常州高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第2頁/共24頁2021-2022學(xué)年江蘇省常州高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知可得：.A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)不符合題意；B：因?yàn)椋员具x項(xiàng)不符合題意；C：因?yàn)椋员具x項(xiàng)不符合題意；D：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)符合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個(gè)平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2.某集團(tuán)校為調(diào)查學(xué)生對(duì)學(xué)?！把訒r(shí)服務(wù)”的滿意率，想從全市3個(gè)分校區(qū)按學(xué)生數(shù)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本．已知3個(gè)校區(qū)學(xué)生數(shù)之比為，如果最多的一個(gè)校區(qū)抽出的個(gè)體數(shù)是60，那么這個(gè)樣本的容量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣比求解.【詳解】因?yàn)闃颖救萘繛?，?個(gè)校區(qū)學(xué)生數(shù)之比為，最多的一個(gè)校區(qū)抽出的個(gè)體數(shù)是60，所以，解得，故選：B3.某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量從小到大分別為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為（）A.58 B.60 C.61 D.62【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)定義可得答案.【詳解】注意到，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為第9，第10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為.故選：C4.已知圓錐的表面積為6，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)底面半徑為，側(cè)面展開圖半徑為；底面周長(zhǎng)等于側(cè)面半圓周長(zhǎng)，即選A5.已知直線m，n是平面的兩條斜線，若m，n為不垂直的異面直線，則m，n在平面內(nèi)的射影（）A.不可能平行，也不可能垂直 B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，但不可能平行 D.可能平行，也可能垂直【答案】D【解析】【分析】如圖，借助正方體分析可以判斷.【詳解】如圖，在正方體中，即為，為，底面為平面，則m，n在平面內(nèi)的射影和垂直；如圖，在正方體中，即為，為，底面為平面，則m，n在平面內(nèi)的射影和平行；綜上，m，n在平面內(nèi)的射影可能平行，也可能垂直.故選：D.6.已知數(shù)據(jù)，，……，的均值為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A.2，3 B.7，6 C.7，12 D.4，12【答案】C【解析】【分析】利用平均數(shù)和方差的求法分別列式，求出平均數(shù)和方差．【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的均值為2，所以，所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：；則原數(shù)據(jù)的方差為：，則新數(shù)據(jù)的方差為：．故選：C．7.在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，此時(shí)二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由線面垂直的性質(zhì)與判定可證得平面，進(jìn)而得到，設(shè)，，，利用勾股定理可得關(guān)于的方程，由方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，由求得的值；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.詳解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；設(shè)，，，，，，，即，關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，對(duì)稱軸為，，解得：，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，軸平面，平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角余弦值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用向量法求解二面角的問題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證得，從而利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)其根的分布可求得和的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到利用向量法求解時(shí)所需的線段長(zhǎng)度.8.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且邊上的高為，則取得最大值時(shí)，內(nèi)角的值為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：以所在直線為軸，以的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系如下圖所示：則,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為則，即其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，由對(duì)稱性可知：設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)和時(shí)都取得最大值；即當(dāng)時(shí)，取得最大值；此時(shí)，，即,所以,故選D.考點(diǎn)：1、基本不等式；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、平面向量的數(shù)量積.二、多項(xiàng)選擇題.本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分.部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知甲、乙兩個(gè)水果店在“十一黃金周”七天的水果銷售量統(tǒng)計(jì)如圖所示．則下列說法正確的是（）A.甲組數(shù)據(jù)的極差大于乙組數(shù)據(jù)的極差B.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)C.甲組數(shù)據(jù)的方差大于乙組數(shù)據(jù)的方差D.甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提供的數(shù)據(jù)確定極差、平均數(shù)、方差、中位數(shù)然后判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意，甲的極差不大于30，而乙的極差大于30，A錯(cuò)；只有第2天數(shù)據(jù)甲比乙小，其他甲都比乙大，而小的很少，第一天數(shù)據(jù)甲比乙大得就很多，因此甲平均數(shù)大于乙平均數(shù)，B正確；由折線圖，甲數(shù)據(jù)與平均數(shù)偏差較小，乙數(shù)據(jù)與平均數(shù)偏差較大，甲方差應(yīng)小于乙的方差，C錯(cuò)；把各自數(shù)據(jù)按從小到大排列，知甲的中位數(shù)大于90，乙的中位數(shù)小于60，D正確．故選：BD．10.（多選）在試驗(yàn)“某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記錄訂閱的情況”中，事件表示“只訂甲報(bào)”，事件表示“至少訂一種報(bào)”，事件表示“至多訂一種報(bào)”，事件表示“不訂甲報(bào)”，事件表示“一種報(bào)紙也不訂”，則（）A.與是互斥事件B.與互斥事件，也是對(duì)立事件C.與不是互斥事件D.與是互斥事件，但不是對(duì)立事件【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，利用列舉法分別列出試驗(yàn)的樣本空間、事件、事件、事件、事件和事件，再根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)果.【詳解】解：試驗(yàn)的樣本空間為{（只訂甲），（只訂乙），（訂甲和乙），（都不訂）}，事件{（只訂甲）}，事件{（只訂甲），（只訂乙），（訂甲和乙）}，事件{（只訂甲），（只訂乙），（都不訂）}，事件{（只訂乙），（都不訂）}，事件{（都不訂）}，因?yàn)榘?，所以與不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，且，所以與是互斥事件，也是對(duì)立事件，故B正確；因?yàn)?，所以與不是互斥事件，故C正確；因?yàn)?，所以與不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11.如圖，已知圓O內(nèi)接四邊形ABCD中，，則下列說法正確的是（）.A. B.四邊形ABCD的面積為8C.該外接圓的直徑為 D.【答案】ABD【解析】【分析】A，連接BD，設(shè)，由結(jié)合余弦定理可得，即可得；B，由A分析結(jié)合面積公式可判斷選項(xiàng)正誤；C，由正弦定理可判斷選項(xiàng)正誤；D，注意到，后由數(shù)量積幾何意義可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，連接BD，設(shè)，由題可得，則.則由余弦定理：，則，故A正確；B選項(xiàng)，四邊形ABCD的面積，故B正確.C選項(xiàng)，注意到三角形BCD外接圓為圓O，則由正弦定理，外接圓直徑為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，取BD，BC中點(diǎn)為F，G，由垂徑定理結(jié)合向量數(shù)量積幾何意義可知，故D正確.故選：ABD12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化B.異面直線與所成角的取值范圍是C.直線平面D.三棱錐的外接球表面積的最小值為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，由平面，即直線上任意點(diǎn)到平面的距離相等；對(duì)于B選項(xiàng)，為正三角形，則當(dāng)且僅當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，，即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，證明平面即可，對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，外接球半徑最小，計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以平面，所以，為定值，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)闉檎切?，與所成角的范圍為，即B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，易知，，，，，則平面平面，可知平面，平面，即C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，易知當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，外接球半徑最小，此時(shí)設(shè)的中心為，的中心為，的中點(diǎn)為，則，，，則易知，所以最小球即為以為球心，半徑，表面積，即D錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，則與共線且方向相反的單位向量的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題可得，據(jù)此可得答案.【詳解】設(shè)，因與反向，則，又為單位向量，則，即.故答案為：14.如圖，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F(xiàn)分別是棱AB，的中點(diǎn)，E為棱AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DEF周長(zhǎng)的最小值為_____．【答案】+2##【解析】【分析】由正三棱柱的性質(zhì)可得：AB，AC．在RtADF中，利用勾股定理可得DF＝2．因此只要求出DE+EF的最小值即可．把底面ABC展開與側(cè)面在同一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線時(shí)，DE+EF取得最小值．再利用余弦定理求解．【詳解】解：由正三棱柱，可得底面ABC，∴AB，AC．在RtADF中，DF＝＝2．把底面ABC展開與側(cè)面在同一個(gè)平面，如圖所示，只有當(dāng)三點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一條直線時(shí)，DE+EF取得最小值．在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：DF＝＝．∴DEF周長(zhǎng)的最小值＝+2．故答案為：+2．15.如圖，在中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則的余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的加減法運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題可得，，，所以，，，所以，故答案為:.16.正方體的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)為球心，為半徑作一個(gè)球，則球面與正方體的表面相交所得到的所有弧長(zhǎng)之和等于________【答案】.【解析】【詳解】球面與正方體的六個(gè)表面都相交，所得交線分為兩類：一類在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)表面上，三弧長(zhǎng)相等，另一類在不過頂點(diǎn)A的三個(gè)表面上，三弧長(zhǎng)相等．如圖．在平面上的交線為弧EF，且在過球心A的大圓上，因?yàn)锳E=2，,所以，同理，則，所以在頂點(diǎn)A所在的三個(gè)表面上的三弧長(zhǎng)的和為；在平面上的交線為FG，且在距球心為的平面與球面相交所得的小圓上，小圓圓心為B，半徑為1，，則在不過頂點(diǎn)A的三個(gè)表面上的三弧長(zhǎng)的和為．所以所得曲線長(zhǎng)為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)．求證：（1）∥平面；（2）平面⊥平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用線面平行的判定定理推證；(2)借助題設(shè)運(yùn)用面面垂直的判定定理推證.【詳解】（1）連交于，連，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以又平面平面，所以平面（2）因?yàn)槠矫妫杂?，所以平面，所以同理可證，又于，所以平面，因?yàn)椋云矫?，又平面，所以平面平面?8.如圖，在中，，.為邊上的中線，O為上的一點(diǎn)，且，過O點(diǎn)的直線與邊，（不含端點(diǎn)）分別交于E，F(xiàn)，設(shè).（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由D為BC中點(diǎn)，結(jié)合可得，后由O，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線可得答案；（2）以為基底表示，結(jié)合可得，結(jié)合（1）可得，即可得答案.【小問1詳解】∵D為BC中點(diǎn)，.，又O，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴，∴；【小問2詳解】.注意到，則.又，則.則.19.1.第32屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2021年7月23日至8月8日在日本東京舉辦，某國男子乒乓球隊(duì)為備戰(zhàn)本屆奧運(yùn)會(huì)，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對(duì)抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，通過分析甲、乙過去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．（1）求該局打4個(gè)球甲贏的概率；（2）求該局打5個(gè)球結(jié)束的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，然后分析這4個(gè)球的發(fā)球者及輸贏者，即可得到所求事件的構(gòu)成，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求解；（2）先將所求事件分成甲贏與乙贏這兩個(gè)互斥事件，再分析各事件的構(gòu)成，利用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求得概率．【小問1詳解】設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個(gè)球甲贏為事件C，由題知，，，∴，∴，∴該局打4個(gè)球甲贏的概率為．【小問2詳解】設(shè)該局打5個(gè)球結(jié)束時(shí)甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個(gè)球結(jié)束為事件F，易知D，E為互斥事件，，，，∴，，∴，∴該局打5個(gè)球結(jié)束的概率為．20.如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進(jìn)行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點(diǎn)為F．（1）證明：平面ABC．（2）若，二面角D-AC-E為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，證明四邊形DEGF是平行四邊形,然后利用線面垂直的判定定理證明平面ABC,從而得到平面ABC.（2）（方法一）過點(diǎn)E作，以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè),求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知條件可得長(zhǎng)，然后利用線面角的向量公式求解即可；（方法二）連接DG，可證得，可得長(zhǎng)，過點(diǎn)F作，垂足為I，利用線面垂直及面面垂直的性質(zhì)可得平面ACD，連接AI，則∠FAI即為所求角，在三角形中計(jì)算可得答案.【小問1詳解】如圖，取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，由已知得，且．因?yàn)镕，G分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以，且所以，且．所以四邊形DEGF是平行四邊形．所以．因?yàn)榉鄣?，易知．所以翻折后，．又因?yàn)椋珽A，平面AEC，所以平面AEC．因?yàn)?，所以平面AEC．因?yàn)槠矫鍭EC，所以．因?yàn)锳CE是等邊三角形，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，所以又因?yàn)椋珹C，平面ABC．所以平面ABC．因?yàn)椋云矫鍭BC．【小問2詳解】（方法一）如圖，過點(diǎn)E作，以E為原點(diǎn)，EH、EC，ED所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè)，則，，，，則，，，因?yàn)槠矫鍭EC．所以是平面AEC的法向量，設(shè)面ACD的法向量為，則，即，解得．取，得．因?yàn)槎娼荄-AC-E為，所以，解得，所以，．記直線AB與平面ACD所成角為，則，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．（方法二）如圖，連接DG，因?yàn)槠矫鍭EC，平面AEC，所以．又因?yàn)?，，DE，平面DEG．所以平面DEC．因?yàn)镋G，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．由△ACE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，得，在RtDGE中，，所以，．過點(diǎn)F作，垂足為I，因?yàn)槠矫鍰EGF，平面ACD，所以平面平面ACD．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面DEGF，且，所以平面ACD．連接AI，則∠FAI即為直線AB與平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，，，得，由等面積法得，解得．在RtAFG中，，，所以．在RtFAI中，，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．21.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，判斷ABC的形狀；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在ABC，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)