章末培優(yōu)精練課件：第一章 豐富的圖形世界

第一章豐富的圖形世界章末培優(yōu)精練素養(yǎng)提升直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).培養(yǎng)直觀想象,首先要培養(yǎng)空間觀念.空間觀念是指對相關(guān)物體和幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變化的直覺,探究有關(guān)圖形內(nèi)在關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系的一種想象能力,在本章主要表現(xiàn)在“能夠由實(shí)物的形狀抽象出幾何圖形,由幾何圖形聯(lián)想出實(shí)物的形狀,進(jìn)行幾何體與其三個方向看到的形狀圖、表面展開圖之間的轉(zhuǎn)化”.例如第3題,借助正方體的表面展開圖尋找螞蟻所爬行的最短路線,實(shí)現(xiàn)立體圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)化.素養(yǎng)解讀1.[探究被截幾何體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的關(guān)系](1)圖1是正方體木塊,把它切去一塊,可能得到形如圖2,3,4,5的木塊.我們知道,圖1的正方體木塊有8個頂點(diǎn),12條棱,6個面,請你將圖2,3,4,5中木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填入下表.

(2)觀察上表,請你歸納上述各個木塊的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系:

.

(3)圖6是用虛線畫出的正方體木塊,請你想象一種與圖2~5不同的切法,把切去一塊后得到的那一塊的每條棱都改畫成實(shí)線,則該木塊的頂點(diǎn)數(shù)為

,棱數(shù)為

,面數(shù)為

.

圖序頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)181262

3

4

5

【解析】

(1)填表如下:

(2)頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2(3)8

12

6(答案不唯一,合理即可)如切過之后為一長方體,所畫圖形如圖所示.該木塊的頂點(diǎn)數(shù)為8,棱數(shù)為12,面數(shù)為6.圖頂點(diǎn)數(shù)棱數(shù)面數(shù)18126269538126481375101572.[與正方體有關(guān)的涂色問題]做一個正方體,并把正方體表面涂上顏色.(1)把正方體的棱二等分,然后沿等分線把正方體切開,得到8個小正方體,如圖1所示,觀察其中三面被涂色的有a個,那么a=

;

(2)把正方體的棱三等分,然后沿等分線把正方體切開,得到27個小正方體,如圖2所示,觀察其中三面被涂色的有b個,各面都沒有被涂色的有c個,那么b+c=

;

(3)把正方體的棱四等分,然后沿等分線把正方體切開,得到64個小正方體,如圖3所示,觀察其中兩面被涂色的有d個,各面都沒有被涂色的有e個,那么d+e=

.

【解析】頂點(diǎn)處的小正方體三面被涂色,除頂點(diǎn)處外位于棱上的小正方體兩面被涂色,位于表面中心的一面被涂色,處于內(nèi)部的沒有面被涂色.(1)三面被涂色的有8個,故a=8.(2)三面被涂色的有8個,各面都沒有被涂色的有1個,故b+c=8+1=9.(3)兩面被涂色的有24個,各面都沒有被涂色的有8個,故d+e=24+8=32.3.[利用表面展開圖尋找最短路線]地上有一個正方體木塊,一只螞蟻在正方體的頂點(diǎn)A處,一塊食物在正方體的頂點(diǎn)B處,如圖所示,現(xiàn)在螞蟻想盡快吃到這塊食物,那么它所爬行的最短路線是怎樣的?在圖上畫出來.這樣的最短路線有幾條?【分析】

欲求從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線,在立體圖形中難以解決,可以考慮把正方體展開成平面圖形.如圖1,連接AB,沿著從點(diǎn)A到點(diǎn)B的虛線爬行,路程最短,然后把展開圖折疊起來即可.【解析】

所爬行的最短路線是正方體表面展開圖中點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的連線(如圖1).在正方體上,像這樣的最短路線一共有6條,但通過地面的有2條,這2條不符合實(shí)際意義,故符合題意的只有4條,如圖2所示.中考真題1.[2020重慶中考B卷]圍成下列立體圖形的各個面中,每個面都是平的是(

)【解析】

長方體的六個面都是平的面,圓柱的側(cè)面不是平的面,球面不是平的面,圓錐的側(cè)面不是平的面.故選A.2.[2020山東濟(jì)南中考]如圖所示的幾何體,從上面看到的形狀圖是(

)C3.[2020吉林長春中考]下列圖形是四棱柱的側(cè)面展開圖的是(

)【解析】因?yàn)樗睦庵膫?cè)面展開圖都是長方形,且有4個側(cè)面,所以只有A選項(xiàng)中的圖形符合題意.故選A.4.[2020河北中考]如圖所示的兩個幾何體分別由7個和6個相同的小立方塊搭成,比較從正面、上面、左面看這兩個幾何體得到的形狀圖,說法正確的是(

)

A.僅從正面看到的形狀圖不同B.僅從上面看到的形狀圖不同C.僅從左面看到的形狀圖不同D.從三個方向看到的形狀圖都相同【解析】

解法一

從正面、上面、左面看題中第一個幾何體得到的形狀圖如圖1所示.從正面、上面、左面看題中第二個幾何體得到的形狀圖如圖2所示.由圖可知從三個方向看到的形狀圖都相同.故選D.

解法二

兩個幾何體的層數(shù)、列數(shù)、行數(shù)都相同,所以從正面、上面、左面看這兩個幾何體得到的形狀圖都相同.故選D.5.[2019廣西南寧中考]如圖,將下面的平面圖形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周,得到的立體圖形是(

)D6.[2020四川達(dá)州中考]下列正方體的展開圖上每個面上都有一個漢字.其中,手的相對面是口的是(

)【解析】A選項(xiàng)中,手的相對面是勤,不符合題意;B選項(xiàng)中,手的相對面是口,符合題意;C選項(xiàng)中,手的相對面是罩,不符合題意;D選項(xiàng)中,手的相對面是罩,不符合題意.故選B.7.[2020江西中考]如圖所示,正方體的展開圖為(

)【解析】由題中正方體可知,符號○,=,<兩兩相鄰,把A,B,C,D四個圖形折疊可知,只有A項(xiàng)符合題意.故選A.8.[2019山東濟(jì)寧中考]如圖,一個幾何體上半部為正四棱錐,下半部為正方體,且有一個面涂有顏色,該幾何體的表面展開圖是(

)【解析】

根據(jù)涂有顏色一面的位置,排除A,C項(xiàng);D中的圖形不是這個幾何體的表面展開圖,排除D.故選B.9.[2020四川雅安中考]一個幾何體由若干大小相同的小立