(guān)系式：

工作效率X工作時(shí)間=工作總量，

工作總量+工作時(shí)間=工作效率，

工作總量-工作效率=工作時(shí)間.

為敘述方便，把這三個(gè)量簡(jiǎn)稱工量、工時(shí)和工效.

例1一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15天完成，甲

丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？

例2師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù).師傅先做5天

后，因事外出，由徒弟接著做3天.共完成任務(wù)的白.如果每人單獨(dú)做這批零

件各需幾天？

例3一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天.若甲先做若干天

后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？

例4一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成.甲先做8小時(shí)，乙

接著做6小時(shí)也可以完成.如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完

成？

例5筑路隊(duì)預(yù)計(jì)30天修一條公路.先由18人修12天只完成全部工程

的;.如果想提前6天完工，還需增加多少人？

例6蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管.要灌滿一池水，單開進(jìn)水管需5

小時(shí).排光一池水，單開排水管需3小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，

排水，進(jìn)水，排水…的順序輪流各開1小時(shí).問：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排

完？（精確到分鐘）

例7一件工作，甲5小時(shí)先完成了;，乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一

半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少時(shí)間才能完成？

例8甲、乙二人植樹.單獨(dú)植完這批樹甲比乙所需要的時(shí)間多,如果

二人一起干，完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植樹36棵，這批樹一共多少棵？

例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成.現(xiàn)在由甲先做16天，

然后乙再做12天，還剩下這批零件的!沒有完成.已知甲每天比乙多加工3個(gè)

零件，求這批零件共多少個(gè)？

答案

笫一講工程問題

工程問題是應(yīng)用題中的一種類型.在工程問題中，一般要出現(xiàn)三個(gè)量：工

作總量、工作時(shí)間（完成工作總量所需的時(shí)間）和工作效率（單位時(shí)間內(nèi)完成

的工作量）.

這三個(gè)量之間有下述一些關(guān)系式：

工作效率X工作時(shí)間=工作總量，

工作總量+工作時(shí)間=工作效率，

工作總量+工作效率=工作時(shí)間.

為敘述方便，把這三個(gè)量簡(jiǎn)稱工量、工時(shí)和工效.

例1一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15天完成，甲

丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？

分析設(shè)這項(xiàng)工程為1個(gè)單位，則甲、乙合作的工效為《，乙、丙合

作的工效為5,甲、丙合作的工效為品.因此甲、乙、丙三隊(duì)合作的工

效的兩倍為白+白+白所以甲、乙、丙三隊(duì)合作的工效為（2+\+《）

+2=/.因此三隊(duì)合作完成這項(xiàng)工程的時(shí)間為1+/=10（天）.

解:「哈+5+'+2]

=1+[；+2]=1+2=10（天）

答：甲、乙、丙三隊(duì)合作需10天完成.

說明：我們通常把工量“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位.這樣，工效就用工

時(shí)的倒數(shù)來表示.如例1中甲乙兩隊(duì)合作的工時(shí)為12天，那么工效就為《，

它表示甲乙兩隊(duì)一天完成全部工程的卷.

例2師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù).師傅先做5天

后，因事外出，由徒弟接著做3天.共完成任務(wù)的白.如果每人單獨(dú)做這批零

件各需幾天？

分析設(shè)一批零件為單位“1”.其中6天完成任務(wù)，用!表示師徒的工效

0

和.要求每人單獨(dú)做各需幾天，首先要求出各自的工效，關(guān)鍵在于把師傅先做

5天，接著徒弟做3天轉(zhuǎn)化為師徒二人合作3天，師傅再做2天.

解：師傅工效：（Ux3）+2=3；

1U01U

徒弟工效："一看二看；

師傅單獨(dú)做需幾天：1+#10（天）；

徒弟單獨(dú)做需幾天：1+[=15（天）.

答：如果單獨(dú)做，師傅需10天，徒弟需15天.

例3一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天.若甲先做若干天

后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？

分析解答工程問題時(shí)，除了用一般的算術(shù)方法解答外，還可以根據(jù)題目

的條件，找到等量關(guān)系，列方程解題。

解：設(shè)甲做了x天.那么，

甲完成工作量*x,乙做的天數(shù)10-X,

乙完成工作量（10-x）x-,

y

因此—x+(10-x)X-=1>

兩邊同乘36,得到:3x+40-4x=36,

答：甲做了4天.

例4一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成.甲先做8小時(shí)，乙

接著做6小時(shí)也可以完成.如果甲做3小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完

成？

分析設(shè)一件工作為單位“1”.甲做6小時(shí)，乙再做12小時(shí)完成或者甲先

做8小時(shí)，乙再做6小時(shí)都可完成，用圖表示它們的關(guān)系如下：

甲做6小時(shí)乙做12小時(shí)

甲做8小時(shí)乙做6小時(shí)

由圖不難看出甲2小時(shí)工作量=乙6小時(shí)工作量，.??甲1小時(shí)工作量=乙3小

時(shí)工作量.可用代換方法求解問題.

解：若由乙單獨(dú)做共需幾小時(shí)：

6X3+12=30（小時(shí)）.

若由甲單獨(dú)做需幾小時(shí)：

8+6+3=10（小時(shí)）.

甲先做3小時(shí)后乙接著做還需幾小時(shí)：

（10-3）X3=21（小時(shí)）.

答：乙還需21小時(shí)完成.

例5筑路隊(duì)預(yù)計(jì)30天修一條公路.先由18人修12天只完成全部工程

的;.如果想提前6天完工，還需增加多少人？

分析由18人修12天完成了全部工程的;，可通過18X12求出用一天

完成g工作量共需要的總?cè)藬?shù)，也可通過18X12求出用一人完成g工作量

共需要的總天數(shù).所以由（18X12）求出1人1天完成全部工程的幾分

之幾（即一人的工效）.

解：①1人1天完成全部工程的幾分之幾（即一人的工效）：

;（18X12）=焉

②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：

X（30-12-6）］

=_2-T.*.12_

3648

=36（人）.

③需增加幾人：

36-18=181人）.

答：還要增加18人.

例6蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管.要灌滿一池水，單開進(jìn)水管需5

小時(shí).排光一池水，單開排水管需3小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，

排水，進(jìn)水，排水…的順序輪流各開1小時(shí).問：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排

完？（精確到分鐘）

分析與解答①在解答“水管注水”問題時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)進(jìn)水管，一個(gè)出

水管的情況.若進(jìn)水管、出水管同時(shí)開放，則積滿水的時(shí)間=1+（進(jìn)水管工

效-出水管工效），

排空水的時(shí)間=1+（出水管工效一進(jìn)水管工效）.

②這道應(yīng)用題是分析推理與計(jì)算相結(jié)合的題目.根據(jù)已知條件推出水池

中的水每2小時(shí)減1少1水池2中有半池水即；1經(jīng)過6小時(shí)后還剩

121一，

g-百X（6+2）=石.如果按進(jìn)水，排水的順序進(jìn)行，則又應(yīng)進(jìn)水1小時(shí)，

11?13

這時(shí)水池內(nèi)共有水而+|=-.如果按每小時(shí)可的流速排出需要經(jīng)過記一

199

-=—（小時(shí)），共用的時(shí)間為6+1+記=7.9（小時(shí)）=7小時(shí)54分剛

好排完.

例7一件工作，甲5小時(shí)先完成了《，乙6小時(shí)又完成了剩下任務(wù)的一

半，最后余下的部分由甲、乙合作，還需要多少時(shí)間才能完成？

分析這道題是工程問題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的復(fù)合題.解題時(shí)先要分別求出

甲、乙工作效率，再把余下的工作量轉(zhuǎn)化為占單位“1”（總工作量）的幾分

之幾？

解：甲工作效率：然吟,

乙工作效率：（1—J）X〈+6=[,

4216

余下部分甲、乙合作需要幾小時(shí)：

（1-9）X（L.+看）=4（小時(shí)）

答：還需要3；小時(shí)才能完成任務(wù).

例8甲、乙二人植樹.單獨(dú)植完這批樹甲比乙所需要的時(shí)間多,如果

二人一起干，完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植樹36棵，這批樹一共多少棵？

分析求這批樹一共多少棵，必須找出與36棵所對(duì)應(yīng)的甲、乙工效

差.已知甲比乙所用的時(shí)間多提可以求出甲與乙所用的時(shí)間比為4：3.

當(dāng)工作總量一定的情況下，工效與工時(shí)成反比例，甲與乙的工時(shí)比為《：1

=4：3,所以甲與乙的工效比是3：4.這個(gè)間接條件一旦揭示出來，問題就得

到解決了.

解：設(shè)乙所用時(shí)間為“1”，甲的時(shí)間是乙的1+；=1：（倍），則甲與

乙的時(shí)間比是4:3.

工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比例，所以甲與乙的工效比是時(shí)

間比的皮比，為3：4.

共植樹多少棵：36-=252（棵）.

答：這批樹一共252棵.

例9加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成.現(xiàn)在由甲先做16天，

然后乙再做12天，還剩下這批零件的!沒有完成.已知甲每天比乙多加工3個(gè)

零件，求這批零件共多少個(gè)？

分析欲求這批零件共多少個(gè)，由題中條件只需知道甲、乙二人每天共做

多少個(gè)即可，然后這就轉(zhuǎn)化為求甲、乙兩人單獨(dú)做各需多少天，有了這個(gè)結(jié)論

后，只需算出3個(gè)零件相當(dāng)于總數(shù)的幾分之幾即可.由條件知甲做16

3

天，乙做12天共完成工程的熱也即相當(dāng)于甲乙二人合做12天，另外加上

甲又做4天共完成這批零件的點(diǎn)又知道甲乙二人合做24天可以完成，因此

甲單獨(dú)做所用天數(shù)可求出，那么乙單獨(dú)做所用天數(shù)也就迎刃而解.

解：甲、乙合作12天，完成了總工程的幾分之幾？

-7X12=7.

242

甲1天能完成全工程的幾分之幾？

（歹5/。6-12）=記+4=而

乙1天可完成全工程的幾分之幾?

244060

這批零件共多少個(gè)?

答；這批零件共360個(gè).

習(xí)題一

1.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做12天可以完成.如果甲單獨(dú)做3天，余下工作由乙

去做，乙再用6天可以做完.問若甲單獨(dú)做6天，余下工作乙要做幾天？

2.一條水渠，甲乙兩隊(duì)合挖30天完工.現(xiàn)在合挖12天后，剩下的由乙隊(duì)

挖，又用24天挖完.這條水渠由乙單獨(dú)挖，需要多少天？

3.客車與貨車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開出，經(jīng)2小時(shí)24分鐘相遇，相遇時(shí)

客車比貨車多行9.6千米.已知客車從甲站到乙站行4小時(shí)30分鐘，求客車與貨

車的速度各是多少？

4.水箱上裝有甲、乙兩個(gè)注水管.單開甲管20分鐘可以注滿全箱.現(xiàn)

在兩管同時(shí)注水2.5分鐘，注滿水箱的得.如果單開乙管需要多少分鐘注滿水

箱？

5.一項(xiàng)工程，甲、乙單獨(dú)做分別需要18天和27天.如果甲做若干天后，

乙接著做，共用20天完成.求甲乙完成工作量之比.

6.一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作6天能完成2.己知單獨(dú)做，甲完成J

05

與乙完成:所需時(shí)間相等.問單獨(dú)做甲、乙各需多少天？

7.做一批兒童玩具.甲組單獨(dú)做10天完成，乙組單獨(dú)做12天完成，丙組

每天可生產(chǎn)64件.如果讓甲、乙兩組合作4天，則還有256件沒完成.現(xiàn)在決定

三個(gè)組合做這批玩具，需要多少天完成？

習(xí)題一解答

1.①乙工效：（1~T7TX3）+6=\.

12o

②余下工作乙?guī)滋焱瓿桑?/p>

（1一百X6）-3=4（天）.

INo

答：余下工作乙要4天完成.

2.①乙工效：（1一需X12）+24=看.

②乙隊(duì)單獨(dú)挖需幾天：1+9=40（天）.

答：乙隊(duì)單獨(dú)挖需40天完成.

2

3.2小時(shí)24分=2§小時(shí)，

4小時(shí)30分=4；小時(shí)，

019

①客車速度：9.6-[2--（4--2-）]

=32（千米/小時(shí)）.

19

②貨車速度：32X4-*2y32=28（千米/小時(shí)）.

答：客車與貨車的速度分別為每小時(shí)32千米和28千米.

5

2.5=卷（合開每分鐘注全箱的卷）

4.①工效和:一

214

-_1__J_

②乙工效:

1220-30'

③單開乙管需要時(shí)間：1+5=30（分鐘）.

答：?jiǎn)伍_乙管需30分鐘注滿水箱.

5.解：設(shè)甲先做x天，乙做（20-x）天.

-77X+777（20-X）=1,

1827，

x=14