2024年人教版七年級數(shù)學(xué)寒假提高講義 第01課 相交線垂線（教師版）

第第頁第01課相交線，垂線課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對頂角概念，掌握對頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡單的計(jì)算.知識精講知識精講知識點(diǎn)01鄰補(bǔ)角與對頂角1.鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角.注意：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°.(2)鄰補(bǔ)角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角.(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角.(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長線.2.對頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對)的兩個(gè)角，互為對頂角.（2）性質(zhì)：對頂角相等.注意：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對頂角.(2)對頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.3.鄰補(bǔ)角與對頂角的關(guān)系角的名稱特征性質(zhì)相同點(diǎn)不同點(diǎn)對頂角①兩條直線相交形成的角；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③沒有公共邊.對頂角相等.①都是兩條直線相交而成的角；②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③都是成對出現(xiàn)的.①有無公共邊；②兩直線相交時(shí)，對頂角只有2對；鄰補(bǔ)角有4對.鄰補(bǔ)角①兩條直線相交而成；②有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③有一條公共邊.鄰補(bǔ)角互補(bǔ).注意：兩直線相交，一個(gè)角的對頂角有1個(gè)，但一個(gè)角與它相等的角有無數(shù)個(gè)，鄰補(bǔ)角最多有2個(gè)，而補(bǔ)角則可以有無數(shù)個(gè)；即對頂角和鄰補(bǔ)角，不僅包含數(shù)量關(guān)系，而且包含位置關(guān)系。知識點(diǎn)02垂線1.垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足.注意：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：SKIPIF1<0CD⊥AB.2.垂線的畫法：過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是：①使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合；②沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)；③沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示).注意：(1)如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上.(2)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段.3.垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.注意：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性.（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短.在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題.4.點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.注意：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，不能說垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長度.能力拓展能力拓展考法01概念辨析【典例1】判斷正誤：（1）如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角（）（2）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角（）（3）有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角（）（4）如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ)（）（5）有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角（）【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×【分析】根據(jù)對頂角與鄰補(bǔ)角的定義與性質(zhì)分析判斷即可求解.【詳解】（1）如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角，錯(cuò)誤；（2）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角不一定是對頂角，錯(cuò)誤；（3）有一條公共邊的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角，錯(cuò)誤；（4）如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ)，正確；（5）有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角，錯(cuò)誤；故答案為：（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×.【即學(xué)即練】下列說法中正確的有_________________.①如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角.②如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角.③有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角.④如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互為補(bǔ)角.⑤有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角.【答案】④【分析】根據(jù)對頂角，鄰補(bǔ)角的定義以及性質(zhì)對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.【詳解】解：①相等的兩個(gè)角是對頂角，邊應(yīng)為互為反向延長線，故錯(cuò)誤；②有公共頂點(diǎn)，沒有公共邊的兩個(gè)角是對頂角，邊應(yīng)為互為反向延長線，故錯(cuò)誤；③有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，另一邊應(yīng)為互為反向延長線，故錯(cuò)誤.④如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互為補(bǔ)角，正確；⑤有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，另一邊應(yīng)為互為反向延長線，故錯(cuò)誤.故答案為：④.【典例2】點(diǎn)到直線的距離是指（）A.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段B.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線，C.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長D.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義解答本題.【詳解】解：垂線段是一個(gè)圖形，距離是指垂線段的長度，故A錯(cuò)誤；垂線是直線，沒有長度，不能表示距離，故B錯(cuò)誤；符合點(diǎn)到直線的距離的定義，故C正確；垂線是直線，沒有長度，不能表示距離，故C錯(cuò)誤.故選C.【即學(xué)即練】有下列說法：①兩條直線相交成四個(gè)角，如果兩個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直；②兩條直線相交成四個(gè)角，如果三個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直；③在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與已知直線垂直；④直線外一點(diǎn)到這條的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離.其中正確的說法有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)【答案】B【解析】試題解析：①兩條直線相交成四個(gè)角，如果有一對對頂角相等且均不為90°，那么這兩條直線不垂直，故①錯(cuò)誤；②兩條直線相交成四個(gè)角，則這四個(gè)角中有2對對頂角.如果三個(gè)角相等，則這四個(gè)角相等，都是直角，所以這兩條直線垂直.故②正確；③在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直.故③錯(cuò)誤；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的說法是1個(gè).故選B.考法02鄰補(bǔ)角與對頂角的應(yīng)用【典例3】如圖所示，直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0是一條射線.（1）寫出SKIPIF1<0的鄰補(bǔ)角：__________________；（2）寫出SKIPIF1<0的鄰補(bǔ)角：__________________；（3）寫出SKIPIF1<0的鄰補(bǔ)角：__________________；（4）寫出SKIPIF1<0的對頂角：___________________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】鄰補(bǔ)角指的是有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個(gè)角；對頂角定義：有公共頂點(diǎn)且兩條邊都互為反向延長線的兩個(gè)角稱為對頂角，據(jù)此解答即可.【詳解】解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得，（1）SKIPIF1<0的鄰補(bǔ)角：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的鄰補(bǔ)角：SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0的鄰補(bǔ)角：SKIPIF1<0；（4）根據(jù)對頂角的定義得，SKIPIF1<0的對頂角：SKIPIF1<0，故答案為：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.【典例4】如圖所示，有一個(gè)破損的扇形零件，利用圖中的量角器可以量出這個(gè)扇形零件的圓心角的度數(shù)，你能說出所量的角是____度，你的根據(jù)是____________.【答案】40對頂角相等【分析】由題意知，一個(gè)破損的扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角，根據(jù)對頂角的性質(zhì)解答即可.【詳解】解：由題意得，扇形零件的圓心角與其兩邊的反向延長線組的角是對頂角，圖中的量角器顯示的度數(shù)是40°，∴扇形零件的圓心角40°；故答案為：40；對頂角相等.【即學(xué)即練】如圖，A、B、C為直線l上的點(diǎn)，D為直線l外一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)為______.【答案】60°度【分析】由鄰補(bǔ)角的定義，結(jié)合SKIPIF1<0，可得答案.【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點(diǎn)睛】本題考查的是鄰補(bǔ)角的定義，掌握“互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的和為SKIPIF1<0”是解本題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＋∠BOC＝240°，則∠BOC的度數(shù)為__________°.【答案】120【分析】由題意根據(jù)對頂角相等得出∠BOC=∠AOD進(jìn)而結(jié)合∠AOD＋∠BOC＝240°即可求出∠BOC的度數(shù).【詳解】解：∵∠AOD＋∠BOC＝240°，∠BOC=∠AOD，∴∠BOC=120°.故答案為：120.【即學(xué)即練】如圖，過直線AB上一點(diǎn)O作射線OC、OD，并且OD是∠AOC的平分線，∠BOC=29°18′，則∠BOD的度數(shù)為___________.

【答案】SKIPIF1<0【分析】先求出SKIPIF1<0的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的運(yùn)算可得SKIPIF1<0的度數(shù)，然后根據(jù)角的和差即可得.【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.考法03垂線的應(yīng)用【典例5】過點(diǎn)B畫線段AC所在直線的垂線段，其中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】根據(jù)垂線段的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)垂線段的定義可知，過點(diǎn)B畫線段AC所在直線的垂線段，可得：故選D.【典例6】如圖，計(jì)劃把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足為B，然后沿AB開渠，則能使所開的渠最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是（）A.垂線段最短B.兩點(diǎn)之間，線段最短C.兩點(diǎn)確定一條直線D.兩點(diǎn)之間，直線最短【答案】A【分析】過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短.【詳解】根據(jù)垂線段定理，連接直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，∴沿AB開渠，能使所開的渠道最短，故選A.【即學(xué)即練】如圖所示，點(diǎn)P到直線l的距離是（）A.線段PA的長度B.線段PB的長度C.線段PC的長度D.線段PD的長度【答案】B【詳解】由點(diǎn)到直線的距離定義，即垂線段的長度可得結(jié)果，點(diǎn)P到直線l的距離是線段PB的長度，故選B.【即學(xué)即練】點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0外一點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的三點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離（）A.小于SKIPIF1<0B.等于SKIPIF1<0C.不大于SKIPIF1<0D.等于SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長度以及垂線段最短即可得答案.【詳解】解：點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)直線l上的三點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，則點(diǎn)P到直線l的距離為不大于2cm，故選C.【典例7】如圖，下列說法不正確的是（）A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段ABB.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段ACC.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圖示對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可作出判斷.【詳解】A、點(diǎn)B到AC的垂線段是線段AB，正確；B、點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC，正確；

C.點(diǎn)A到BC的垂線段是線段AD，故錯(cuò)誤；D.點(diǎn)B到AD的垂線段是線段BD，正確；故選C.【即學(xué)即練】如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，表示點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的是線段（）的長度A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)從直線外一點(diǎn)到這直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離解答.【詳解】解：∵ED⊥AB，∴點(diǎn)D到直線AB距離的是線段DE的長度.故選：B.考法04綜合應(yīng)用【典例8】如圖，已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，則∠BOD的大小為_____.【答案】18°度【分析】根據(jù)直角的定義可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，然后根據(jù)∠AOC＝∠AOF﹣∠COF求出∠AOC，再根據(jù)對頂角相等解答.【詳解】解：∵∠COE是直角，∴∠COE＝90°，∵∠COF＝36°，∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝54°，∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°，∴∠BOD＝∠AOC＝18°.故答案為：18°.【即學(xué)即練】如圖，已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝27°，則∠BOD的大小為_____.【答案】36°【分析】根據(jù)直角的定義可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，然后根據(jù)∠AOC＝∠AOF?∠COF求出∠AOC，再根據(jù)對頂角相等解答.【詳解】解：∵∠COE是直角，∴∠COE＝90°，∵∠COF＝27°，∴∠EOF＝∠COE?∠COF＝90°?27°＝63°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝63°，∴∠AOC＝∠AOF?∠COF＝63°?27°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°.故答案為：36°.【典例9】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度數(shù).解：∵OE⊥AB（已知）∴∠BOESKIPIF1<0（）即∠1+∠2SKIPIF1<0又∵∠2=2∠1（已知）∴∠1=______度∴∠2=______度（等式性質(zhì)）∵∠2與∠AOC是對頂角（已知）∴∠2=∠AOC（）∵∠2=_______度（已證）∴∠AOC=_________度（）【答案】見解析【分析】根據(jù)垂直的定義以及∠1和∠2的關(guān)系得到各自的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等得到結(jié)果.【詳解】解：∵OE⊥AB（已知）∴∠BOESKIPIF1<0（垂直的定義）即∠1+∠2SKIPIF1<0又∵∠2=2∠1（已知）∴∠1=30度∴∠2=60度（等式性質(zhì)）∵∠2與∠AOC是對頂角（已知）∴∠2=∠AOC（對頂角相等）∵∠2=60度（已證）∴∠AOC=60度（等式性質(zhì)）【即學(xué)即練】給下面命題的說理過程填寫依據(jù).已知：如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O，OF平分∠BOD，對∠EOF＝SKIPIF1<0∠BOC說明理由.理由：因?yàn)椤螦OC＝∠BOD()，∠BOF＝SKIPIF1<0∠BOD()，所以∠BOF＝SKIPIF1<0∠AOC().因?yàn)椤螦OC＝180°－∠BOC()，所以∠BOF＝90°－SKIPIF1<0∠BOC.因?yàn)镋O⊥CD()，所以∠COE＝90°()因?yàn)椤螧OE＋∠COE＝∠BOC()，所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.所以∠BOE＝∠BOC－90°()因?yàn)椤螮OF＝∠BOE＋∠BOF()所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°SKIPIF1<0∠BOC)（）所以∠EOF＝SKIPIF1<0∠BOC.【答案】對頂角相等，角平分線的定義，等量代換，平角的定義，已知，垂直的定義，兩角和的定義，等量代換，兩角和的定義，等量代換.【解析】【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOD，由角平分線的定義得到∠BOF=SKIPIF1<0∠BOD，等量代換得到∠BOF=SKIPIF1<0∠AOC，由垂直的定義得到∠COE=90°，等量代換得到∠BOE=∠BOC-90°，于是得到結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)椤螦OC＝∠BOD(對頂角相等)，∠BOF＝SKIPIF1<0∠BOD(平分線的定義)，所以∠BOF＝SKIPIF1<0∠AOC(等量代換).因?yàn)椤螦OC＝180°－∠BOC(平角的定義)，所以∠BOF＝90°－SKIPIF1<0∠BOC.因?yàn)镋O⊥CD(已知)，所以∠COE＝90°(垂直的定義)因?yàn)椤螧OE＋∠COE＝∠BOC(兩角和的定義)，所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.所以∠BOE＝∠BOC－90°(等量代換)因?yàn)椤螮OF＝∠BOE＋∠BOF(兩角和的定義)所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°SKIPIF1<0∠BOC)(等量代換)所以∠EOF＝SKIPIF1<0∠BOC.故答案為對頂角相等，角平分線的定義，等量代換，平角的定義，已知，垂直的定義，兩角和的定義，等量代換，兩角和的定義，等量代換.【典例10】如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC.(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度數(shù).【答案】（1）35°；（2）36°.【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到∠AOC=SKIPIF1<0∠EOC=SKIPIF1<0×70°=35°，然后根據(jù)對頂角相等得到∠BOD=∠AOC=35°；（2）先設(shè)∠EOC=2x，∠EOD=3x，根據(jù)平角的定義得2x+3x=180°，解得x=36°，則∠EOC=2x=72°，然后與（1）的計(jì)算方法一樣.【詳解】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=SKIPIF1<0∠EOC=SKIPIF1<0×70°=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）設(shè)∠EOC=2x，∠EOD=3x，根據(jù)題意得2x+3x=180°，解得x=36°，∴∠EOC=2x=72°，∴∠AOC=SKIPIF1<0∠EOC=SKIPIF1<0×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°.【即學(xué)即練】如圖：已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE=90°（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度數(shù)；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度數(shù).【答案】（1）54°；（2）120°【解析】試題分析：（1）根據(jù)平角的定義求解即可；（2）根據(jù)平角的定義可求∠BOD，根據(jù)對頂角的定義可求∠AOC，根據(jù)角的和差關(guān)系可求∠AOE的度數(shù).試題解析：解：（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，∴∠BOE=180°﹣∠AOC﹣∠COE=54°；（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，∴∠BOD=180°×SKIPIF1<0=30°，∴∠AOC=30°，∴∠AOE=30°+90°=120°.【即學(xué)即練】如圖，已知直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OE把∠AOC分成兩部分.（1）寫出圖中∠AOC的對頂角，∠COE的補(bǔ)角是；（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度數(shù).【答案】（1）∠BOD，∠DOE；（2）160°【分析】（1）分析圖形，根據(jù)對頂角和補(bǔ)角的定義可以求出答案；（2）先設(shè)∠COE＝x求得∠COE和∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求得∠AOD的度數(shù)，然后將∠AOE與∠AOD的度數(shù)相加即可.【詳解】解：（1）由圖形可知，∠AOC的對頂角是∠BOD，∠COE的補(bǔ)角是∠DOE；（2）設(shè)∠COE＝x，則∠AOE＝2x，∵∠AOC＝60°，∴x+2x＝60，解得x＝20，即∠COE＝20°，∠AOE＝40°，∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝120°，∴∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝40°+120°＝160°.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.圖中的∠1、∠2可以是對頂角的是()A.B.C.D.【答案】C【分析】根據(jù)對頂角的定義，具有公共頂點(diǎn)且角的兩邊互為反向延長線對各圖形分析判斷后進(jìn)行解答.【詳解】解：A、∠1與∠2不是對頂角，B、∠1與∠2不是對頂角，

C、∠1與∠2是對頂角，D、∠1與∠2不是對頂角，故選C.2.下列說法正確的有().①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對頂角；④若兩個(gè)角不是對頂角，則這兩個(gè)角不相等.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】B【詳解】解：②對頂角要符合兩直線相交構(gòu)成的沒有公共邊的兩個(gè)相對的角是對頂角，但相等的角不一定是對頂角；④例如30°與30°的角不一定是對頂角，但這兩個(gè)角一定相等，故②④錯(cuò)誤；正確的有①③兩個(gè).故選B.3.如圖，在線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，長度最小的是（）A.線段SKIPIF1<0B.線段SKIPIF1<0C.線段SKIPIF1<0D.線段SKIPIF1<0【答案】B【分析】由垂線段最短可解.【詳解】由直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，可知答案為B.故選B.4.如圖，經(jīng)過直線l外一點(diǎn)A作l的垂線，能畫出（）A.4條B.3條C.2條D.1條【答案】D【分析】平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，據(jù)此可得.【詳解】經(jīng)過直線l外一點(diǎn)畫l的垂線，能畫出1條垂線，故選D.5.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠1＋∠2＝100°，則∠BOC等于（）A.130°B.140°C.150°D.160°【答案】A【詳解】試題分析：兩直線相交，對頂角相等，即∠AOC=∠BOD，已知∠AOC+∠BOD=100°，可求∠AOC；又∠AOC與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，即∠AOC+∠BOC=180°，將∠AOC的度數(shù)代入，可求∠BOC.解：∵∠AOC與∠BOD是對頂角，∴∠AOC=∠BOD，又∵∠AOC+∠BOD=100°，∴∠AOC=50°.∵∠AOC與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°.故選A.6.如圖，三條直線相交于點(diǎn)O.若CO⊥AB，∠1=56°，則∠2等于()A.30°B.34°C.45°D.56°【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)垂線的定義求出∠3，然后利用對頂角相等解答.解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°.故選B.7.如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠DOB.若∠COB=35°，則∠AOD等于().A.35°B.70°C.110°D.145°【答案】C【詳解】∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,∴∠AOD=180°-70°=110°.故選C.8.如圖所示，已知直線AB、CD相較于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，則∠BOD的度數(shù)是（）A.20B.25°C.30°D.70°【答案】D【分析】由角平分線的定義可求出∠COB的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠BOD的度數(shù)即可.【詳解】∵OE平分∠COB，若∠EOB=55°，∴∠COB=2∠EOB=110°，∵∠BOD與∠COB是鄰補(bǔ)角，∴∠BOD=180°-∠COB=70°，故選D.題組B能力提升練1.如圖，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是對頂角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】145°【分析】根據(jù)對頂角相等列出關(guān)系式求解即可.【詳解】解：∵SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是對頂角，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：145°.2.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有兩個(gè)角分別是(2x－10)°和(110－x)°，則x＝_____.【答案】40或80【詳解】當(dāng)這兩個(gè)角是對頂角時(shí)，(2x-10)=(110-x)，解之得x=40;當(dāng)這兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角時(shí)，(2x-10)+(110-x)=180，解之得x=80;∴x的值是40或80.3.如圖，直線AD與BE相交于點(diǎn)O，∠COD=90°，∠COE=70°，則∠AOB=_______.【答案】20°【詳解】【分析】由題意可知∠DOE=90°-∠COE，∠AOB與∠DOE是對頂角相等，由此即可得解.【詳解】∵已知∠COD=90°，∠COE=70°，∴∠DOE=90°-70°=20°，又∵∠AOB與∠DOE是對頂角，∴∠AOB=∠DOE=20°，故答案為20°.4.如圖，直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)O，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】53°【分析】根據(jù)∠2=180°－∠COE－∠1，可得出答案.【詳解】解：由題意得∠2=180°－∠COE－∠1=180°－90°－37°=53°.故答案為：53°.5.如圖，計(jì)劃在河邊建一水廠，可過C點(diǎn)作CD⊥AB于D點(diǎn).在D點(diǎn)建水廠，可使水廠到村莊C的路程最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是________.【答案】垂線段最短【分析】根據(jù)垂線段最短解釋即可.【詳解】由作法可知，CD是點(diǎn)C到AB的垂線段，所以這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是：垂線段最短.故答案為垂線段最短.6.如圖，直線AB，AB相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC.若∠EOA∶∠EOD＝1∶3，則∠BOD＝______°.【答案】36【分析】根據(jù)對頂角和角平分線定義、已知得出∠EOA：∠EOD：∠BOD=1：3：1，根據(jù)∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°求出即可.【詳解】解：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠AOE，∴∠DOB=∠AOC=∠AOE，∵∠EOA：∠EOD=1：3，∴∠EOA：∠EOD：∠BOD=1：3：1，∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∴∠BOD=SKIPIF1<0×180°=36°，故答案為36.7.如圖，已知直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0點(diǎn)，SKIPIF1<0是直角，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小為__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據(jù)直角的定義可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根據(jù)角平分線的定義求出∠AOF，然后根據(jù)∠AOC=∠AOF-∠COF求出∠AOC，再根據(jù)對頂角相等解答.【詳解】∵∠COE是直角，∴∠COE=90°，∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-24°=66°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠FOE=66°，∴∠AOC=∠AOF-∠COF=66°-24°=42°，∴∠BOD=∠AOC=42°.故答案為42°.題組C培優(yōu)拔尖練1.如圖，兩直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，（1）求∠COE；（2）若OF⊥OE，求∠COF.【答案】（1）145°；（2）125°.【詳解】試題分析：（1）首先依據(jù)∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°可求得∠AOC、∠AOD的度數(shù)，然后可求得∠BOD的度數(shù)，依據(jù)角平分線的定義可求得∠DOE的度數(shù)，最后可求得∠COE的度數(shù)；（2）先求得∠FOD的度數(shù)，然后依據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可.試題解析：解：（1）∵∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，∴∠BOD=70°.∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠COE=180°﹣35°=145°.（2）∵∠DOE=35°，OF⊥OE，∴∠FOD=55°，∴∠FOC=180°﹣55°=125°.2.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE（1）判斷OF與OD的位置關(guān)系，并進(jìn)行證明.（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數(shù).【答案】（1）OF⊥OD，證明詳見解析；（2）∠EOF＝60°.【分析】（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝SKIPIF1<0∠AOE、∠EOD＝SKIPIF1<0∠EOB，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出∠AOE+∠EOB＝180°，進(jìn)而可得出∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可證出OF⊥OD；（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、對頂角相等，可求出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度數(shù)以及∠EOF＝SKIPIF1<0∠AOE，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)結(jié)合∠EOF＝SKIPIF1<0∠AOE，可求出∠EOF的度數(shù).【詳解】（1）OF⊥OD.證明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠FOE＝SKIPIF1<0∠AOE，∠EOD＝SKIPIF1<0∠EOB.∵∠AOE+∠EOB＝180°，∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝SKIPIF1<0（∠AOE+∠EOB）＝90°.∴OF⊥OD.（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5.∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°.∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝SKIPIF1<0∠AOE.∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝60°.3.如圖，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù).解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】據(jù)垂直定義，結(jié)合SKIPIF1<0及圖形依次作答.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.4.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度數(shù)；（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度數(shù)；（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，請直接寫出∠AOC和∠BOF的度數(shù).（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3)∠AOC=2x=（SKIPIF1<0）°﹣SKIPIF1<0α°，∠BOF=（SKIPIF1<0）°+SKIPIF1<0α°.【詳解】試題分析：（1）由∠AOC=76°易得∠BOD=76°，結(jié)合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，結(jié)合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度數(shù)；（2）設(shè)∠BOE=x，由OE平分∠BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，結(jié)合∠BOF=36°，OF平均∠EOF可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度數(shù)；（3）設(shè)∠BOE=x，則由已知條件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°-SKIPIF1<0x，這樣結(jié)合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.試題解析：（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=SKIPIF1<0∠BOD=SKIPIF1<0×76°=38°.∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=SKIPIF1<0∠COE=SKIPIF1<0×142°=71°，∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°.（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，∴設(shè)∠BOE=x，則∠DOE=x，故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，則∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，解得：x=36°，故∠AOC=72°.（3）設(shè)∠BOE=x，∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，∴∠DOE=x，∠COA=2x，∴∠BOC=180°-2x，∴∠COE=180°-x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=90°-SKIPIF1<0x，∴∠BOF=90°﹣SKIPIF1<0x，∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，∴|2x﹣（90°﹣SKIPIF1<0