幾何證明教學(xué)（課件）

初中幾何證明教學(xué)吳忠四中

楊珅一、初中幾何證明的現(xiàn)狀

從多年的教學(xué)中我體會(huì)到：初中幾何證明不但是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而且是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．很多同學(xué)對(duì)幾何證明，不知從何著手，一部分學(xué)生雖然知道答案，但敘述不清楚，說(shuō)不出理由，對(duì)邏輯推理的證明過(guò)程幾乎不會(huì)寫(xiě)．這樣，導(dǎo)致大部分的學(xué)生失去了幾何證明學(xué)習(xí)的信心．

新課程中對(duì)幾何證明的內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對(duì)幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實(shí)并沒(méi)有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力．雖然新的課程理念要求，推理過(guò)程不能過(guò)繁，一切從簡(jiǎn)．但證明的過(guò)程要求做到事實(shí)準(zhǔn)確、道理嚴(yán)密，證明過(guò)程方能完整．二、幾何證明學(xué)習(xí)困難的原因分析

初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上正在經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌．在思維方式上需要解決從“形象思維”到“演繹思維”的過(guò)渡．學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明從直觀到論證之間存在著一個(gè)思維要求上的跳躍．學(xué)生來(lái)不及適應(yīng)這種高一級(jí)的思維方式．這是幾何證明學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙．因此，筆者覺(jué)得初中幾何證明難，主要還難在“轉(zhuǎn)軌”與“過(guò)渡”上．在事物發(fā)展的過(guò)程中，經(jīng)歷一種“轉(zhuǎn)變”的時(shí)節(jié)，正是良好的機(jī)遇所在．有必要提醒學(xué)生把握機(jī)遇，適應(yīng)轉(zhuǎn)變．學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何證明，沒(méi)有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式，語(yǔ)言表達(dá)方面的特別要求，作業(yè)練習(xí)常被判為錯(cuò)誤，幾次碰壁后就覺(jué)得“幾何證明確實(shí)難學(xué)”．面對(duì)著這種學(xué)習(xí)的失敗，幾何證明學(xué)習(xí)困難的學(xué)生在討論發(fā)言、回答問(wèn)題和動(dòng)手練習(xí)等方面與普通同學(xué)存在著差異．他們幾乎一直處在旁聽(tīng)陪讀的地位，作業(yè)又無(wú)法獨(dú)立完成，只得抄襲，更失去了參與學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)．初中學(xué)生幾何學(xué)習(xí)中的認(rèn)知障礙分析:

數(shù)學(xué)符號(hào)大致可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是語(yǔ)言符號(hào)，它是可以用來(lái)讀寫(xiě)的；另一類(lèi)是視覺(jué)符號(hào)，主要由幾何圖形組成，它具有直觀性、整體性的特點(diǎn)。如圖2一l，符號(hào)“三角形”就直觀整體地反映了這個(gè)概念的本質(zhì)。三條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形，“看得見(jiàn)"是學(xué)習(xí)幾何的一大優(yōu)勢(shì)，但事物都是一分為二的，圖形這種視覺(jué)符號(hào)在反映概念的本質(zhì)屬性的同時(shí)，也易暴露其非本質(zhì)屬性，這就給抽象思維尚處于發(fā)展初期的初中學(xué)生造成感知上的困難，結(jié)合教學(xué)和對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程的觀察，對(duì)初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何所遇到的認(rèn)知障礙作幾點(diǎn)分析，就教于同行。圖2-1ABC一、圖形定勢(shì)引起的認(rèn)知障礙在形成幾何概念之初，通常是用一個(gè)具有特殊位置的圖形來(lái)引入概念，例如，用圖2—2引入垂線(xiàn)的概念，用圖2—3引入等腰三角形的概念，用圖2—4引入三角形的外角的概念等。

二、復(fù)雜圖形引起的認(rèn)知障礙

簡(jiǎn)單的圖形不易引起對(duì)幾何對(duì)象感知上的干擾，但由基本圖形經(jīng)過(guò)組合(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)等)形成的復(fù)雜圖形就容易干擾對(duì)幾何對(duì)象的感知，如學(xué)生掌握“同位角”概念，若只畫(huà)出圖四的圖形，學(xué)生是容易找出其中的同位角的，但是若讓學(xué)生在圖五中找同位角，就會(huì)造成一些學(xué)生看不出是同位角，這是受直線(xiàn)的干擾所致。又如下面的證明題：已知：如圖2—5，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，求證：BC=DE．

由于△ABC與△ADE沒(méi)有發(fā)生線(xiàn)的交錯(cuò)現(xiàn)象，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)證明△ABC≌△ADE達(dá)到目的。但是，若分別把BD、CE連接結(jié)起來(lái)，如圖2—6，學(xué)生就易受BD、CE的干擾，這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)圖形的感知具有整體性的特點(diǎn)，不會(huì)對(duì)BD、CE視而不見(jiàn)，因而受其干擾。解決由復(fù)雜圖形引起的認(rèn)知障礙的方法，是在教學(xué)中讓學(xué)生多熟悉基本圖形，在復(fù)雜圖形中恰當(dāng)?shù)貙⒅黧w部分標(biāo)示成不同顏色，或合理地利用填充，或借助多媒體技術(shù)，演示圖形的分解、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、迭復(fù)，使學(xué)生正確地感知幾何對(duì)象。三、推理論證引起的認(rèn)知障礙

學(xué)習(xí)幾何對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的形成和發(fā)展有很大的促進(jìn)作用，推理論證要求說(shuō)，要求寫(xiě)，這要借助于語(yǔ)言符號(hào)，而對(duì)象之間的位置關(guān)系則要借助視覺(jué)符號(hào)，所以，要順利地進(jìn)行推理論證，除了要掌握推理論證的一般要求外，還要在語(yǔ)言符號(hào)與視覺(jué)符號(hào)的感知上達(dá)到較高的協(xié)調(diào)，如果協(xié)調(diào)較差，就會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知障礙。初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，推理論證相對(duì)較難，主要原因有：(1)思維發(fā)展水平上處于抽象邏輯思維替代具體形象思維的階段，不能正確運(yùn)用形式邏輯的一般規(guī)律和方法，這就決定了初中學(xué)生在以抽象思維為基礎(chǔ)的推理論證方面有一定的局限性：(2)對(duì)邏輯推理的要求了解較少，掌握的幾何概念也不多我們?cè)诮虒W(xué)中常見(jiàn)到學(xué)生反映出來(lái)的這樣一些典型錯(cuò)誤：循環(huán)論證；缺少條件，推理無(wú)根據(jù)，或間接條件不求出，就用直接條件作判斷：強(qiáng)加屬性，如“連接AB，使AB⊥CD”：增加條件，以?xún)?nèi)涵較多的特殊圖形代替一般圖形進(jìn)行推理論證。問(wèn)題一∶有不少學(xué)生到初三臨上中考考場(chǎng)了，還不知道證明題書(shū)寫(xiě)過(guò)程須用幾何語(yǔ)言。有不少人證明過(guò)程中，還照搬定理的文字語(yǔ)言作為理由來(lái)推得新結(jié)論。例如：?jiǎn)栴}二∶有不少學(xué)生不知做證明題是干什么。不知證明的實(shí)質(zhì)就是有根有據(jù)的推理。由已知條件出發(fā)，依據(jù)某些公理、定理、定義推得需要的條件，湊齊最終結(jié)論所需定理的全部題設(shè)條件后，只需依此定理推得最終結(jié)論，完成此題的證明。問(wèn)題三∶有不少學(xué)生不知證明過(guò)程中，每步推理的依據(jù)就是學(xué)過(guò)的公理、定理、定義；而在證明過(guò)程書(shū)寫(xiě)中，出現(xiàn)條件和結(jié)論合起來(lái)，配不成任何定理的錯(cuò)誤推理。例如∶問(wèn)題四∶有不少學(xué)生在證明過(guò)程中，常常想當(dāng)然的冒出很多未證新條件，使這些條件的出現(xiàn)沒(méi)有任何依據(jù)，從而失去了推理證明題最顯著的特征：“推理過(guò)程必須有根有據(jù)?！眴?wèn)題五∶很多學(xué)生在證明中，寫(xiě)的沒(méi)有條理；經(jīng)常有些條件不知該寫(xiě)在何處。不少條件對(duì)推下步結(jié)論沒(méi)有任何作用卻早早冒出，使該條件和前后沒(méi)任何關(guān)系，沒(méi)有使這些條件在該用時(shí)恰到好處出現(xiàn)，讓別人看時(shí)不知何意。例如∶問(wèn)題六∶有很多學(xué)生作輔助線(xiàn)時(shí)，一條線(xiàn)常常讓其滿(mǎn)足兩個(gè)或兩個(gè)以上的條件。例如∶連結(jié)AD,作AD∥BC問(wèn)題七∶有不少學(xué)生在證明中出現(xiàn)，兩三步并作一步的跳步問(wèn)題，而沒(méi)有一層一層的推理。

再如∶

例如∶問(wèn)題八∶有不少學(xué)生證明以∴開(kāi)頭，或經(jīng)常出現(xiàn)“∵XXX又∵XXX∴XXX”

這樣的情況，或經(jīng)常在證明中通篇沒(méi)有“∵，∴”出現(xiàn)，讓人分不清哪句是條件，哪句是結(jié)論。問(wèn)題九∶有些學(xué)生不能恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)某些特定模式的證明書(shū)寫(xiě)。例如∶∵EF=EF∵BE=EC∴BE+EF=EC+EF（錯(cuò)誤寫(xiě)法）∴BE+EF=EC+EF(正確寫(xiě)法)∴BF=CF∴BF=CF問(wèn)題十∶有些學(xué)生推理到最后，忘了最終目的。比如∶有些人證兩角相等時(shí)，想通過(guò)“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”這個(gè)定理推得，而他證完兩三角形全等后，卻沒(méi)有再推一步得兩角相等。問(wèn)題十一∶還有些同學(xué)在圖中，不先給角標(biāo)數(shù)字，在證明過(guò)程中卻以∠1、∠2……大量出現(xiàn)，讓別人根本無(wú)法明白是具體的哪些量，更無(wú)法看明白推理過(guò)程。這些問(wèn)題的出現(xiàn)，不能簡(jiǎn)單地說(shuō)是我們的學(xué)生努力不夠，沒(méi)有認(rèn)真學(xué)習(xí)造成的，它的形成原因很多：一、學(xué)生個(gè)人的原因。如個(gè)人基礎(chǔ)不扎實(shí)，沒(méi)認(rèn)真聽(tīng)、認(rèn)真練，沒(méi)有對(duì)錯(cuò)誤分析原因，沒(méi)有及時(shí)糾錯(cuò)等。二、教材的原因。在教材中，八年級(jí)下冊(cè)最后一章《證明一》才進(jìn)入公理體系，才學(xué)習(xí)嚴(yán)格的推理證明。而《證明二》、《證明三》及《圓》在九年級(jí)才學(xué)習(xí)，所以學(xué)生有將近三分之二的時(shí)間，沒(méi)有學(xué)習(xí)嚴(yán)格推理證明。而初三又接近中考，要面臨早結(jié)束新課，復(fù)習(xí)備戰(zhàn)中考的狀況，使學(xué)生在嚴(yán)格推理證明這一初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)上，學(xué)習(xí)的很匆忙、很短暫。也難怪有很多學(xué)生在這方面，問(wèn)題堆積如山、談證明色變。三、教師自身的原因。比如有些教師教了大半輩子的書(shū)，卻不知證明教學(xué)的基礎(chǔ)就是“要教好學(xué)生命題三種語(yǔ)言互譯關(guān)”，甚至有些教師自己都不清楚命題的三種語(yǔ)言為何，更不知強(qiáng)調(diào)證明書(shū)寫(xiě)過(guò)程主要是使用幾何語(yǔ)言；還有些教師就像茶壺煮餃子一樣，一見(jiàn)到題自己很清楚怎么做，卻道不出該怎樣分析、怎樣想，只能給學(xué)生一個(gè)答案，卻教不會(huì)學(xué)生自己如何去想、去分析、去書(shū)寫(xiě)過(guò)程；有些教師只教某個(gè)年級(jí)，卻沒(méi)有從初一到初三連續(xù)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，出現(xiàn)對(duì)本年級(jí)內(nèi)容很清楚，對(duì)另外兩個(gè)年級(jí)卻不夠清楚，根本做不到了解教材，了解學(xué)生，更把握不準(zhǔn)在這一領(lǐng)域怎樣恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)生；還有一些教師對(duì)學(xué)生不夠負(fù)責(zé)，想著初三我不帶，學(xué)生成績(jī)好壞和我沒(méi)關(guān)系，自己所帶階段沒(méi)有讓學(xué)生學(xué)扎實(shí)，沒(méi)打好基礎(chǔ)，而把困難扔給下一位接棒教師等等。在平面幾何的教學(xué)中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行全方位的邏輯思維能力的培養(yǎng)可從以下幾方面入手：一、教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)形結(jié)合，建立智力圖象”例如：在初二剛學(xué)簡(jiǎn)單的全等三角形的證明時(shí)，教師在講課時(shí)就要強(qiáng)化教會(huì)學(xué)生邊讀題邊把已知條件和間接已知條件標(biāo)在幾何圖形上的良好的學(xué)習(xí)方法，照此方法，一讀完題，此題的證明也就水到渠成了，從而讓學(xué)生掌握解題技巧，學(xué)到論證的邏輯思維方法，親身感受到此方法對(duì)邏輯思維能力培養(yǎng)的優(yōu)越性，自覺(jué)的加強(qiáng)邏輯思維能力的訓(xùn)練。二、教會(huì)學(xué)生從概念之間的內(nèi)在聯(lián)系去理解、掌握概念，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)例如：平面幾何中平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定定理共有六個(gè)，但是我們可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用邏輯思維，去發(fā)現(xiàn)它們之間是互逆的真命題的關(guān)系，故就可以將其記為：在同一平面內(nèi)，兩直線(xiàn)平行，同位角(內(nèi)錯(cuò)角)相等、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，反之亦然。同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生舉一反三，去發(fā)現(xiàn)更多的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)概念的性質(zhì)和它同相關(guān)的聯(lián)系去認(rèn)識(shí)一個(gè)概念的實(shí)質(zhì)，從而真正的去掌握一個(gè)概念的本質(zhì)。三、教給學(xué)生推理論證中的一些規(guī)律和法則平面幾何教學(xué)中要求學(xué)生在演繹推理的論證的過(guò)程中要言之有理、步步有據(jù)、嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，這就要求教師要教給學(xué)生推理論證中的一些規(guī)律和法則。如在幾何中證明兩個(gè)角相等時(shí)，就要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的邏輯思維能力，引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、去歸納：要證明兩個(gè)角相等一般的證題思維規(guī)律，往往要考慮到可以采用證全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、在同一三角形中等邊對(duì)等角、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、平行四邊形對(duì)角相等、同弧所對(duì)的圓周角(圓心角)相等等多種渠道去給予證明。至于用哪種方法，這就要根據(jù)題上所給的已知條件確定，盡量把所要證明的問(wèn)題與題上所給的已知條件放在同一個(gè)或相關(guān)的圖形中。四、把幾何邏輯體系告之學(xué)生，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力是十分有利的

在學(xué)習(xí)四邊形一章時(shí)，明確告訴學(xué)生要學(xué)好此章首先要掌握好平行四邊形的定義、性質(zhì)及其判定，在以后將要學(xué)習(xí)的矩形、菱形、正方形都是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的。其次，告訴學(xué)生其邏輯體系是先考察邊，再考察內(nèi)角，最后考察對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)。讓學(xué)生能從思想中明確將要學(xué)習(xí)什么，按怎樣的邏輯體系去記憶，感悟幾何學(xué)習(xí)中內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯性，提高學(xué)習(xí)的效益。五、在幾何課中教給學(xué)生一些基本的幾何判斷語(yǔ)句，提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)運(yùn)用的準(zhǔn)確性

在幾何教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)諸如：“兩對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”的直言判斷語(yǔ)句、“如果是對(duì)頂角，那么它們相等"的假言判斷句、“AB平行且等于CD”、“一個(gè)角有且只有一條對(duì)稱(chēng)軸”基本判斷語(yǔ)句和“過(guò)某點(diǎn)做某直線(xiàn)與某直線(xiàn)平行”、“延長(zhǎng)某邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)交于某點(diǎn)”等常用語(yǔ)句使用的訓(xùn)練，理解語(yǔ)句或用語(yǔ)的幾何含義，正確應(yīng)用于幾何的證明之中。六、訓(xùn)練學(xué)生邏輯論證能力每一道幾何證明題，真正有活力的因素就是如何去溝通、激活“已知’’和“求證"，即尋找出證題的方法。所以，在分析證題思路時(shí)，要站在學(xué)生的角度去思考，如何發(fā)現(xiàn)“已知”和“求證”的內(nèi)在聯(lián)系如何正確的給予論證。在訓(xùn)練學(xué)生邏輯論證能力時(shí)不僅在于演繹，還必須善于進(jìn)行探索性的思維、邏輯思維能力的培養(yǎng)。例如：證明三角形中位線(xiàn)定理，就可以啟迪學(xué)生采用多種方法證之。同時(shí)指出：最接近日常思維的是“要證一線(xiàn)段為另一線(xiàn)段之半，可以短加長(zhǎng)，也可以長(zhǎng)縮短’’，再證明它們相等。同時(shí)要注意的是我們?cè)谂囵B(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力學(xué)生一題多解時(shí)，教師要給予賞識(shí)教育。七、幾何教學(xué)的推理、證明必須遵循形式邏輯的基本規(guī)律教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格遵守同一律、矛盾律、排中律、充分理由律這些規(guī)律來(lái)進(jìn)行思考問(wèn)題，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維能力。八、幾何教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)的訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維方法，是落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的有效措施教學(xué)中適當(dāng)?shù)亟榻B一些必要的邏輯思維方法，自覺(jué)運(yùn)用這些方法，不斷提高真正理解掌握幾何基本知識(shí)和基本方法，要培養(yǎng)善于分析各種具體問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用知識(shí)、方法和解題經(jīng)驗(yàn)等方面的素養(yǎng)。心理學(xué)認(rèn)為：思維品質(zhì)包括深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性和敏捷性。良好思維習(xí)慣和品質(zhì)的培養(yǎng)，能讓學(xué)生養(yǎng)成深思熟慮、透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)、勇于提問(wèn)、思維深刻的良好思維習(xí)慣。九、邏輯思維能力的培養(yǎng)應(yīng)與直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)相結(jié)合美國(guó)著名心理學(xué)家J．S．布魯納指出：“直覺(jué)思維，預(yù)感的訓(xùn)練，是正式的學(xué)術(shù)學(xué)科和日常生活中創(chuàng)造性思維的很被忽略而又重要的特征”，他科學(xué)的揭示了邏輯思維與直覺(jué)思維的互補(bǔ)作用。鼓勵(lì)學(xué)生直覺(jué)猜想并驗(yàn)證猜想時(shí)(這也是當(dāng)今教改所提倡的)，教師要對(duì)學(xué)生直覺(jué)思維產(chǎn)物迅速評(píng)價(jià)其正誤與否，并和學(xué)生們共同驗(yàn)證，與邏輯思維能力的培養(yǎng)緊密的結(jié)合起來(lái)。在解簡(jiǎn)單的幾何證明題中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從命題的題設(shè)與結(jié)論之間的差異與聯(lián)系中去尋找論證的途徑和方法?，F(xiàn)在結(jié)合平時(shí)的教學(xué)，我淺談一些教學(xué)建議∶第一、注意幾何語(yǔ)言的教學(xué)

幾何教學(xué)有三種不同形式的語(yǔ)言即圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言及符號(hào)語(yǔ)言．教學(xué)中不僅要讓學(xué)生建立三種幾何語(yǔ)言，還要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化的能力．由于三種語(yǔ)言的特點(diǎn)不同，在幾何教學(xué)中各自發(fā)揮的作用也不同．圖形語(yǔ)言形象、直觀，能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題和理解問(wèn)題；文字語(yǔ)言抽象、概括，對(duì)圖形本身及圖形中所蘊(yùn)含的結(jié)論能精確地予以的描述、解釋?zhuān)瑢?duì)幾何的定義、公理、定理、命題等內(nèi)容能精確地予以表達(dá)，而符號(hào)語(yǔ)言則是對(duì)文字語(yǔ)言的簡(jiǎn)化和再次抽象，具有更強(qiáng)的抽象性，在三種語(yǔ)言中符號(hào)語(yǔ)言是幾何初學(xué)者最難掌握的一種，也是邏輯推理必備的能力基礎(chǔ)．因此教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生對(duì)這三種語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)和能力．

比如：等腰三角形的性質(zhì)1----等腰三角形的兩個(gè)底角相等，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，將文字語(yǔ)言符號(hào)化（如圖1-1）：在△ABC中∵AB=AC

∴∠C=∠B

等腰三角形的性質(zhì)2----等腰三角形“三線(xiàn)合一”

到底是哪三線(xiàn)重合呢，學(xué)生非常容易出錯(cuò)，而且學(xué)生在將其進(jìn)行符號(hào)化的時(shí)候，往往會(huì)把等腰三角形“三線(xiàn)”中的已知身份忽視．因此，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形對(duì)其進(jìn)行符號(hào)化，其表達(dá)形式為（如圖1-2）：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=CD，AD⊥BC

（2）∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC

（3）∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

將文字語(yǔ)言圖形化，符號(hào)化的意識(shí)應(yīng)貫穿幾何教學(xué)的始終，只有這樣才能為學(xué)生幾何證明的學(xué)習(xí)建立良好的基礎(chǔ)．將文字語(yǔ)言圖形化，符號(hào)化的意識(shí)應(yīng)貫穿幾何教學(xué)的始終，只有這樣才能為學(xué)生幾何證明的學(xué)習(xí)建立良好的基礎(chǔ)．建議：每一位數(shù)學(xué)教師必須重視定理的三種語(yǔ)言教學(xué)∶文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言。例如∶①文字語(yǔ)言∶（定理∶）有三個(gè)直角的四邊形是矩形②圖形語(yǔ)言∶如圖

③幾何語(yǔ)言∶∵在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°∴四邊形ABCD是矩形第二、教師一定要讓學(xué)生深刻意識(shí)到“證明題書(shū)寫(xiě)中的每句內(nèi)容都必須有根有據(jù)”。

“∵”中內(nèi)容的依據(jù)要么是題中已知條件，要么是推理當(dāng)中前面已證出的條件，決不能出現(xiàn)前面“問(wèn)題四”中想當(dāng)然未推就用的條件?！啊唷敝械膬?nèi)容主要是由一個(gè)或幾個(gè)“∵”中的條件，作為某定理的全部題設(shè)條件，依據(jù)該定理推得的定理結(jié)論，這樣就保證了不管是“∵”中的內(nèi)容，還是“∴”中的內(nèi)容都是有根有據(jù)的，千萬(wàn)要杜絕哪一句內(nèi)容沒(méi)有任何依據(jù)就憑空出現(xiàn)。第三、我在證明題教學(xué)中是這樣教學(xué)生分析的。拿到證明題，首先看需證明的結(jié)論是什么；然后判斷要推得這一結(jié)論準(zhǔn)備依據(jù)哪個(gè)定理去推；再分析這個(gè)定理的題設(shè)條件有幾個(gè)，已知中有沒(méi)有告訴一些，告訴的話(huà)又有幾個(gè)，還差哪幾個(gè)條件（如果已知中沒(méi)有告訴此定理題設(shè)條件中的任何一個(gè)，那么再看圖中能否挖掘出一些隱含條件。如果還沒(méi)有的話(huà)，再想該定理的各個(gè)題設(shè)條件，如何由此題已知的條件，依據(jù)別的定理怎樣推出）。等到殘缺的條件一一被推出，最后再把隱含條件，或已知條件擺出，只要最終定理的各個(gè)題設(shè)條件齊全了，就可依該定理推得它的結(jié)論，也就是此題求證的結(jié)論，從而達(dá)到此題證明的最終目的。第四、必須讓學(xué)生知道所有定理的題設(shè)條件個(gè)數(shù)和結(jié)論個(gè)數(shù)有以下四種對(duì)應(yīng)關(guān)系∶

①一對(duì)一例如∶∵△ABC中，AB=AC

∴

△ABC是等腰三角形。②一對(duì)多例如∶∵△ABC≌△DEF∴AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,③多對(duì)一

例如∶∵AB=DE,BC=EF,AC=DF

∴△ABC≌

△DEF(sss)④多對(duì)多例如∶第五、初教證明時(shí)，教師一定要認(rèn)真負(fù)責(zé)，舍得花大功夫在批改作業(yè)中；對(duì)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的各種各樣問(wèn)題，一定要及時(shí)集體糾正強(qiáng)調(diào)指出。如“∵XXX又∵XXX”這種就告訴學(xué)生，可以用一個(gè)“∵XXX、XXX”開(kāi)頭，幾個(gè)條件一起放在“∵”之后；對(duì)于“∴”開(kāi)頭這種就告訴學(xué)生，直接證明題的首句幾乎都是“∵”開(kāi)頭，不可能以“∴”開(kāi)頭；像“問(wèn)題三”這種“∵”內(nèi)容和“∴”內(nèi)容根本不能配成任何定理就屬于錯(cuò)誤推理了，這種錯(cuò)誤一出現(xiàn)就明確指出錯(cuò)因，并在班上強(qiáng)調(diào)，另外，更應(yīng)重視公理化體系中學(xué)過(guò)的每條定理，學(xué)生都須掌握好它們的幾何語(yǔ)言，這樣也能盡量避免錯(cuò)誤推理；像前面“問(wèn)題五”的情況，應(yīng)讓學(xué)生知道：必須先把最終定理題設(shè)缺的條件證出，最后再擺出此定理在已知中告訴的條件。很多條件用時(shí)再擺，不可過(guò)早或過(guò)晚擺在別處；對(duì)于前面“問(wèn)題八”是很多學(xué)生易犯得錯(cuò)誤，把幾步推理合并一步。這種問(wèn)題，建議教學(xué)時(shí)讓學(xué)生分階梯訓(xùn)練。先訓(xùn)練直接定理的一步推理，再訓(xùn)練需兩個(gè)定理的兩步推理，再訓(xùn)練三步推理，依此類(lèi)推就可讓學(xué)生養(yǎng)成一層一層推理的好習(xí)慣，而避免省略過(guò)程的“跨大步”推理；對(duì)于其他指出的問(wèn)題，同樣建議教師勤發(fā)現(xiàn)、勤糾正、勤強(qiáng)調(diào)。作業(yè)批改一定要細(xì)，盡量擠時(shí)間對(duì)學(xué)生一一面對(duì)面糾錯(cuò)。這樣前面功夫下到位，后面學(xué)生整體一上路，立馬會(huì)良性循環(huán)。以往的書(shū)寫(xiě)混亂、沒(méi)有條理、不知其意等問(wèn)題就會(huì)大大降低，才能最終達(dá)到初中學(xué)生幾何證明題的教學(xué)要求。第六、注意分析過(guò)程綜合化的教學(xué)分析過(guò)程綜合化就是指分析問(wèn)題時(shí)從已知出發(fā)、從結(jié)論入手、結(jié)合圖形進(jìn)行問(wèn)題解決．在幾何證明問(wèn)題的分析過(guò)程中通常使用兩種邏輯思維方法即綜合法和分析法．所謂分析綜合法是指從命題的兩頭（題設(shè)和結(jié)論）向中間靠攏，使思維更集中，目標(biāo)更明確，容易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的突破口，利于找到問(wèn)題的簡(jiǎn)捷證．.一方面從結(jié)論出發(fā)，一步步往上推；另一方面，從已知條件出發(fā)一步步往下推，最后在中途匯合．比如：已知：如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為直角邊向△ABC外部作等腰直角三角形△ABD和△ACE，點(diǎn)P、M、N分別為BC、BD、EC的中點(diǎn)．求證：PM=PN．分析：如果從已知條件“△ABD和△ACE是等腰直角三角形”出發(fā)就可以直接得到結(jié)論AB=AD，AC=AE及∠BAD=∠CAE=90°，再根據(jù)已有的解題經(jīng)驗(yàn)，由AB=AD，AC=AE及∠BAD=∠CAE=90°，又顯而易見(jiàn)地能得到△ADC≌△ABE，從而可以得到△ADC和△ABE的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等．這道題從結(jié)論P(yáng)M=PN入手，已知PM和PN分別是只要△BDC和△CBE的中位線(xiàn)，只須證CD=BE即可．從已知條件出發(fā)我們可以得到CD=BE，從結(jié)論入手我們需要CD=BE，這樣我們就找到了問(wèn)題的接洽點(diǎn)，使這個(gè)問(wèn)題得到順利解決．在分析問(wèn)題時(shí)，采用分析過(guò)程綜合化的策略，不僅可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本的思維方法，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，提高了學(xué)生解決問(wèn)題的水平．第七、注意圖形變換在證明中的應(yīng)用新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)課程增加了圖形變換的內(nèi)容，特別是平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)三種全等變換為學(xué)生解決幾何證明問(wèn)題打開(kāi)了一扇找到解題思路和方法的窗戶(hù)．平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)三種變換的共同特點(diǎn)是改變圖形的位置的同時(shí)，保證圖形變換前與變換后的對(duì)應(yīng)元素的大小不發(fā)生變化．這三種變換有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間感、豐富學(xué)生的解題方法，因而教師在教學(xué)中應(yīng)加以注意．比如：已知，如圖3所示，M是正方形ABCD的BC邊上的一點(diǎn)，K是∠DAM的平分線(xiàn)與CD的交點(diǎn)，求證：AM=DK+BM分析：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使BH=DK，則MH=DK+BM．這樣問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為證明AM=HM，即證△AHM為等腰三角形．因而需要添加輔助線(xiàn)．如何添加輔助線(xiàn)是幾何教學(xué)的難點(diǎn)，如果恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換，將△ADK繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AD與AB重合，使原來(lái)分散的DK和MB集中成一條線(xiàn)段MH，并與AM構(gòu)成三角形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證等腰三角形．第八、注意設(shè)計(jì)開(kāi)放性的題目改變常規(guī)封閉問(wèn)題的呈現(xiàn)形式，不直接給出問(wèn)題的結(jié)論或使問(wèn)題的條件不完備，問(wèn)題的結(jié)論由學(xué)生設(shè)計(jì)或問(wèn)題的條件由學(xué)生探究完成．開(kāi)放性的題目體現(xiàn)了新課程理念，體現(xiàn)了教師以學(xué)生為中心的教學(xué)觀．教師要注意開(kāi)放度，既要大膽地放，把時(shí)間留給學(xué)生，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)去嘗試問(wèn)題設(shè)計(jì)，又要善于把握全局．設(shè)計(jì)開(kāi)放性的題目有效地激發(fā)學(xué)生敢于思考問(wèn)題、主動(dòng)參與知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，有利于激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲；改變了原有的封閉思維模式，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展．比如：已知：如圖4，C為AB上一點(diǎn)，△ACD、△BCE都是正三角形．求證：？．學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后，可創(chuàng)造出多種結(jié)論結(jié)論一：AE=DB結(jié)論二：由AD∥CE，可得△APD∽△ECP、△ABD∽△CBQ、△AMD∽△ECP；而三角形相似又可得到對(duì)應(yīng)邊成比例；同理還有DC∥BE得對(duì)應(yīng)邊成比例；結(jié)論三：由比例式又可判定PQ∥AB；結(jié)論四：可證等邊△PQC

本題將問(wèn)題設(shè)計(jì)的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓學(xué)生展開(kāi)合理的聯(lián)想和想象，并根據(jù)自己的認(rèn)知起點(diǎn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從多角度、多方位、多層次進(jìn)行思考，既體現(xiàn)了學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)，又體現(xiàn)了學(xué)生之間的合作學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成．如何才能讓學(xué)生的思路清晰，經(jīng)過(guò)我多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)與分析研究，應(yīng)努力引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的以下五種解題思路和方法，精講多練，多讓學(xué)生自已歸納和總結(jié)解題思路，積累證明題目的經(jīng)驗(yàn)，教師點(diǎn)拔強(qiáng)調(diào)讓其成為學(xué)生的做證明題的思維習(xí)慣。一、分析逆推法所謂分析逆推法應(yīng)該就是“由果索因”地對(duì)所要證明的結(jié)論的周密分析，逆向逐步找出結(jié)論成立需要具備的充分條件。在平面幾何證明題中，這一解題思路是用得最多也是最常用的思路的。例如：如圖在ΔABC中，BD和CE分別是ΔABC的兩條高。求證：∠ABC=∠ADE.解題思路分析：從逆向思維的角度出發(fā)，從結(jié)論出發(fā)，欲證明∠ABC=∠ADE，若能證明ΔADE∽ΔABC就可以得出∠ABC=∠ADE，這樣就把證明∠ABC=∠ADE的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證ΔADE∽ΔABC的問(wèn)題。如何去證明ΔADE∽ΔABC呢？結(jié)合題設(shè)，這里已有∠A=∠A這個(gè)條件，要找到其余一組角對(duì)應(yīng)相等是不可能的，若有條件AD/AB=AE/AC就可以得出ΔADE∽ΔABC，這樣把證明ΔADE∽ΔABC的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明AD/AB=AE/AC的問(wèn)題，那么有如何去證明AD/AB=AE/AC呢？只要證明出ΔADB與ΔAEC相似即可得出AD/AB=AE/AC這個(gè)結(jié)論。這樣又把證明AD/AB=AE/AC的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ΔADB∽ΔAEC的問(wèn)題，而根據(jù)條件完全可以證明出ΔADB∽ΔAEC，這樣把剛才思維過(guò)程按照思維順序的反向順序進(jìn)行書(shū)寫(xiě)即可得出推理證明全過(guò)程。二、綜合順推法綜合順推法是指從已知條件出發(fā)，借助其性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問(wèn)題，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保磸摹耙阎笨础翱芍?，逐步推向“要證明的結(jié)果”。這一方法適用于比較簡(jiǎn)單的證明題目，例如：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是上任意一點(diǎn)，PE//AB，PF//AC。問(wèn)：PE，PF，AB之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由；解題思路分析：當(dāng)學(xué)生得到這個(gè)題，認(rèn)真分析后會(huì)要求找出PE，PF，AB之間有什么關(guān)系，首先學(xué)生應(yīng)該有一種較合理的感覺(jué)，線(xiàn)段與線(xiàn)段的關(guān)系主要有位置關(guān)系和長(zhǎng)度關(guān)系，很明顯不會(huì)是位置關(guān)系而是長(zhǎng)度關(guān)系。由AB=AC推出∠B=∠C(等邊對(duì)等角)由PE//AB，PF//AC推出四邊形AEPF是平形四邊形∠BPF=∠C由∠BPF=∠C推出BF=PF由四邊形AEPF是平形四邊形推出AF=PE因?yàn)锳B=AF+BF通過(guò)等量代換可得AB=PF+PE到此學(xué)生可以分析結(jié)果先可作出判斷AB=PF+PE，再根據(jù)思路寫(xiě)出證明過(guò)程就完成了。三、分綜結(jié)合法對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，同學(xué)們可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真的分析，初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都是解題過(guò)程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，例如給我們?nèi)切文尺呏悬c(diǎn)，我們就要想到中線(xiàn)、中位線(xiàn)。要求證三角形角相等，我們就要想到邊相等、三角形全、三角形相似等。用正逆結(jié)合的思路去思考解題的方法。例如：已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)。求證：△ABE≌△ADF解題思路分析：（1）由條件入手“由因?qū)Ч钡耐评碛蒃、F分別是BC、CD的中點(diǎn)推出BE=EC，CF=FD由在菱形ABCD可得AB=BC=CD=AD∠B=∠D（2）由結(jié)果入手“由果索因”的推理要證明△ABE≌△ADF得先熟練掌握全等的判定定理（AAS，ASA，SSS，HL），是用哪一個(gè)判定定理得先作簡(jiǎn)單思考。通過(guò)（1）的分析已得出AB=BC=CD=AD∠B=∠D，證明三角形全等已得到了一條邊和一個(gè)角，再找一條鄰邊即可以判定全等了。于是再綜合分析“由E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)推出BE=EC，CF=FD”和“由在菱形ABCD可得AB=BC=CD=AD”這兩個(gè)結(jié)論可推出：BE=EC=CF=FD到此學(xué)生可以分析結(jié)果先可作出判斷用“SAS”來(lái)證明全等，再根據(jù)思路寫(xiě)出證明過(guò)程就完成了。四、添加輔助元素在幾何學(xué)中用來(lái)幫助解答疑難幾何圖形問(wèn)題在原圖基礎(chǔ)之上另外所作的具有極大價(jià)值的直線(xiàn)或者線(xiàn)段。我們作輔助線(xiàn)的目的你要明確，就是見(jiàn)我們不常見(jiàn)的圖型轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解答和證明。這種方法需要一定的解題經(jīng)驗(yàn)和掌握牢固的基礎(chǔ)知識(shí)作支撐，例如給我們?nèi)切文尺呏悬c(diǎn)，我們就要想到是否要連出中位線(xiàn)。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰