數(shù)列的函數(shù)特征

豐城九中高一數(shù)學(xué)組精選課件精選課件從數(shù)列表示的角度理解數(shù)列的函數(shù)特性數(shù)列是一種特殊函數(shù),其定義域是正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3，…,n}),值域是當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時(shí)的對(duì)應(yīng)值.精選課件0000精選課件0000精選課件精選課件確定數(shù)列的增減性確定數(shù)列的增減性的方法判斷數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列,關(guān)鍵是比較相鄰兩項(xiàng)an+1與an的大小,常見(jiàn)的比較方法有兩種：一是作差比較法.(1)an+1-an>0?an+1>an?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(2)an+1-an<0?an+1<an?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.(3)an+1-an=0?an+1=an?數(shù)列{an}是常數(shù)列.精選課件二是作商比較法，假設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為根式形式,用作商法比作差法更簡(jiǎn)便一些.an＞0遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列an＜0遞減數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列精選課件在利用作商比較法時(shí)，要確保數(shù)列的每一項(xiàng)都不是零，再確認(rèn)相鄰兩項(xiàng)的正負(fù)，然后進(jìn)行比較.精選課件【例1】數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-8n，判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性.【審題指導(dǎo)】解決此題的關(guān)鍵是正確采取比較的方式，比較an+1與an的大小，也可用函數(shù)的觀點(diǎn)判斷.【標(biāo)準(zhǔn)解答】方法一：根據(jù)題意可知那么an+1-an=(n+1)2-8(n+1)-(n2-8n)由數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集可知，當(dāng)0<n<8時(shí)，an+1-an<0，數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)n≥8時(shí)，an+1-an>0，數(shù)列是遞增數(shù)列.精選課件方法二：由于此題數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2-8n對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)=x2-8x，定義域?yàn)檎麛?shù)集，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：對(duì)稱軸是x=8，所以當(dāng)0<n<8時(shí)數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)n≥8時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列.精選課件【變式訓(xùn)練】判斷數(shù)列{n2+5n}的單調(diào)性.【解析】方法一：根據(jù)題意可知an=n2+5n，那么an+1-an=(n+1)2+5(n+1)-(n2+5n)=2n+6,由數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集可知，an+1-an>0，所以數(shù)列{n2+5n}是遞增數(shù)列.方法二：由于此題數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2+5n對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f(x)=x2+5x，定義域?yàn)檎麛?shù)集，對(duì)稱軸是，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知：數(shù)列{n2+5n}是遞增數(shù)列.精選課件

【誤區(qū)警示】在利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)，一定要注意函數(shù)與數(shù)列的區(qū)別是數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)性進(jìn)行判斷.精選課件

數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)列是特殊的函數(shù)，由數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間構(gòu)成特殊的函數(shù)關(guān)系可知：數(shù)列的通項(xiàng)an與n的關(guān)系公式就是函數(shù)f(x)的解析式,所以根據(jù)函數(shù)解析式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式是重要途徑.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用精選課件【例2】設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，數(shù)列{an}滿足f()=2n(n∈N+).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性.【審題指導(dǎo)】解決此題的關(guān)鍵是把函數(shù)的解析式通過(guò)關(guān)系式轉(zhuǎn)化求解得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再根據(jù)通項(xiàng)公式進(jìn)行作差，判斷與零的大小或者作商判斷與1的大小，從而判斷數(shù)列的單調(diào)性.精選課件【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)f()＝log2-log2=an－，所以an－＝2n?－2nan－1＝0，所以an＝.因?yàn)閤∈(0,1)，所以∈(0,1)，所以an<0.所以an＝.(2)方法一：an＋1－an＝(n＋1)－＝＝精選課件所以，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.方法二：∵又∵an<0，∴an＋1>an，∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.精選課件【互動(dòng)探究】假設(shè)把題目中的函數(shù)改為f(x)=2x-2-x，數(shù)列{an}滿足f(log2an)=-2n(n∈N+).其他不變，你會(huì)求解嗎？【解題提示】仿照例題通過(guò)f(log2an)=-2n求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，然后作差或者作商證明單調(diào)性.精選課件【解析】(1)∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,∴∴∵an＞0,∴(2)方法一：又∵an＞0,∴an+1＜an,∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.精選課件方法二：an+1-an即an+1-an＜0，∴an+1＜an.∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.精選課件精選課件【典例】(12分)一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝30＋n－n2.(1)問(wèn)－60是否為這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？(2)當(dāng)n分別為何值時(shí)，an＝0，an>0，an<0；(3)當(dāng)n為何值時(shí)，an有最大值，并求出最大值.【審題指導(dǎo)】此題的解決關(guān)鍵是用函數(shù)的觀點(diǎn)思考解決數(shù)列問(wèn)題，三問(wèn)逐步深入遞進(jìn)，首先第一問(wèn)判斷是否是數(shù)列的項(xiàng)，代入驗(yàn)證判斷求出的n是否為正整數(shù)即可，第二問(wèn)和第三問(wèn)，結(jié)合二次函數(shù)進(jìn)行判斷求解.精選課件【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………2分∴－60是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，即a10＝－60.…………4分(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.∴n＝6或n＝－5(舍)，即當(dāng)n＝6時(shí)，an＝0.…………6分結(jié)合數(shù)列{an}的圖像可知當(dāng)n等于1,2,3,4,5時(shí)，an>0.當(dāng)n>6且n∈N+時(shí)，an<0.…………………8分精選課件(3)an＝30＋n－n2＝又∵n∈N+，故當(dāng)n＝1時(shí)，an有最大值，其最大值為30.…………12分精選課件【誤區(qū)警示】對(duì)解答此題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下：

常見(jiàn)錯(cuò)誤錯(cuò)誤原因第二問(wèn)n=-5解出了n的值后，沒(méi)有考慮n的定義域，直接下結(jié)論導(dǎo)致錯(cuò)誤，事實(shí)上，解決這類問(wèn)題需要特別注意n的取值范圍.精選課件第三問(wèn)

n=在利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行配方求解數(shù)列的最值時(shí)，忽略了n只能取正整數(shù)這一問(wèn)題，導(dǎo)致錯(cuò)誤，一般地借助函數(shù)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，都需要認(rèn)真考慮定義域.精選課件【即時(shí)訓(xùn)練】數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.【解析】(1)由n2－5n＋4=0，解得n=1或n=4.由數(shù)列{an}的圖像及n∈N+可知，n＝2,3時(shí)，an為負(fù)數(shù).