2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性課后習(xí)題第七章7-3-2　離散型隨機(jī)變量的方差

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差A(yù)級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)對于離散型隨機(jī)變量X,有關(guān)它的均值E(X)和方差D(X),下列說法正確的是()A.E(X)是反映隨機(jī)變量的平均取值B.D(X)越小,說明X越集中于E(X)C.E(aX+b)=aE(X)+bD.D(aX+b)=a2D(X)+b2.設(shè)0<a<1,已知隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111若D(X)=16,則a=(A.12 B.13 C.143.由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的得分情況為X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽,應(yīng)派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好()A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.無法確定4.(多選題)已知A1,A2為兩所高校舉行的自主招生考試,某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率均為12,該同學(xué)一旦通過某所高校的考試,就不再參加其他高校的考試,設(shè)該同學(xué)通過考試的高校個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,則(A.X的可能取值為0,1 B.X服從兩點(diǎn)分布C.E(X)=1 D.D(X)=35.(2022陜西西安模擬)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表,D(ξ)表示ξ的方差,則D(2ξ+1)=.

ξ012Pa12a16.設(shè)隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(X)=,D(X)=.

7.已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xP11p若E(X)=23(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X2,求D(Y)的值.8.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).B級關(guān)鍵能力提升練9.設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,隨機(jī)變量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機(jī)變量X2取值x1+x22,x2+x32,x3+x42,x4+x52,A.D(X1)>D(X2)B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2)D.D(X1)與D(X2)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)10.已知X的分布列如表所示.X101P111有下列式子:①E(X)=13;②D(X)=2327;③P(X=0)=13.其中正確的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.311.(多選題)袋內(nèi)有大小完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球,從中不放回地每次任取1個(gè)小球,直至取到白球后停止取球,則()A.抽取2次后停止取球的概率為3B.停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為9C.取球次數(shù)ξ的均值為2D.取球次數(shù)ξ的方差為912.某旅游公司為三個(gè)旅游團(tuán)提供了a,b,c,d四條旅游線路,每個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)可任選其中一條線路,則選擇a線路的旅游團(tuán)數(shù)X的方差D(X)=.

13.已知隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=m+n2,則E(ξ)=,當(dāng)D(ξ)取最小值時(shí),mn=14.有甲、乙兩名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計(jì),他們在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時(shí),各自的成績在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.甲:分?jǐn)?shù)X8090100概率P0.20.60.2乙:分?jǐn)?shù)Y8090100概率P0.40.20.4試分析兩名學(xué)生的成績水平.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.甲、乙、丙三人參加某比賽三個(gè)賽區(qū)的志愿服務(wù)活動(dòng),若每人只能選擇一個(gè)賽區(qū),且選擇其中任何一個(gè)賽區(qū)是等可能的.記X為三人選中的賽區(qū)個(gè)數(shù),Y為三人沒有選中的賽區(qū)個(gè)數(shù),則()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差1.ABC離散型隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度,方差越小,說明隨機(jī)變量的取值越集中于均值,即A,B正確;由均值和方差的性質(zhì)可得,E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),即C正確,D錯(cuò)誤.2.A∵E(X)=0×13+a×13∴D(X)=1+a32×13+(a-1+a3)2×13+(1-1+a3)∴4a24a+4=3,即(2a1)2=0,解得a=13.A∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).故甲比乙得分穩(wěn)定,故派甲運(yùn)動(dòng)員參加較好.4.ABD由已知X的可能取值為0,1,且服從兩點(diǎn)分布.P(X=0)=12P(X=1)=12∴E(X)=0×14+1D(X)=95.2由題意可得a+12a+14=1,解得a=14,則隨機(jī)變量ξ012P111所以E(ξ)=0×14+1×12+D(ξ)=14×(01)2+12×(11)2+14×D(2ξ+1)=22D(ξ)=2.6.28隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(Y)=2E(X)+b=4+b.所以E(X)=2.D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,所以D(X)=8.7.解由12+13+p=又E(X)=0×12+1×1所以x=2.(1)D(X)=0232×1(2)因?yàn)閅=3X2,所以D(Y)=D(3X2)=9D(X)=5.8.解(1)由題意得,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因?yàn)橐疑渲?0,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得,E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(ξ)=(109.2)2×0.5+(99.2)2×0.3+(89.2)2×0.1+(79.2)2×0.1=0.96,D(η)=(108.7)2×0.3+(98.7)2×0.3+(88.7)2×0.2+(78.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高,且成績比較穩(wěn)定,故甲比乙的射擊技術(shù)好.9.A由題意可知E(X1)=E(X2),又由題意可知,X1的波動(dòng)性較大,從而有D(X1)>D(X2).10.CE(X)=(1)×12+0×13+1×16=D(X)=-1+132×由分布列知③正確.11.BD設(shè)取球次數(shù)為ξ,則ξ的可能取值為1,2,3,則P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310對于A選項(xiàng),抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=310,A選項(xiàng)錯(cuò)誤對于B選項(xiàng),停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+3對于C選項(xiàng),取球次數(shù)ξ的均值為E(ξ)=1×35+2×310+3對于D選項(xiàng),取球次數(shù)ξ的方差為D(ξ)=1322×35+2322×310+3322×11012.916由題意知X則P(X=0)=33P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=1故E(X)=0×2764+1×2764+2×D(X)=013.1214由分布列的性質(zhì)得m+所以E(ξ)=m·m+nD(ξ)=m122×12+n122×12=m122×12+1m122×12=m12當(dāng)且僅當(dāng)m=n=12時(shí)等號成立此時(shí)mn=114.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(8090)2×0.2+(9090)2×0.6+(10090)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(8090)2×0.4+(9090)2×0.2+(10090)2×0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴甲生與乙生的成績均值一樣,甲的方差較小,因此甲生的學(xué)習(xí)成績較穩(wěn)定.15.D由題意得X的可