新概念物理教程-力學(xué)答案詳解

新力學(xué)習(xí)題答案(三)

3-1.有一列火車，總質(zhì)量為M,最后一節(jié)車廂為m,若m從勻速前進(jìn)的列車中脫離出來，

并走了長(zhǎng)度為s在路程后停下來。若機(jī)車的葷引力不變，且每節(jié)車廂所受的摩擦力正比于其

重量而與速度無關(guān)。問脫開的那節(jié)車廂停止時(shí)，它距離列車后端多遠(yuǎn)？

解：

設(shè)摩擦系數(shù)為必則機(jī)車的牽引力闿

機(jī)離開列車后，僅受摩擦力/=〃〃吆的水平力作用

其加速度”=儂=爆

m

最終速度為):las=v：=>%=J2〃gs

機(jī)從%fo所需時(shí)間為"為=也座=廬(1)

a〃g\"g

由于牽引力不變此時(shí)火車的摩擦力為-〃z)g

火車加速度為z。=4Mg-〃(M-，〃)g=」戰(zhàn)

M-inM—m

所以在這r時(shí)間內(nèi)火車前進(jìn)的路程機(jī)

2s

4g------

4g

M-m

3-2.一質(zhì)點(diǎn)自球面的頂點(diǎn)由靜止開始下滑，設(shè)球面的半徑為R球面質(zhì)點(diǎn)之間的摩擦可以忽

略，問質(zhì)點(diǎn)離開頂點(diǎn)的高度h多大時(shí)開始脫離球面？

解：依機(jī)械能守恒律有;機(jī)—=〃吆人

=>v=J2g/z(1)

VYIV9"

受力分析有：耳句心=〃2gcos。-N=------

R

v2

當(dāng)N=0時(shí)有：gcos6=—(2)

R

▼八R~h

又:cos。=----(3)

R

聯(lián)立⑴，(2),⑶得：

R-h2gh,R

g-------=^-h=—

RR3

3-3.如本題圖，一重物從高度為h處沿光滑軌道下滑后，在環(huán)內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)圓環(huán)的半

徑為R,若要重物轉(zhuǎn)至圓環(huán)頂點(diǎn)剛好不脫離，高度h至少要多少？

解：依機(jī)械能守恒得：

若設(shè)重物在環(huán)頂部具有的速度為V,則有:

mg[h-27?)=

??/=J2g依-2R)(1)

2

而此時(shí)后心=mg-N=----N>0

R

=>V<JgR(2)

聯(lián)立⑴，(2)式得：h>-R

2

3-4.一物體由粗糙斜面底部以初速度v。沖上去后又沿斜面滑下來，回到底部時(shí)的速度為

V”求此物體達(dá)到的最大高度。

解：設(shè)物體達(dá)到的最大高度為h,斜面距離為s,摩擦力為f。

依動(dòng)能定理，有：

沖上去的過程中g(shù)相片=mgh+fs

滑下來的過程中：機(jī)=+fs

兩式消去fs,得：/7=①￡

4g

3-5.如本題圖：物體A和B用繩連接，A置于摩擦系數(shù)為的水平桌面上，B滑輪下自

然下垂。設(shè)繩與滑輪的質(zhì)量可以忽略，繩不可伸長(zhǎng)。以知兩物體的質(zhì)量分別為如,me,求物體

B從靜止下降一個(gè)高度h后所獲得的速度。

解：由繩不可伸長(zhǎng)，得A,B兩物體速度相等。

依動(dòng)能定理有：

+%）聲

=mBgh-pimAgh

廄一〃叫）麗

VtnA+mB

這就是物體B從靜止下降一個(gè)高度h后所獲得的速度。

3—6.用細(xì)線將一質(zhì)量為m的大圓環(huán)懸掛起來。兩個(gè)質(zhì)量均為M的小圓環(huán)套在大圓環(huán)上,

可以無摩擦地滑動(dòng)。若兩個(gè)小圓環(huán)沿相反方向從大圓環(huán)頂部自靜止下滑，求在下滑過程中,

取什么值時(shí)大圓環(huán)剛能升起？

「9

Mg

解：當(dāng)m剛升起時(shí)，繩子張力T為零。

機(jī)在豎直方向上所受的合為：

F=T+2Ncos。一mg(1)

2

對(duì)于M,有：M%=MgcosB-N(2)

對(duì)于M,依機(jī)械能守恒有：

1A/V2=MgRl-cos。)

n/=2gH(l-cosd)(3)

(3)代入(2)得：N=Mgcos。—2Mg(1-cos。)

=3Mgcos0-2Mg(4)

(4)彳弋入(1)得：F=T+6A/gcos20-2Mgcos0-mg

要使大圓環(huán)剛能升起,則：尸=0,T=0

代入上式得：6Mgco^0-2Mgcos^-mg=0

C2M+J4M2+24MmM±+6Mm

=>cos9=-------------------=----------------

6M3M

八.M±ylM2+6Mm

3-7.如本題圖，在勁度系數(shù)為k的彈簧下掛質(zhì)量分別為m和他的兩個(gè)物體，開始時(shí)處于

靜止。若把m,和m?間的連線燒斷，求m,的最大速度。

解：連線未斷時(shí)，彈鰻到的彈性力為：/=（，/+，"

彈簧伸長(zhǎng)量為：.=（班+〃，21?

k&

連線燒斷的瞬間，連繼力消失，彈簧彈性大不變。

向上作加速運(yùn)動(dòng)，直至如受合力為）時(shí)速度達(dá)最大，：

%

彈性力：/'=，”后彈簧伸長(zhǎng)量為：生旦

k

在此過程中班的機(jī)械能守恒若取彈簧自由伸縮狀制

勢(shì)能零點(diǎn)，則有：

0+；攵d_網(wǎng)gx=；肛用ax+1依2一班gx'

1《(町+和)gj叫g(shù)(g+刈)g121

m2g

nvmax

3-8.勁度系數(shù)為k的彈簧一端固定在墻上，另一端系一質(zhì)量為rru的物體。當(dāng)把彈簧壓縮

X。后，在它旁邊緊貼著放一質(zhì)量為佻的物體。撤去外力后，求：

(1)A、B離開時(shí)，B以多大速率運(yùn)動(dòng)？

(2)A距起始點(diǎn)移動(dòng)的最大距離。

解：(1)A獲得最大的向右的速度時(shí)，就是A、B分開的

時(shí)候，此時(shí)彈簧的彈性力為0(自由伸縮狀態(tài))

1,212121/

=-mAVA+-mBVB=+%月

n以=

，J%+:

mB

依機(jī)械能守恒律有：

(2)A距起始點(diǎn)的最大距離在彈簧自由伸縮狀態(tài)的右邊當(dāng)A的速度為0處。

彈簧自由伸縮狀態(tài)處：巳

依機(jī)械能守恒律有：

,m.

=x=-------%0

\mA+mB

所求距離為：X=x()+x'=x0+J.二%

3-9.如本題圖，用勁度系數(shù)為k的彈簧將質(zhì)量為仇和1Tle的物體連接，放在光滑的水平桌

面上。m.緊靠墻，在me上施力將彈簧從原長(zhǎng)壓縮了長(zhǎng)度x。。當(dāng)外力撤去后，求：

(1)彈簧和血、me所組成的系統(tǒng)的質(zhì)心加速度的最大值。

(2)質(zhì)心速度的最大值。

解：⑴外力撤去后，對(duì)由4、3組成的系統(tǒng)，水平女_

外力僅有墻反抗4的壓力而具有的反壓力V,慳咐用竹廠.

N=0^,當(dāng)X=Xo時(shí)，Nmax=k%%0

?a=—————，a=—N迪—=—區(qū)—

**3c9"cmax

mA+mA+mBmA+mR

(2)當(dāng)N=0時(shí)(即彈簧力為0時(shí))，&=0,匕達(dá)最大。

此時(shí)A還沒來得及動(dòng)，可用楣戒能守恒律求力

0+mRk

3-10.如本題圖，質(zhì)量為m,和m?的物體與勁度系數(shù)為k的彈簧相連，豎直地放在地面上，

nh在上，m2在下。

（1）至少用多大的力F向下壓突然松開時(shí)rnz才能離地？

（2）在力F撤除后，由m,、m?和彈簧組成的系統(tǒng)質(zhì)心加速度a,何時(shí)最大？何時(shí)為0?m?剛

要離地時(shí)ac=?

解：（1）分析：要使他能離地，必須使mz對(duì)地面的支持力N=0時(shí)，

（此時(shí)彈簧力為mzg）rrb具有向上的速度。此速度為。時(shí)，F(xiàn)就是所求。

力尸使彈簧壓縮“，則：=F+m]g

f+m}g

=%=-

k

地面支持力N=0吐彈簧拉伸:x=生超

k

以彈簧的自由伸縮狀栩勢(shì)能0點(diǎn)，/重力勢(shì)能不變，

依機(jī)械能守恒律有：

g女￡一犯g/=+班gx

5M][叫g(shù)￡!蟹迫+,%g"g

2{k}1k2[kJk

F=（叫+機(jī)2）g

（2）撤去F后，系統(tǒng)受到的外力是：重力與支持力N

3-11.如本題圖，質(zhì)量為M的三角形木塊靜止地放在光滑的水平桌面上，木塊的斜面與地

面之間的夾角為。一質(zhì)量為m的物體從高h(yuǎn)處自靜止沿斜面無摩擦地下滑到地面。分別以

m、M和地面為參考系，計(jì)算在下滑過程中M對(duì)m的支持力N及其反作用力N'所作的功，并

證明二者之和與參考系的選擇無關(guān)，總是為0。

解：0：以M為參考系，機(jī)始終沿斜邊運(yùn)動(dòng)，N和V垂直于

位移（即斜邊）所以叱\,=%,=0

以〃2為參考系，N始終作用癡上，叱，=0

b:M相對(duì)于m的位移為斜面方向，而V，垂直于斜面

所以叱v=0

c:以地面為參考系，N=N'

M作正功：=NsMs\n0

N作負(fù)功：眼=sm-N=-Ns,nsina=-Ns,“sina

依正弦定理有：&一=s

,八ITlsin9=UIsina

sinasi?n，

叱v+%，=0

3-12.一根不可伸長(zhǎng)的繩子跨過一定滑輪，兩端各栓質(zhì)量為m和M的物體(M>m)oM靜止

在地面上，繩子起初松弛。當(dāng)m自由下落一個(gè)h后繩子開始被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物

體的速度和此后M上升的最大高度H?

解：M被拉緊前的那一瞬間，機(jī)具有的速度為％=屈

依機(jī)械能守恒，且拉緊后速度相等+=；加<=機(jī)"

M上升的最大高度為H：

—("?+M)v2=mgh=MgH-mgH

3-13.如本題圖，質(zhì)量為m的物體放在光滑的水平面上，m的兩邊分別與勁度系數(shù)為k,和

k2的兩個(gè)彈簧相連，若在右邊彈簧末端施以拉力f,問：

(a)若以拉力非常緩慢的拉了一段距離L,它作功多少？

(b)若突然拉到L后不動(dòng)，拉力作功又如何？

解：(a)m的速度幾乎為0,可忽略，f作功全部轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，

所以：

xt+x2-L&+k2

(b)

突然拉距離L,人彈簧與加均未來得及動(dòng)簡(jiǎn)作的功全部轉(zhuǎn)化次2彈簧的彈性勢(shì)能,

所以：

W^-k2I?

3—15.解:

分析：機(jī)入町后，町獲得的速度為%=—%

加+町

此后壓縮彈簧，匕減小，嶺從。開始增加，

在匕>畤時(shí)彈簧不斷被壓縮，，v,=嗎時(shí)彈簧壓縮最厲害，設(shè)為X

彈簧在被壓縮過程中：

2

機(jī)械能守恒《(〃?+//)■=:(〃2+叫+m2)v+共*

動(dòng)量守恒傘九+町)v10=(m+町+w2)v

m2

=>x=mv0

k(m+m]++m,)

3-16.兩球有相同的質(zhì)量和半徑，懸掛于同一高度，靜止時(shí)兩球恰能接觸且懸線平行。以

知兩球的恢復(fù)系數(shù)為e。若球A自高度h,釋放，求該球碰撞后能達(dá)到的高度。

碰撞前的那一瞬間：Lo=7^調(diào)'晌右，設(shè)為正向）

假設(shè)碰撞后的一瞬間，A的速率為以向左），8的速率為以（向右）

則：土生（1）

%以o

動(dòng)量守恒：機(jī)為=-mvA+mvB（2）

由（1）（2）=>"=—以）=—瘍而<°，說明4實(shí)際上也向右

碰撞后A能達(dá)到的高度為:h=~mvAImg-0-^，），4

3-17.在一鉛直面內(nèi)有一光滑的軌道，軌道左邊是一光滑弧線，右邊是一足夠長(zhǎng)的水平直

線?，F(xiàn)有質(zhì)量分別為恤的他兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，B在水平軌道靜止，A在高h(yuǎn)出自靜止滑下，與B發(fā)

生完全彈性碰撞。碰撞后A仍可返回到弧線的某一高度上，并再度滑下。求A、B至少發(fā)生

兩次碰撞的條件。

解：分析：要求A、B至少發(fā)生兩次碰撞，則第一次碰撞后A的速率必須大于B的速率。

設(shè)第一次碰撞后4的速率為以（設(shè)向左），8的速率為力（設(shè)向右）

碰撞前：vA0=J2g力

碰撞過程中，動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒:

師

%以0=以+mBVB

%+機(jī)8

'1212120

mmVmV「上_聞

-AVM=-AA+-Bi

fnA+mR

m.+m.,m.+mB

nmB>3mA

3-18.一質(zhì)量為m的粒子以v。飛行，與一初始時(shí)靜止、質(zhì)量為M的粒子作完全彈性碰撞。

從m/M=O到m/M=1O畫出末速v與比值m/M的函數(shù)關(guān)系圖。

解：由于是完全彈性碰撞，所以有：

mv0=mv+MV

—mv3=—mv2+—MV2

2022

m-MmlM

=>v=------v=--------v

m+M0mlM+10

3-19.一質(zhì)量為n、初速度為u的粒子碰到一個(gè)靜止的、質(zhì)量為血的粒子，碰撞是完全彈

性的。現(xiàn)觀察到碰撞后粒子具有等值反向的速度。求（1）比值m2/m1；（2）質(zhì)心的速

度；（3）兩粒子在質(zhì)心系中的總動(dòng)能，用J.叫的分?jǐn)?shù)來表示；（4）在實(shí)驗(yàn)室參考系

中m,的最終動(dòng)能。2

解：依彈性碰撞有：

tTL-m1

u

m}u}=叫匕+m2y2W=.\

班+m2

v121212=>V

一班％=—+—mv2/77.

22!

彩-----w,

+m2

叫一嗎2叫!

⑴匕=-v2=>------=-----—

mx+嗎根1+m2

tn.3m,3

=--=----------=----------即也=3或-1（-1不符舍去）

mym2-2m}丐？

（2）碰撞前后質(zhì)心速度不變匕

g+m2

2

⑶質(zhì)心系中的總動(dòng)能:Ec=gg（匕-匕丫+；m2（v2-vj

1mg；“2+1m2ni^1ntm12

----wi

2(g+m)22(/??!+)2

22根1+m2

m1

25mM2

加?+機(jī)2、

19m{-m22

（4）耳叫=］班W

2+m2

3-20.在一項(xiàng)歷史性的研究中，詹姆斯?查德威克于1932年通過快中子與氫核、氮核的彈

性碰撞得到中子質(zhì)量之值。他發(fā)現(xiàn)，氫核（原來靜止）的最大反沖速度（對(duì)心碰撞時(shí)反沖速

度最大）為lO,m./s,而氮14核的最大反沖速度為101/s,誤差為10，由此你得知：

（1）中子質(zhì)量；

（2）所用中子的初速度是什么嗎？（要計(jì)及氮的測(cè)量誤差。以一個(gè)氫核的質(zhì)量為1原子質(zhì)

單位，氮14核的質(zhì)量為14原子質(zhì)量單位）

解：彈性碰撞有：

中子與氮核碰撞：

二叫一叫

mu=mv+mv%，

ppppNN勺+以

=>■

I21,I,

=-^,vp+-/nA,v；2mp

UP

%+%

/%一叫

m+m

同理中子與氫核碰撞有：pl

2mp

UP

>np+mH

7

⑴么=ST比代入數(shù)據(jù)得:3.3xlOmjt+14

6

入機(jī)/，+機(jī)〃4.7xlOmp+\

mp=1.17（原子質(zhì)量單位）

+tnH

⑵咻77TT7X3-3X107=

3-21.在《原子》一書中，牛頓提到，在一組碰撞實(shí)驗(yàn)中他發(fā)現(xiàn)，某種材料的兩個(gè)物體分

離時(shí)的相對(duì)速度為它們趨近時(shí)的5/9。假設(shè)一原先不動(dòng)的物體質(zhì)量為m。，另一物體的質(zhì)量為

2m。，以初速v。與前者相撞。求兩物體的末速。

解：在實(shí)驗(yàn)系中觀察，有動(dòng)量守恒

所以：2m0%=

=2%=2v,+2vM(1)

5

又:e少⑵

9%

由(1)(2)n

V,1-3

27

2-8

27

3一22.一質(zhì)量為mo,以速率Vo運(yùn)動(dòng)的粒子，碰到一質(zhì)量為2mo靜止的粒子。結(jié)果，質(zhì)量也

的粒子偏轉(zhuǎn)了45°并具有末速v0/2。求質(zhì)量為2mo的粒子偏轉(zhuǎn)后的速率和方向。動(dòng)能守恒嗎？

a

解：兩物體組成的系紗動(dòng)量守恒:

x方向：〃%%=cos45°+2加（）匕

y方向：0=肛），5畝450+2%\,

4-V2

匕--------%

8

V2

V------%

v8°

碰撞前總動(dòng)能為小西

碰撞后總動(dòng)能為：|肛［會(huì)）+（2〃％卜：\1J15-26、1

+v2J=/%|j+<*%2

3-23.在一次交通事故中（這是以一個(gè)真實(shí)的案情為依據(jù)的），一質(zhì)量為2000kg、向南行

駛的汽車在一交叉路中心撞上一質(zhì)量為6000kg,向西行駛的卡車。兩輛車連接在一起沿著

差不多是正西南方向滑離公路。一目擊者斷言，卡車進(jìn)入交叉點(diǎn)時(shí)的速率為80km/h。

（1）你相信目擊者的判斷嗎？

（2）不管你是否相信它，總初始動(dòng)能的幾分之幾由于這碰撞而轉(zhuǎn)換成了其它形式的能量？

解：本題可用動(dòng)量守恒

東西方向：m卡昨=（加汽+卡）vsin450北

<

（

南北方向：%（丫汽=（機(jī)汽+mP）vcos45,

東

6000vH=8OOOvsin45°

即：卡

2000%=8000vcos45°

,3V2

=>丫汽=3咋v--^―v卡

⑴若咋=80?/〃,則y汽=240%n/力,這是不可能的。

（2）初始總動(dòng)能：E=gm；，”汽%

g加卡琮+；q艮引J=2加卡嗪

14(372丫

碰撞后總動(dòng)能:E'=；（加汽+加卡卜2

32

4卡卡

2機(jī)卡嗓一7叫嗓

5

即總動(dòng)能有5/8轉(zhuǎn)換成其它形式的能量

2,8

3-24.兩船在靜水中依慣性相向勻速而行，速率皆為s。當(dāng)它們相遇時(shí)，將甲船上的貨物

搬到乙船上。以后，甲船速度不變，乙船沿原方向繼續(xù)前進(jìn)，但速率變?yōu)閟。設(shè)甲船空載時(shí)

的質(zhì)量為500kg,貨物的質(zhì)量為60kg,求乙船質(zhì)量。在搬運(yùn)貨物的前后，兩船和貨物的總動(dòng)

能有沒有變化？

解：設(shè)搬運(yùn)貨物前，哪、乙船的速度分別為咻、也

搬運(yùn)貨物后，甲船、乙船的速度分別為：,甲、M乙

對(duì)乙船用動(dòng)量定理：冽乙v乙+機(jī)J甲=（加乙+%）乙

u甲=-6.0"z/s,丫乙=6.0//J/s,丫'乙=4.0根/s

6.0/篦乙一60x6.0=（機(jī)乙+60）x4.0

=>m乙=300Zg

搬運(yùn)后乙船和貨物的解均變小所以總動(dòng)能變卜

3-25.一質(zhì)量為m的物體開始時(shí)靜止在一無摩擦的水平面上，受到一連串粒子的轟擊。

每個(gè)粒子的質(zhì)量為所（<〈加），速率為V。，沿!Er的方向。碰撞是完全彈性的，

每一粒子都沿-x的方向彈回。證明這物本經(jīng)第“個(gè)粒子碰撞后，得到的羽率

非常接近于v=%（l-es）,其中a=2蘇z/加。試考慮這結(jié)果對(duì)于如<<1和對(duì)于

an-><x情形的有效性。

解：依動(dòng)量守恒律：

第一次碰撞：3mv0=（3m+m）v{%=、—v0

8m+m

第二次碰撞：6mv^+[8m+m）%=（2Sm+//z）v2v2?——v0+v1

~28m+m

8m

第〃次碰撞：加%+

((/i-\)8m+/%?〃_]=(iiSm+m)v2匕尸嬴

6mSm5m8m

v—;----------7-----\------—----------1-------------

0\n8m-vm(〃-1肪％+根26m+m3m+m

雙，則:

令a=

m

aX

5

-----------+

匕,%a1

n——I-1(〃T)：+1

2

an?1口寸：乙-0

anfoc時(shí)：匕?->v0

3—26.水平地面上停放著一輛小車，車上站著十個(gè)質(zhì)量相同的人，每人都以相同的方式、

消耗同樣的體力從車后沿水平方向跳出。設(shè)所有人所消耗的體力全部轉(zhuǎn)化為車與人的動(dòng)能，

在整個(gè)過程中可略去一切阻力。為了使小車得到最大的動(dòng)能，車上的人應(yīng)一個(gè)一個(gè)地往后跳,

還是十個(gè)人一起跳？

解：根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部各部分間相互作用時(shí)的系統(tǒng)增加的動(dòng)能是相對(duì)動(dòng)能部分。依題