第2章 二次函數(shù)最值問題復(fù)習(xí)題 北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)專題訓(xùn)練(含解析)

二次函數(shù)復(fù)習(xí)題--最值問題1．已知拋物線，其頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若直線：與拋物線第一象限交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的值；（3）若有兩個(gè)定點(diǎn)，，請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)，使得的周長最小，并求出周長的最小值．2．已知拋物線（a，b為常數(shù)，）與x軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且過點(diǎn)．(1)求拋物線解析式和點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P在該拋物線上（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的面積的最大值；②連接BD，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．已知：如圖，是等腰直角三角形，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，方向勻速移動(dòng)，P的速度是，Q的速度是，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，是直角三角形？（2）問：是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形的面積與面積差最??？如果存在，求出相應(yīng)的t值；不存在，說明理由；（3）設(shè)的長為，試確定y與t之間的關(guān)系式；寫出當(dāng)t分別為何值時(shí)，達(dá)到最短和最長，并寫出的最小值和最大值．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交雙曲線于點(diǎn)拋物線過點(diǎn)B，且與該雙曲線交于點(diǎn)D，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為．（1）求雙曲線與拋物線的解析式．（2）若點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為該雙曲線上一點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為，求線段的長．（3）若點(diǎn)M沿直線從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，再沿雙曲線從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D．過點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)線段的長度為d，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d的最大值，以及d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．5．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C．(1)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為_______；(2)P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q．①當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形面積最大，并說明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的斜邊在x軸上，．拋物線過點(diǎn)O，A，B．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，以為一邊，在的右側(cè)作矩形．①若，求矩形面積的最大值；②若，矩形與等腰重疊部分為軸對(duì)稱圖形，求m的取值范圍．7．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1，0)，C(2，3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．8．如圖，拋物線(t＞0)與x軸的交點(diǎn)為B，A(點(diǎn)B在左邊)，過線段OA的中點(diǎn)M作MPx軸，交直線(x＞0)于點(diǎn)P.(1)當(dāng)t＝3時(shí)，直線MP于拋物線對(duì)稱軸之間的距離為______；當(dāng)直線MP于拋物線對(duì)稱軸距離為3時(shí)，t＝______.(2)把拋物線在直線MP左側(cè)部分的圖像(含與直線MP的交點(diǎn))記為，用t表示最高點(diǎn)的坐標(biāo).(3)在(2)的條件下，當(dāng)t＞4時(shí)，圖像的最高點(diǎn)與P之間的距離何時(shí)有最大值，并求出最大值.9．如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，連結(jié)AC，BC．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷三角形ABC的形狀，并說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)P是該拋物線在第一象限內(nèi)上的一點(diǎn)．①過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，若CP=CE，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②連結(jié)AP交BC于點(diǎn)F，求的最大值．10．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直角梯形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，過點(diǎn)O且以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以Q為圓心的圓同時(shí)與y軸、直線OP相切．若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)M為線段OP上一動(dòng)點(diǎn)（不與O點(diǎn)重合），過點(diǎn)O、M、D的圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)N．求證：OM+ON為定值．（4）在y軸上找一點(diǎn)H，使∠PHD最大．試求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．11．已知：如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為，平行于軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），根據(jù)對(duì)稱性恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)為直角三角形時(shí)，就稱為該拋物線的“完美三角形”．（1）①如圖2，求出拋物線的“完美三角形”斜邊的長；②拋物線與的完美三角形的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是______；（2）若拋物線的“完美三角形”的斜邊長為4，求的值；（3）若拋物線的“完美三角形”斜邊長為，且的最大值為1，求，的值．12．在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定：拋物線的伴隨直線為．例如：拋物線的伴隨直線為，即．（1）在上面規(guī)定下，拋物線的頂點(diǎn)為，伴隨直線為；（2）若頂點(diǎn)在第一象限的拋物線與其伴隨直線相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線與x軸交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．①若求的值；②如果點(diǎn)是直線BC上方拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積記為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求的值．13．如圖1，正方形中，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且．(1)填空：PE的長為______；(2)如圖2，過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)H，延長FP交AB于點(diǎn)G，求證：；(3)若點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動(dòng)，直線PE與直線CD交于點(diǎn)M，其他條件不變，則PM的長為______；(4)若點(diǎn)P為正方形對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．14．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中的拋物線交軸于點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得的周長最??？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？若存在，求出面積的最大值．若沒有，請(qǐng)說明理由．15．已知拋物線（b、c為常數(shù)），若此拋物線與某直線相交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)為D(1)求拋物線的函數(shù)解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，H關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在第二象限內(nèi)，且取得最小值時(shí)，求n的值16．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，AF．(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，求出此時(shí)△AFP面積的最大值；(3)如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P，Q，給出如下定義：若P，Q為某個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且邊PQ上的高h(yuǎn)，滿足h＝PQ，則稱該三角形為點(diǎn)P，Q的“完美三角形”．(1)如圖1，已知點(diǎn)A，B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，AB＝3，BC＝6，∠OBC＝30°，試判斷△ABC是否是點(diǎn)A，B的“完美三角形”，并說明理由；(2)如圖2，已知A（4，0），點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C在直線y＝2x﹣5上，若Rt△ABC是點(diǎn)A，B的“完美三角形”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)已知直線y＝x+2與拋物線y＝x2交于R，S兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段RS下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，△RSN為點(diǎn)R，S的“完美三角形”，直接寫出M，N兩點(diǎn)之間距離的最小值．18．如圖，已知拋物線的解析式為，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交點(diǎn)于點(diǎn)C．(1)請(qǐng)分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；(2)連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，請(qǐng)求出使最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并請(qǐng)直接寫出的最大值．19．正方形ABCD邊長為2，點(diǎn)E、F在CB、DC延長線上，且BE=CF，AE與BF延長線交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證AE⊥BF；(2)如圖2，點(diǎn)M是FG延長線上一點(diǎn)，MG=BG，∠MAD的平分線交BF于點(diǎn)N，連接CN．試探究AN、CN、BN三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，G為BC上一點(diǎn)，過G作GH⊥DG交AB于H點(diǎn)，當(dāng)BG=____，BH達(dá)到最大值，最大值是____．20．如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（-3，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸的平行線，與交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)F．①連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；②探究是否存在點(diǎn)D使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為等腰△ABC底邊BC上的高，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，已知直線AB的解析式為y=x+2(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E為拋物線上位于直線AC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EN⊥x軸交直線AC于點(diǎn)N，點(diǎn)M（5，b）是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段EN的長度最大時(shí)，求PE+PM的最小值．(3)點(diǎn)H是射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DH的垂線交射線AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作OC的垂線交拋物線于點(diǎn)F，直接寫出H點(diǎn)坐標(biāo)為何值時(shí)，CG的長為，并寫出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．22．拋物線交軸于，兩點(diǎn)在的左邊），交軸于，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)，AC為邊的的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．(3)如圖2，為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，y軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，求的最大值；23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，OB=3OA，與y軸交于C點(diǎn)，對(duì)稱軸是x=1，D為拋物線頂點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)．(2)連接AD，交y軸于點(diǎn)E，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．Q是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)點(diǎn)，是否存在以B，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖，點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，連接AP、BE交于點(diǎn)G，設(shè)，則w有最大值還是最小值？w的最值是多少？(4)已知點(diǎn)C和M關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)N在直線BC上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．答案1．解：（1）將點(diǎn)代入得：，解得，；（2）由題意得：解得：或，結(jié)合題意可得：頂點(diǎn)而，故，連接并延長至點(diǎn)，使，則是的中垂線，連接交軸于點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得：點(diǎn)，則，則，設(shè)為：則，解得：，所以直線的函數(shù)表達(dá)式為：，故點(diǎn)，在中，，，，過點(diǎn)作與點(diǎn)，設(shè)：，則，則，解得：，則，故，即：；（3）作直線，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，則，而，即，而（點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），故的最小值為，而，故周長的最小值為：．2．（1）解：把點(diǎn)，點(diǎn)代入，可得：，解得∴拋物線解析式為，，∴頂點(diǎn)．把代入在，得，∴點(diǎn)．（2）解：由題意可知點(diǎn)P坐標(biāo)為，①如圖，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)直線BC的解析式為，將，點(diǎn)代入，得，解得．∴直線BC的解析式為．∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由題意可知，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴．∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為．②存在．如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的上方，且時(shí)，則，設(shè)直線DB的解析式為，將，點(diǎn)代入，得，解得．∴直線BD的解析式為．∵，∴設(shè)直線PC的解析式為．∵，∴．∴．∴直線PC的解析式為．∴．解得，（舍）．當(dāng)時(shí)，．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，設(shè)直線PC與BD交于點(diǎn)M，∵，∴．設(shè)，∵，，∴解得．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．由點(diǎn)和點(diǎn)可得直線CM的解析式為，由，解得，（舍）．所以點(diǎn)．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．3．解：（1）由題可得：，，，，．①當(dāng)時(shí)，如圖1，，，．，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖2，同理可得：，，解得：；綜上所述；當(dāng)為1或時(shí)，是直角三角形．（2）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，作于，如圖3所示：，是等腰直角三角形，，的面積，四邊形的面積的面積的面積，四邊形的面積的面積，當(dāng)時(shí)，面積差最小，但是，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，作于，如圖4所示：，是等腰直角三角形，，的面積，四邊形的面積的面積的面積，四邊形的面積的面積，當(dāng)時(shí)，面積差最??；因此，存在某一時(shí)刻，使四邊形的面積與面積差最小，；（3）根據(jù)題意得：時(shí)，存在的值，使最短，；理由如下：如圖3所示：，，由勾股定理得：，∴y=，當(dāng)時(shí)，y的最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，最短，最小值；當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)，恰好到達(dá)，此時(shí)秒，的最大值．4．解：（1）令，則，解得，令，則，所以，點(diǎn)，，時(shí)，，所以，點(diǎn)，設(shè)雙曲線解析式為，則，解得，所以，雙曲線解析式為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，解得，點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)、，，解得，拋物線的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，整理得，，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或；（3）①點(diǎn)在上時(shí)，，，隨的增大而減小，②點(diǎn)在上時(shí)，，，時(shí)，有最大值為，時(shí)，隨的增大而減小，③點(diǎn)在上時(shí)，，，由圖可知，隨的增大而減小，綜上所述，的最大值是，，，時(shí)，隨的增大而減?。?．（1）解：聯(lián)立兩直線解析式可得，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把、、三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，拋物線解析式為，故答案為：；（2）①當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，則，直線解析式為，直線解析式為，聯(lián)立拋物線解析式可得，解得或，點(diǎn)坐標(biāo)為，或，；②當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大．理由如下：如圖，過作，垂足為，作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，則，線段長固定不變，當(dāng)最大時(shí)，四邊形面積最大，又（固定不變），當(dāng)最大時(shí)，也最大，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，有最大值1，此時(shí)有最大值，即四邊形的面積最大．6．解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D∵等腰的斜邊在x軸上，，∴OD=DB==4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）∴AD==4∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）由拋物線過點(diǎn)O，A，B，設(shè)拋物線的解析式為將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得解得：∴拋物線的解析式為；（2）①設(shè)拋物線與直線的右交點(diǎn)為C，聯(lián)立解得：或∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，3）當(dāng)0≤m＜6時(shí)，如下圖所示，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，）∴EF=－=∴S矩形EFGH=FG·EF==∵＜0∴當(dāng)m=3時(shí)，S矩形EFGH有最大值，最大值為；當(dāng)6≤m≤8時(shí)，如下圖所示∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，）∴EF=－=∴S矩形EFGH=FG·EF==，對(duì)應(yīng)拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線m=3，∴在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大∵6≤m≤8∴當(dāng)m=8時(shí)，S矩形EFGH有最大值，最大值為8；∵＜8∴矩形面積的最大值為8；②（i）當(dāng)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，如下圖所示，此時(shí)，m＋≤4，即m≤，若矩形與等腰重疊部分為軸對(duì)稱圖形，易知此時(shí)四邊形為正方形∴EF=FG∴=解得：m1=，m2=（不符合前提，舍去）∴此時(shí)m=；（ii）當(dāng)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)中，E、F在拋物線對(duì)稱軸左側(cè)、G、H在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，如下圖所示，此時(shí)，m≤4且m＋＞4，即＜m≤4，若矩形與等腰重疊部分為軸對(duì)稱圖形，易知此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸直線x=4也是矩形的對(duì)稱軸∴此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)m=4－FG=；（iii）當(dāng)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，且H在AB左側(cè)時(shí)，如下圖所示，矩形與等腰重疊部分為直角梯形，不可能是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，舍去；（iiii）當(dāng)點(diǎn)H落在AB上時(shí)，設(shè)直線與AB交于點(diǎn)M，∵EH∥OB∴∠EHA=∠OBA=45°∴矩形與等腰重疊部分為等腰直角三角形，即為軸對(duì)稱圖形∴此時(shí)符合題意設(shè)直線AB的解析式為y=kx＋b將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，得解得：∴直線AB的解析式為y=-x＋8由點(diǎn)E（m，）∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m＋，），代入y=-x＋8中，得=-（m＋）＋8解得：m=聯(lián)立解得：∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）由下圖可知：從點(diǎn)H落在AB上到點(diǎn)E與點(diǎn)M重合之前，矩形與等腰重疊部分為等腰直角三角形，即為軸對(duì)稱圖形∴此時(shí)符合題意∴≤m＜；（iiiii）當(dāng)m≥，即點(diǎn)E和點(diǎn)M重合或點(diǎn)E在點(diǎn)M右側(cè)時(shí)，如下圖所示，矩形與等腰無重疊部分，故不符合題意，舍去；綜上：m=或m=或≤m＜．7．解：（1）將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+2x+3．設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+a（k≠0），將A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+1．（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+1＝2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x+1）．分兩種情況考慮（如圖1）：①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x+3）．∵點(diǎn)F在拋物線上，∴x+3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝1（舍去），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x﹣1）．∵點(diǎn)F在拋物線上，∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，解得：，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）或（，）．綜上：滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），（）或（，）．（3）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸，垂足為N，如圖2所示．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0）．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3，∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，．∴當(dāng)x＝時(shí)，S△APC取得最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）．8．解：(1)時(shí)，=，當(dāng)y=0時(shí)，解得x1=3，x2=-1，∴∴直線MP：∵對(duì)稱軸∴距離為.=，當(dāng)y1=0時(shí)，解得x1=t，x2=-t-4，∴∴∴直線MP：.對(duì)稱軸：.∵，∴，∴.(2)直線MP：對(duì)稱軸：①當(dāng)，時(shí)，∴坐標(biāo)為②當(dāng)，時(shí)，∴坐標(biāo)為③當(dāng)，時(shí)，∴坐標(biāo)為綜上所述：0<t<4時(shí)，(t-2，2)，t=4時(shí)，(2，2)，t>4時(shí)，(，)；(3)t>4時(shí)，最高點(diǎn)D坐標(biāo)為P點(diǎn)坐標(biāo)為∴無最大值9．（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣8）．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，4），∴﹣16a=4，解得a=﹣．∴拋物線的解析式為y=﹣（x+2）（x﹣8）=x2+x+4．∵A（﹣2，0）、B（8，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為x=3．∵將x=3代入得：y=，∴拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，）．（2）三角形ABC是直角三角形，理由如下：∵AB=10，AC=2，BC=4，∴AC2+BC2=AB2．∴∠BCA=90°，所以三角形ABC是直角三角形.(3)①如圖1所示：作CM⊥PE，垂足為M．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b．∵將B、C的坐標(biāo)代入得：，解得k=﹣，b=4，∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m+4），則點(diǎn)E（m，﹣m+4），M（m，4）．∵PC=EC，CM⊥PE，∴PM=EM．∴﹣m2+m+4﹣4=4﹣（﹣m+4），解得：m=0（舍去），m=4．∴P（4，6）．②作PN⊥BC，垂足為N．由①得：PE=﹣m2+2m．∵PE∥y軸，PN⊥BC，∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴=．∴PN=PE=（﹣m2+2m）．由（2）知∠BCA=90°，又∵∠PFN=∠CFA，∴△PFN∽△CAF．∴=﹣m2+m．∴當(dāng)m=4時(shí)，的最大值為．10．解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x?1)2＋，將（0，0）代入，得a＋＝0，a＝?，∴拋物線的解析式為y＝?(x?1)2＋，即

y＝?x2＋2x，設(shè)y＝0，則x＝0或2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∵點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，∴；（2）在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)Q，使以Q為圓心的圓同時(shí)與y軸、直線OP相切，理由如下：①若⊙Q在直線OP上方，則Q與D點(diǎn)重合，此時(shí)Q1(1，)；②若⊙Q在直線OP下方，與y軸、直線OP切于E、F，則QE＝QF，QE⊥y軸，QF⊥OP，∴OQ平分∠EOF，∵∠EOF＝120°，∴∠FOQ＝60°，∵∠POC＝30°，則∠QOC＝30°，設(shè)Q(m，?m)，則?m＝?m2＋2m，解得m1＝0（舍去），m2＝，∴Q2(，?)；（3）證明：∵在過點(diǎn)O、M、D的圓中，有∠MOD＝∠NOD，∴，∴MD＝ND，易得OD平分∠AOP，DA⊥y軸，DP⊥OP，∴DA＝DP，可證得△NAD≌△MPD（HL），∴MP＝AN，∴OM＋ON＝OP?MP＋OA＋AN＝OP＋OA＝2OA＝，則OM＋ON＝2，即OM＋ON為定值；（4）作過P、D兩點(diǎn)且與y軸相切于點(diǎn)H的圓S，則由圓周角大于圓外角可知，∠PHD最大．設(shè)S（x，y），則由HS＝SD＝SP，可得，y＝2±6，∵0＜y＜，∴H（0，2?6）．11．（1）①過點(diǎn)作軸于，∵△AMB為等腰直角三角形，∴∠ABM=45°，∵AB∥x軸，∴∠BMN=∠ABM=45°，∴∠MBN=90°-45°=45°，∴∠BMN=∠MBN，∴MN=BN，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線，得，∴，（舍去），∴MN=BN=1，∴∴在Rt△AMB中，∴拋物線的“完美三角形的斜邊②∵拋物線y=x2+1與y=x2的形狀相同，∴拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；故答案為：相等．（2）∵拋物線與拋物線的形狀相同，∴拋物線與拋物線的完美三角形”全等，∵拋物線的“完美三角形”斜邊的長為4，∴拋物線的“完美三角形”斜邊的長為4，∴點(diǎn)坐標(biāo)為或，∴．（3）∵的最大值為－1，∴，∴，∵拋物線的“完美三角形”斜邊長為，拋物線的“完美三角形”斜邊長為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴代入拋物線，得，∵n＞0∴，∴，∴12．（1）拋物的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-4)，伴隨直線為，即，故答案為：(-1，-4)；；（2）當(dāng)時(shí)，有，解得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，0)．拋物線的伴隨直線為，即，聯(lián)立，解得：，，①∵A(1，-4m)，B(2，-3m)，C(-1，0)，∴，，．∵∠CAB=90°，∴，即，解得：，（不合題意，舍去），∴m的值為；②過點(diǎn)P作PE∥y軸，交直線AC于點(diǎn)E，如圖所示．設(shè)直線BC的解析式為（k≠0），將點(diǎn)B(2，-3m)、C(-1，0)代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)，∵P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，∴S=，∴當(dāng)時(shí)，△PBC的面積有最大值，依題意得：，∴．13．（1）解：如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，∵點(diǎn)P在正方形對(duì)角線BD上，∴∠ADP=45°，∵，，∴，∴，在Rt△中，根據(jù)勾股定理得：，（2）證明：∵，，∴∴，如圖，作于點(diǎn)I，得到矩形，矩形，∴GI=AD，BG=CI，∴AD=CD=GI，∵GI=CD，∠GIC=∠CDE=90°，∴△HIG≌△DEC（AAS），∴HI=DE，∴CI=CH+HI=CH+DE，∴BG=CH+DE．（3）當(dāng)點(diǎn)M在CD邊上時(shí)，過點(diǎn)PN⊥AD于點(diǎn)N，∴PNDM，∴△EDM∽△ENP，∴，由（1）得：，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在CD延長線上時(shí)，作于點(diǎn)O，由（1）知：AO=NO=2，∵，∴，∵，ON=DN，，∴△≌△（ASA），∴，∴，綜上：PM的長為或（4）點(diǎn)P為正方形ABCD對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，∴BD=，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為36．14．（1）解：將，代入中，可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：存在，理由如下：如圖，∵、兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴直線與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時(shí)周長最小，連接、，∵點(diǎn)是拋物線與軸的交點(diǎn)，∴的坐標(biāo)為，又∵，∴直線解析式為：，∴點(diǎn)坐標(biāo)即為，解得：，∴；（3）解：存在，理由如下：如圖，設(shè)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，連接、、，∵，若有最大值，則就最大，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，最大值為．15．（1）∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：．∴拋物線的解析式為．∴∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）設(shè)直線的解析式為．∵將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得，解得．∴直線的解析式為．如圖，設(shè)點(diǎn)，∴，∴＝，∴，∴當(dāng)m時(shí)，，，∴P（，）；（3）∵落在第二象限內(nèi)，H關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為∴點(diǎn)在第一象限，即n＞0，t＞0．∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∴，∵在拋物線上，∴，∴，∵，，∴＝＝＝＝；∴當(dāng)t時(shí)，有最小值，即有最小值，∴，解得或，∵，∴不合題意，舍去，∴n的值為．16．（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；（2）如圖1，過點(diǎn)P作PQy軸交直線AF于點(diǎn)Q，設(shè)直線AF的解析式為，∵，∴，解得：，∴直線AF的解析式為，設(shè)，則Q，∴，∴，∵＜0，，∴當(dāng)t時(shí)，△AFP面積的最大值為；（3）設(shè)P（m，）（），F(xiàn)（0，n），∵A（3，0），∴OA3，OF|n|，①當(dāng)APAF，∠PAF90°時(shí)，如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠ADP90°∠AOF，∴∠PAD+∠APD90°，∵∠PAD+∠FAO90°，∴∠APD∠FAO，在△APD和△FAO中，，∴△APD≌△FAO（AAS），∴PDOA，ADOF，∵PD，AD，OA，∴，解得：m0或2，當(dāng)m0時(shí)，P（0，3），AD3，∴OF3，即|n|3，∵點(diǎn)F在y的負(fù)半軸上，∴，∴F；當(dāng)m2時(shí)，P（2，3），AD1，∴OF＝1，即|n|1，∵點(diǎn)F在y的負(fù)半軸上，∴，∴F（0，）；②當(dāng)APPF，∠APF90°時(shí)，如圖3，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，PG⊥y軸于點(diǎn)G，則∠PDA∠PDO∠PGF90°，∵∠PDO∠PGF∠DOG90°，∴四邊形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD90°，∵∠APD+∠FPD∠APF90°，∴∠FPG∠APD，在△FPG和△APD中，，∴△FPG≌△APD（AAS），∴PGPD，F(xiàn)GAD，∵PD，AD3﹣m，PGm，∴m，解得：（舍去），，當(dāng)m＝時(shí)，P（，），∴＝，∴F（0，）；綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，）．17．（1）解：∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，∴COBC，∵BC＝6，∴CO＝3，又∵AB＝3，∴CO＝AB即△ABC的邊AB上的高等于AB，∴△ABC是點(diǎn)A，B的“完美三角形”；（2）分A、B、C為直角頂點(diǎn)討論：①若C為直角頂點(diǎn)，如答圖1，則∠ACB＝90°，作CH⊥AB于H，取AB中點(diǎn)M，根據(jù)Rt△ABC是點(diǎn)A，B的“完美三角形”得AB＝CH，∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴CMAB，CH⊥AB于H有CM≥CH，∴AB≥AB得AB≤0，這和AB為線段矛盾，故C不可能為直角頂點(diǎn)；②若A為直角頂點(diǎn)，如答圖2，過A作y軸平行線交直線y＝2x﹣5于C，∵A（4，0），∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)＝4，代入y＝2x﹣5得C縱坐標(biāo)＝3，即AC＝3，∵Rt△ABC是點(diǎn)A，B的“完美三角形”，∴AB＝3，∴（1，0）或（7，0）；③若B為直角頂點(diǎn)，如答圖3，過B作y軸平行線交直線y＝2x﹣5于C，設(shè)B（m，0），則C（m，2m﹣5），∴BC＝|2m﹣5|，而A（4，0），故AB＝|4﹣m|，∵Rt△ABC是點(diǎn)A，B的“完美三角形”，∴BC＝AB，即|2m﹣5|＝|4﹣m|，由2m﹣5＝4﹣m得m＝3，此時(shí)（3，0），由2m﹣5＝m﹣4得m＝1，此時(shí)（1，0）；綜上所述，Rt△ABC是點(diǎn)A，B的“完美三角形”，（1，0）或（7，0）或（3，0）；（3）由得，，如答圖4，∴R（﹣1，1），S（2，4），∴RS＝3，∵△RSN為點(diǎn)R，S的“完美三角形”，∴N到RS的距離為3，令y＝x+2中y＝0可得x＝﹣2，即直線y＝x+2與x軸交點(diǎn)D（﹣2，0），過D作DE⊥RS，在垂線上取DE＝3，（注：點(diǎn)M是線段RS下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)之間距離的最小值，故E應(yīng)在D右側(cè)）∵直線y＝x+2與x軸夾角∠ODR＝45°，∴∠ODE＝45°，過E作EFRS交x軸于F，則△DEF是等腰直角三角形，∵DE＝3，∴DF＝6，∴F（4，0），設(shè)EF解析式為y＝x+b，將F（4，0）代入可得EF為y＝x﹣4，即N點(diǎn)在直線y＝x﹣4上，且直線y＝x﹣4與y軸交點(diǎn)P（0，﹣4）∵線段RS下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M到EF距離最近，∴將直線y＝x﹣4平移至與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為M，設(shè)此時(shí)直線為y＝x+c，由聯(lián)立方程只有一個(gè)交點(diǎn)，得，即，可得c，即直線MN為y＝x，∴直線MN與y軸交點(diǎn)G（0，），過G作GH⊥EF于H，則△GHP是等腰直角三角形，且GP，∴GH，∴M，N兩點(diǎn)之間距離的最小值是，故答案為：．18．（1）解：∵，令x=0，則y=3，令y=0，則，解得x=-4或1，∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3），∵，∴對(duì)稱軸為直線x=-；（2）解：如圖所示：過N作NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得MB⊥x軸，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°，∵∠OBC+∠BCO=90°，∴∠BCO=∠QBN，又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ=OC=3，NQ=OB=1，∴OQ=1+3=4，∴N（4，1）；（3）解：設(shè)直線NB的解析式為y=kx+b.∵B（1，0）、N（4，1）在直線NB上，∴，解得：，∴直線NB的解析式為：y=x-，當(dāng)點(diǎn)P，N，B在同一直線上時(shí)|NP-BP|=NB=，當(dāng)點(diǎn)P，N，B不在同一條直線上時(shí)|NP-BP|＜NB，∴當(dāng)P，N，B在同一直線上時(shí)，|NP-BP|的值最大，即點(diǎn)P為直線NB與拋物線的交點(diǎn)．解方程組：，解得：或，∴當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0）或時(shí)，|NP-BP|的值最大，此時(shí)最大值為．19．（1）解：證明：如圖1，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，．（2），證明：如圖2，連接，作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖3，設(shè)，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，達(dá)到最大值，最大值是，故答案為：1，．20．（1）解：將點(diǎn)A（1，0）、B（?3，0）代入y＝，得：，解得：∴二次函數(shù)解析式為．（2）①令x=0，代入，得：，∴C（0，3），∵B（-3，0），∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，代入得，解得：，∴直線BC的解析式為：y=x+3設(shè)F（x，），則E（x，x+3）∴FE=-（x+3）=，∴的面積=（）=，∴x=-時(shí)，的面積最大，此時(shí)F（-，）；②Ⅰ當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，如圖：∵DFy軸，∴DF⊥x軸，∴∠ODF=∠CFE=90°，∴CFOB，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3，∴3=﹣﹣2x+3，解得=0（舍去），=﹣2，∴F（﹣2，3），Ⅱ當(dāng)∠ECF=90°時(shí)，過點(diǎn)C作CH⊥EF于H，∵DFy軸，∴DF⊥x軸，∴∠BDE=90°，∵C（0，3），B（﹣3，0），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45°，∴∠OEB=∠CEH=45°，∵∠ECF=90°，∴CE=CF，∵CH⊥EF，∴EF=2CH，設(shè)D（m，0），則E（m，m+3），F(xiàn)（m，），∴EF=﹣（m+3）=﹣﹣3m，CH=﹣m，∴﹣﹣3m=﹣m，∴=0（舍去），=﹣1，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣1，0）．∴F（﹣1，4）綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣1，4）．21．（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為A，∴.A的橫坐標(biāo)為2，又∵直線AB的解析式為∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），B（，0）將（2，4），（，0）代入得：，∴拋物線的解析式為．（2）由（1）得：∵對(duì)稱軸為直線，B（，0）設(shè)E（t，），N（t，）∴當(dāng)時(shí)，EN最大為1∴E（4，3）∵AD是此拋物