第33課時(shí) 弧長及扇形的面積,圓錐的側(cè)面積和全面積

第33課圓的弧長和圖形面積的計(jì)算基礎(chǔ)知識題型分類要點(diǎn)梳理題型一圓弧長助學(xué)微博基礎(chǔ)自測題型二扇形面積公式題型三圓錐題型四求陰影部分的面積答題規(guī)范12.圓錐中容易混淆的概念要點(diǎn)梳理1．圓的弧長及扇形面積

(1)半徑為r，弧為n°的圓心角所對的弧長公式：

l＝____________；

(2)半徑為r，孤為n°的圓心角所對的扇形面積公式：

S＝____________．首頁要點(diǎn)梳理2．圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，若設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為

2πr.(1)圓錐側(cè)面積公式：

S圓錐側(cè)＝___________；

(2)圓錐全面積公式：

S圓錐全＝___________；

(3)圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角公式：

θ＝___________．πra

πra＋πr2

首頁助學(xué)微博三個等量關(guān)系

(1)展開圖扇形的弧長＝圓錐下底的周長；

(2)展開圖扇形的面積＝圓錐的側(cè)面積；

(3)展開圖扇形的半徑＝圓錐的母線．首頁基礎(chǔ)自測1．(2013·淮安)若扇形的半徑為6，圓心角為120°，則此扇形的弧長是(

)A．3π

B．4π

C．5π

D．6πB首頁基礎(chǔ)自測2．(2013·湘西州)下列圖形中，是圓錐側(cè)面展開圖的是

(

)ABCD解析圓錐的側(cè)面展開圖是光滑的曲面，沒有棱，只是扇形．故選B.B首頁基礎(chǔ)自測3．(2013·牡丹江)一個圓錐的母線長是9，底面圓的半徑是6，則這個圓錐的側(cè)面積是(

)A．81π

B．27π

C．54π

D．18π

解析圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．圓錐的側(cè)面積＝2π×6×9÷2＝54π.

故選C.C首頁基礎(chǔ)自測4．(2013·紹興)若圓錐的軸截圖為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是(

)A．90°

B．120°

C．150°

D．180°

解析設(shè)正圓錐的底面半徑是r，則母線長是2r，底面周長是2πr，

設(shè)正圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是n°，D解得：n＝180.故選D.首頁5．[2013·寧波]如圖33－2，AE是半圓O的直徑，弦AB＝BC＝4，弦CD＝DE＝4，連結(jié)OB，OD，則圖中兩個陰影部分的面積和為______．圖33－210π歸類探究類型之一正多邊形的有關(guān)計(jì)算

[2013·南昌]如圖33－3所示，正六邊形ABCDEF中，AB＝2，點(diǎn)P是ED的中點(diǎn)，連結(jié)AP，則AP的長為 (

)圖33－3C[2012·安徽]為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖33－4所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為a，則陰影部分的面積為 (

)圖33－4A類型之二弧長計(jì)算

[2013·宜賓]如圖33－5，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中

，…的圓心按點(diǎn)A，B，C循環(huán)．如果AB＝1，那么曲線CDEF的長是______(結(jié)果保留π)．圖33－54π[2012·湛江]一個扇形的圓心角為60°，它所對的弧長為2πcm，則這個扇形的半徑為 (

)A．6cm B．12cm【解析】扇形的圓心角為60°，它所對的孤長為2πcm，即n＝60°，l＝2π.即R＝6cm，故選A.A知能遷移1

(2013·恩施)如圖所示，一個半徑為1的圓內(nèi)切于一個圓心角為60°的扇形，則扇形的周長為

________．

解析如圖所示，設(shè)⊙O與扇形相切于點(diǎn)A、B，連接OA，則∠CAO＝90°，∠ACO＝30°，∵AO＝1，∴BC＝2＋1＝3，6＋π∴CO＝2AO＝2，∴扇形的周長為：3＋3＋π＝6＋π.首頁類型之三扇形的面積計(jì)算

[2013·山西]如圖33－6，四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是 (

)圖33－6B【解析】設(shè)BE與AD交于點(diǎn)G，BF與CD交于點(diǎn)H，易證△ABG≌△DBH，∴S四邊形GBHD＝S△ABD，圖33－7D【解析】∵AB＝4，AC＝2，2．[2013·荊州]如圖33－8，將含60°角的直角三角板ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB′C′，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑為弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝1，則圖中陰影部分的面積是 (

)圖33－8A【解析】圖中S陰影＝S扇形ABB′＋S△AB′C′－S△ABC.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠BAB′＝45°，△ABC≌△AB′C′，則S△ABC＝S△AB′C′，【點(diǎn)悟】求不規(guī)則圖形的面積，常轉(zhuǎn)化為易解決問題的基本圖形，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結(jié)果．【例3】如圖，如果從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不疊合)，求這個圓錐的高．首頁類型之四圓錐(柱)的有關(guān)計(jì)算首頁知能遷移3

(1)(2013·綏化)直角三角形兩直角邊長是

3cm和4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的表面積是_________________cm2.(結(jié)果保留π)當(dāng)以3的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何體的表面積當(dāng)以4的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何體的表面積首頁知能遷移3

(1)(2013·綏化)直角三角形兩直角邊長是

3cm和4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的表面積是_________________cm2.(結(jié)果保留π)當(dāng)以5的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其所得到的幾何體為共一個底面的兩圓錐，其底面圓的面積半徑＝，所以此幾何體的表面積首頁(2)(2013·佛山)如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角．(參考公式：圓錐的側(cè)面積

S＝πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．)

分析設(shè)出圓錐的半徑與母線長，利用圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長得到圓錐的半徑與母線長，進(jìn)而表示出母線與高的夾角的正弦值，也就求出了夾角的度數(shù)．首頁(2)(2013·佛山)如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角．(參考公式：圓錐的側(cè)面積

S＝πrl，其中r為底面半徑，l為母線長．)

解設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則πl(wèi)＝2πr，l＝2r，∴母線AB與高AO的夾角為30°.首頁

[2012·成都]一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖33－9所示，則該幾何體的全面積(即表面積)為_____(結(jié)果保留π)．圖33－968π[2011·寧波]如圖33－10，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為_____．圖33－10D類型之五平面圖形的滾動問題

[2013·黃岡]如圖33－11，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過的路線長為______．圖33－116π1．[2013·廣安]如圖33－12，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若由現(xiàn)在的位置向右無滑動翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長為____________(結(jié)果用含根號和π的式子表示)．

圖33－12 2．[2013·內(nèi)江]如圖33－13，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖(1)的起始位置沿直線l不滑行地翻