同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)資料

高等數(shù)學(xué)(上)總復(fù)習(xí)第一局部復(fù)習(xí)的重點(diǎn)及題型分析第二局部高等數(shù)學(xué)(上)方法綜述精選課件第一局部

復(fù)習(xí)的重點(diǎn)及題型分析復(fù)習(xí)重點(diǎn)三個(gè)根本計(jì)算—極限,導(dǎo)數(shù),積分兩個(gè)根本應(yīng)用—導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,積分應(yīng)用一個(gè)根本理論—有關(guān)中值的定理及應(yīng)用精選課件一.三個(gè)根本計(jì)算(約70%)1.極限的計(jì)算(約24%)主要題型(1)利用根本方法求極限函數(shù)的連續(xù)性;四那么運(yùn)算法那么;極限存在準(zhǔn)那么;兩個(gè)重要極限;等價(jià)無窮小替換;洛必塔法那么.(2)利用特殊方法求極限導(dǎo)數(shù)定義;定積分定義;微分中值定理;變限積分求導(dǎo);討論左右極限.(3)無窮小量的比較精選課件例題分析例1.

計(jì)算解:解:利用等價(jià)關(guān)系例2.

設(shè)f(x)處處連續(xù),且f(2)=3,計(jì)算精選課件解:化為指數(shù)形式,利用例3.計(jì)算解:例4.

計(jì)算精選課件例5.計(jì)算解:令

例6.

計(jì)算解:令精選課件例7.計(jì)算解:利用等價(jià)無窮小例8.

計(jì)算解:精選課件例9.求解:

令那么原式=洛例10.計(jì)算解:直接用洛必塔法那么不方便利用等價(jià)無窮小精選課件例11.

計(jì)算解:利用微分中值定理例12.計(jì)算解:洛這是積分變量精選課件例13.求原式=洛利用等價(jià)無窮小解:精選課件例14.解:對所給等式左邊用洛必塔法那么,得再利用可知求

a,b.精選課件2.導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算(約18%)主要題型(1)計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分;(2)計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分;(3)參數(shù)方程求一階、二階導(dǎo)數(shù);(4)用導(dǎo)數(shù)定義求特殊點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值;(5)計(jì)算n

階導(dǎo)數(shù).(包括對數(shù)微分法)例題分析精選課件例1.解法1.等式兩邊對x

求導(dǎo),得故解法2.

等式兩邊取對數(shù),得兩邊對x求導(dǎo),得故精選課件例2.解：兩邊取對數(shù)，得兩邊對

x求導(dǎo)精選課件例3.證明下述函數(shù)在x=0連續(xù)且可導(dǎo)證:因?yàn)橛衷趚=0連續(xù)且可導(dǎo).思考:假設(shè)函數(shù)改為是否有同樣的結(jié)論?精選課件例4.解:,求精選課件例5.設(shè)

解:精選課件例6.

設(shè)解:精選課件例7.設(shè)求解:精選課件例8.求解:方法1.利用歸納法可證方法2.

利用萊布尼茲求導(dǎo)公式的n

階導(dǎo)數(shù).精選課件例9.設(shè)求解:精選課件3.不定積分與定積分的計(jì)算(約28%)主要題型(1)利用根本積分方法計(jì)算不定積分;(2)利用根本積分方法及公式計(jì)算定積分;(3)利用簡化技巧計(jì)算積分;(4)廣義積分的計(jì)算及收斂性判別.例題分析精選課件例1.求解:令令例2.求解:精選課件例3.求解:原式=精選課件例4.求解:例5.

討論積分解:的斂散性.發(fā)散可見原積分發(fā)散.精選課件例6.求解:奇函數(shù)偶函數(shù)例7.解:對所給等式兩邊求導(dǎo),得求利用“偶倍奇零〞,得精選課件例8.設(shè),求(P266題10)解:

令那么精選課件例9.解:由條件得求精選課件例10.求解:利用P245例6(2),即精選課件例11.利用遞推公式計(jì)算以下廣義積分解:(P256題3)精選課件二.兩個(gè)根本應(yīng)用(約24%)1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(約16%)主要題型(1)導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)形態(tài)(3)求解最值問題(4)利用導(dǎo)數(shù)證明恒等式(5)利用單調(diào)性證明不等式精選課件例1.

設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖形如右圖所示,那么導(dǎo)函數(shù)的圖形為

.(2001考研)提示:在某區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),那么在I內(nèi)是的極值點(diǎn)例題分析精選課件例2.

證明在上單調(diào)增加.證:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,故當(dāng)

x>0時(shí),從而在上單調(diào)增.得(L.P95例4)精選課件例3.證明當(dāng)x>0時(shí),證法1:設(shè)那么故證法2:當(dāng)x>0時(shí),在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,得精選課件例4.證明:證:即〔P130例1〕精選課件例5.

證明當(dāng)證:

歸結(jié)為證即在(0,1)上不好判別正負(fù)號提示:

證明f(0)是f(x)在(–,1)

上的最大值.說明:假設(shè)改為證明當(dāng)x<1時(shí),如何證明?精選課件例5.

設(shè)證:

設(shè)且①②比較①,②可知,故不等式成立.精選課件有兩個(gè)根;例6.

討論方程有幾個(gè)實(shí)根.解:

設(shè)令得(最大值)注意因此當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),只有一個(gè)根；當(dāng)時(shí),無實(shí)根.(P151題5)精選課件例7.求雙曲線的曲率半徑

R,并分析何處R

最小?解:那么利用精選課件例8.

求內(nèi)接于半徑為R

的球內(nèi)的正圓錐體的最大體積.解:

設(shè)錐體的底半徑為r,高為h,如圖因△ADB∽

△BDE,所以圓錐體體積為極大值點(diǎn)在(0,2R)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn),且為極大值點(diǎn),故為最大值點(diǎn),最大值為精選課件2.定積分的應(yīng)用

(約8%)(1)利用定積分計(jì)算面積直角坐標(biāo)方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程(2)利用定積分計(jì)算弧長及旋轉(zhuǎn)體體積(3)定積分的物理應(yīng)用(4)有關(guān)定積分的證明題主要題型例題分析精選課件例1.求曲線解:設(shè)切點(diǎn)為那么切線方程為令得與其通過原點(diǎn)的切線及y軸所圍圖形的面積.故所求面積為精選課件例2.求曲線解:列表:繞x

軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.精選課件例3.求拋物線解:與直線所圍的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.精選課件例4.求由圓解:圓的方程為圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.利用“偶倍奇零〞精選課件例5.證明提示:

令,得x=1,0,判別x=1為f(x)在上的唯一極大點(diǎn),故那么時(shí)精選課件例6.求拋物線在(0,1)內(nèi)的一條切線,使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解:

設(shè)拋物線上切點(diǎn)為那么該點(diǎn)處的切線方程為它與x,y

軸的交點(diǎn)分別為所求面積精選課件且為最小點(diǎn).故所求切線為得[0,1]上的唯一駐點(diǎn)精選課件三.一個(gè)根本理論—有關(guān)中值的問題(約5%)主要題型(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)問題或方程根的問題存在性唯一性—常用介值定理

;羅爾定理—利用單調(diào)性

;反證法(2)利用微分和積分中值定理證明等式或不等式例1.表達(dá)拉格朗日中值定理并證明之.提示:利用逆向思維設(shè)出滿足羅爾定理的輔助函數(shù).例題分析精選課件例2.設(shè)常數(shù)至少有一正根,且不超過證:設(shè),那么均為正值,證明方程若則為一正根,且符合題意.若那么由根的存在定理知,,又至少存在一個(gè)使,即所給方程至少有一個(gè)不超過的正根.精選課件證明方程例3.證:先證存在性.使再證唯一性.在[0,1]上有唯一的根.那么因此,即假設(shè)方程還有一根那么無妨設(shè)x

0<x1,故存在一點(diǎn)那么在[x0,x1]上F(x)滿足羅爾定理?xiàng)l件,即與條件矛盾,故假設(shè)不真,因此根唯一.精選課件例4.設(shè)證:設(shè)證明存在唯一一點(diǎn)因此存在唯一一點(diǎn)即精選課件例5.上可積且不變號,證明存在使(P266題11)證明思路:想到用介值定理精選課件上可積且不變號,證明存在使例5.證明:設(shè)M,m

分別為上的最大值與最小值,不妨設(shè)假設(shè)那么故對任意結(jié)論都正確;假設(shè)由連續(xù)函數(shù)介值定理可知,存在使,故定理成立.那么那么精選課件例6.設(shè)在內(nèi)二階可求證:至少存導(dǎo),且在一點(diǎn)提示:由積分中值定理得上用羅爾定理得上用羅爾定理,得精選課件例7.

證明方程證:設(shè)

原方程存在唯一實(shí)根由使在[0,1]上存在唯一的實(shí)根xn,且那么得由①

①精選課件四.幾點(diǎn)說明1.函數(shù)也是考試重點(diǎn)(1)函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式(2)討論函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)或間斷例1.

證明解:在

x=0連續(xù).精選課件例2.

設(shè)解:故

x=0為第一類跳躍間斷點(diǎn).并指出其間斷點(diǎn)的類型.思考:

如何求及其間斷點(diǎn)?精選課件例3.

設(shè)解:因?yàn)閤>0時(shí),F(x)可導(dǎo),故連續(xù),問a

取何值時(shí)F(x)連續(xù)?顯然連續(xù),精選課件2.注意綜合試題(1)極限與其它知識點(diǎn)的結(jié)合(2)求導(dǎo)與積分方法的結(jié)合(3)