專項(xiàng)精練1課件：勾股定理在最短路徑問題中的應(yīng)用

第一章勾股定理專項(xiàng)精練1

勾股定理在最短路徑問題中的應(yīng)用1.如圖,A,B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河岸CD的同側(cè),到河岸的距離分別為AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米.現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠,向A,B兩鎮(zhèn)供水,鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元,請(qǐng)你在河岸CD上找到水廠的位置M,使得鋪設(shè)水管的總費(fèi)用最少,并求出最少總費(fèi)用.類型1平面上的最短路徑問題【解析】如圖,作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B,與CD交于點(diǎn)M,點(diǎn)M即水廠的位置,連接AM,過點(diǎn)A'作A'K⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,可得DK=A'C=AC=10千米,A'K=CD=30千米,所以BK=BD+DK=40千米.由作圖可知∠A'KB=90°,所以在Rt△A'KB中,由勾股定理,得A'B2=A'K2+BK2=302+402=502,所以AM+BM=A'M+BM=A'B=50千米,50×3=150(萬元),所以鋪設(shè)水管的總費(fèi)用最少為150萬元.類型2幾何體中的最短路徑問題2.如圖,長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一周到達(dá)Q點(diǎn),則螞蟻爬行的最短路程為(

)

A.11cm B.12cm C.13cm D.15cm【解析】將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開,如圖,連接PQ,則PQ的長(zhǎng)即所求的最短路程.由題知PA=2×(4+2)=12(cm),QA=5cm.在Rt△PAQ中,由勾股定理,得PQ2=PA2+QA2=122+52=132,所以PQ=13cm.故選C.

在求最短路徑問題時(shí),通常把立體圖形展開成平面圖形,再利用勾股定理求出相應(yīng)的線段長(zhǎng).名師點(diǎn)睛3.[2021山西太原期中]2020年9月22日是第三個(gè)中國農(nóng)民豐收節(jié),小彬用3D打印機(jī)制作了一個(gè)底面周長(zhǎng)為18cm,高為12cm的圓柱狀糧倉模型,如圖所示,BC是底面直徑,AB是圓柱的高.現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶,且裝飾帶經(jīng)過A,C兩點(diǎn)(接頭不計(jì)),則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為

cm.

4.我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達(dá)其頂,問葛藤之長(zhǎng)幾何?”題意是:如圖,把枯木看作一個(gè)圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長(zhǎng)為3尺,有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處.則問題中葛藤的最短長(zhǎng)度是

尺.

【解析】如圖,連接AB,AB的長(zhǎng)即問題中葛藤的最短長(zhǎng)度.一條直角邊長(zhǎng)(即圓柱的高)為20尺,另一條直角邊長(zhǎng)為5×3=15(尺),因此AB2=152+202=252,所以AB=25尺,所以問題中葛藤的最短長(zhǎng)度是25尺.5.易錯(cuò)題[2021河南鄭州桐柏一中期中]如圖,ABCD是長(zhǎng)方形土地,AB=10m,AD=5m,中間豎有一堵高1m的磚墻(MN=1m).一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C,它必須翻過中間那堵墻,則它至少要爬

m.

【解析】如圖,將題圖展開,A'B'=10+2MN=10+2=12(m),連接A'C',則A'C'即螞蟻爬行的最短路徑.易知四邊形A'B'C'D'是長(zhǎng)方形,在Rt△A'B'C'中,A'B'=12m,B'C'=5m,所以A'C'2=A'B'2+B'C'2=122+52=132,所以A'C'=13m,所以螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn),至少要爬13m.6.如圖,長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是8cm,6cm,24cm.(1)在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖,一只小蟲從D處爬到C處去吃,有無數(shù)種走法,則最短路程的平方是多少?(2)能放入長(zhǎng)方體盒子內(nèi)的木棒的最大長(zhǎng)度是多少?

將長(zhǎng)方體的上底面和右側(cè)面展開在同一個(gè)平面,連接CD,如圖3所示.由題意知AM=8cm,AC=12cm,MD=6cm,所以MC=20cm.在Rt△CMD中,由勾股定理,得CD2=MC2+MD2=202+62=436(cm2).因?yàn)?40<388<436,所以最短路程的平方是340cm2.(2)如圖4,連接AG,BG.在Rt△BFG中,∠GFB=90°,GF=8cm,BF=6cm,由勾股定理,得GB2=GF2+BF2=82+62=102,所以GB=10cm.在Rt△AG