新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時作業(yè)49 圓的方程（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時作業(yè)49圓的方程一、選擇題1．若k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圓，則k的取值集合中元素的個數(shù)為(A)A．1 B．2C．3 D．4解析：方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圓的條件為(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<eq\f(1,5)，又知該方程不表示圓，所以k的取值范圍為eq\f(1,5)≤k≤1，又因為k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，所以滿足條件的k＝eq\f(4,5)，即k的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))，故選A.2．已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么與圓C有相同的圓心，且經(jīng)過點(－2,2)的圓的方程是(B)A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝25解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圓心C(1，－2)，故排除C，D，代入(－2,2)點，只有B項經(jīng)過此點．也可以設(shè)出要求的圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，再代入點(－2,2)，可以求得圓的半徑為5.故選B.3．已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為(C)A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：到直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))又兩平行線之間的距離為2，所以所求圓的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故選C.4．圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是(B)A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0.5．圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的圓的方程是(D)A．(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4B．(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析：設(shè)圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2,0)關(guān)于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的點的坐標(biāo)為(a，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq\r(3)，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.故選D.6．圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是(A)A．1＋eq\r(2) B．2C．1＋eq\f(\r(2),2) D．2＋2eq\r(2)解析：將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圓上的點到直線x－y＝2的距離的最大值為d＋1＝eq\r(2)＋1，故選A.7．如果圓(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在到原點的距離為eq\r(2)的點，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)C．[－1,1] D．[－3，－1]∪[1,3]解析：圓(x－a)2＋(y－a)2＝8的圓心(a，a)到原點的距離為|eq\r(2)a|，半徑r＝2eq\r(2)，由圓(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在點到原點的距離為eq\r(2)，得2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.∴實數(shù)a的取值范圍是[－3，－1]∪[1,3]．故選D.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(0,1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(B)A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16解析：解法1：由題意可得圓心(0,1)到直線x－by＋2b＋1＝0的距離d＝eq\f(|1＋b|,\r(1＋b2))＝eq\r(1＋\f(2b,1＋b2))≤eq\r(1＋\f(2b,2b))＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝1時取等號．所以半徑最大的圓的半徑r＝eq\r(2)，此時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2，故選B.解法2：由直線x－by＋2b＋1＝0可得該直線過定點A(－1，2)，設(shè)圓心為B(0,1)，由題意可知要使所求圓的半徑最大，則rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2，故選B.二、填空題9．(多填題)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是(－2，－4)，半徑是5解析：由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去．當(dāng)a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，5為半徑的圓．10．當(dāng)方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓的面積取最大值時，直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α＝eq\f(3π,4).解析：由題意知，圓的半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(4－3k2)≤1，當(dāng)半徑r取最大值時，圓的面積最大，此時k＝0，r＝1，所以直線方程為y＝－x＋2，則有tanα＝－1，又α∈[0，π)，故α＝eq\f(3π,4).11．若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點與點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).解析：因為圓的弦的垂直平分線必過圓心且圓經(jīng)過點(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m)．又因為圓與直線y＝1相切，所以eq\r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq\f(3,2).所以圓C的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).12．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.解析：設(shè)圓上任一點坐標(biāo)為(x0，y0)，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，連線中點坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝x0＋4，,2y＝y(tǒng)0－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4中，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.三、解答題13．已知圓C的圓心在直線x＋y＋1＝0上，半徑為5，且圓C經(jīng)過點P(－2,0)和點Q(5,1)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點A(－3,0)且與圓C相切的切線方程．解：(1)設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝25，點C在直線x＋y＋1＝0上，則有a＋b＋1＝0.圓C經(jīng)過點P(－2,0)和點Q(5,1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2－a2＋0－b2＝25，,5－a2＋1－b2＝25，))解得a＝2，b＝－3.所以圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.(2)設(shè)所求直線為l.①若直線l的斜率不存在，則直線l的方程是x＝－3，與圓C相切，符合題意．②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0.由題意知，圓心C(2，－3)到直線l的距離等于半徑5，即eq\f(|2k＋3＋3k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(8,15)，故切線方程是y＝eq\f(8,15)(x＋3)．綜上，所求切線方程是x＝－3或y＝eq\f(8,15)(x＋3)．14．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若直線l過點(－2,0)且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)從圓C外一點P向圓C引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，滿足|PM|＝|PO|，求點P的軌跡方程．解：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝2.當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x＝－2，易求得直線l與圓C的交點為A(－2,1)，B(－2,3)，|AB|＝2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，則圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－k－2＋2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4)，所以直線l的方程為3x－4y＋6＝0.綜上，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.(2)如圖，PM為圓C的切線，連接MC，PC，則CM⊥PM，所以△PMC為直角三角形，所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.設(shè)P(x，y)，由(1)知C(－1,2)，|MC|＝eq\r(2).因為|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，化簡得點P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0.15．(多選題)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，點P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2).設(shè)點P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是(BC)A．C的方程為(x＋4)2＋y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩定點D，E，使得eq\f(|PD|,|PE|)＝eq\f(1,2)C．當(dāng)A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點M，使得|MO|＝2|MA|解析：設(shè)點P(x，y)，則eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2)＝eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－42＋y2))，化簡整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A錯誤；當(dāng)D(－1,0)，B(2,0)時，eq\f(|PD|,|PE|)＝eq\f(1,2)，故B正確；對于C選項，cos∠APO＝eq\f(AP2＋PO2－AO2,2AP·PO)，cos∠BPO＝eq\f(BP2＋PO2－BO2,2BP·PO)，要證PO為角平分線，只需證明cos∠APO＝cos∠BPO，即證eq\f(AP2＋PO2－AO2,2AP·PO)＝eq\f(BP2＋PO2－BO2,2BP·PO)，化簡整理即證PO2＝2AP2－8，設(shè)P(x，y)，則PO2＝x2＋y2,2AP2－8＝2x2＋8x＋2y2＝(x2＋8x＋y2)＋(x2＋y2)＝x2＋y2，則證cos∠APO＝cos∠BPO，故C正確；對于D選項，設(shè)M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|可得eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝eq\r(x0＋22＋y\o\al(2,0))，整理得3xeq\o\al(2,0)＋3yeq\o\al(2,0)＋16x0＋16＝0，而點M在圓上，故滿足x2＋y2＋8x＝0，聯(lián)立解得x0＝2，y0無實數(shù)解，于是D錯誤．故答案為BC.16．(2019·全國卷Ⅰ)已知點A，B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱，|AB|＝4，⊙M過點A，B且與直線x＋2＝0相切．(1)若A在直線x＋y＝0上，求⊙M的半徑；(2)是否存在定點P，使得當(dāng)A運動時，|MA|－|MP|為定值？并說明理由．解：(1)因為⊙M過點A，B，所以圓心M在AB的垂直平分線上．由已知A在直線x＋y＝0上，且A，B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱，所以M在直線y＝x上，故可設(shè)M(a，a)．因為⊙M與直線x＋2＝0相切，所以⊙M的半徑為r＝|a＋2|.連接MA，由已知得|AO|＝2，又eq\o(MO,\s\up16(→))⊥eq\o(AO,\s\u