空間曲線曲率計(jì)算公式及推導(dǎo)

1.4空間曲線的曲率定義及

計(jì)算公式

f->

引理設(shè)°G）是單位圓周上的向量，即II。（5川=1

—>—>

設(shè)與(之間的夾角記為

a(s+-)Qs)，貝U有

lim|丁|=||a'(s)||

面7°\s

證明由于

—>—>

fQ(S+A5)—4(S)

a(s)=lim--------------------

Asf。As

后⑸1blim應(yīng)0匕&處

所以33

c.附.\e

2sin——sin——

=lim|--------1=lim|____2_

A—。AsAzO△eAv

T

=um?----1

加

Aso

(用解等腰三角形或用余弦定理，得

||6z(5+Ay)-a(s)||=Vl2+12-2xlxlxcosA^

=^2-2(l-2sin2^)=2|sin^|

O)

—>—>

定理L2設(shè)曲線r：r="S)(S是弧長(zhǎng)參數(shù))上的每一點(diǎn)有一

—>

個(gè)單位向量"(s),

"(s+Av)與Q(s)之間的夾角記為八8，則有

lim|—1=||a\s)||

加一°As

o

—>—>

設(shè)曲線「：〃=〃(s)，這里參數(shù)$是曲線自身的弧長(zhǎng)，

—?-?

我們知道，,⑸是曲線的切向量，且"/(S)11=1,

—>

即/（S）是單位向量。

->->->->

記T=r'(s),T'(s)=r〃(s)

A8t

—>lim|—Hir(5)||

T(s)與T(s+Ay)的夾角心-0As-度量了曲

線的彎曲程度，我們稱(chēng)之為曲線r="$）的曲率，用《）來(lái)表示,

4(s)—lim|1

即A5f。As

lim|—1=11T'⑸11=11/'(s)ll

由于心—As-

->

所以曲率-S）引〃（sM

（舉例解釋?zhuān)枰蔬@個(gè)量來(lái)刻畫(huà)曲線；曲瓏拐彎，拐彎抹角的程

度。）

.f——

例1.直線可以用向量方程表示為"S）="s+",其中〃和U為

—>

常向量，并且"""二1,這時(shí)切向量?、?「'（$）=”是常向量,

從而〃"G)=°,曲率左(s)=°。

―>

反之，假如左二o,即⑸=0,

T,(、ffT->f

us+v

由此可知〃(s)是常向量，進(jìn)而解得"S)=，其中〃和口為

常向量。

由此可知：直線的特征是k=00

例2求圓曲線

f

r(9)=(ocosaasin。)

的曲率。

8二上

解由于5=1夕，一a,

所以圓方程的弧長(zhǎng)參數(shù)表示為

r{s}=(tzcos—,?sin—)

a

r\s)=(-sin—,cos-)

這時(shí)，aa

:/1s1.s、

r(s)=(——cos—,——sin—)

aaaa

f1

k(s)二||一〃。)||二一

于是，a

即圓的曲率等于其半徑的倒數(shù)。

空間曲線曲率的計(jì)算公式：

設(shè)曲線r：〃="/)，這里參數(shù)’不必是弧長(zhǎng)參數(shù)。

—>—>

drdrdt?,、dt

——=--------=r(?)——

我們有dsdtdsds

2

dr722、d~t

將以上兩式的雙方作向量外積，得

—>—>

2

drdr)丁3

——x--=rxr(t

dsds~

->->->

drdr

-------二1

dsds

dr

ds

得*=。.（即相互垂直）

所以

—>

d~r

校)=11LII

ds

->

drd-r

川n加*下北

->->dt

=||/⑺xr"⑺II?1（了）31

as

T

由于||dr||=ds

I當(dāng)3=||半『3=||"『3/%『3

所以asatat

由此得出曲率公式

lkW?（/）||

k（D=

ll?（OII3

—>

廠⑺=（M，）,y?）,z?））

護(hù)||7?）X7'?）||2

JO

=11后）『||八）『-（％,/⑺）2

22

=3⑺2+y（r）+z'（r）2）.（x〃（r）2+/（r）+z"（ty）

一(x'Q)x〃⑺+/(?)/(?)+Z'("⑺)2

I

ZQ)="

代入曲率公式，可得簡(jiǎn)便計(jì)算公式

1—>—>—>T

=——[II產(chǎn)⑴||2-||r'(t)~-r"⑴>]2

II/(Oil3

例3求圓柱螺線

r(t)=(acost,asint,bt)a>0

的曲率。

解解法1直接計(jì)算，得

r'(t)=(-asmt,acost,b)

從“一u計(jì)算起的弧長(zhǎng)為

1

\la2+b2

1

co=-1一,—,

記,則有r=公，

—>

于是尸_r(s)=(acosCDS,asinCDS,bcos)

戶'(s)=a)(-asincos,acoscos,b)

/'(s)=ar(-acoscos,-asincos,0)

故稔)=/⑸||=#”小

解法2直接計(jì)算，得

—)

r'(t)=(-asint,acost,b)

-?

/'?)=(-acost-asinr,0)I

所以，

II:11=JY+r

/

II31|=a

/

—>—)

(/⑺/〃⑺)=0

I

—>—)

2

vl|/(0xr70ll

—>—>—>—>

=11/⑺『||小)『一(/?)，〃⑺)2

=a2(a2+b2)

I

心l|rW?(r)||

k(八二----------------------

11%『

代入公式

得出曲率

它是一個(gè)常數(shù)，這與幾何直覺(jué)是相符合的。

平面曲線的曲率計(jì)算公式：

->

設(shè)平面曲線L：廠⑺=(x?)，y?))。

—>—>—>―A

斗々)『|卜〃⑺『一(/⑺/〃⑺了

=(y(r)2+y(O2).(Z(r)2+/(r)2)

—(%'?)%〃")+V0)y〃Q))2

=(%'⑺y〃⑺一九〃⑺y'⑺產(chǎn)

所以，平面曲線L:

廠O=（x?）,y?））的曲率

wJ/(r)/(r)-Z(r)W)l

3(—+y3)%

對(duì)曲線y=y。）,

（x=x

此時(shí)］一（%）,

則曲率

Iy〃(%)I

k(x)=

(i+y%

若曲線由極坐標(biāo)方程r=r（9）給出，且“,）二階可導(dǎo)。

則可得

x=r(0)cos0

y=r(3)sin0

x=r'cos。一廠sin6

y'=r'sin8+rcos。

x"-r"cos。一2/sin。一rcos，

ny"=r"sin8+2/cos。一rsin。

由曲率公式

k(t)=------------------------------------------v-------

(￡(力2+y，0)2)%

/

可計(jì)算：

f⑹2+y(e)2=/+產(chǎn)

x\6)y〃(6)-%〃(e)y(e)

22

=(?r"cos6sin6-rr"sinz6+2/2cos?g_cossjn_rr'cos6?sin6?+rsin0)

-(/r"cos6sin0+rr*cos20-2r,2sin20—2rrrcossin-rr*cossin-r1cos20)

=r2+2/—rr'

o

代入，得曲率為

\r~+2r'-rr"\

KJ----~

(戶+小)2

例6求心形線r="（1+COS。）（4>0）在°二°處的曲率。

解

r（6?）=2a

r|柒0=_asin夕19=o=O

r\0=o=-acos0\（,=o^-a

，

r2+?czr-rrn

K=3

代入公式(/+/2戶

...它在e二°曲率為

（2Q）~-2a（-a）3

k=

34a

「（2疥

空間曲線曲率公式的另一種證明方法：

對(duì)光滑曲線：⑺,te[a,/3](

S?)='||p(r)||dr了=11/⑺ll>0

dt_\_1

ds，II；'⑺II

dtt

s=s")嚴(yán)格遞增反函數(shù)存在記為t='G)把它代入r="/)；

—>

所以，廠是s的函數(shù)，這里參數(shù)S是弧長(zhǎng)參數(shù)。

我們有

—>—>

d.r_drdt

dsdtds

drdt=11/Q)II=1

—>—>—>

drdr

asdsds

T—>

設(shè)曲線「：'="，）=（%⑺,y0）,z（。）

這里參數(shù)’不必是弧長(zhǎng)參數(shù)。

我們有"Q)=(x'Q),y'Q),z'Q))

—>->—>

II/?)『=(/()/?))

I

di7⑺ny=[(P(o,rwr

1——二

=”‘《）’/?））22(%/%))

ll?(OH.

I

__?dc~

sQ)=fl|/?)||dr幫=11/(?！?/p>

JotCll

ti

—>—>—>—>

?dr.....dr,drdr,

11—11=1II—ll-2=l---=1

as/as/dsds

JIGV<-II_IIG)</-IIIIGV<-IIJIG)</-II

(OVW)--i―(GVW)r

<-<-<-<-

spJIG)/II

三(IIQ)川I)一

<-~r

spIIQ)jllSpSpSp

--X)-()---(--)--

ipI---------Ipipp

IP

IIQ)/IIspII⑺*1=2

~rjp

spsp

(萬(wàn))萬(wàn)⑺<+?

spspjpsp

—Q)/=--------二—

卬］jpapAp

<—<—

spsp'spsp

J_-p--J--p--0=-J-P---/--r

—>->

drd~r

--------=U

由dsds~

代入計(jì)算，得

TTz7/—>?7z7/

/⑺,尸⑺(丁)2+||/⑺『f(?)=0

asasas

由此而來(lái)

->—>AtTz/z7f

/⑺?/(力(f)2=-||/⑺(f)

dsasas

->

d~r2,2I”、d.dt.

一+/?)——(——)

--=r\t

由dsdsds，得

II?『=11%II2A4+2拓).?)g)2AA

asasasasas

+n?(on2(a)y

asas

—1fy,開(kāi)

=V〃Q)『一一-II/(Oil2(z3/))2

ll/(/)ll4dsds

[(/⑺/〃Q))f

=Hr7?)ll2-------\\r(t)\\

II%『

II

1--—>—

——口1/?)1|2?||r'(f)||2一(/?)/"⑺))2]

11^(0II6

故得空間曲線「：

r?)=(x"),yQ),z。))

的曲率

左=11筌II

as

\->->——2

———酎"⑴『』/?)『-(々"⑴)為2

II/?)『

11/⑺II

設(shè)平面曲線L:

廠⑺=(x?),y?))

/

->—)

l|/Q)xr〃0)『

->—>—>—>

■1/(?！簗|/?)『—(/?"〃⑺)2

=(/(r)2+y(r)2).(Z(O2+/(z)2)

一(九'⑺KQ)+y'⑺<⑺了

=(￡?)、〃⑺-/⑴>3)2

所以，平面曲線L:

廠?)二(%?)，)?))的曲率

k(f)=3?)y"Q)r"();/?)|

(/⑺2+y?)2)%

o

(x=X

當(dāng)曲線L由方程>=/(")給出時(shí)，此時(shí)〔丁=/(%),采用

上式，

xr=iy=/'（%）x〃=o<=/〃（%）

故曲率

Iy〃I二"〃⑺I

k=

（1+（行）％[l+C/W]%

曲率半徑：若光滑曲線L在點(diǎn)p處的曲率為k,

R=-

當(dāng)“w°時(shí)，稱(chēng)k為曲線L在P處的曲率半徑。

（平面曲線的情形，也有用幾何圖形給出的更便利直觀的證法，見(jiàn)華

東師大的書(shū)。）

例1、求曲線>的曲率的最大值。

解由曲率K的表達(dá)式

]二（i+y'2）a3

=e-x（l+e2xy

K~|/|

273

從而得K的最大值為9o

例2、證明：若曲線的全部切線經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則該曲線是一條直線.

證明證法一

設(shè)曲線的切線經(jīng)過(guò)“，

則有用)—%=4%)/?),

于是J。)=/l'Q),

r\t)xr'\t)=/?)/(，)xr〃(1)

假如"⑺X"⑺w0

/

則軟力=1

再由“⑺=廠'?)+〃，)/'(，)

I

得〃療⑺=0尸⑺=0

，/甲突,

所以"⑺x/⑺=0,

口而此支K(t)=

從而曲率0

故曲線必為一條直線.

證法二設(shè)曲線為“)，s為弧長(zhǎng)參數(shù)全部切線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為rG

則有?s)-%=4(s)7(s)

/從An而u/(s)=x'(s)/(s)+X(s)/'G),

由IIJ(s)『二l

得/(s)與r"(s)正交，

干J(s)||/(s)『二O,

于■是

|2(s)|=||?s)—2||w0,

t±JJ

以后尸(s)=0

必有'',

所以"(s)為一條直線.

例3、求橢圓

X=?COSZ,y=bsint,0<t<2萬(wàn)上曲率最大和最小點(diǎn)

解由于

xf=—asint,x"=—acost,

Y=bcost,y"=-bsint

W-F

由公式S+（行產(chǎn),

K=________驗(yàn)______

得（〃sin2t+b2cos2

_ab

[（a2-Z?2）sin2Z+/?2]3/2

不妨設(shè)4">°,

f——rr

于是在“-u，〃（長(zhǎng)軸端點(diǎn)）處曲率最大；

_71

而在‘一,、2（短軸端點(diǎn)）處曲率最??；

'--K=-

max729min2

且ba

fx2+y2+z2=9,

j丫22=q

例4、由下述方程確定一條球面曲線：〔")一>

給定曲線上的一點(diǎn)穌=(22)，

求曲線在4處的曲率.

解曲線為

r(x)=(x,y(x),z(x)).

I

由條彳名導(dǎo)X2-y2=3,2x2+Z2=12.

再由2x-2W=0,4x+2zz'=0得

丁一肛'丁-f

y=一，y

yy2y3

,2x?