第四章 萬有引力

第四章圓周運(yùn)動

萬有引力定律第二單元萬有引力定律1、開普勒行星運(yùn)動三定律（1）第一定律（軌道定律）：所有的行星圍繞太陽的軌道都是

，太陽處在所有橢圓的

上。橢圓一個焦點(diǎn)（2）第二定律（面積定律）：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)過

。（3）第三定律（周期定律）：所有行星的軌道的

跟它的

的比值都相等。相等的面積半長軸的三次方公轉(zhuǎn)周期的平方第二單元萬有引力定律⑴內(nèi)容：自然界任何兩個物體都是

的，引力的大小跟這兩個物體的

成正比，跟它們的

成反比．相互吸引

質(zhì)量的乘積

距離的平方

⑵表達(dá)式：(3)說明：①式中G＝6.67×10-11N·m2/kg2，稱為萬有引力常量；②適用兩質(zhì)點(diǎn)或均勻球體，r為兩質(zhì)點(diǎn)或兩球心之間的距離．2、萬有引力定律第二單元萬有引力定律⑷適用條件 ①公式適用于_____間的相互作用．當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點(diǎn)． ②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是__________的距離．質(zhì)點(diǎn)兩球心間3、高度越高，地球的重力加速度g越小地球表面的重力加速度g從赤道到兩極逐漸增大1、重力不同于萬有引力的根本原因在于地球的自轉(zhuǎn)2、地球表面上的物體，所受萬有引力可以分解為重力和物體繞地軸勻速圓周運(yùn)動的向心力3、萬有引力與重力的關(guān)系第二單元萬有引力定律

例已知一名宇航員到達(dá)一個星球,在該星球的赤道上用彈簧秤測量一物體的重力為G1,在兩極用彈簧秤測量該物體的重力為G2,經(jīng)測量該星球的半徑為R,物體的質(zhì)量為m.求:(1)該星球的質(zhì)量.(2)該星球的自轉(zhuǎn)角速度的大小.第二單元萬有引力定律3、分析天體運(yùn)動的基本思路(1)利用黃金代換式解題⑵天體運(yùn)動都可近似地看成勻速圓周運(yùn)動,其向心力由萬有引力提供,即F引=F向.

推導(dǎo)v、ω、T、an表達(dá)式地表物體⑵在空中做勻速圓周運(yùn)動ω近地軌道r=R3、分析天體運(yùn)動的基本思路第二單元萬有引力定律例

(2012·合肥質(zhì)檢)設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的81倍，地球半徑是月球半徑的4倍，若探測器甲繞地球和探測器乙繞月球做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，則(

)A．甲與乙線速度之比為9∶2B．甲與乙線速度之比為1∶9C．甲與乙的向心加速度之比為81∶1D．甲與乙的運(yùn)動周期之比為1∶1⑶利用萬有引力計算中心天體的質(zhì)量和密度“T—R”法——利用環(huán)繞天體的周期和軌道半徑r確定ρ例1、已知某行星繞太陽運(yùn)動的軌道半徑為r，周期為T，太陽的半徑是R，則太陽的平均密度是多少？（已知萬有引力常量為G）第二單元萬有引力定律“g-R”法——利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R確定。例2、已知月球的半徑為r,月球表面重力加速度為g月，萬有引力恒量為G，若忽略月球的自轉(zhuǎn)，試求出月球的平均密度表達(dá)式。第二單元萬有引力定律例3、行星的平均密度為ρ，靠近行星表面的衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)周期是T，試證明：ρT2是一個常量，即對任何行星都相同若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動,可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度可見,只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動的周期T,就可估測出中心天體的密度.第二單元萬有引力定律變式訓(xùn)練1

(2011·高考江蘇卷)一行星繞恒星做圓周運(yùn)動．由天文觀測可得，其運(yùn)行周期為T，速度為v.引力常量為G，則(

)答案A（13朝陽期中）13．課堂上老師給同學(xué)們布置了這樣一個題目：假設(shè)地球是一半徑為R，質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。求礦井底部和地球表面處的重力加速度大小之比。李明同學(xué)的思考過程如下：由等式GM=gR2（G為引力常量，M為地球質(zhì)量，R為地球半徑，g為地球表面處的重力加速度）變形后得到，則礦井底部的重力加速度g′與地球表面處的重力加速度g大小之比下列說法中正確的是

A．李明的答案是正確的

B．李明的答案是錯誤的，因?yàn)榈仁紾M=gR2不成立

C．李明的答案是錯誤的，因?yàn)楸绢}不能用等式GM=gR2求解

D．李明的答案是錯誤的，本題雖然能用等式GM=gR2求解，但他分析問題時出現(xiàn)錯誤圖15(13海淀期中）15．（9分）在物理學(xué)中，常常用等效替代、類比、微小量放大等方法來研究問題。如在牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律一百多年后，卡文迪許利用微小量放大法由實(shí)驗(yàn)測出了萬有引力常量G的數(shù)值，圖15所示是卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)示意圖?？ㄎ牡显S的實(shí)驗(yàn)常被稱為是“稱量地球質(zhì)量”的實(shí)驗(yàn)，因?yàn)橛蒅的數(shù)值及其他已知量，就可計算出地球的質(zhì)量，卡文迪許也因此被譽(yù)為第一個稱量地球的人。（1）若在某次實(shí)驗(yàn)中，卡文迪許測出質(zhì)量分別為m1、m2相距為r的兩個小球之間引力的大小為F，求萬有引力常量G；（2）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，請推導(dǎo)出地球質(zhì)量及地球平均密度的表達(dá)式。第二單元萬有引力定律1．第一宇宙速度又叫__________．2．第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在__________環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動時具有的速度．3．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的__________速度，也是人造地球衛(wèi)星的__________速度．環(huán)繞速度(考綱要求Ⅱ)

環(huán)繞速度地面附近最大環(huán)繞最小發(fā)射第二單元萬有引力定律1．第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝_____km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度．2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝_____km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度．第二宇宙速度和第三宇宙速度(考綱要求Ⅰ)

11.216.7第二單元萬有引力定律

判斷正誤，正確的劃“√”，錯誤的劃“×”．

(1)第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是貼近地面運(yùn)行的衛(wèi)星的運(yùn)行速度，即人造地球衛(wèi)星的最大運(yùn)行速度． (

) (2)第一宇宙速度與地球的質(zhì)量有關(guān)． (

) (3)地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度大于第一宇宙速度． (

) (4)若物體的發(fā)射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，則物體可以繞太陽運(yùn)行． (

)

答案(1)√

(2)√

(3)×

(4)√第二單元萬有引力定律3．地球同步衛(wèi)星的特點(diǎn)軌道平面一定軌道平面與赤道平面重合高度一定距離地心的距離一定，h＝4.225×104km；距離地面的高度為3.6×104km環(huán)繞速度一定v＝3.08km/s，環(huán)繞方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同角速度一定ω＝7.3×10－5rad/s周期一定與地球自轉(zhuǎn)周期相同，常取T＝24h向心加速度大小一定a＝0.23m/s24.衛(wèi)星的可能軌道(如圖4－4－1所示)

衛(wèi)星的軌道平面一定過地球的地心圖4－4－11．模型條件

(1)兩顆星彼此相距較近．

(2)兩顆星靠相互之間的萬有引力做勻速圓周運(yùn)動．

(3)兩顆星繞同一圓心做圓周運(yùn)動．物理建模5.宇宙雙星模型2．模型特點(diǎn)

(1)“向心力等大反向”——兩顆星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由它們之間的萬有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分別作用在兩顆行星上，是一對作用力和反作用力．

(2)“周期、角速度相同”——兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動的周期、角速度相等．

(3)“半徑反比”——圓心在兩顆行星的連線上，且r1＋r2＝L，兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動的半徑與行星的質(zhì)量成反比．3．解答雙星問題應(yīng)注意“兩等”“兩不等”

(1)雙星問題的“兩等”： ①它們的角速度相等． ②雙星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等的．

(2)“兩不等”： ①雙星做勻速圓周運(yùn)動的圓心是它們連線上的一點(diǎn)，所以雙星做勻速圓周運(yùn)動的半徑與雙星間的距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離． ②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1與m2一般不相等，故r1與r2一般也不相等．確定雙星的旋轉(zhuǎn)中心：質(zhì)量m越大，旋轉(zhuǎn)半徑越小，離旋轉(zhuǎn)中心越近。雙星問題例、如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在萬有引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，星球A和B兩者中心之間的距離為L．已知A、B的中心和O三點(diǎn)共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G．求：（1）兩星球做圓周運(yùn)動的周期？（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1．但在近似處理問題時，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T2．已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg．求T2與T1兩者平方之比．（結(jié)果保留3位小數(shù)）答案B第二單元萬有引力定律即學(xué)即練如圖所示，雙星系統(tǒng)中的星球A、B都可視為質(zhì)點(diǎn)，A、B繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，A、B之間距離不變，引力常量為G，觀測到A的速率為v、運(yùn)行周期為T，A、B的質(zhì)量分別為m1、m2. (1)求B的周期和速率．

(2)A受B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì) 量為m′的星體對它的引力，試求m′. (用m1、m2表示)第二單元萬有引力定律7.衛(wèi)星的變軌問題衛(wèi)星繞地球穩(wěn)定運(yùn)行時,萬有引力提供了衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力,由由此可知,軌道半徑r越大,衛(wèi)星的線速度v越小.

當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度v突然改變時,受到的萬有引力和需要的向心力不再相等,衛(wèi)星將偏離原軌道運(yùn)動.當(dāng)時,衛(wèi)星做近心運(yùn)動,其軌道半徑r變小,由于萬有引力做正功,因而速度越來越大;反之,當(dāng)時,衛(wèi)星做離心運(yùn)動,其軌道半徑r變大,由于萬有引力做負(fù)功,因而速度越來越小.第二單元萬有引力定律例、如圖4所示,假設(shè)月球半徑為R,月球表面的重力加速度為g0,飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運(yùn)動,到達(dá)軌道的A點(diǎn)時點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ,到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入月球近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動.求:(1)飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)