統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章10.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案理含解析20230423149

統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章10.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案理含解析20230423149第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)重溫】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N＝①____________________種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事情需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，…，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N＝②____________________種不同的方法．3．兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，都涉及③____________________的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與④________有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與⑤________有關(guān)，各個(gè)步驟⑥________，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成．二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)1．分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨(dú)立的．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()二、教材改編2．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．12B．8C．6D．43.如圖，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有________條不同的路線．三、易錯(cuò)易混4．已知a，b∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，則logab的不同取值個(gè)數(shù)為________．5．某項(xiàng)測(cè)試要過兩關(guān)，第一關(guān)有3種測(cè)試方案，第二關(guān)有5種測(cè)試方案，某人參加該項(xiàng)測(cè)試，不同的測(cè)試方法種數(shù)為()A．3＋5B．3×5C．35D．53四、走進(jìn)高考6．[2020·山東卷]6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有()A．120種B．90種C．60種D．30種考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理[自主練透型]1．[2021·湘贛十四校聯(lián)考]有一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學(xué)只會(huì)用綜合法證明，有3名同學(xué)只會(huì)用分析法證明，現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個(gè)問題，不同的選法種數(shù)為()A．8B．15C．18D．302．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為________．3．如圖，從A到O有________種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn))．悟·技法1.分類加法計(jì)數(shù)原理的實(shí)質(zhì)分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，每類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事．2．使用分類加法計(jì)數(shù)原理遵循的原則有時(shí)分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個(gè)，但不論是以哪一個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏”的原則.考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理eq\x([自主練透型])4．[2016·全國(guó)卷Ⅱ]如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．95．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243B．252C．261D．2796．[2021·河北定州模擬]將“?！薄暗摗薄皦邸比齻€(gè)字填入如圖所示的4×4小方格中，每個(gè)小方格內(nèi)只能填入一個(gè)字，且任意兩個(gè)字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有()A.288種B．144種C．576種D．96種悟·技法1.分步乘法計(jì)數(shù)原理的實(shí)質(zhì)分類乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成其中的任何一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事．2．使用分步乘法計(jì)數(shù)原理的原則(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將完成這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵．從計(jì)數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù).考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用eq\x([互動(dòng)講練型])考向一：計(jì)數(shù)問題[例1]用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(用數(shù)字作答)悟·技法(1)注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)，一般是先分類再分步，在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)注意對(duì)較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.考向二：涂色問題[例2]現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對(duì)如圖所示的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A．120B．140C．240D．260悟·技法解決涂色問題(1)要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當(dāng)?shù)耐可樞颍?2)切實(shí)選擇好分類標(biāo)準(zhǔn)，分清哪些可以同色，哪些不同色.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè)B．120個(gè)C．96個(gè)D．72個(gè)2.如圖是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則有多少種不同的涂色方法()A．24B．72C．84D．120第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)重溫】①m1＋m2＋…＋mn②m1×m2×…×mn③完成一件事情④分類⑤分步⑥相互依存【小題熱身】1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：分兩步：第一步先確定橫坐標(biāo)，有3種情況，第二步再確定縱坐標(biāo)，有2種情況，因此第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6，故選C.答案：C3．解析：A城到B城到D城共有3×4＝12(條)，A城到C城到D城共有4×5＝20(條)，A城到D城共有12＋20＝32(條)．答案：324．解析：(a，b)的不同的取值共有64個(gè)，其中l(wèi)ogab＝1有8個(gè)，logab＝2有2個(gè)，logab＝eq\f(1,2)有2個(gè)，logab＝log23有2個(gè)，logab＝log32有2個(gè)，則不同取值的個(gè)數(shù)為64－7－1－1－1－1＝53.答案：535．解析：根據(jù)題意，某人參加該項(xiàng)測(cè)試，第一關(guān)有3種測(cè)試方案，即有3種測(cè)試方法，第二關(guān)有5種測(cè)試方案，即有5種測(cè)試方法，則有3×5種不同的測(cè)試方法．答案：B6．解析：Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60.答案：C課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．解析：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題：證明方法分成兩類，一是用綜合法證明，有5種選法，二是用分析法證明，有3種選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋5＝8種選法，故選A.答案：A2．解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，m>n，以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為四類：第一類：m＝5時(shí)，使m>n，n有4種選擇；第二類：m＝4時(shí)，使m>n，n有3種選擇；第三類：m＝3時(shí)，使m>n，n有2種選擇；第四類：m＝2時(shí)，使m>n，n有1種選擇．由分類加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的橢圓共有10個(gè)．答案：103．解析：分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個(gè)點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O2種不同的走法；第三類，中間過兩個(gè)點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O2種不同的走法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5(種)不同的走法．答案：5考點(diǎn)二4．解析：本題以實(shí)際生活為背景，考查乘法計(jì)數(shù)原理．從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有走法Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6種．同理從F到G，最短的走法，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝3種．∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3＝18.故選B.答案：B5．解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理知：用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252，故選B.答案：B6．解析：依題意可分為以下3步：(1)先從16個(gè)格子中任選一格放入第一個(gè)字，有16種方法；(2)因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)字既不同行也不同列，所以第二個(gè)字有9個(gè)格子可以放，有9種方法；(3)第三個(gè)字有4個(gè)格子可以放，有4種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4＝576(種)．故選C.答案：C考點(diǎn)三例1解析：要完成的“一件事”為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個(gè)位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個(gè)數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步．①第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1,3,5中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可取0,2,4,6中的任意一個(gè)，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×4×5×4＝240(種)取法．②第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2,4,6中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的任意一個(gè)偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×3×5×4＝180(種)取法．③根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共可以組成240＋180＝420(個(gè))無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．答案：420例2解析：由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，到C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)，故選D.答案：D變式練1．解析：由題意可得，比40000大的五位數(shù)萬位只能是4或5，當(dāng)萬位是4時(shí)，由于該五位數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位只能從0或2中任選一個(gè)，其余三位數(shù)字從剩下的四個(gè)數(shù)中任選三個(gè)，有2×4×3×2＝48(種)情況；當(dāng)萬位是5時(shí)，由于該五位數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位只能從0,2或4中任選一個(gè)，其余三位數(shù)字從剩下的四個(gè)數(shù)中任選三個(gè)，有3×4×3×2＝72(種)情況；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足題意的數(shù)共有48＋72＝120(個(gè))．答案：B2．解析：如圖，設(shè)四個(gè)直角三角形順次為A，B，C，D，按A→B→C→D順序涂色，下面分兩種情況：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(種)．(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(種)．共有84種．故選C.答案：C第二節(jié)排列與組合【知識(shí)重溫】一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．排列與排列數(shù)(1)排列的定義：一般地，從n個(gè)①________元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的②________排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的③____________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記為Aeq\o\al(m,n).(3)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④____________.Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤__________，規(guī)定0?。?.2．組合與組合數(shù)(1)組合的定義：一般地，從n個(gè)⑥________的元素中取m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)⑦_(dá)_______元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的⑧__________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．(3)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝⑨____________＝⑩__________________________＝?__________________.(4)組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝?____________.性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝?____________(m≤n，n∈N*，m∈N*)．二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計(jì)數(shù)．2．解受條件限制的組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法)．分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)遺漏或重復(fù)．3．解組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意“至少”、“至多”、“恰好”等詞的含義．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．()(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()(3)若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立．()(4)排列定義規(guī)定給出的n個(gè)元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況．也就是說，如果某個(gè)元素已被取出，則這個(gè)元素就不再取了．()二、教材改編2．學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序，除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外，還有4個(gè)音樂節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)曲藝節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目要求不能相鄰，2個(gè)曲藝節(jié)目出場(chǎng)前后順序已定，共有________種不同排法．3．在100件產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件，其中至少有1件次品的抽法有________種．三、易錯(cuò)易混4．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A．192種B．216種C．240種D．288種5．把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．四、走進(jìn)高考6．[2018·全國(guó)卷Ⅰ]從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案)考點(diǎn)一排列問題eq\x([互動(dòng)講練型])[例1]有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰．悟·技法求解排列應(yīng)用問題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2021·甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬]某國(guó)際會(huì)議結(jié)束后，中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人也站在前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對(duì)其他國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．Aeq\o\al(18,18)種B．Aeq\o\al(20,20)種C．Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,18)Aeq\o\al(10,10)種D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)種2．[2021·福建龍巖質(zhì)檢]若用1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字中的六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字且任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性都不同的六位數(shù)，則這樣的六位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答)．考點(diǎn)二組合問題eq\x([互動(dòng)講練型])[例2]要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)男生甲和女生乙入選；(3)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選．悟·技法兩類含有附加條件的組合問題的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：若“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；若“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx?。?2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直解法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，用間接法求解.[變式練]——(著眼于舉一反三)3．[2021·安徽馬鞍山模擬]為抗擊新冠病毒，社會(huì)各界積極捐贈(zèng)醫(yī)療物資．愛心人士向某市捐贈(zèng)了6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩，現(xiàn)需將這6箱口罩分配給4家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少1箱，則不同的分法共有()A．10種B．40種C．80種D．240種4．[2021·河南洛陽尖子生聯(lián)考]某校從甲、乙、丙等8名教師中選派4名同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1名教師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，則不同的選派方案有()A．900種B．600種C．300種D．150種考點(diǎn)三排列、組合的綜合問題eq\x([互動(dòng)講練型])[例3](1)[2021·西安五校聯(lián)考]十三屆全國(guó)人大二次會(huì)議于2019年3月5日至15日在北京召開，會(huì)議期間工作人員將其中的5個(gè)代表團(tuán)人員(含A，B兩代表團(tuán))安排至a，b，c三家賓館入住，規(guī)定同一個(gè)代表團(tuán)人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個(gè)代表團(tuán)入住，若A，B兩代表團(tuán)必須安排在a賓館入住，則不同的安排種數(shù)為()A．6B．12C．16D．18(2)[2021·四省八校第二次質(zhì)量檢測(cè)]某中學(xué)《同唱華夏情，共圓中國(guó)夢(mèng)》文藝演出于2019年11月20日在學(xué)校演藝大廳開幕，開幕式文藝表演共由6個(gè)節(jié)目組成，若考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目《文明之光》必須排在前三位，且節(jié)目《一帶一路》、《命運(yùn)與共》必須排在一起，則開幕式文藝表演演出順序的編排方案共有()A．120種B．156種C．188種D．240種悟·技法解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．[注意]對(duì)于分組問題，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).[同類練]——(著眼于觸類旁通)5．[2021·山西太原五中測(cè)試]本周日有5所不同的高校來我校作招生宣傳，學(xué)校要求每位同學(xué)從中任選1所或2所去咨詢了解，甲、乙、丙三位同學(xué)的選擇沒有一所是相同的，則不同的選法共有()A．330種B．420種C．510種D．600種6．[2021·黑龍江哈爾濱六中檢測(cè)]某日5名同學(xué)去食堂就餐，有米飯、花卷、包子和面條4種主食．每種主食均至少有一名同學(xué)選擇且每人只能選擇其中一種．花卷數(shù)量不足，僅夠一人食用，甲同學(xué)因腸胃不好不能吃米飯，則不同的選擇方案種數(shù)為()A．96B．120C．132D．240[變式練]——(著眼于舉一反三)7．[2021·廣東六校聯(lián)考]從兩個(gè)不同的紅球、兩個(gè)不同的黃球、兩個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取兩個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，那么不同的放法共有()A．42種B．36種C．72種D．46種[拓展練]——(著眼于遷移應(yīng)用)8．[2021·安徽高中聯(lián)合檢測(cè)]若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和為10，則稱這個(gè)三位數(shù)為“十全十美數(shù)”，如208,136都是“十全十美數(shù)”，則這樣的“十全十美數(shù)”共有()A．32個(gè)B．64個(gè)C．54個(gè)D．96個(gè)9．?dāng)?shù)字1,2,3,4,5,6按如圖形式隨機(jī)排列，設(shè)第一行的數(shù)為N1，其中N2，N3分別表示第二、三行中的最大數(shù)，則滿足N1<N2<N3的所有排列的個(gè)數(shù)是________．第二節(jié)排列與組合【知識(shí)重溫】①不同②順序③所有不同排列④eq\f(n！,n－m！)⑤n?、薏煌卟煌嗨胁煌M合⑨eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))⑩eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)?eq\f(n！,m！n－m！)?eq\x(C\o\al(n－m,n))?Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)【小題熱身】1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：先把4個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)曲藝節(jié)目，進(jìn)行全排列Aeq\o\al(6,6)，由于2個(gè)曲藝節(jié)目出場(chǎng)前后順序已定，故有eq\f(1,2)Aeq\o\al(6,6)種排法，形成了7個(gè)空，選3個(gè)，把舞蹈節(jié)目插入，故有eq\f(1,2)Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,7)＝75600(種)．答案：756003．解析：解法一Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)＝9604(種)．解法二Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98)＝9604(種)．答案：96044．解析：第一類：甲在最左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(種)排法；第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(種)排法．所以共有120＋96＝216(種)排法．答案：B5．解析：設(shè)這5件不同的產(chǎn)品分別為A，B，C，D，E，先把產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁有Aeq\o\al(2,2)種擺法，再與產(chǎn)品D，E全排列有Aeq\o\al(3,3)種擺法，最后把產(chǎn)品C插空有Ceq\o\al(1,3)種擺法，所以共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝36(種)不同擺法．答案：366．解析：解法一按參加的女生人數(shù)分兩類，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝16(種)．解法二Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝20－4＝16(種)．答案：16課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一例1解析：(1)從7人中選5人排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)分兩步完成，先選3人站前排，有Aeq\o\al(3,7)種方法，余下4人站后排，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．(3)解法一(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種排列方法，共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600(種)．解法二(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，其他有Aeq\o\al(5,5)種排法，共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600(種)．(4)(捆綁法)將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再將女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．(5)(插空法)先排女生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．變式練1．解析：中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，有Aeq\o\al(2,2)種站法；其他18國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有Aeq\o\al(18,18)種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)種不同的站法，故選D.答案：D2．解析：分兩步進(jìn)行，第一步，先從1,3,5,7中選3個(gè)進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(3,4)＝24種排法；第二步，將2,4,6這3個(gè)數(shù)插空排列，有2Aeq\o\al(3,3)＝12種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，這樣的六位數(shù)共有24×12＝288(個(gè))．答案：288考點(diǎn)二例2解析：(1)解法一至少有1名女生入選包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(5,5)＝771種．解法二“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”，可用間接法求解．從12人中任選5人有Ceq\o\al(5,12)種選法，其中全是男代表的選法有Ceq\o\al(5,7)種．所以“至少有1名女生入選”的選法有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)＝771種；(2)男生甲和女生乙入選，即只要再?gòu)某猩缀团彝獾?0人中任選3名即可，故有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,10)＝120種選法；(3)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的反面是“兩人都不入選”，即從其余10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，所以“男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選”的選法數(shù)為Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,10)＝540種．變式練3．解析：根據(jù)題意，將6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩分成四份，每一份依次對(duì)應(yīng)一家醫(yī)院即可．將6箱相同規(guī)格的醫(yī)用外科口罩排成一排，其中間有5個(gè)空位，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，插入擋板，即可將其分為四份，則有Ceq\o\al(3,5)＝10種分組方法，故選A.答案：A4．解析：第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，再?gòu)氖Ｓ嗟?名教師中選2名，不同的選派方案有Ceq\o\al(2,5)×Aeq\o\al(4,4)＝240(種)；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，從乙和剩余的5名教師中選4名，不同的選派方案有Ceq\o\al(4,6)×Aeq\o\al(4,4)＝360(種)．所以不同的選派方案共有240＋360＝600(種)，故選B.答案：B考點(diǎn)三例3解析：(1)如果僅有A，B兩代表團(tuán)入住a賓館，則余下3個(gè)代表團(tuán)必有2個(gè)入住同一個(gè)賓館，此時(shí)不同的安排種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6.如果A，B兩代表團(tuán)及余下3個(gè)代表團(tuán)中的1個(gè)入住a賓館，則剩下2個(gè)代表團(tuán)分別入住b，c賓館，此時(shí)不同的安排種數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6.綜上，不同的安排種數(shù)為12，故選B.(2)將《一帶一路》、《命運(yùn)與共》兩個(gè)節(jié)目捆綁在一起有Aeq\o\al(2,2)種編排方案，當(dāng)《文明之光》排在第一位時(shí)，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種編排方案．當(dāng)《文明之光》排在第二位時(shí)，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種編排方案．當(dāng)《文明之光》排在第三位時(shí)，若《一帶一路》、《命運(yùn)與共》兩個(gè)節(jié)目排在前二位，則有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種編排方案；若《一帶一路》、《命運(yùn)與共》兩個(gè)節(jié)目不排在前二位，則有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種編排方案．所以編排方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝48＋36＋12＋24＝120(種)．答案：(1)B(2)A同類練5．解析：由題意，若甲、乙、丙三位同學(xué)都選1所，有Aeq\o\al(3,5)＝60種選法，若甲、乙、丙三位同學(xué)中有1人選2所，其他2人只選1所，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,3)＝180種選法，若甲、乙、丙三位同學(xué)中有2人都選了2所，1人選了1所，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝90種選法，故不同的選法共有60＋180＋90＝330(種)．答案：A6．解析：分三種情況：(1)甲選花卷，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝36種方案；(2)甲選包子或面條中的一種且只有甲一人食用，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝48種方案；(3)甲選包子或面條中的一種且有兩人食用，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝48種方案．綜上，不同的選擇方案共有36＋48＋48＝132(種)，故選C.答案：C變式練7．解析：分以下幾種情況：①取出的兩球同色時(shí)，有3種可能，取出的球只能放在與球的顏色不同的兩個(gè)袋子中，有Aeq\o\al(2,2)種不同的放法，故不同的放法共有3Aeq\o\al(2,2)＝6(種)；②取出的兩球不同色時(shí)，有一紅一黃、一紅一藍(lán)、一黃一藍(lán)3種可能，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為3Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝12(種)，取球后將兩球放入袋子中的方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)－3＝3(種)，所以不同的放法有12×3＝36(種)．綜上可得不同的放法共有42種，故選A.答案：A拓展練8．解析：分情況討論：(1)這個(gè)三位數(shù)中不含0，若這個(gè)三位數(shù)中有兩個(gè)重復(fù)數(shù)字，數(shù)字組合為(1,1,8)，(2,2,6)，(3,3,4)，(4,4,2)，則有4Ceq\o\al(1,3)個(gè)“十全十美數(shù)”，若這個(gè)三位數(shù)中的三個(gè)數(shù)字都不重復(fù)，數(shù)字組合為(1,2,7)，(1,3,6)，(1,4,5)，(2,3,5)，則有4Aeq\o\al(3,3)個(gè)“十全十美數(shù)”；(2)這個(gè)三位數(shù)中含一個(gè)0，數(shù)字組合為(1,0,9)，(2,0,8)，(3,0,7)，(4,0,6)，(5,0,5)，則有4Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋2＝18個(gè)“十全十美數(shù)”．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得“十全十美數(shù)”共有4Ceq\o\al(1,3)＋4Aeq\o\al(3,3)＋18＝54個(gè)．答案：C9．解析：(元素優(yōu)先法)由題意知6必在第三行，安排6有Ceq\o\al(1,3)種方法，第三行中剩下的兩個(gè)空位安排數(shù)字有Aeq\o\al(2,5)種方法，在留下的三個(gè)數(shù)字中，必有一個(gè)最大數(shù)，把這個(gè)最大數(shù)安排在第二行，有Ceq\o\al(1,2)種方法，剩下的兩個(gè)數(shù)字有Aeq\o\al(2,2)種排法，按分步乘法計(jì)數(shù)原理，所有排列的個(gè)數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝240.答案：240第三節(jié)二項(xiàng)式定理【知識(shí)重溫】一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝①______________________________________.這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做②________________________.式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫做二項(xiàng)展開式的③________，用Tr＋1表示，即展開式的第④________項(xiàng)；Tr＋1＝⑤____________.2．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)每一項(xiàng)的次數(shù)之和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為⑥________.(3)字母a按⑦_(dá)_______排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按⑧________排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從⑨______________，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，⑩____________.3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端?________的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當(dāng)?________時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)?________時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)?________取得最大值．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)?________和?________相等，且同時(shí)取得最大值．(3)二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即?__________________________________________＝2n.二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝?________.二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)1．要把“二項(xiàng)式系數(shù)的和”與“各項(xiàng)系數(shù)和”，“奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)和”嚴(yán)格地區(qū)別開來．2．應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)常用到根式與冪指數(shù)的互化，容易出錯(cuò)．3．通項(xiàng)公式是第r＋1項(xiàng)而不是第r項(xiàng)．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)Ceq\o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n的展開式中的第r項(xiàng)．()(2)(a＋b)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)．()(3)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)．()(4)(a＋b)n某項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不一定相同．()二、教材改編2．(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于()A．80B．40C．20D．103．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A．10B．20C．30D．120三、易錯(cuò)易混4．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為________．5．(x＋1)5(x－2)的展開式中x2的系數(shù)為________．四、走進(jìn)高考6．[2020·天津卷]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展開式中，x2的系數(shù)是________．考點(diǎn)一求展開式中的指定項(xiàng)或特定項(xiàng)[自主練透型]1．在(eq\r(x)－2)5的展開式中，x2的系數(shù)為()A．－5B．5C．－10D．102．[2020·全國(guó)卷Ⅰ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A．5B．10C．15D．203．[2021·合肥市高三調(diào)研性檢測(cè)](x－eq\f(1,x)＋1)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．1B．11C．－19D．51悟·技法解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)系數(shù)的和問題eq\x([互動(dòng)講練型])[例1](1)[2020·鄭州高中質(zhì)量預(yù)測(cè)]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為321，則x2的系數(shù)為()A．50B．70C．90D．120(2)[2020·浙江卷]二項(xiàng)展開式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝________，a1＋a3＋a5＝________.悟·技法1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法；只需令x＝1即可；對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).[變式練]——(著眼于舉一反三)1．[2021·福州市高三質(zhì)量檢測(cè)]若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，則a0＝()A．－32B．－2C．1D．322．[2021·浙江七彩聯(lián)盟聯(lián)考]若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(x))))n的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A．10B．－10C．5D．－5考點(diǎn)三二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最值問題[互動(dòng)講練型][例2](y－eq\f(2,x2))6的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第________項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)為________．悟·技法求解二項(xiàng)式系數(shù)或展開式系數(shù)的最值問題的一般步驟第一步，求系數(shù)的最大值問題，要先弄清所求問題是“展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大”“二項(xiàng)式系數(shù)最大”以及“最大項(xiàng)”三者中的哪一個(gè)；第二步，若是求二項(xiàng)式系數(shù)最大值，則依據(jù)(a＋b)n中n的奇偶及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解．若是求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值，由于展開式中項(xiàng)的系數(shù)是離散型變量，設(shè)展開式各項(xiàng)的系數(shù)分別為A1，A2，…An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，因此在系數(shù)均為正值的前提下，求展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最大值只需解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得結(jié)果.[變式練]——(著眼于舉一反三)3．[2020·遼寧營(yíng)口模擬](1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是()A．第eq\f(n,2)＋1項(xiàng)B．第n項(xiàng)C．第n＋1項(xiàng)D．第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng)考點(diǎn)四證明整除或求余數(shù)問題eq\x([互動(dòng)講練型])[例3]設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512016＋a能被13整除，則a＝()A．0B．1C．11D．12悟·技法利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí)，基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可．因此，一般將被除式化為含有相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開，此時(shí)常用“配湊法”、“消去法”結(jié)合有關(guān)整除知識(shí)來處理.[變式練]——(著眼于舉一反三)4．今天是星期一，過了22019天后是星期幾？第三節(jié)二項(xiàng)式定理【知識(shí)重溫】①Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)②二項(xiàng)式系數(shù)③通項(xiàng)④r＋1⑤Ceq\o\al(r,n)an－rbr⑥n⑦降冪⑧升冪⑨Ceq\o\al(0,n)⑩Ceq\o\al(n,n)?“等距離”?k＜eq\f(n＋1,2)?k＞eq\f(n＋1,2)?Ceq\f(n,2)n?Ceq\f(n－1,2)n?Ceq\f(n＋1,2)n?Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)?2n－1【小題熱身】1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(2x)k＝Ceq\o\al(k,5)2kxk，當(dāng)k＝2時(shí)，x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)·22＝40.答案：B3．解析：二項(xiàng)式系數(shù)之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k，當(dāng)6－2k＝0，即當(dāng)k＝3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.答案：B4．解析：因?yàn)樗卸?xiàng)式系數(shù)的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))5中，令x＝1可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為(－1)5＝－1.答案：－15．解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5，展開式中含有x2的項(xiàng)為Ceq\o\al(1,5)x2－2Ceq\o\al(2,5)x2＝－20x2＋5x2＝－15x2，故x2的系數(shù)為－15.答案：－156．解析：二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·x5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))r＝Ceq\o\al(r,5)·2r·x5－3r.令5－3r＝2得r＝1.因此，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展開式中，x2的系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)·21＝10.答案：10課堂考點(diǎn)突破考點(diǎn)一1．解析：由二項(xiàng)式定理得(eq\r(x)－2)5的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(eq\r(x))5－r(－2)r＝Ceq\o\al(r,5)(－2)r，令eq\f(5－r,2)＝2，得r＝1，所以T2＝Ceq\o\al(1,5)(－2)x2＝－10x2，所以x2的系數(shù)為－10，故選C.答案：C2．解析：要求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)，只要分別求出(x＋y)5的展開式中x2y3和x4y的系數(shù)再相加即可，由二項(xiàng)式定理可得(x＋y)5的展開式中x2y3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)＝10，x4y的系數(shù)為Ceq\o\al(1,5)＝5，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為10＋5＝15.故選C.答案：C3．解析：通解(x－eq\f(1,x)＋1)5＝[1＋(x－eq\f(1,x))]5，則其展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(x－eq\f(1,x))k(其中k＝0,1,2,3,4,5)．要求原式展開式中的常數(shù)項(xiàng)，則需求(x－eq\f(1,x))k的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．因?yàn)?x－eq\f(1,x))k的展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,k)xk－r(－eq\f(1,x))r＝(－1)rCeq\o\al(