江蘇省淮安市2021年中考數(shù)學(xué)真題（含答案）

2021年江蘇省淮安市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.-5的絕對值等于（）

11

A.-5B.5C.—D.—

55

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的概念即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)橐?的絕對值等于5,所以B正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的算法，正數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù),

0的絕對值為0.

2.第七次全國人口普查結(jié)果顯示，我國人口受教育水平明顯提高，具有大學(xué)文化程度的人

數(shù)約為218360000,將218360000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.21836X109B.2.1386X107C.21.836X107D.

2.1836X108

【答案】D

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X13的形式，其中上同＜10,"為整數(shù).確定〃的值時(shí)，

要看把原數(shù)變成“時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)

絕對值多0時(shí)，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：218360000=2.1836X108,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中

lW|a|V10,〃為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要定〃的值以及〃的值.

3.計(jì)算（x5）2的結(jié)果是（）

A.x3B.x7C.x10D.x25

【答案】C

【解析】

【分析】直接運(yùn)用基的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（6）2=洋'2="。.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了累的乘方運(yùn)算，熟記幕的乘方運(yùn)算法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘是解題關(guān)

鍵.

4.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)視圖的意義，從上面看該幾何體，所得到的圖形進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形如下：

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義，掌握俯視圖的畫法是正確判斷的

前提.

5.下列事件是必然事件的是（）

A.沒有水分，種子發(fā)芽B.如果“、b都是實(shí)數(shù)，那么a+6=b

+〃

C.打開電視，正在播廣告D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向

上

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【詳解】解：A、沒有水分，種子發(fā)芽，是不可能事件，本選項(xiàng)不符合題意；

B、如果a、匕都是實(shí)數(shù)，那么a+b=6+a,是必然事件，本選項(xiàng)符合題意；

C、打開電視，正在播廣告，是隨機(jī)事件，本選項(xiàng)不符合題意；

。、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上，是隨機(jī)事件，本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下,

一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事

件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

6.如圖，直線〃被直線c所截，若“〃6,/1=70。，則/2的度數(shù)是（）

A.70°B,90°C.100°D.110°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角得出/3的度數(shù)，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：1=70。，

Z3=180°-Zl=180°-70°=110°,

'：a//b,

二/2=/3=110。，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角，解題關(guān)鍵是熟記兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

7.如圖，在AABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)、D、E,連接AE,若AE=4,

EC=2,則BC的長是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB=EA=4,結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

【詳解】解E是A8的垂直平分線，A￡=4,

：.EB=EA=4,

：.BC=EB+EC=4+2=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的

點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等.

8.《九章算術(shù)》是古代中國第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，其中《卷第八方程》記載：“今

有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十，問甲、乙持錢各幾

甲若得到乙所有錢的9則甲有5。

何？”譯文是：今有甲、乙兩人持錢不知道各有多少,

2

錢，乙若得到甲所有錢的§，則乙也有50錢.問甲、乙各持錢多少？設(shè)甲持錢數(shù)為x錢,

乙持錢數(shù)為y錢，列出關(guān)于X、y的二元一次方程組是（）

11

x+2y=50x+—y=50x+_y=50

C2c.

A..3B.<D.

—x+y=50253

—y=50一尤+y二50

、3[2

25

x+—y=50

3

gx+y=50

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)甲、乙的持錢數(shù)分別為x,y,根據(jù)“甲若得到乙所有錢巧，則甲有5。錢，乙

若得到甲所有錢的工，則乙也有50錢”，列出二元一次方程組解答即可.

3

【詳解】解：設(shè)甲、乙的持錢數(shù)分別為x,

1“

x+—y=50

2

根據(jù)題意可得:

2

—x+y=50

13

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等量關(guān)

系列出方程.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

9.分解因式：a2-ab=^______.

【答案】a(a-b).

【解析】

詳解】解："-ab=a(a-b).

故答案為a(a-b).

點(diǎn)睛】本題考查因式分解-提公因式法.

10.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)4、5、5、6、5、7,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是__.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)的意義求解即可.

【詳解】這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是5,共出現(xiàn)3次，因此眾數(shù)是5,故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是眾數(shù)：一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，熟練掌握眾數(shù)的意義是解決本題

的關(guān)鍵.

11.分式方程二一=］解是

x+1

【答案】X=1

【解析】

【分析】先給方程兩邊同乘最簡公分母X+1,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程2=x+l,求解后并

檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：方程的兩邊同乘x+1,得2=x+l,

解得x=l.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，x+1=2/0.

所以原方程的解為x=l.

故答案為:x=l.

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟及方法是解題的關(guān)鍵.

12.若圓錐的側(cè)面積為18兀，底面半徑為3,則該圓錐的母線長是.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積=?！?，列出方程求解即可.

【詳解】解：???圓錐的側(cè)面積為18兀，底面半徑為3,

3兀/=18兀.

解得：1—6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積公式，列出方程進(jìn)行求解.

13.一個三角形的兩邊長分別是1和4,若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是.

【答案】4

【解析】

【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)這一條件，

求得第三邊的值.

【詳解】解：設(shè)第三邊為。，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，

4-l<a<4+l,即3<“<5,

又???第三邊的長是偶數(shù)，

.'.a為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握第三邊滿足：大于已知兩邊的差，且小于已

知兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵.

14.如圖，正比例函數(shù)y=hx和反比例函數(shù)y=&圖象相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是

x

（3,2）,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是___.

【答案】（-3,-2）

【解析】

【分析】由于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對

稱，由關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出8點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解：二?正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對稱，

；.A、8兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

：A的坐標(biāo)為（3,2）,

的坐標(biāo)為（-3,-2）.

故答案為：（-3,-2）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知

識進(jìn)行求解.

15.如圖，A8是。。的直徑，CD是。。的弦，NCAB=55°,則/。的度數(shù)是,

【解析】

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角推出NACB=90。，再結(jié)合圖形由直角三角形的性質(zhì)

得至UNB=90°-NC4B=35。，進(jìn)而根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角相等推出NO=Z8=35。.

【詳解】解：是。。的直徑，

ZACB=90°,

ZCAB=55°,

：.ZB=90°-ZCAB=35°,

...ND=/B=35。.

故答案為：35。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，解題的關(guān)鍵在

于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

16.如圖(1),ZXABC和是兩個邊長不相等的等邊三角形，點(diǎn)9、C、B、C都在直

線/上，ZVIBC固定不動，將所C在直線/上自左向右平移.開始時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)8重合,

當(dāng)點(diǎn)8'移動到與點(diǎn)C重合時(shí)停止.設(shè)夕C移動的距離為x,兩個三角形重疊部分的面積

為y,y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖(2)所示，則△4BC的邊長是一.

【答案】5

【解析】

【分析】在點(diǎn)B到達(dá)B之前，重疊部分的面積在增大，當(dāng)點(diǎn)口到達(dá)B點(diǎn)以后，且點(diǎn)。到達(dá)

C以前，重疊部分的面積不變，之后在B'到達(dá)C之前，重疊部分的面積開始變小，由此可得

出BC的長度為a,BC的長度為〃+3,再根據(jù)AABC的面積即可列出關(guān)于。的方程，求出

a即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)B'移動到點(diǎn)B時(shí)，重疊部分的面積不再變化，

根據(jù)圖象可知B'C=a,S...=6,

過點(diǎn)A作

則為8c的高，

*

(1)

△AB'C是等邊三角形,

ZA'B'H=60°,

..AnoAHG

AB2

2

，SA"”.r.，BP—a2=73，

MBC224

解得a=-2(舍)或a=2,

當(dāng)點(diǎn)。移動到點(diǎn)C時(shí)，重疊部分的面積開始變小，

根據(jù)圖像可知BC=〃+3=2+3=5,

...ZSABC的邊長是5,

故答案為5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象和三角函數(shù)，關(guān)鍵是要分析清楚移動過程可分為

哪幾個階段，每個階段都是如何變化的，先是點(diǎn)2’到達(dá)B之前是一個階段，然后點(diǎn)。到達(dá)C

是一個階段，最后⑶到達(dá)C又是一個階段，分清楚階段，根據(jù)圖象信息列出方程即可.

三、解答題(本大題共11小題，共102分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證

明過程或演算步驟)

17.(1)計(jì)算：79-(K-1)sin30°；

4x-8<0

（2）解不等式組：<x+3、.

----->3-x

I2

3

【答案】（1）-；（2）\<x<2

2

【解析】

【分析】（1）先計(jì)算算術(shù)平方根、零指數(shù)幕、三角函數(shù)值，再計(jì)算加減即可；

（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小找不到確定不等式組的解集.

【詳解】解：⑴原式=3-1-!，

2

3

2

4x-8<0

（2）什+3

〉3-x

解不等式4x-8W0,得：爛2,

Y4-3

解不等式一二>3-羽得：x>l,

2

不等式組的解集為1<爛2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算和解一元一次不等式組，熟記三角函數(shù)值、和。指數(shù)累,

正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小

小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

18.先化簡，再求值：（」一+1）+：-,其中。=-4.

【答案】4+1,-3

【解析】

【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后將〃的值代入化簡后的式子即

可解答本題.

【詳解】解：（」一+1）+4-

a-\a-1

1+Q—11）

a-\a

_Q4+1

~T~

=a+lf

當(dāng)a=-4時(shí)，原式=-4+1=-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，代入數(shù)值

后準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算.

19.已知：如圖，在中，點(diǎn)E、F分別在40、BC上，且BE平分/ABC,EF//AB.求

證：四邊形ABFE是菱形.

【解析】

【分析】先證四邊形A8FE是平行四邊形，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證AB=AE,

依據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

【詳解】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

又,：EF//AB,

.??四邊形ABFE是平行四邊形，

平分N4BC,

/ABE=NFBE,

'：AD//BC,

：.NAEB=NEBF,

：.ZABE=ZAEB,

：.AB=AE,

平行四邊形ABFE是菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、菱形的判定，解題關(guān)鍵是熟練

運(yùn)用相關(guān)知識進(jìn)行推理證明，特別注意角平分線加平行，可證等腰三角形.

20.市環(huán)保部門為了解城區(qū)某一天18：00時(shí)噪聲污染情況，隨機(jī)抽取了城區(qū)部分噪聲測量

點(diǎn)這一時(shí)刻的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，把所抽取的測量數(shù)據(jù)分成A、B、C、。、E五組，并將統(tǒng)

計(jì)結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

組別噪聲聲級x/dB頻數(shù)

A55<x<604

B60<x<6510

C65<x<10m

D70夕<758

E75<r<80n

請解答下列問題：

(1)m—____,n—；

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中。組對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是。；

(3)若該市城區(qū)共有400個噪聲測量點(diǎn)，請估計(jì)該市城區(qū)這一天18：00時(shí)噪聲聲級低于

70dB的測量點(diǎn)的個數(shù).

【答案】(1)12、6；(2)72；(3)260個

【解析】

【分析】(1)先由B組頻數(shù)及其對應(yīng)的百分比求出樣本容量，再用樣本容量乘以C這組對

應(yīng)的百分比求出m的值，繼而根據(jù)5組的頻數(shù)之和等于樣本容量可得〃的值；

(2)用360。乘以。組頻數(shù)所占比例即可；

(3)用總個數(shù)乘以樣本中噪聲聲級低于70dB的測量點(diǎn)的個數(shù)所占比例即可.

【詳解】解：(1),??樣本容量為10+25%=40,

m—40x30%=12,

."=40-(4+10+12+8)=6,

故答案為：12、6；

Q

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中。組對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是360。乂==72。，

故答案為：72；

(3)估計(jì)該市城區(qū)這一天18：00時(shí)噪聲聲級低于7(WB的測量點(diǎn)的個數(shù)為

4+10+12

400x=260（個）.

40

該市城區(qū)共有400個噪聲測量點(diǎn)，估計(jì)該市城區(qū)這一天18：00時(shí)噪聲聲級低于70dB的測量

點(diǎn)的個數(shù)為260個.

【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、頻數(shù)(率)分布表，解題的關(guān)鍵是結(jié)

合頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖得出樣本容量及樣本估計(jì)總體.

21.在三張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫一個數(shù)字，分別為1、2、-1,現(xiàn)將三張

卡片放入一只不透明的盒子中，攪勻后任意抽出一張，記下數(shù)字后放回，攪勻后再任意抽出

一張記下數(shù)字.

(1)第一次抽到寫有負(fù)數(shù)的卡片的概率是;

(2)用畫樹狀圖或列表等方法求兩次抽出的卡片上數(shù)字都為正數(shù)的概率.

14

【答案】(1)一；(2)-

39

【解析】

【分析】(1)用負(fù)數(shù)的個數(shù)除以數(shù)字的總個數(shù)即可；

(2)畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即

可.

【詳解】解：(1)負(fù)數(shù)的個數(shù)有1個，數(shù)字的總個數(shù)是3個，

所以第一次抽到寫有負(fù)數(shù)的卡片的概率是,，

3

故答案為：—;

3

(2)畫樹狀圖為：

共有9種等可能結(jié)果數(shù)，其中兩次抽出的卡片上數(shù)字都為正數(shù)的有4種結(jié)果，

4

所以兩次抽出卡片上數(shù)字都為正數(shù)的概率為u.

9

【點(diǎn)睛】本題考查的是求概率和樹狀圖，熟練掌握概率的意義是解決本題的關(guān)鍵.

22.如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔C。相距50m,在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部

C的仰角為28。、鐵塔底部。的俯角為40。，求鐵塔C￡＞的高度.

(參考數(shù)據(jù)：sin28°=0.47,cos28°~0.8,tan28%0.53,sin40°~0.64,cos40°~0.77,tan40°~0.84)

【答案】68.5m

【解析】

【分析】過A作AEJ_C￡>,垂足為E.分別在RtZ\AEC和Rt^AED中，由銳角三角函數(shù)定

義求出CE和DE的長，然后相加即可.

【詳解】解：如圖，過A作AELC。，垂足為E.

則AE=50m,

在RtZ\AEC中，CE=4E?tan28y50x0.53=26.5(m),

在RtZ\AE￡>中，￡>E=A￡?tan40°?50x0.84=42(m),

.?.CQ=CE+O欣26.5+42=68.5(m).

答：鐵塔C￡>的高度約為68.5m.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，求出CE、DE的長是解題的關(guān)

鍵.

23.如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，AABC的頂點(diǎn)A、B、C都在

格點(diǎn)上(兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)).請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕

跡(不要求寫畫法).

(1)將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為81,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為Ci,

圓出^AB\C\；

(2)連接CG,AACa的面積為；

(3)在線段CC1上畫一點(diǎn)D,使得△AC。的面積是AACCl面積的L

5

：A：:\B：

工

：E：：：Cl：

【答案】(1)見解析；(2)-；(3)見解析

2

【解析】

【分析】(1)將A、B、C三點(diǎn)分別繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。畫出依次連接即可;

(2)勾股定理求出AC,由面積公式即可得到答案；

(3)利用相似構(gòu)造△即可.

【詳解】解：(1)如圖：圖中△A&G即為要求所作三角形；

(2)-：AC=712+22=>由旋轉(zhuǎn)知4c=AG,NC4cl=90°,

△ACCi的面積為一xACxACi=一,

22

故答案為：一；

2

(3)連接￡尸交CG于。，即為所求點(diǎn)。，理由如下：

,:CF〃GE,

.?.△CFD^ACIED,

?CD-CF1

*'=4'

：.CD^-CC\,

5

，△ACC的面積=△ACC\面積的g.

【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是構(gòu)造得到CD=1cG.

24.如圖，在RlZ\A8C中，ZACB=90°,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，以4c為直徑的。。與4B邊

交于點(diǎn)O,連接。E.

（1）判斷直線。E與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若C￡>=3,DE=-,求。。的直徑.

2

【答案】（1）相切，理由見解析；（2）—

4

【解析】

【分析】（1）連接DO,如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由/BDC=90。，E為

2C的中點(diǎn)得到。E=CE=BE,則利用等腰三角形的性質(zhì)得NEDC=NECQ,ZODC=

NOCD,由于NOCD+/￡）CE=/ACB=90°,所以/EDC+NOOC=90°,即/EDO=90°,

于是根據(jù)切線的判定定理即可得到OE與。O相切；

（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）證明：連接。。，如圖，

VZBDC=90°,E為BC的中點(diǎn)，

DE=CE=BE,

：.NEDC=aECD,

又，：OD=OC,

：.NODC=NOCD,

而NOCO+NDCE=ZACB=90°,

：.ZEDC+ZODC^90°,即NEOO=90°,

：.DE±OD,

與。。相切；

(2)由(1)得，ZCDB=90°,

；CE=EB,

：.DE^—BC,

2

：.BC=5,

BD=4BC2-CD=正-32=4,

：NBCA=/BDC=90°,/B=NB,

：.ABCA^/\BDC,

.AC_BC

"CD-BD'

AC5

???_，

34

；.。0直徑的長為一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直

即可.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì).

25.某超市經(jīng)銷一種商品，每件成本為50元.經(jīng)市場調(diào)研，當(dāng)該商品每件的銷售價(jià)為60元

時(shí)，每個月可銷售300件，若每件的銷售價(jià)每增加1元，則每個月的銷售量將減少10件.設(shè)

該商品每件的銷售價(jià)為x元，每個月的銷售量為y件.

（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)該商品每件的銷售價(jià)為多少元時(shí)，每個月的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【答案】（1）y=-10N+1400X-45000；（2）每件銷售價(jià)為70元時(shí)，獲得最大利潤；最大

利潤為4000元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系“利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）x銷量”列出函數(shù)表達(dá)式即可.

（2）根據(jù)（1）中列出函數(shù)關(guān)系式，配方后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得利潤最大值.

【詳解】解：⑴根據(jù)題意，y=（x-50）[300-10（x-60）],

與x的函數(shù)表達(dá)式為：y—-10x2+1400x-45000；

（2）由（1）知：y=-10x2+1400%-45000,

.?.尸-10（x-70）2+4000,

每件銷售價(jià)為70元時(shí)，獲得最大利潤；最大利潤為4000元.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題

意，找到等量關(guān)系，求得二次函數(shù)解析式.

26.【知識再現(xiàn)】

學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等

(簡稱“L定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.

【簡單應(yīng)用】

如圖(1),在aABC中，NBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)。、E分別在邊4C、AB上.若CE=

BD,則線段AE和線段A。的數(shù)量關(guān)系是.

A

€<><?AA

【拓展延伸】

在AABC中，ZBAC=-a(90°<?<180°),AB=AC=m,點(diǎn)。在邊AC上.

(1)若點(diǎn)E在邊AB上，且CE=BD,如圖(2)所示，則線段AE與線段4力相等嗎？如果

相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由.

(2)若點(diǎn)E在84的延長線上，且CE=BD.試探究線段4E與線段AO的數(shù)量關(guān)系(用含

有“、機(jī)的式子表示)，并說明理由.

【答案】【簡單應(yīng)用】AE=A￡>；【拓展延伸】(1)相等，證明見解析；(2)AE-AD=2AC>cos

(180°-a),理由見解析

【解析】

【分析】簡單應(yīng)用：證明RoABDg即△ACE(“￡.),可得結(jié)論.

拓展延伸：(1)結(jié)論：AE^AD.如圖(2)中，過點(diǎn)C作CM,8A交BA的延長線于M,

過點(diǎn)N作BNLCA交CA的延長線于N.證明△CAM^/\BAN(A4S),推出CM=BN,AM

=AN,證明RsCMEgRsBND(HL),推出EM=￡>N,可得結(jié)論.

(2)如圖(3)中，結(jié)論：AE-AD=2wcos(180°-?).在AB上取一點(diǎn)E,使得

CE',則AO=A￡.過點(diǎn)C作。7,4￡于7.證明TE=TE,求出AT,可得結(jié)論.

【詳解】簡單應(yīng)用：解：如圖(1)中，結(jié)論：AE=AD.

圖⑴

理由：VZA=ZA=90°,AB=AC,BD=CE,

:?RmABD沼RmACE(HL),

：.AD=AE.

故答案為：AE=AD.

拓展延伸：(1)結(jié)論：AE=AD.

圖⑵

理由：如圖(2)中，過點(diǎn)。作CM_L8A交8A的延長線于M,過點(diǎn)N作8MLe4交CA的

延長線于N.

■:NM=NN=90。,NCAM=NBAN,CA=BAf

:.XCAM9l\BkN(A4S),

:?CM=BN,AM=ANf

???NM=NN=90。，CE=BD,CM=BN,

CME學(xué)Rt>BND(HL),

:?EM=DN,

9

\AM=ANt

：.AE=AD.

(2)如圖(3)中，結(jié)論：AE-AD=2m*cos(180°-a).

圖(3)

理由：在A3上取一點(diǎn)F,使得BD=CE,則AO=AE.過點(diǎn)。作。丁，4￡于工

■:CE=BD,CE=BD,

：.CE=CE,

■:CTLEE,.

：.ET=TEr,

???AT=AGcos(180°-a)=m-cos(180°-a),

：.AE-AD=AE-AEf=2AT=2m-cos(180°-a).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角

形等知識，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問題.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù))=！/+云+。的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)

和點(diǎn)8(5,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)。，動點(diǎn)M、。在x軸上(點(diǎn)M在點(diǎn)。的左側(cè))，在x軸下方作

矩形MNPQ,其中MQ=3,MN=2.矩形MNPQ沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右勻

速運(yùn)動，運(yùn)動開始時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-6,0),當(dāng)點(diǎn)"與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動

的時(shí)間為f秒C>0).

(I)b—,c—.

(2)連接8。，求直線8。的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在矩形MNPQ運(yùn)動的過程中，所在直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)G,PQ所在直

線與直線8。交于點(diǎn)“，是否存在某一時(shí)刻，使得以G、M、H、。為頂點(diǎn)的四邊形是面積

小于10的平行四邊形？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

(4)連接尸￡),過點(diǎn)尸作PO的垂線交y軸于點(diǎn)R,直接寫出在矩形MNPQ整個運(yùn)動過程中

點(diǎn)R運(yùn)動的路徑長.

【解析】

【分析】(1)把A(—3,0),8(5,0)代入y=；/+法+，，列方程組求出江。的值；

(2)將拋物線的函數(shù)表達(dá)式由一般式配成頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求

直線8。的函數(shù)表達(dá)式；

(3)先由且QHwO,確定，的取值范圍，再用含，的代數(shù)式分別表示點(diǎn)

G、點(diǎn)”的坐標(biāo)，由MG=HQ列方程求出f的值；

⑷過點(diǎn)P作直線x=l的垂線，垂足為點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn)G,PRGDPF,確定點(diǎn)

R的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)R運(yùn)動的路徑長.

【詳解】解：⑴把A(—3,0),3(5,0)代入)=:爐+云+°,

9{1

—3/7+c=0b=—

42

得，解得15J

故答案為：—，---

24

、121151/八2

(2)y=—x2x-----=—-4,

-4244V'

該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（l,-4）：

設(shè)直線的函數(shù)表