人教版九年級數(shù)學上冊 21.18 實際問題與一元二次方程（知識講解）

專題21.18實際問題與一元二次方程（知識講解）【學習目標】1.通過分析具體問題中的數(shù)量關系，建立方程模型并解決實際問題，總結運用方程解決實際問題的一般步驟；

2.通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.【要點梳理】要點一、列一元二次方程解應用題的一般步驟利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.2.解決應用題的一般步驟：

審題→尋找數(shù)量關系和等量關系→設未知數(shù)（直接假設和間接假設）→列一元二次方程→解方程→檢驗→作答。要點二、一元二次方程應用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為100c+10b+a.

(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.

如：三個連續(xù)整數(shù)，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利潤(銷售)問題（中考?？键c）

利潤(銷售)問題中常用的等量關系：

利潤=售價-進價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

4.幾何問題通過幾何邊角關系尋求等量關系，建立方程，從而求出線段的長度或角的大小。

【典型例題】類型一、傳播問題1．某種病毒傳播非常快，如果1人被感染，經(jīng)過2輪感染后就會有81人被感染．(1)每輪感染中平均1人會感染幾人？(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過700人？【答案】(1)8人(2)會【分析】（1）設每輪感染中平均一個人會感染x個人，根據(jù)一個人被感染經(jīng)過兩輪感染后就會有81個人被感染，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據(jù)3輪感染后被感染的人數(shù)=2輪感染后被感染的人數(shù)×（1+8），即可求出3輪感染后被感染的人數(shù)，再將其與700進行比較后即可得出結論．解：(1)設每輪感染中平均1人會感染x人，依題意，得1＋x＋x（1＋x）＝81，解得x1＝8，x2＝－10（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均1人會感染8人．(2)81×（1＋8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會超過700人．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】新冠肺炎傳染性很強，曾有1人同時患上新冠肺炎，在一天內(nèi)一人平均能傳染人，經(jīng)過兩天傳染后64人患上新冠肺炎，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)兩天后共有64人患上流感，列出方程求解即可．解：依題意得1+x+x（1+x）=64，解得x1=7，x2=-9（不合題意，舍去）．故x值為7．故選：D．【點撥】考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．【變式2】某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干長出同樣數(shù)量的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是73，設每個支干長出x個小分支，則可列方程為______．【答案】x2+x+1＝73【分析】由題意設每個支干長出x個小分支，每個小分支又長出x個分支，則又長出x2個分支，則共有x2+x+1個分支，即可列方程．解：設每個支干長出x個小分支，根據(jù)題意列方程得：x2+x+1＝73．故答案為x2+x+1＝73．【點撥】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，要根據(jù)題意分別表示主干、支干、小分支的數(shù)目，找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．類型二、增長率問題2．某水果店標價為10元/kg的某種水果經(jīng)過兩次降價后價格為8.1元/kg，并且兩次降價的百分率相同．時間/天x銷量/kg120－x儲藏和損耗費用/元3x2－64x＋400(1)求該水果每次降價的百分率；(2)從第二次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的銷量及儲藏和損耗費用的相關信息如下表所示，已知該水果的進價為4.1元/kg，設銷售該水果第x天（1≤x＜10）的利潤為377元，求x的值．【答案】(1)10%(2)9【分析】（1）設該水果每次降價的百分率為y，根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解．解：(1)設該水果每次降價的百分率為y，依題意，得10（1－y）2＝8.1，解得y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不合題意，舍去）．答：該水果每次降價的百分率為10%．(2)依題意，得，解得x1＝9，x2＝11（舍去）．答：x的值為9．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，準確理解題意列出一元二次方程是解答本題的關鍵．舉一反三：【變式1】小濱家2019年年收入25萬元，2021年年收入達到36萬元，求這兩年小濱家年收入的平均增長率．設這兩年年收入的平均增長率為x．根據(jù)題意所列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設這兩年年收入的平均增長率為x，然后根據(jù)小濱家2019年年收入25萬元，2021年年收入達到36萬元列出方程求解即可．解：設這兩年年收入的平均增長率為x，由題意得，故選C．【點撥】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題的關鍵．【變式2】為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為60元，求平均每次降價的百分率，設平均每次降價的百分率為x，可列方程為_____．【答案】【分析】設平均每次降價的百分率是，結合題意，通過列一元二次方程并求解，即可得到答案．解：設平均每次降價的百分率是，根據(jù)題意，得：根據(jù)題意，得：故答案為：【點撥】本題考查了一元二次方程的應用；解題的關鍵是理解題意列出方程．類型三、與圖形有關的問題3.《生物多樣性公約》締約方大會第十五次會議于2021年10月11日至15日和2022年上半年分兩階段在昆明召開．為迎接cop15，昆明某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻長20米），另外三邊用籬笆圍成如圖所示，所用的籬笆長為36米．(1)設垂直于墻的一邊長為x米．則平行于墻的一邊為_________米；(2)當花圃的面積為144平方米時，求垂直于墻的一邊的長為多少米？【答案】(1)36-2x(2)當花圃的面積為144平方米時，垂直于墻的一邊的長為12米【分析】（1）垂直于墻的邊長是x米，有兩條邊長，平行于墻的邊長只有一條，這樣就可以求出來；（2）花圃的面積=長×寬，令面積等于144即可求出來；解：(1)設垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊為36-2x米；(2)設花圃的面積為S平方米∴S=（36-2x）·x=144解得x=12答：當花圃的面積為144平方米時，求垂直于墻的一邊的長為12米．【點撥】本題考查一元二次方程的實際應用．解決本題的關鍵在于用未知數(shù)表示長和寬，并求出其面積．舉一反三：【變式1】如圖，在一塊長12m，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積為，設道路的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設道路的寬為xm，將四塊栽種花草的小長方形拼成一個大長方形，則大長方形的長為，寬為，根據(jù)長×寬=77m2，列出方程即可．解：設道路的寬為xm，根據(jù)題意得：(12?x)(8?x)=77，故C正確．故選：C．【點撥】本題主要考查了一元二次方程的應用，將四塊栽種花草的小長方形拼成一個大長方形，且得出長為，寬為，是解題的關鍵．【變式2】《楊輝算法》中有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道他的長與寬共60步，問它的長比寬多了多少步？若設長為步，則列方程為________．【答案】【分析】根據(jù)題意，可以列出相應的一元二次方程，從而可以解答本題．解：設長為步，則寬為步，根據(jù)題意得：，故答案為：【點撥】本題考查一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程，利用方程的知識解答．類型四、數(shù)字問題4.2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數(shù)（如圖所示），圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請說明理由．【答案】最小的數(shù)是5，理由見分析【分析】設這個最小數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．解：設最小的數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，由題意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合實際舍去；由題意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以當最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時，最小的數(shù)是5．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】兩個連續(xù)奇數(shù)的積為323，設其中較小的一個奇數(shù)為x，可得方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】兩個連續(xù)的奇數(shù)相差2，則較大的數(shù)為x+2，再根據(jù)兩數(shù)的積為323即可得出答案．解：依題意得：較大的奇數(shù)為x+2，則有：x（x+2）=323．故選：B．【點撥】此題主要考查了一元二次方程的應用，得到兩個奇數(shù)的代數(shù)式是解決本題的突破點；根據(jù)兩個數(shù)的積得到等量關系是解決本題的關鍵．【變式2】某班學生去參加義務勞動，其中一組到一果園去摘梨子，第一個進園的學生摘了1個梨子，第二個學生摘了2個，第三個學生摘了3個，…以此類推，后來的學生都比前面的學生多摘1個梨子，這樣恰好平均每個學生摘了6個梨子，請問這組學生的人數(shù)為_______【答案】11【分析】設這組學生的人數(shù)為人，根據(jù)題意列出方程，解出即可．解：設這組學生的人數(shù)為人，根據(jù)題意得：，即解得：．故答案為：11【點撥】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．類型五、營銷問題5.某服裝店在銷售中發(fā)現(xiàn)：進貨價為每件50元，銷售價為每件90元的某品牌服裝平均每天可售出20件．現(xiàn)服裝店決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件服裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)求銷售價在每件90元的基礎上，每件降價多少元時，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時又要使顧客得到較多的實惠？(2)要想平均每天盈利2000元，可能嗎？請說明理由．【答案】(1)每件降價20元(2)不可能，理由見分析【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，即每件服裝的利潤×銷售量=總盈利，再求解，把不符合題意的舍去；（2）根據(jù)題意列出方程進行求解即可．(1)解：設每件服裝降價x元．由題意得：（90-x-50）（20+2x）=1200，解得：x1=20，x2=10，為使顧客得到較多的實惠，應取x=20；答：每件降價20元時，平均每天銷售這種服裝能盈利1200元，同時又要使顧客得到較多的實惠；(2)解：不可能，理由如下：依題意得：（90-x-50）（20+2x）=2000，整理得：x2-30x+600=0，Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，則原方程無實數(shù)解．則不可能每天盈利2000元．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元二次方程．舉一反三：【變式1】小強為活動小組購買統(tǒng)一服裝，經(jīng)理給予如下優(yōu)惠：如果一次性購買不超過10件，單價為80元：如果一次性購買超過10件，那么每多買一件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價最終不低于50元．小強一次性購買這種服裝花費1200元，則他購買了這種服裝的件數(shù)是(

)A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件【答案】A【分析】設小強購買了這種服裝x件，則每件的價格為（100-2x）元，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．解：設小強購買了這種服裝x件．由題意得：，解得：x1=20，x2=30．∵80－2(x－10)≥50，∵x≤25，∴x=20．故選：A．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，為了擴大銷售量，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．若商場平均每天銷售這種襯衫的盈利要達到1200元，則每件襯衫應降價多少元？設每件襯衫降價x元，由題意列得方程______．【答案】【分析】設每件襯衫降價x元，根據(jù)每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件可得銷售量為，則每件襯衫的利潤為，根據(jù)銷售量乘以每件襯衫的利潤等于1200元，列出一元二次方程即可解：設每件襯衫降價x元，根據(jù)題意得，故答案為：【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關鍵．類型六、動態(tài)幾何問題6.如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果點P，Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0<t<6)，那么當t為何值時，△QAP的面積等于8cm2?【答案】當t為2或4時，△QAP的面積等于8cm2．【分析】當運動時間為ts時，AP＝2tcm，AQ＝（6?t）cm，利用三角形的面積計算公式，結合△QAP的面積等于8cm2，即可得出關于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．解：當運動時間為ts時，AP＝2tcm，AQ＝(6－t)cm，依題意得×2t(6－t)＝8，整理得t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，∴當t為2或4時，△QAP的面積等于8cm2．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在中，，點從點開始沿邊向點以的速度勻速移動，同時另一點由點開始以的速度沿著射線勻速移動，當?shù)拿娣e等于時運動時間為（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．解：由題意，，，，，解得或5，或時，的面積為．故選D．【點撥】本題考查一元二次方程的應用，三角形的面積公式等知識，解題的關鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于基礎題，中考常考題型．【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，點P在邊AC上，以2cm/s的速度從點A向點C移動，點Q在邊CB上，以1cm/s的速度從點C向點B移動．點P、Q同時出發(fā)，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，當△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是_____秒．【答案】1【分析】設P、Q運動的時間是秒，根據(jù)已知條件得到cm，cm，則cm，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可求解．解：設P、Q運動的時間是秒，則cm，cm，cm∵△PQC的面積為3cm2，∴，即，解得或（不合題意，舍去），∴當△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是1秒．故答案為：1【點撥】本題考查了一元二次方程應用——動點問題，三角形的面積，正確的理解題意是解題的關鍵．類型七、工程問題（只有解答題和選擇題各一個題）7.“端午臨中夏，時清日復長”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時開工，甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時開工2天后，臨時又增加了500袋的任務，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】（1）設甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子，根據(jù)甲乙兩個小組的工作情況列出二元一次方程組，從而解決問題．（2）根據(jù)“甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務”，考慮設“甲組平均每天比原計劃平均每天多加工袋粽子”，再根據(jù)實際總工作量等于甲乙兩組實際工作量之和，列出方程．(1)解：設甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子由題意得：解得：答：甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子．(2)解：設提高效率后，甲組平均每天比原計劃平均每天多加工袋粽子由題意得：整理得：解得：，，又∵甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)∴∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲組平均每天能加工400袋粽子．【點撥】本題考查了運用二元一次方程組、一元二次方程解決實際問題，理清題意，正確計算是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】岐山縣體育局要組織一次中小學籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排28場比賽，應邀請多少支球隊參加比賽？則下列方程正確的是（

）A．x（x-1）=28 B．x（x+1）=28C．2x（x-1）=28 D．x（x-1）=28【答案】D【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數(shù)x（x?1），由此可得出方程．解：設邀請x個隊，每個隊都要賽（x?1）場，但兩隊之間只有一場比賽，由題意得，x（x?1）＝28，故選：D．【點撥】本題考查由實際問題抽象一元二次方程的知識，解決本題的關鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)與球隊之間的關系．【變式2】．有支球隊參加籃球比賽，每兩隊之間都比賽一場，共比賽了45場，則根據(jù)題意列出方程__．【答案】【分析】先列出支籃球隊，每兩隊之間都比賽一場，共可以比賽場，再根據(jù)題意列出方程為．解：有支球隊參加籃球比賽，每兩隊之間都比賽一場，共比賽場數(shù)為，共比賽了45場，，故答案為．【點撥】此題是由實際問題抽象出一元二次方程，主要考查了從實際問題中抽象出相等關系．類型八、行程問題8.一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）？【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9【分析】（1）由題意可得s＝25m，根據(jù)題意可求出平均車速，繼而可求得時間；（2）汽車從剎車到停車，車速從20m/s減少到0，由（1）可得車速減少共用了2.5秒，平均每秒車速減少量＝總共減少的車速÷時間，由此可求得；（3）設剎車后汽車滑行到15m時約用了xs，這時車速為（20-8x）m/s，繼而可表示出這段路程內(nèi)的平均車速，從而可求得x．解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是（m/s），那么從剎車到停車所用的時間是s；（2）從剎車到停車車速的減少值是20-0＝20，從剎車到停車每秒平均車速減少值是m/s；（3）設剎車后汽車滑行到15m時約用了xs，這時車速為（20-8x）m/s，則這段路程內(nèi)的平均車速為，所以x（20-4x）＝15，整理得：4x2-20x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：剎車后汽車行駛到15m時約用0.9s．【點撥】本題考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意正確列出式子．舉一反三：【變式1】小球以的速度在平坦地面上開始滾動，并且均勻減速，后小球停下來．小球滾動到時約用了多少時間（精確到）？（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量關系：速度×時間=路程，時間為x，則速度為5﹣1.25x．解：小球滾動到5m時約用了xs，依題意，得：x?=5整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2．∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2．故選B．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，重點在于求出平均每秒小球的運動減少的速度，而平均每秒小球的運動減少的速度=（初始速度﹣末速度）÷時間．【變式2】《九章算術》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．【答案】【分析】設甲、乙兩人相遇的時間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出值，將其正值代入中即可求出結論．解：設甲、乙兩人相遇的時間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，則依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），，即甲走的步數(shù)是，故答案為：．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用以及勾股定理，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．類型九、圖表信息問題9、某市為鼓勵居民節(jié)約用水，對居民用水實行階梯收費，每戶居民用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費．（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應繳納水費多少元？（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況：月份用水量（噸）交水費總金額（元）4186252486根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值【答案】（1）；（2）10【分析】（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，然后根據(jù)“用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費”，即可求解；（2）若，可得，從而得到，再由“用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費”，列出方程，即可求解．解：（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，元；（2）若，有，解得：，即，不合題意，舍去，∴，根據(jù)題意得：，解得：（舍去），答：規(guī)定用水量a的值為10噸．【點撥】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】根據(jù)下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【答案】D【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，找出代數(shù)式從變?yōu)闀r的取值范圍即可判斷解：時，，時，，則的解的范圍為，即一元二次方程的解大概是4.5．故