2012年河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔

實(shí)用文檔2012年河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔承諾書我們仔細(xì)閱讀了數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔的規(guī)則.我們完全明白，在做題期間不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人研究、討論與選拔題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反選拔規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守選拔規(guī)則，以保證選拔的公正、公平性。如有違反選拔規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我我們選擇的題號(hào)是（從A/B/C中選擇一項(xiàng)填寫）：B隊(duì)員簽名：1.謝芝亮2.楊寶帥3.牛恩利日期：2012年8月23日2012年河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽選拔編號(hào)專用頁(yè)評(píng)閱編號(hào)（評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：評(píng)閱記錄（評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注B題：產(chǎn)品銷量預(yù)測(cè)一、摘要本文通過(guò)對(duì)新產(chǎn)品的銷售過(guò)程分析，把銷售過(guò)程分因素分階段考慮，找到銷量與已賣出產(chǎn)品的宣傳效應(yīng)、價(jià)格和新產(chǎn)品的沖擊之間的關(guān)系，由此建立微分方程組，運(yùn)用logistic模型得到一個(gè)新產(chǎn)品銷售量與時(shí)間的關(guān)系。建立新產(chǎn)品的銷售規(guī)律模型。同時(shí)通過(guò)數(shù)據(jù)擬合并且利用本文所建立的模型對(duì)我國(guó)汽車品牌的銷售情況做出合理解釋。由于題中要求產(chǎn)品性能良好，所以我們假設(shè)該新產(chǎn)品為耐用品。針對(duì)問(wèn)題一：我們對(duì)其構(gòu)造微分關(guān)系式時(shí)已經(jīng)考慮了產(chǎn)品自身的宣傳作用，故求解出的結(jié)果就包括產(chǎn)品宣傳因素的影響，我們求解出微分方程，為了更加清楚的看出產(chǎn)品剛上市時(shí)銷量的大致趨勢(shì)我們對(duì)已求解出方程的常數(shù)適當(dāng)?shù)馁x值，運(yùn)用軟件matlab畫出圖像。針對(duì)問(wèn)題二：在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，我們又增加了市場(chǎng)容量對(duì)產(chǎn)品銷量的影響，因此需要用到logistic模型對(duì)其進(jìn)行求解，微分方程積分求解可得由于題目沒(méi)有給定數(shù)據(jù)，所以我們就假定未定的系數(shù)設(shè)為1，然后運(yùn)用matlab得出產(chǎn)品銷量的大致走勢(shì)。針對(duì)問(wèn)題三：在考慮了市場(chǎng)容量的基礎(chǔ)之上，我們認(rèn)為產(chǎn)品的價(jià)格、新產(chǎn)品的沖擊、廠家對(duì)新產(chǎn)品宣傳效應(yīng)對(duì)其銷量的影響尤為重要。因?yàn)樾庐a(chǎn)品開始投入市場(chǎng)后隨著時(shí)間效應(yīng)、已銷售產(chǎn)品的宣傳效應(yīng)的影響，其銷售量會(huì)呈現(xiàn)出增長(zhǎng)趨勢(shì)，然而隨著市場(chǎng)的飽和驅(qū)使銷售量達(dá)到最大值后就會(huì)出現(xiàn)下降的情況。因此我們綜合考慮這三個(gè)因素，運(yùn)用logistic模型寫出微分方程式，積分后對(duì)每個(gè)因素影響的程度進(jìn)行加權(quán)處理列出在三個(gè)因素影響下產(chǎn)品銷量與時(shí)間的方程。最后為了檢驗(yàn)我們所建模型的正確性，我們找到具體某品牌汽車的銷售數(shù)據(jù)，對(duì)我們的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，通過(guò)擬合的該函數(shù)與數(shù)據(jù)擬合的曲線誤差較小，模型符合一般耐用品銷售規(guī)律。因此我們所建的模型基本符合要求。關(guān)鍵字：matlabLogistic模型微分方程擬合

二、問(wèn)題重述設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng),t時(shí)刻的銷量為由于產(chǎn)品性能良好,每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品,因此,t時(shí)刻產(chǎn)品銷量與t有關(guān)。第一問(wèn)：設(shè)t時(shí)刻產(chǎn)品銷量的增長(zhǎng)率與成正比,預(yù)測(cè)時(shí)的產(chǎn)品銷量；需要運(yùn)用微分方程對(duì)其進(jìn)行積分，得出x關(guān)于t的關(guān)系式，從而求出。第二問(wèn)：設(shè)考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場(chǎng)容量N,統(tǒng)計(jì)表明與該產(chǎn)品的潛在容量成正比,預(yù)測(cè)時(shí)的產(chǎn)品銷量；需要運(yùn)用logistic模型，對(duì)產(chǎn)品銷量用曲線進(jìn)行擬合，把系數(shù)取為1求得其圖像，看出銷量增長(zhǎng)的大致趨勢(shì)。第三問(wèn)：試考慮影響產(chǎn)品銷量的其他因素，并建立模型，預(yù)測(cè)時(shí)的產(chǎn)品銷量。我們可以考慮到多種因素如價(jià)格、產(chǎn)品的創(chuàng)新能力、市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)、廣告的宣傳力度等對(duì)銷量都會(huì)產(chǎn)生影響，但在這里我們考慮選用其中相對(duì)重要的幾個(gè)因素，進(jìn)行建立相應(yīng)的模型，并用數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。三、問(wèn)題的分析本題的影響因素和所加條件逐漸增多，問(wèn)題逐漸深入，對(duì)模型的求解難度也將逐步增加。所以我們考慮問(wèn)題時(shí)也是分步考慮，逐漸增加條件，以盡量模擬市場(chǎng)的實(shí)際情況。由于題中要求產(chǎn)品性能良好，所以我們假設(shè)該新產(chǎn)品為耐用品，也就是說(shuō)，該新產(chǎn)品使用時(shí)間較長(zhǎng)，至少在1年以上的物品，如電冰箱、汽車、彩電、機(jī)械設(shè)備、筆記本電腦等。耐用品單位價(jià)值較高，購(gòu)買頻率較低，需要許多的人員推銷和服務(wù)，銷售價(jià)格較高，利潤(rùn)也較大。對(duì)于問(wèn)題一：我們對(duì)其構(gòu)造微分關(guān)系式時(shí)已經(jīng)考慮了產(chǎn)品自身的宣傳作用，故求解出的結(jié)果就包括產(chǎn)品宣傳因素的影響。對(duì)于問(wèn)題二：在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，我們又增加了市場(chǎng)容量對(duì)產(chǎn)品銷量的影響，因此需要用到logistic模型對(duì)其進(jìn)行求解，由于題目沒(méi)有給定數(shù)據(jù)，所以我們就假定未定的系數(shù)設(shè)為1，然后運(yùn)用matlab得出產(chǎn)品銷量的大致走勢(shì)。對(duì)于問(wèn)題三：在考慮了市場(chǎng)容量的基礎(chǔ)之上，我們認(rèn)為產(chǎn)品的價(jià)格、新產(chǎn)品的沖擊、廠家對(duì)新產(chǎn)品宣傳效應(yīng)對(duì)其銷量的影響尤為重要。因?yàn)樾庐a(chǎn)品開始投入市場(chǎng)后隨著時(shí)間效應(yīng)、已銷售產(chǎn)品的宣傳效應(yīng)的影響，其銷售量會(huì)呈現(xiàn)出增長(zhǎng)趨勢(shì)，然而隨著市場(chǎng)的飽和驅(qū)使銷售量達(dá)到最大值后就會(huì)出現(xiàn)下降的情況。就一般新產(chǎn)品而言廠商穩(wěn)定市場(chǎng)占有額，但由于一般新產(chǎn)品本身的利潤(rùn)限制使降價(jià)帶來(lái)的銷售額增加效應(yīng)小于市場(chǎng)飽和帶來(lái)的銷售額下降效應(yīng)，并且延續(xù)這個(gè)趨勢(shì)，所以一般新產(chǎn)品的曲線走勢(shì)基本符合正態(tài)分布。相比較而言，耐用品的利潤(rùn)比較大，相對(duì)的降價(jià)空間也比較大，所以耐用新產(chǎn)品在第一次出現(xiàn)銷售量平穩(wěn)或下降后所表現(xiàn)出的下降效應(yīng)，所以耐用新產(chǎn)品的銷售量能再次上升，達(dá)到高峰，當(dāng)市場(chǎng)再次達(dá)到飽和，現(xiàn)有利潤(rùn)已經(jīng)不能使價(jià)格出現(xiàn)明顯的下降。三模型假設(shè)我們的一切假設(shè)都基于健全、穩(wěn)定的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，研究的對(duì)象屬于理想模型；我們假設(shè)性能良好的產(chǎn)品為耐用品，也就是說(shuō)，顧客在購(gòu)買產(chǎn)品之后短期內(nèi)不會(huì)再次進(jìn)行購(gòu)買這種產(chǎn)品，因此市場(chǎng)容量不斷減?。患僭O(shè)銷量x是關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)；忽略一切偶然變故而引起的產(chǎn)品銷量巨變，如人為的經(jīng)營(yíng)不善等因素；本文只假設(shè)耐用新產(chǎn)品的銷量主要由價(jià)格、產(chǎn)品的廣告宣傳力度和創(chuàng)新適應(yīng)水平?jīng)Q定并且產(chǎn)品的銷量與其成相應(yīng)的線性關(guān)系；四、變量與符號(hào)的說(shuō)明K：產(chǎn)品傳播的速度；M：產(chǎn)品的現(xiàn)有價(jià)格；G：產(chǎn)品的創(chuàng)新能力；X：銷售量；t：時(shí)間;N1：產(chǎn)品銷售的飽和數(shù)；a1a2a3：比例系數(shù)；N2:：產(chǎn)品的最高價(jià)格；N3：產(chǎn)品的最高創(chuàng)新適應(yīng)力；：傳播速度的權(quán)數(shù)；：產(chǎn)品的現(xiàn)有價(jià)格的權(quán)數(shù)；：產(chǎn)品的創(chuàng)新能力的權(quán)數(shù)

五、模型建立和求解模型一我們所考慮的商品即耐用品指使用時(shí)間較長(zhǎng)，至少在1年以上的物品，如電冰箱、汽車、電視機(jī)、機(jī)械設(shè)備等。耐用品單位價(jià)值較高，購(gòu)買頻率較低，需要許多的人員推銷和服務(wù)，銷售價(jià)格較高，利潤(rùn)也較大。產(chǎn)品剛剛上市，賣家通過(guò)各種宣傳手段讓買家知曉并了解自己的產(chǎn)品，在賣家把耐用品賣給買家，同時(shí)也為自己的商品作宣傳。這一時(shí)期的銷售主要靠買家的宣傳與商品信息的傳播，商品的銷售量在持續(xù)的增長(zhǎng)中將會(huì)迎來(lái)第一個(gè)高峰。因此在只考慮宣傳效應(yīng)因素的影響，根據(jù)題意，可以列出微分方程：所以可以求解得：由于題目沒(méi)有給定數(shù)據(jù)，所以我們就假定未定的系數(shù)設(shè)為1，然后運(yùn)用matlab得出產(chǎn)品銷量的大致走勢(shì)。Matlab程序如下：x=linspace(0,2);y=exp(x);plot(x,y,'r+')title('只有宣傳效應(yīng)的影響下產(chǎn)品銷量走勢(shì)圖')模型二在模型一的基礎(chǔ)上考慮市場(chǎng)容量對(duì)該耐用產(chǎn)品銷量的影響，當(dāng)產(chǎn)品達(dá)到自身價(jià)位的銷售量飽和度時(shí)，商品的銷售量在競(jìng)爭(zhēng)激烈的市場(chǎng)里將遇到瓶頸，甚至下滑。因此可以用到logistic模型，對(duì)其進(jìn)行求解。Logistic的微分方程公式如下:所以可求得：Matlab程序如下：x=linspace(0,0.02); y=1000./(1+3*exp(-1000*x)); plot(x,y,'r+') title('宣傳效應(yīng)和市場(chǎng)容量共同作用下產(chǎn)品銷量走勢(shì)圖')在銷售后期市場(chǎng)容量逐漸飽和所以銷量增勢(shì)放平，呈現(xiàn)如下圖態(tài)勢(shì)：模型三在考慮到問(wèn)題二影響的因素下，我們又考慮了產(chǎn)品的價(jià)格和新產(chǎn)品的沖擊。在市場(chǎng)容量逐漸縮小，銷量開始下滑時(shí)，這時(shí)候商家會(huì)降價(jià)促銷，薄利多銷。由于耐用品的利潤(rùn)較大，所以這個(gè)降價(jià)過(guò)程比較持久。這一階段商品銷售量會(huì)迎來(lái)第二個(gè)高峰。在第二個(gè)高峰以后，這時(shí)候商品的利潤(rùn)也所剩無(wú)幾。在新產(chǎn)品的沖擊下，商品的創(chuàng)新適應(yīng)性將會(huì)降到最低，銷售量也到達(dá)谷底，這時(shí)候該商品將退出市場(chǎng)。所以我們對(duì)宣傳效應(yīng)、價(jià)格的高低和新產(chǎn)品的沖擊建立微分方程，運(yùn)用logistic模型得出三個(gè)的方程，我們認(rèn)為這三個(gè)因子主要決定了產(chǎn)品的銷售量，并且和銷售量呈線性關(guān)系。所以我們決定用這三個(gè)因子來(lái)表示銷售量。所以此時(shí)的模型已經(jīng)很接近實(shí)際情況，我們可以找到一種具體產(chǎn)品的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)模型正確性的檢驗(yàn)。在時(shí)刻已傳播商品信息的人數(shù)總量為K(t)，由于潛在消費(fèi)者總量為N1，則在銷售初期或當(dāng)N1很大時(shí)，該商品信息傳播速率主要受已購(gòu)者K(t)的影響，即每一個(gè)已購(gòu)者在一定時(shí)間內(nèi)吸引若干個(gè)欲購(gòu)者，所以傳播速率近似值比于已被傳播者的數(shù)量K(t).但在銷售后期或N1很小時(shí)，該商品的傳播速率將主要受潛在用戶數(shù)量(N1-K)的影響，即傳播速率近似值比于潛在用戶的數(shù)量(N1-K).綜合考慮上述因素，可以為K(t)產(chǎn)品傳播速率值比于K(t)與(N1-K)的乘積，比例系數(shù)為a1,即=a1*K(N1-K);同理可列出其他兩個(gè)模型為:價(jià)格和時(shí)間微分方程：=a2*M(N2-M);創(chuàng)新適應(yīng)能力和時(shí)間的微分方程：=a3*G(N3-G);其中K,M,G是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，這三個(gè)模型正是我們已經(jīng)知道的Logistic模型。先變換成對(duì)兩邊求積分并整理得：K(t)=;同理可得：M(t)=;G(t)=;因?yàn)镵(t),M(t),G(t)與銷售量X(t)存在著線性關(guān)系，所以可以列出他們之間的線性方程：X(t)=K(t)+M(t)+G(t);代入X(t)=++；因此對(duì)第三問(wèn)求解可得預(yù)測(cè)方程如下：把K(t)、M(t)、G(t)合在一起：三個(gè)階段合為一體，形成了雙峰曲線，與耐用品的情況相符。我們把收集到的數(shù)據(jù)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，求得a1=-0.04,a2=0.052,a3=0.017即：X(t)=++；而、、的取值取決于產(chǎn)品的類型：對(duì)于價(jià)格高，利潤(rùn)高的耐用品：價(jià)格因子（即）的影響力最大，所以對(duì)應(yīng)的值就最大。對(duì)于有科技含量，時(shí)尚含量的耐用品：創(chuàng)新適應(yīng)性因子（即）的影響力最大，對(duì)應(yīng)的就最大了。對(duì)于常用的生活耐用品：宣傳傳播的因子（即）的影響力最大，對(duì)應(yīng)的最大。從圖中也可看出，趨于負(fù)無(wú)窮的值無(wú)限接近于0，趨于正無(wú)窮的值也無(wú)限接近于0。由此可以推出*N1+*N2+*N3=0耐用品的、、的取值必須滿足*N1+*N2+*N3=0模型建立好后，我們收集了大眾朗逸的銷量數(shù)據(jù)（附表一）我們用MATLAB對(duì)數(shù)據(jù)作出了散點(diǎn)圖，并對(duì)它進(jìn)行擬合。我們得到的結(jié)論：畫出的圖形與模型的圖形十分相似，說(shuō)明了大眾朗逸的銷售情況滿足我們建立的耐用品銷售模型。六、模型的檢驗(yàn)及誤差分析模型檢驗(yàn)：我們根據(jù)一組大眾朗逸汽車的銷售數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，由計(jì)算機(jī)所得的函數(shù)圖象可知，通過(guò)擬合的該函數(shù)與數(shù)據(jù)擬合的曲線誤差較小，模型符合一般耐用品銷售規(guī)律。誤差分析：新產(chǎn)品的銷售量除了和本文所提到的三個(gè)元素有關(guān)，還受其他因素的影響，例如，產(chǎn)品的銷售量和家庭的收入、家庭特征、環(huán)境、以及所在地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、個(gè)人信仰、產(chǎn)品的質(zhì)量和耐用度、還有耐用品上市的時(shí)間等影響。由于本文只考慮三個(gè)因素的影響，所以所建的模型和實(shí)際擬合得到的圖形有一定的誤差。由于我國(guó)的汽車才剛剛起步，還沒(méi)有達(dá)到汽車發(fā)展的衰落期，大多數(shù)都處在發(fā)展期，只有少數(shù)的處于成熟期。所以用汽車的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合所得到的曲線和實(shí)際的曲線還是存在一定的差異的。我們從網(wǎng)上搜取的數(shù)據(jù)不一定具有代表性。七、模型優(yōu)化推廣該模型的缺點(diǎn)在于沒(méi)有討論足夠的影響因素，產(chǎn)生較大的誤差，如果對(duì)該模型進(jìn)行改進(jìn)，可以更好的符合實(shí)際情況。該模型根據(jù)Logistic模型建立可以用于描述大自然中各種生物間的競(jìng)爭(zhēng)、捕食、互助等的各種關(guān)系可以用于描述人口增長(zhǎng)趨勢(shì)，可以描述各種該模型的建立可以用于預(yù)測(cè)生產(chǎn)耐用品的發(fā)展趨勢(shì)，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候降價(jià)處理該產(chǎn)品或搞促銷活動(dòng)，適時(shí)的發(fā)展創(chuàng)新的新產(chǎn)品，到了一定時(shí)候可以停止生產(chǎn)，以此來(lái)贏取最大的利潤(rùn)。參考文獻(xiàn)[1]姜啟源,謝金星，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京市：高等教育出版社，2003年。[2]羅國(guó)湘，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，北京市：高等教育出版社，2009年。[3]/p-55748461.html附錄附表一：汽車銷售表單位：萬(wàn)輛2008年5月02008年6月0.112008年7月0.442008年8月0.722008年9月0.882008年10月0.782008年11月0.622008年12月0.902009年1月0.842009年2月0.692009年3月1.232009年