綠色化學(xué)十二原則及拋物型方程有限差分方法的應(yīng)用

綠色化學(xué)十二原則Itisbettertopreventwastethantotreatorcleanupwasteafteritisformed.（不讓廢物產(chǎn)生而不是讓其生成后再處理。）制造和使用化學(xué)均有其正常成本，必須支付原料和試劑費(fèi)用?；瘜W(xué)的儲(chǔ)存和處理費(fèi)用也十分可觀。實(shí)際成本=原料+試劑的費(fèi)用+處理危險(xiǎn)品的費(fèi)用，最常見(jiàn)的廢物之一就是未轉(zhuǎn)化的原料和試劑。在可能情況下，應(yīng)盡可能把污染消除在源頭。例1：異布洛芬的合成英國(guó)諾丁漢州的布特公司開(kāi)發(fā)了（U.S.patent.3,385,886）早期異布洛芬合成法。過(guò)去四十年來(lái)，這一合成方法不僅生產(chǎn)了上千噸的異布洛芬，同時(shí)也伴生了幾千噸的不希望的和不能循環(huán)使用的副產(chǎn)物.Hoechst公司和Boots公司聯(lián)合組成的BHC公司研制開(kāi)發(fā)了新的異布洛芬的綠色合成路線:優(yōu)點(diǎn)：步驟短，廢物少，效率高。BHC公司的異布洛芬合成方法的研制成功，1997年贏得美國(guó)總統(tǒng)綠色化學(xué)挑戰(zhàn)獎(jiǎng)。例2：聚天冬氨酸作阻垢劑聚丙烯酸酯(PAC)是最常用的工業(yè)阻垢劑之一。PAC在晶體表面有很強(qiáng)的吸附作用，能附著在晶體的生長(zhǎng)點(diǎn)上以阻止更多的不溶物沉積。PAC還用作洗滌劑中的成分.PAC基本上是無(wú)毒的，但它不能被降解，這造成了在廢水處理設(shè)施中必須經(jīng)常清除PAC的問(wèn)題。Donlar公司已經(jīng)開(kāi)發(fā)出用多聚天冬氨酸(TPA)替代PAC的除垢劑。TPA可以被微生物降解，解決了PAC淤渣提取及填埋的問(wèn)題。聚天冬氨酸中，α-鏈節(jié)占30%，β-鏈節(jié)占70%，聚合反應(yīng)中不用有機(jī)溶劑，基本不產(chǎn)生廢物，因此對(duì)環(huán)境是無(wú)害的。TPA還用于油田生產(chǎn)中的防腐劑,以及農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的營(yíng)養(yǎng)吸收劑。Syntheticmethodsshouldbedesignedtomaximizetheincorporationofallmaterialsusedintheprocessintothefinalproduct.（最有效地設(shè)計(jì)化學(xué)反應(yīng)和過(guò)程，最大限度地提高院子經(jīng)濟(jì)性。）從資源的有效利用、原子經(jīng)濟(jì)性方面考慮，應(yīng)盡可能采用重排反應(yīng)和加成反應(yīng)，盡可能不采用取代反應(yīng)和消去反應(yīng)。Whereverpracticable,syntheticmethodologiesshouldbedesignedtouseandgeneratesubstancesthatpossesslittleornotoxicitytohumanhealthandtheenvironment.（盡可能不使用、不產(chǎn)生對(duì)人類健康和環(huán)境有毒有害的物質(zhì)。）

綠色化學(xué)的基礎(chǔ)就是要盡可能減少危險(xiǎn)品的使用。只有兩種方法可避開(kāi)被危險(xiǎn)品傷害的危險(xiǎn)：減少與危險(xiǎn)品的接觸或消除危險(xiǎn)品的使用。Chemicalproductsshouldbedesignedtopreserveefficacyoffunctionwhilereducingtoxicity.（盡可能有效地設(shè)計(jì)功效卓著而又無(wú)毒無(wú)害的化學(xué)品。）設(shè)計(jì)更加安全的化學(xué)品是可能的。通過(guò)分子結(jié)構(gòu)有關(guān)知識(shí)，化學(xué)家能夠比較準(zhǔn)確地確定化合物的特性。根據(jù)構(gòu)效關(guān)系（SAR），鑒別分子中什么因素有毒。設(shè)計(jì)更加安全的化學(xué)品方法已知毒性機(jī)理，改變和修飾該物質(zhì)的結(jié)構(gòu)。不知道毒性的確切機(jī)理，設(shè)法除去分子中的“毒效”基團(tuán)。減少分子的“生物藥效性”。Theuseofauxiliarysubstances(e.g.solvents,separationagents)shouldbemadeunnecessarywhereverpossibleandinnocuouswhenused.（盡可能不使用輔助物質(zhì)，如須使用也應(yīng)無(wú)毒害。）輔助物質(zhì)面臨困境輔助物質(zhì)的普遍使用溶劑問(wèn)題，鹵化物，如氯代甲烷、氯仿、全氯乙烯、四氯化碳等是普遍使用的溶劑，為致癌物。溶劑對(duì)環(huán)境的影響，如臭氧層破壞、光化學(xué)煙霧。消除輔助物質(zhì)危害的方法采用超臨界流體非溶劑化水作溶劑固定化Energyrequirementsshouldberecognizedfortheirenvironmentalandeconomicalimpactsandshouldbeminimized.（在考慮環(huán)境與經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)，盡可能使能耗最低。）化學(xué)工業(yè)中能量的普遍使用預(yù)反應(yīng)過(guò)程使用能量用熱能加速化學(xué)反應(yīng)用冷卻方法控制反應(yīng)分離需要能量，如蒸餾、重結(jié)晶、超濾分離純化新的能量利用方式微波聲納（超聲波光化學(xué)反應(yīng)（紅外線、紫外線）和輻射促進(jìn)化學(xué)反應(yīng)優(yōu)化反應(yīng)條件，使能耗最小七．Arawmaterialorfeedstockshouldberenewableratherthandepleting,wherevertechnicallyandeconomicallypracticable.（技術(shù)和經(jīng)濟(jì)上可行時(shí)應(yīng)以可再生資源為原料。）例1：GE可再生能源業(yè)務(wù)2004年在中國(guó)安裝了第一臺(tái)風(fēng)機(jī)，目前已裝機(jī)超過(guò)1300臺(tái)，容量超過(guò)190萬(wàn)千瓦。天峰山龍泉風(fēng)電場(chǎng)裝機(jī)預(yù)計(jì)建成后年發(fā)電量52507.7萬(wàn)度，每年可節(jié)約標(biāo)煤約17.33萬(wàn)噸，相應(yīng)每年可減少因燃煤造成的廢氣排放，其中減少二氧化碳36.38萬(wàn)噸，二氧化硫155.42萬(wàn)噸，氮氧化合物155.42萬(wàn)噸，煙塵46.63噸。此外，每年還可節(jié)約淡水132.54萬(wàn)立方米，并減少相應(yīng)的廢水排放和溫排水。微觀選址，優(yōu)化風(fēng)機(jī)的位置和數(shù)量，可提高整個(gè)風(fēng)場(chǎng)的發(fā)電量達(dá)20%。前沿空氣動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用，葉片比2MW機(jī)組的葉片還要輕，捕風(fēng)效率更高，發(fā)電量更大。先進(jìn)的荷載設(shè)計(jì)，每臺(tái)風(fēng)機(jī)的塔筒都比同級(jí)別機(jī)組的輕30%，大大節(jié)約了鋼材。預(yù)制塔筒設(shè)計(jì)可以用集裝箱運(yùn)輸，現(xiàn)場(chǎng)組裝，非常適用于道路設(shè)施不完善、地形復(fù)雜多樣的偏遠(yuǎn)風(fēng)場(chǎng)。整個(gè)風(fēng)場(chǎng)的智能控制，通過(guò)風(fēng)況預(yù)測(cè)、風(fēng)機(jī)之間的對(duì)話，提供更為高效的精確測(cè)算和運(yùn)營(yíng)維護(hù)，提升了設(shè)備運(yùn)行穩(wěn)定度和發(fā)電效率。例2：英國(guó)公布“光伏發(fā)電戰(zhàn)略”，重點(diǎn)扶持屋頂型光伏系統(tǒng)英國(guó)能源與氣候變化部部長(zhǎng)格雷格·巴克(GregBarker)于4月公布了“光伏發(fā)電戰(zhàn)略”。按照該戰(zhàn)略，英國(guó)將在工廠和超市等大型建筑物的屋頂及停車場(chǎng)設(shè)置光伏發(fā)電系統(tǒng)。英國(guó)能源與氣候變化部部長(zhǎng)格雷格·巴克(GregBarker)于4月公布了“光伏發(fā)電戰(zhàn)略”。按照該戰(zhàn)略，英國(guó)將在工廠和超市等大型建筑物的屋頂及停車場(chǎng)設(shè)置光伏發(fā)電系統(tǒng)。巴克部長(zhǎng)表示，英國(guó)光伏發(fā)電戰(zhàn)略的首要目的是幫助光伏發(fā)電產(chǎn)業(yè)創(chuàng)造數(shù)十萬(wàn)個(gè)就業(yè)崗位。關(guān)于英國(guó)政府的光伏發(fā)電戰(zhàn)略，巴克部長(zhǎng)強(qiáng)調(diào)稱：“這在全球光伏發(fā)電領(lǐng)域是最領(lǐng)先、最具雄心的計(jì)劃?！痹搼?zhàn)略將重點(diǎn)發(fā)展方向由設(shè)在地面的大規(guī)模光伏發(fā)電系統(tǒng)轉(zhuǎn)向了安裝在屋頂上的光伏系統(tǒng)。據(jù)推算，在英國(guó)全國(guó)的商業(yè)設(shè)施及工廠等大型建筑物的屋頂中，適合光伏發(fā)電的南向屋頂?shù)拿娣e共有25萬(wàn)公頃，英國(guó)政府將為在這些屋頂設(shè)置光伏發(fā)電系統(tǒng)提供支援。另外，與該戰(zhàn)略同步，英國(guó)教育部正在推行提高英國(guó)2.2萬(wàn)所學(xué)校的能源效率、以減少每年高達(dá)5億英鎊的能源支出的政策。為了提高教育部這項(xiàng)政策的效果，將積極在學(xué)校屋頂設(shè)置光伏發(fā)電系統(tǒng)。（日經(jīng)技術(shù)在線）Unnecessaryderivations(protection/deprotection,blockinggroup,temporarymodificationofphysical/chemicalprocesses)shouldbeavoidedwheneverpossible.（盡可能避免衍生反應(yīng)。）Catalyticreagent(asselectiveaspossible)aresuperiortostoichiometricreagents.（盡可能使用性能優(yōu)異的催化劑。）催化劑具有以下作用：提高選擇性；降低能耗。Chemicalsshouldbedesignedsothatattheendoftheirfunctiontheydonotpersistintheenvironmentandbreakdownintoinnocuousdegradationproducts.（應(yīng)設(shè)計(jì)功能終結(jié)后可降解為無(wú)害物質(zhì)化學(xué)品。）塑料在環(huán)境中的持久性殺蟲(chóng)劑像設(shè)計(jì)分子的其他功能一樣，把降解作為一個(gè)功能加以設(shè)計(jì)。比如聚乳酸作為一次性包裝材料。生物降解性設(shè)計(jì)。比如引入特殊功能團(tuán)促使其降解；降解產(chǎn)物的毒性。例1：后代謝設(shè)計(jì)或軟化學(xué)設(shè)計(jì)是指具有生理活性且療效顯著，但在人體完成治療后很快轉(zhuǎn)為無(wú)毒物質(zhì)或易排泄的藥物的設(shè)計(jì)。鹽酸十六烷基吡啶一種有效的防腐劑，但對(duì)哺乳動(dòng)物有嚴(yán)重毒性。老鼠口服實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)半致死量LD50=108mg/kg通過(guò)分子修飾新分子側(cè)鏈仍保持16個(gè)原子，但能很快代謝為毒性較小的吡啶、甲醛及十四碳酸等低毒物質(zhì)，防腐性能不變。LD50＞4000mg/kg例2除此以外，CargillDow聚合物公司耗資3億美元建設(shè)一套生產(chǎn)規(guī)模為140kt/a的從玉米生產(chǎn)聚乳酸的裝置，用于生產(chǎn)纖維和塑料等。十一.Analyticalmethodologiesneedtobedevelopedtoallowforrealtime,in-processmonitoring,andcontrolpriortotheformationofhazardoussubstances.（應(yīng)發(fā)展實(shí)時(shí)分析方法，以避免或監(jiān)控有毒害物質(zhì)的生成。）需要精確可信的敏感元件，監(jiān)測(cè)器件和分析技術(shù)；需要發(fā)展在線的，與時(shí)間有關(guān)的分析技術(shù)。十二.Substancesandtheformofasubstanceusedinachemicalprocessshouldbechosensoastominimizethepotentialforchemicalaccidents,includingreleases,explosions,andfires.（盡可能選用安全的化學(xué)物質(zhì)，最大限度減少化學(xué)事故發(fā)生。）應(yīng)考慮廣泛的危險(xiǎn)性，不僅僅是污染和生態(tài)毒性。20XX年秋季學(xué)期研究生課程考核（讀書(shū)報(bào)告、研究報(bào)告）考核科目:偏微分方程數(shù)值解法學(xué)生所在院（系）:理學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)生所在學(xué)科:數(shù)學(xué)學(xué)生姓名:學(xué)號(hào):學(xué)生類別:考核結(jié)果閱卷人第第頁(yè)拋物型方程有限差分方法的應(yīng)用摘要拋物型偏微分方程是一類比較重要的偏微分方程。熱傳導(dǎo)方程是最簡(jiǎn)單的一種拋物型方程。熱傳導(dǎo)方程研究的是熱傳導(dǎo)過(guò)程的一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型。根據(jù)熱量守恒定律和傅里葉熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律可以導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程。在本篇論文中，將先詳述拋物型偏微分方程的有限差分法的相關(guān)知識(shí)，然后給出拋物型方程的兩個(gè)具體的應(yīng)用實(shí)例。關(guān)鍵字：拋物型方程，差分格式，應(yīng)用AbstractParabolicpartialdifferentialequationisakindofimportantpartialdifferentialequation.Theheatconductionequationisoneofthesimplestparabolicequations.Theheatconductionequationisasimplemathematicalmodeloftheheatconductionprocess.HeatconductionequationisderivedbasedonthelawofconservationofheatandFriyege'slawofconduction.Inthisthesis,wefirstgiveadetailedknowledgeofthefinitedifferencemethodforparabolicpartialdifferentialequations,andthengivetwospecificexamplesoftheapplicationoftheparabolicequation.Keywords:parabolicequation,differencescheme,application0前言拋物型方程是偏微分方程中的三大方程（另兩種為雙曲型方程和橢圓型方程）之一，如何去研究拋物型方程的性質(zhì)在《偏微分方程數(shù)值解法》的課程中占有很大的比例。如果要研究拋物型方程，我們一般從以下幾個(gè)方面來(lái)研究，分別是：定界問(wèn)題、格林函數(shù)、極值原理、解的正則性、拋物方程、擬線性蛻化和反應(yīng)擴(kuò)散方程。但是由于所學(xué)知識(shí)有限，所以我們?cè)诖酥缓?jiǎn)單的介紹拋物型方程的有限差分法并給出兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例。1拋物型方程有限差分法1.1簡(jiǎn)單差分法考慮一維模型熱傳導(dǎo)方程，(1.1)其中為常數(shù)。是給定的連續(xù)函數(shù)。（1.1）的定解問(wèn)題分兩類：第一，初值問(wèn)題（Cauchy問(wèn)題）：求足夠光滑的函數(shù)，滿足方程（1.1）和初始條件：，（1.2）第二，初邊值問(wèn)題（也稱混合問(wèn)題）：求足夠光滑的函數(shù)，滿足方程（1.1）和初始條件：,及邊值條件，假定和在相應(yīng)的區(qū)域光滑，并且于，兩點(diǎn)滿足相容條件,則上述問(wèn)題有唯一的充分光滑的解。現(xiàn)在考慮邊值問(wèn)題（1.1），（1.3）的差分逼近。取為空間步長(zhǎng)，為時(shí)間步長(zhǎng)，其中，是自然數(shù)，,；,將矩形域分割成矩形網(wǎng)格。其中表示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)；表示網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)（位于開(kāi)矩形中的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）的集合；表示位于閉矩形中的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的集合；表示-網(wǎng)格邊界點(diǎn)的集合；表示定義在網(wǎng)點(diǎn)處的待求近似解，，。注意到在節(jié)點(diǎn)處的微商和差商之間的下列關(guān)系（）：可得到以下幾種最簡(jiǎn)差分格式（一）向前差分格式，，==0其中，。取為網(wǎng)比，則進(jìn)一步有=+++此差分格式是按層計(jì)算：首先，令，得到=+++于是，利用初值和邊值==0，可算出第一層的，。再由取，可利用和==0算出，。如此下去，即可逐層算出所有（，）。由于第層值可以通過(guò)第層值直接得到，如此的格式稱為顯格式。并視為的近似值。若記，，則顯格式可寫成向量形式其中若記那么截?cái)嗾`差為==（1.5）其中是矩形，中某一點(diǎn)。事實(shí)上，+=+===。這里故，從而（二）向后差分格式，==0其中，。取為網(wǎng)比，則進(jìn)一步有+=+按層計(jì)算：首先，取，則利用初值和邊值==0，來(lái)確定出第一層的，，即求解方程組：+=+，==0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐層算出所有，。如此每層必須解一個(gè)三對(duì)角線性方程組的格式稱為隱格式。并視為的近似值。直觀地說(shuō)，采用顯式格式進(jìn)行求解既方便又省工作量。但是，后面我們將看到，有些情況用隱式格式更為便利。（三）Grank-Nicholson法將向前差分格式和向后差分格式做算術(shù)平均，得到的差分格式稱之為六點(diǎn)對(duì)稱格式，也稱為Grank-Nicholson格式：，==0進(jìn)一步，+=++按層計(jì)算：首先，取，則利用初值和邊值==0，來(lái)確定出第一層的，，即求解方程組：+=++，==0。求出，在由,取，可利用，解出，。如此下去，即可逐層算出所有，。若記那么截?cái)嗾`差為=（1.9）注意=又兩式相加而+故有。（四）Richardson格式+（1.10）進(jìn)一步=（+）++2這是三層顯式差分格式。顯然截?cái)嗾`差的階為。為使計(jì)算能夠逐層進(jìn)行，除初值外，還要用到。它可以用其他雙層格式提供。Richardson格式的矩陣形式為：其中我們著重介紹了以上四種差分格式（還可以作出許多逼近（1.1）（1.3）的差分格式）。1.2穩(wěn)定性與收斂性拋物方程的兩層差分格式可以統(tǒng)一寫成向量形式:（1.11）其中，和是階矩陣。我們假定可逆，即（1.11）是唯一可解的。對(duì)于顯格式，等于單位矩陣。三層格式可以通過(guò)引入新變量化成兩層格式。假設(shè)差分解的初始值（其實(shí)可以是任一層的值）有誤差，以后各層計(jì)算沒(méi)有誤差，讓我們來(lái)考察初始誤差對(duì)以后各層的影響。令和分別是以和為初始值由差分格式（1.11）得到的兩組差分解，則滿足（1.12）因此，按初值穩(wěn)定應(yīng)該意味著。這就導(dǎo)致如下定義：假設(shè)，我們稱差分格式（1.11）按初值穩(wěn)定，如果存在正常數(shù)和，使得以下不等式成立：，這里是上的某一個(gè)范數(shù)，例如類似地，假設(shè)，我們稱差分格式（1.11）按右端穩(wěn)定，如果存在正常數(shù)和，使得以下不等式成立：，可以證明，差分格式若按初值穩(wěn)定，則一定按右端穩(wěn)定。因此，這時(shí)我們簡(jiǎn)單地稱差分格式穩(wěn)定。前面討論的向前差分格式（1.4）當(dāng)網(wǎng)比時(shí)穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)不穩(wěn)定。這就意味著給定空間步長(zhǎng)以后，時(shí)間步長(zhǎng)必須足夠小，才能保證穩(wěn)定。而向后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）則對(duì)任何網(wǎng)比都是穩(wěn)定的，時(shí)間步長(zhǎng)可以取得大一些，從而提高運(yùn)算效率。Richardson格式則對(duì)任意網(wǎng)比都是不穩(wěn)定的。因此，雖然Richardson格式是個(gè)顯格式，截?cái)嗾`差又很小，但是卻不可用。如果某個(gè)差分格式的截?cái)嗾`差當(dāng)和趨于0時(shí)隨之趨于0，則稱這個(gè)差分格式是相容的?？梢宰C明：若差分格式是相容的和穩(wěn)定的，則它是收斂的，并且差分解與微分解之間誤差的階等于截?cái)嗾`差的階。因此，當(dāng)網(wǎng)比時(shí)，向前差分格式（1.4）有收斂階。對(duì)任何網(wǎng)比，向后差分格式（1.6）有收斂階，而Grank-Nicholson格式（1.8）有收斂階。1.3高維拋物方程差分法考慮如下二維拋物方程的差分格式（1.13）取空間步長(zhǎng)，時(shí)間步長(zhǎng)。作兩族平行與坐標(biāo)軸的網(wǎng)線，，其中，將矩形區(qū)域分割成個(gè)小矩形。記為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的差分解。前述各種一維差分格式都可以直接用于以（1.13）為代表的二維以至更高維的拋物方程。例如，向前差分格式成為（1.14）實(shí)際計(jì)算時(shí)，先令，利用已知的等等，對(duì)，用（1.14）算出。而由邊值條件，補(bǔ)充得到。下一步，令，利用已知的第1層的差分解類似地算出第2層的差分解。以此類推，直到。各種隱格式，例如向后差分格式和Grank-Nicholson格式，也可以類似地推廣用于高維情形。每次計(jì)算新的一層差分解時(shí)，同樣需要求解一個(gè)線性方程組。但是，這個(gè)線性方程組不再是三對(duì)角的，方程組階數(shù)為，其中是拋物方程的維數(shù)。因此，求解成本大大增加，甚至導(dǎo)致無(wú)法求解。為了克服這一困難，人們提出了各種降維技巧，局部地把高維問(wèn)題化成一維問(wèn)題求解。下面給出的求解二維拋物方程的LOD格式（局部一維格式）就是其中一例。（1.15a）(1.15b)；其中，LOD格式的計(jì)算步驟可以總結(jié)如下：令，。求解三對(duì)角線性方程組（3.3a）得到差分解。若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟4）。否則轉(zhuǎn)4）。令。求解三對(duì)角線性方程組（3.3b）得到差分解。若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟5）。否則轉(zhuǎn)7）。若，則增加1，轉(zhuǎn)步驟2）。否則結(jié)束。LOD格式的基本想法是：由第層計(jì)算層時(shí)，對(duì)，依次固定，然后計(jì)算這條直線上各個(gè)網(wǎng)點(diǎn)上的近似值；因?yàn)檫@時(shí)不變，所以原來(lái)的二維微分方程退化為關(guān)于的一維微分方程。接著，當(dāng)由第層計(jì)算層時(shí)，則依次固定。LOD格式可以直接推廣到任意維拋物方程。LOD格式對(duì)任意網(wǎng)比都是穩(wěn)定的，截?cái)嗾`差階和收斂階是。1.4拋物方程有限元法考慮一維拋物方程（1.16）（1.17）（1.18）其中系數(shù)都是和的已知光滑函數(shù)，初值是的已知光滑函數(shù)。它的變分方程為：求使得對(duì)每一個(gè)固定的，都有，并且（1.19）其中（1.20）（1.21）拋物方程有限元法的通常做法是在時(shí)間方向用差分法，在空間方向用有限元法。可以關(guān)于變量構(gòu)造線性有限元空間。令時(shí)間方向步長(zhǎng)為。若時(shí)間方向用向前差商，空間方向用線性有限元，并記，則有限元方程為：對(duì)，逐層求滿足這相當(dāng)于在每一層要解一個(gè)線性方程組：或者稍微整理一下：如果在時(shí)間方向用梯形公式，則類似于（1.21）得到所謂Crank-Nicolson格式：2拋物型方程的應(yīng)用實(shí)例2.1具有粘性的波動(dòng)方程考慮如下初值問(wèn)題[1]（2.1）如果，那么方程化為波動(dòng)方程；如果，那么方程可以寫成這是熱傳導(dǎo)方程?？梢杂秒[式和顯式格式求解（2.1）式，下面考慮顯式差分格式（2.2）從格式的構(gòu)造可以得到，其截?cái)嗾`差為。下面用Fourier方法討論穩(wěn)定性。（2.2）式三層格式，用標(biāo)準(zhǔn)方法可求得其增長(zhǎng)矩陣為其中，增長(zhǎng)矩陣的特征方程為得，當(dāng)時(shí)有。簡(jiǎn)單地，?。?.3）作為格式（2.2）的穩(wěn)定性條件。2.2混合方程組在可壓縮流體的流動(dòng)中，從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的溫度常有相當(dāng)大的差別。因而由熱傳導(dǎo)引起的能量傳遞可以對(duì)運(yùn)動(dòng)有顯著的影響。于是，熱傳導(dǎo)的拋物型方程和流體動(dòng)力學(xué)的雙曲型方程結(jié)合起來(lái)了，這兩種現(xiàn)象必須合并計(jì)算。設(shè)壓力、比容和單位體積的內(nèi)能分別為和，其中和都是未經(jīng)擾動(dòng)時(shí)的值，且。設(shè)物質(zhì)的速度為。和都是和的函數(shù)。為等溫聲速。我們?nèi)顟B(tài)方程為使用輔助因變量，并對(duì)小量和精確到一階項(xiàng)，則得微分方程組（2.4）其中為定常體積下導(dǎo)熱率與比熱之比。方程組（2.4）是雙曲型方程和拋物型方程結(jié)合在一起的混合方程組。對(duì)于這個(gè)方程組，可以構(gòu)造多種多樣的差分格式。簡(jiǎn)單的顯式格式是（2.5）速度在第二個(gè)方程和第三個(gè)方程中采用了第n+1層上的值。我們注意到，差分方程組是顯式的，因?yàn)閺牡谝粋€(gè)方程組可以先解出另外兩個(gè)方程所需要的和。在實(shí)際計(jì)算中穩(wěn)定性條件采用（2.6）用顯式格式（2.5）來(lái)計(jì)算方程組（2.4）時(shí)，條件導(dǎo)致了要求取很小的時(shí)間步長(zhǎng)，因而使計(jì)算工作量增加?？朔@一困難可采用不同的辦法。其中之一為保留差分格式的顯式特點(diǎn)，而表征熱傳導(dǎo)的第三個(gè)方程（拋物型方程）采用比用兩個(gè)方程更小的時(shí)間步長(zhǎng)，其中為一個(gè)正常數(shù)。這樣，流體力學(xué)計(jì)算的每個(gè)循環(huán)都伴隨著步熱傳導(dǎo)計(jì)算。此差分格式可以寫為（2.7）此格式的穩(wěn)定性條件，一般取為（