九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《二次函數(shù)》單元測(cè)試卷（附答案解析）

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《二次函數(shù)》單元測(cè)試卷(附答案解析)

一、單選題

1.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是()

A.y=V%2+xB.y=(x-I)2—x2

C.y=5%2D.y=^

2.拋物線y=-2(%+3)2-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-4,3)B.(-4,-3)C.(3,-4)D.(-3,-4)

3.將拋物線y=5(x-1尸+1向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度，則所得拋物線

的解析式為()

A.y=5(%-iy+1B.y=5(%-4產(chǎn)+3

C.y=5(%—4)2—1D.y=5(%—3)2+4

4.二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a、b、c為常數(shù)且aWO)中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表，該拋物

線的對(duì)稱軸是直線()

X-1013

y-1353

A.x=OB.x=lC.x=l.5D.x=2

5.下列選項(xiàng)中，能描述函數(shù)y=a%2與圖象y==ax+b(^ab<0)的是()

「也一B

c71VD

6.若拋物線y=—/—6%+TH與x軸沒有交點(diǎn)，J則m的取值范圍是()

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A.m>9B.m<9C.m>—9D.m<-9

7.如圖，拋物線y=的對(duì)稱軸為直線x=2,若關(guān)于x的一元二次方程-*+加x-,=0

（1為實(shí)數(shù)）在1WXW3的范圍內(nèi)有解，則2的取值錯(cuò)誤的是（）

A.t=2.5B.1=3C.1=3.5D.1=4

8.已知一元二次方程2x，bx-1=0的一個(gè)根是1,若二次函數(shù)y=2x?+bx-1的圖象上有

三個(gè)點(diǎn)（0,y,）,（-1,丫2）、（y3）,則以，丫2,丫3的大小關(guān)系為（）

A.yi<y2<y3B.y2<y1<y3C.yi<y3<y2D.y3<yi<y2

9.已知二次函數(shù)y=aX2+版+c（a00）其中a,b,c滿足a+b+c=0,4a—2b+c=0,

則二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是（）

11

??x=-

A%=1B%=-1C.2D.%=—2

10.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+4的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc>0；②a+b+c=2；③b?-

二、填空題

11.拋物線y=3%2一6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

12.將拋物線y=x,-2x+3向上平移1個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度后，得到的拋物

線的解析式為_____________________________

13.二次函數(shù)y=/+%+i與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為o

14.若點(diǎn)P（m,n）在拋物線y=x2+x—2021上，貝!]m2+m—n的值為.

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15.已知拋物線y=/-%一3經(jīng)過點(diǎn)/（2,yD、5（3,y2），則與丫2的大小關(guān)系是.

16.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（1,0）,B（3,0）兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)C（0,3）,則二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

17.如圖，已知二次函數(shù)y=ax，bx+c（aWO）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）,與y軸的交

點(diǎn)B在（0,-2）和（0,-1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=l.下列結(jié)論：①abc

>0；②4a+2b+c>0；③4ac-b?>8a；④|<a<|.其中正確的選項(xiàng)是.（填序號(hào)）

三、解答題

18.已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-3）,與y軸的交點(diǎn)是（0,-2）,求這個(gè)二次函數(shù)的解析

式.

19.已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)（一1,0）和（3,0）,并且與y軸交于點(diǎn)（0,3）.求這

個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式.

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20.要修一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的

拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1加處達(dá)到最高，高度為3加，水柱落地處離池中心3勿,

水管應(yīng)多長？

21.某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售

價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件(每件售價(jià)不能高于65元)。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元

(x為正整數(shù))，每個(gè)月的銷售利潤為W元.求每件商品的售價(jià)定為多少22.如圖，二次函數(shù)

y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,求△BCO的

23.如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,

0)。點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)

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y

(1)求二次函數(shù)y=ax?+2x+c的表達(dá)式；

(2)連接PO,PC,并把APOC沿y軸翻折，得到四邊形POPC.若四邊形POP'C為菱形，請(qǐng)

求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形

ACPB的最大面積.

元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

參考答案與解析

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、是二次根式的的形式，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、y=(%—I)2—%2=x2—2%+1—%2=—2x+1,不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意;

C、是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

D、丫=卷=2%-2,不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷即可。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：因?yàn)閥=-2(x+3)2-4是拋物線的頂點(diǎn)式，

根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,—4).

故答案為：D.

【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).

3.【答案】B

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【解析】【解答】解：將拋物線y=5(x-l)向上平移2個(gè)單位長度，得到平移后解析式

為：y=5(x-1)2+1+2,即y=5(x-1)2+3,

二再向右平移3個(gè)單位長度所得的拋物線解析式為：y=5(x-1-3)?+3,

即y=5(x-4)"+3.

故答案為：B.

【分析】利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，"左加右減，上加下減，直接得出答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：由表知當(dāng)x=0和x=3時(shí)，y=3,

.?.該拋物線的對(duì)稱軸是直線*=等，即x=L5,

故答案為：C.

【分析】由表可知當(dāng)x=0和x=3時(shí)，y=3,根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸的計(jì)算公式可得該拋物線的

對(duì)稱軸是直線x=等，即x=L5.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：■bVO,

當(dāng)a>0時(shí)，b<0,拋物線yuax?開口向上，直線y=ax+b經(jīng)過一、三、四象限，故A不符合題

意，D符合題意；

當(dāng)aVO時(shí)，b>0,拋物線y=ax?開口向下，直線y=ax+b經(jīng)過一、二、四象限，故B、C不符

合題意；

即D符合題意.

故答案為:D.

【分析】當(dāng)a>0時(shí)，由拋物線丫=2/開口方向及直線丫=2乂+12經(jīng)過的象限可排除A、C選項(xiàng)；

當(dāng)aVO時(shí)，由拋物線丫=2(開口方向及直線y=ax+b經(jīng)過的象限可排除B選項(xiàng).此題得解.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得令y=O,

/.—x2—6x+m=Q,

a=—1,b=—6,c=m,

.,.4=b2—4ac=(-6)2+4m<0,

解得zn<-9.

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故答案為：D.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題即可得出m的取值范圍。

7.【答案】A

【解析】【解答】解：???一=*2,

2a2

/.m=4,

/.y=-x2+4x=-(x-2)2+4,

...頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),

當(dāng)x=l時(shí)，y=3,當(dāng)x=3時(shí)，y=3,

-x2+mx-t=-x2+4x-t=0,

-x2+4x=t,

如圖，當(dāng)y=t,在直線y=3和y=4之間時(shí)有解，

，3WtW4,

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸求出m的值，則知拋物線的解析式，然后求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，把關(guān)于

x的一元二次方程在的范圍內(nèi)有解的問題轉(zhuǎn)化為拋物線y=-x2+4x與直線y=t的交

點(diǎn)問題，求出t的取值范圍，即可解答.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：一元二次方程2x2+bx-l=0的一個(gè)根是1,

?.2+b-1=0,

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...二次函數(shù)的解析式為y=2x2-x-l,

.,.當(dāng)x=0時(shí)，y）=-l,

當(dāng)x=-l時(shí)，y2=2,

當(dāng)x=|時(shí)，y3=-^,

?'?yi<y3<y2.

故答案為：C.

【分析】把x=l代入方程得出b=T,從而得出二次函數(shù)的解析式為y=2x2-x-l,分別求出y?

%,%的值，再進(jìn)行比較，即可得出答案.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：二次函數(shù)、=s"+b%+c（a。0）中，

???當(dāng)％=1時(shí)，y=a+b+c=0,當(dāng)％=—2時(shí)，y=4a-2b+c=0

二二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為％=瞪=一：

故答案為：D.

【分析】根據(jù)已知可得當(dāng)x=l時(shí)，x=2時(shí)，y值相等為0,從而得出點(diǎn)（1,0）、（-2,0）關(guān)于對(duì)

稱軸對(duì)稱，據(jù)此求解即可.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a7^0）的圖象開口向上可得a>0,交y軸于負(fù)半軸

可得c<0,

由-=〈0,可得b>0,.?.abc<0，故①錯(cuò)誤；..?當(dāng)x=l時(shí)，y=2,，a+b+c=2,故②正確；

2a

.拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac>0,故③正確；由圖可知，當(dāng)X=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三

象限，

將x=-l代入y=ax2+bx+c,得a-b+c<0,將a-b+c<0與a+b+c=2相減，得-2b<-2,即b>l,故

⑤正確；\.對(duì)稱軸x=-2〉T,，a>；,故④錯(cuò)誤.

2a2

綜上，正確的是②③⑤，

故答案為：B.

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，

然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線上過點(diǎn)（1,2）,進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

11.【答案】（0,-6）

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【解析】【解答】拋物線y=3/一6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6),

故答案為：(0,-6).

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=a/+k的性質(zhì)解答.

12.【答案】y=(%-4)2+3或y=x2+8x+19

【解析】【解答】解：將y=x?-2x+3化為頂點(diǎn)式，得：y=(x-1)2+2.

將拋物線y=x,-2x+3向上平移1個(gè)單位長度，再向右平移3個(gè)單位長度后，得到的拋物線的解

析式為：y=(x-1-3)2+2+1；

即y=(x-4)2+3或y=x2+8x+19.

故答案為：y=(%—4)2+3或y=x2+8x+19.

【分析】將原拋物線的解析式配成頂點(diǎn)式，根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即

可得出平移后新拋物線的解析式.

13.【答案】(0,1)

【解析】【解答】解：設(shè)x=0,

則y=l,

二與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)；

故答案為：(0,1).

【分析】函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)即當(dāng)x=0時(shí)求y值，即可得出結(jié)果.

14.【答案】2021

【解析】【解答】解：將點(diǎn)(m,n)代入y=/+x—2021得：m2+m—2021=n,

則m2+m—n=2021,

故答案為：2021.

【分析】由題意把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入解析式整理即可求解.

15.【答案】y

【解析】【解答】解：???點(diǎn)A(2,y)點(diǎn)B(3,y2)經(jīng)過拋物線y=x2-x-3,

=-__=

/.y1223l,y2=32-3-3=3,

故答案為：y,<y2.

【分析】根據(jù)拋物線的解析式求出yi與的值，再求解即可。

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16.【答案】(2,-1)

【解析】【解答】解：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩

點(diǎn)，可設(shè)解析式為：y=a(x-Xi)(x-x2)(a^O),即y=a(x-l)(x-3),把點(diǎn)C(0,3),代入

得a=l.則y=(x-l)(x-3)=x2-4x+3=(x-2)2-l.

所以圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-1).

【分析】利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再求頂點(diǎn)坐標(biāo)即可。

17.【答案】①③④

【解析】【解答】解：?.?拋物線開口向上，

.,.a>0,

...對(duì)稱軸為x=l>0,a、b異號(hào)，

?.b<0,

..,與y軸的交點(diǎn)B在(0,-2)和(0,-1)之間，

-2<c<-1<0,

/.abc>0,

故①正確；

?拋物線x軸交于點(diǎn)A(-1,0),對(duì)稱軸為x=l,

二與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0),

當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c<0,

故②不正確；

.拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

/.b~-4ac>0,即4ac-b2V0,

V8a>0,

4ac-b2V8a,

故③是正確的；

由題意可得，方程ax，bx+c=O的兩個(gè)根為由=-1,X2=3,

X'."x!*x2=：,即c=-3a,

:-2<cV-1,

/.-2V-3aV-1,

因此I<a<|，

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故④正確，

綜上所述，正確的結(jié)論有三個(gè)：①③④，

故答案為：①③④.

【分析】由拋物線開口向上，可得a>0,由對(duì)稱軸為x=l>0可得b<0,由拋物線與y軸的

交點(diǎn)B在(0,-2)和(0,-1)之間，可得-2VCV-1V0,據(jù)此判斷①正確；根據(jù)拋物線

的對(duì)稱性可得

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0),由圖象知當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c<0,據(jù)此判斷②；由拋物

線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可得b2-4ac>0,即4ac-b2<0,而8a>0,據(jù)此判斷③；有拋物

線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為七=-1,X2=3,由于XJX2=

可得c=-3a,根據(jù)-2<cV-l即可判斷④.

18.【答案】解：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3)可設(shè)其解析式為y=a(x-1)2-3,

將(0,-2)代入，得：a-3=-2,

解得：a=l,

則拋物線解析式為y=(x-1)2-3.

【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(xT)?-3,然后將點(diǎn)(0,-2)代入求

出a的值，據(jù)此可得二次函數(shù)的解析式.

19.【答案】解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,

把點(diǎn)(一1,0),(3,0)和(0,3)代入，則

ct—b+c=0

9a+3b+c=0,

c=3

r?=-1

解得：b=2,

.c=3

.,.二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-X2+2%+3.

【解析】【分析】設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c,把點(diǎn)(一1,0),(3,0)和(0,

3)代入，即可求出表達(dá)式.

20.【答案】解：以池中心為原點(diǎn)，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐

標(biāo)系.由于在距池中心的水平距離為1m時(shí)達(dá)到最高，高度為3m,則設(shè)拋物線的解析式為：

y=a(x-1),+3(0WxW3),代入(3,0)求得：a=—三.將a值代入得到拋物線的解析

4

式為：y=--(x-1)?+3(0WxW3),令x=0,則y=2=2.25.故水管長為2.25m.

44

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【解析】【分析】以池中心為原點(diǎn)，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐

標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+3(0WxW3),將(3,0)代入求得a值，則x=0

時(shí)得的y值即為水管的長.

21.【答案】解：由題意得：

W=(210-10x)(50+%-40)

=-10%2+110%+2100

=-10(%-5.5)2+2402.5,%<15且%為整數(shù))，

va=-10<0,

當(dāng)％=5.5時(shí)，y有最大值2402.5,

v0<%<65-50,且X為整數(shù)，

當(dāng)％=5時(shí)，50+%=55,y=2400,

當(dāng)％=6時(shí)，50+%=56,y=2400,

當(dāng)售價(jià)定為每件55或56元，每個(gè)月的利潤最大，最大的月利潤是2400元.

【解析】【分析】先根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍，確

定函數(shù)的值即可

22.【答案】解：延長DC交x軸于E,

依題意，可得y=—x?+2x+3=-(x-1)，+4,

二頂點(diǎn)D(1,4),

令y=0,可得x=3或x=-l,

AB(3,0),

令x=0,可得y=3,

：.C(0,3),

，0C=3,

二直線DC的解析式為y=x+3,

令y=0,可得x=-3,

/.E(-3,0),

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BE=6,

11

??\△BCDUS^BED-SABCE--X6X4--X6X3=12-9=3.

「?△BCD的面積為3.

【解析】【分析】延長DC交x軸于E,根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法

SABCD=SABED-SABCE求解即可O

3

23.【答案】⑴解：將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=a?+2x+c,得［Q/=n

19a+6+c=0

解得［。=3

(a=-1

.?.該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+3

(2)解: