人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第13章 重點(diǎn)突破訓(xùn)練：等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用（原卷版）

第13章重點(diǎn)突破訓(xùn)練：等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用典例體系考點(diǎn)1：線段垂直平分線的性質(zhì)與作圖典例：（2020·吉林農(nóng)安初三一模）教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容.線段垂直平分線我們已知知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直一部分線是線段的對(duì)稱軸，如圖直線是線段的垂直平分線，是上任一點(diǎn)，連結(jié)、，將線段與直線對(duì)稱，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此都有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的距離相等.已知：如圖，，垂足為點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn).求證：.分析：圖中的兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證明（請(qǐng)寫出完整的證明過程）請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程，定理應(yīng)用.（1）如圖②，在中，直線、、分別是邊、、的垂直平分線.求證：直線、、交于點(diǎn).（2）如圖③，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，若，，則的長為_______.方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查垂直平分線的性質(zhì)與證明，能夠讀懂題意給到的方法進(jìn)行解題是本題關(guān)鍵鞏固練習(xí)1．（2020·湖南湘西中考真題）已知，作的平分線，在射線上截取線段，分別以O(shè)、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)．畫直線，分別交于D，交于G．那么，一定是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形2．（2020·云南昆明）如圖，在中，為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點(diǎn)．使，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B．C． D．3．（2020·深圳市南山區(qū)第二外國語學(xué)校（集團(tuán)）學(xué)府中學(xué)初三一模）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，若CD=AC，∠B=25°，則∠ACB的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2020·河北唐山初三一模）某地為了促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展，要在如圖所示的三條公路，，圍成的一塊地上修建一個(gè)度假村，要使這個(gè)度假村到，兩條公路的距離相等，且到，兩地的距離相等，下列選址方法繪圖描述正確的是（）A．畫的平分線，再畫線段的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)符合選址條件B．先畫和的平分線，再畫線段的垂直平分線，三線的交點(diǎn)符合選址條件C．畫三個(gè)角，和三個(gè)角的平分線，交點(diǎn)即為所求D．畫，，三條線段的垂直平分線，交點(diǎn)即為所求5．（2020·河南鄭州外國語中學(xué)）在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，且頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，在內(nèi)部有、、、四個(gè)格點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)6．（2020·江蘇徐州初三一模）已知：．求作：一點(diǎn)，使點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．小明的作法是：（1）作的平分線；（2）作邊的垂直平分線；（3）直線與射線交于．點(diǎn)即為所求的點(diǎn)（作圖痕跡如圖1）．小麗的作法是：（1）作的平分線；（2）作的平分線；（3）射線與射線交于點(diǎn)．點(diǎn)即為所求的點(diǎn)（作圖痕跡如圖2）．對(duì)于兩人的作法，下列說法正確的是（）A．小明對(duì)，小麗不對(duì) B．小麗對(duì)，小明不對(duì) C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)7．（2020·山東平陰初一期末）(1)

如圖，作出△ABC

關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形；(2)現(xiàn)有兩條高速公路和A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)(如圖)，準(zhǔn)備建立一個(gè)燃?xì)庵行恼綪，使中心站到兩條公路距離相等，并且到兩個(gè)城鎮(zhèn)距離相等，請(qǐng)你畫出中心站位置．8．（2022·金昌市金川總校第五中學(xué)初三一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；（2）在（1）的條件下，連接BD，當(dāng)BC＝5cm，AB＝13cm時(shí)，求△BCD的周長．9．（2020·甘肅張掖初一期末）如圖，兩條公路相交，在A、B兩處是兩個(gè)居民區(qū)，郵政局要在居民區(qū)旁邊修建一個(gè)郵筒，為了使郵寄和取送方便，要使郵筒到兩條路的距離相等，并且到兩個(gè)居民區(qū)的距離也相等，請(qǐng)你找到一個(gè)這樣的點(diǎn)．考點(diǎn)2：等腰三角形與動(dòng)態(tài)圖形問題典例：（2020·全國初三專題練習(xí)）已知是等邊三角形，．如圖1，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，且，連接AE，BF交于點(diǎn)G，求的度數(shù)；如圖2，點(diǎn)M是BC延長線上一點(diǎn)，，MN交的外角平分線于點(diǎn)N，求的值；如圖3，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線AD上一點(diǎn)，以CP為邊，在CP的下方作等邊，連DQ，則DQ的最小值是______．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查的是等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·山東中區(qū)濟(jì)南外國語學(xué)校初一期末）（問題）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點(diǎn)C作直線l平行于AB．∠EDF＝90°，點(diǎn)D在直線L上移動(dòng)，角的一邊DE始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊DF與AC交于點(diǎn)P，研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到使點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，通過推理就可以得到DP＝DB，請(qǐng)寫出證明過程；（數(shù)學(xué)思考）（2）如圖3，若點(diǎn)P是AC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、C），受（1）的啟發(fā)，這個(gè)小組過點(diǎn)D作DG⊥CD交BC于點(diǎn)G，就可以證明DP＝DB，請(qǐng)完成證明過程．2．（2020·黑龍江雙鴨山初三其他）已知等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點(diǎn)E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA延長線上時(shí)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．3．（2020·山東商河初一期末）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）線段BD、CE的數(shù)量關(guān)系是________；并說明理由；（2）探究：當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)時(shí)，α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由；（3)如圖2，若∠BAC＝90°，CE與BA的延長線交于點(diǎn)F.求證：EF＝DC．4．（2020·河北河間初二期末）在等邊△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長線上，DE=DA（如圖1）（1）求證：∠BAD=∠EDC；（2）如圖2，點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接DM，AM．小明通過觀察，實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DA=AM，小明把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的兩種想法：想法1：要證明DA=AM，只需證△ADM是等邊三角形；想法2：連接CM，只需證明△ABD≌△ACM即可．請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明證明DA=AM（選一種方法即可）5．（2020·山東濟(jì)南初一期末）己知：為等邊三角形，點(diǎn)E為射線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)D為射線CB上一點(diǎn)，．(1)如圖1，當(dāng)E在AC的延長線上且時(shí)，AD是的中線嗎？請(qǐng)說明理由；(2)如圖2，當(dāng)E在AC的延長線上時(shí)，等于AE嗎？請(qǐng)說明理由;(3)如圖3，當(dāng)D在線段CB的延長線上，E在線段AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AB、BD、AE的數(shù)量關(guān)系．6．（2020·山東煙臺(tái)中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．（問題解決）（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；（類比探究）（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．考點(diǎn)3：坐標(biāo)系中的等腰三角形典例：（2022·黑龍江尚志初二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，且，滿足等式．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正半軸運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的垂線，是垂線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求，的值；（2）若點(diǎn)在線段上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)在線段的延長線上，的垂直平分線交軸于點(diǎn)，并且恰好經(jīng)過點(diǎn)，求此時(shí)的面積．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2020·云南硯山初三一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，，是等腰直角三角形且，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，把繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，依此類推，得到的等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)P2020的坐標(biāo)為（）A．(4039，-1)B．(4039，1)C．(2020，-1)D．(2020，1)2．（2022·湖北房縣初二期末）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)B為y軸負(fù)半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B，AB為直角邊在第三、第四象限作等腰直角三角形OBF，等腰直角三角形ABE，連接EF交y軸與P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在y軸上移動(dòng)時(shí)，則PB的長度是（）A．2B．4C．不是已知數(shù)的定值D．PB的長度隨點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)而變化3．（2022·上海靜安初一期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)、，且、兩點(diǎn)之間的距離等于（為大于0的已知數(shù)），在不計(jì)算的數(shù)值條件下，完成下列兩題：（1）以學(xué)過的知識(shí)用一句話說出的理由；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形，如果存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的面積；如果不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2020·青島市黃島區(qū)第四中學(xué)初三月考）如圖1，直線，AB平分，過點(diǎn)B作交AN于點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)E、D同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中動(dòng)點(diǎn)E以的速度沿射線AN方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D以的速度運(yùn)動(dòng)；已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．試求的度數(shù)；當(dāng)點(diǎn)D在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足：：3，試求點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動(dòng)，E在射線AN運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)間t，使得與全等？若存在，請(qǐng)求出時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說出理由．5．（2022·哈爾濱市第四十九中學(xué)校初二月考）如圖，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，的面積是．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位，設(shè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求與的關(guān)系式；（3）在的條件下，同時(shí)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向以每秒個(gè)單位速度勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)在過點(diǎn)且平行于軸的直線上，當(dāng)為以為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求滿足條件的值，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（2020·湖北黃州初二期末）如圖①，直線AB與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，OA、OB的長度分別為a和b，且滿足a2﹣2ab+b2=0．（1）判斷△AOB的形狀；（2）如圖②，△COB和△AOB關(guān)于y軸對(duì)稱，D點(diǎn)在AB上，點(diǎn)E在BC上，且AD=BE，試問：線段OD、OE是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明；（3）將（2）中∠DOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使D、E分別落在AB，BC延長線上（如圖③），∠BDE與∠COE有何關(guān)系？直接說出結(jié)論，不必說明理由．考點(diǎn)4：利用角平分線與平行線構(gòu)成等腰三角形典例：（2022·云南昆明三中初二期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BF交AC于F，過點(diǎn)F作DF∥BC，求證：BD=DF．（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交于F，過點(diǎn)F作DE∥BC，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．那么BD，CE，DE之間存在什么關(guān)系？并證明這種關(guān)系．（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點(diǎn)F作DE∥BC，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．那么BD，CE，DE之間存在什么關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想．（不需證明）方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，本題具有一定的代表性，三個(gè)問題證明過程類似．鞏固練習(xí)1．（2020·全國初三專題練習(xí)）如圖所示，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的平分線.2．（1）、動(dòng)手操作：如圖①：將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，折痕為EF，若∠ABE＝20°，那么的度數(shù)為.（2）、觀察發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖③）．小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說明理由．（3）、實(shí)踐與運(yùn)用：將矩形紙片A