考研數(shù)學試題詳解及評分參考

年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學試題詳解及評分參考數(shù)學（一一、填空題（本題6小題，每小題4分，滿分24分 2(1)lim(cosx)ln(1x) 2【答】應填lncos1【解】lim(cosxln(1x2)lime年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學試題詳解及評分參考數(shù)學（一一、填空題（本題6小題，每小題4分，滿分24分 2(1)lim(cosx)ln(1x) 2【答】應填lncos1【解】lim(cosxln(1x2)limeln1x2，lncosxlimln(1cosxcosx11，所以原式1e x0ln(1x22(2)zx2y2與平面2x4yz0【答】應填2x4yz5 x0,y0,z0，則曲面在P0處的法向量為{2x0,2y0,1}，應21 x1y2 002于是 y520(3)設x2ancosnx(x)，則a2 x在區(qū)間,2的傅里葉系數(shù)，取n2212a20xcos2xdx[xsin2x002xsin221[xcos2 cos2xdx]10011(4)R2的基,212.103122003年?第1【解度矩陣P，則12P12，因1 1 111 P= 【解度矩陣P，則12P12，因1 1 111 P= 221 0xy(5)設二維隨機變量X,Yf(xy，則P{XY1}= 【答】應填141111【解】P{XY1}f(x,y)dxdy 6xdy 6x12xdx 2240x0x(6)已知一批零件的長度X（單位：cm）服從正態(tài)分布N(,1)，從中隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40（cm），則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 （注：標準正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.975(1.6450.9540.4.X0.95（即0.05）X zX zzz0.025，10.0250.9751.96，數(shù)據(jù)代入nn222111.96)39.51,得置信區(qū)間為(401.96,40二、選擇題（本題6小題，每小題4分，滿分24分設函f(x在(,內連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x【解y軸左側，因f(x由正變負再變正，故fx由增變減再變增，從而有一個極一個極小值點；又在x0左右領f(x由正變f(x)由增變減，且f(x)在點x0x0是f(x)的極大值點.因此f(x)有兩個極小值點和兩個極大值點.0limbn1limcn(2)設an}，bn}，cn}均為非負數(shù)，且lim(A)anbn對任意nbncn對任意n2003年?第2(C)limancn(D)limbncn(D(A)和(B)limanlimbnlimcn(C)limancn(D)limbncn(D(A)和(B)limanlimbnlimcn只是在n充分大時才成立，而不是對任意n對于選項(C)，由于limancn是0對于選項(D)，假若limbncn存在，則有l(wèi)imcn 因此limbncn存在，故應選(D)f(x,y)(3)已知函f(xy在點(0,0)的某個領域內連續(xù)，且(x2y2)點(0,0)f(xy點(0,0)f(xy點(0,0)f(xy根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)f(xy(Af(x,y)1，故limf(xyxy0f(0,0)0【解】因(x2y2)又記f(xyxy1，知lim0f(xyxy1)(x2y22(x2y2由于(1)(x2y22xy高階的無窮小，且(1)(x2y220，故在點0,0的xy0f(xy0xy0f(xy0.f0,00不是極值(A向量組：1,2 ,r，可由向量組：1,2,,s線性表示，(A)當rs時，向量組必線性相 (B)當rs時，向量組必線性相(C)當rs時，向量組(D(D)當rs時，向量組【解】記的秩為r(的秩為r(，則由可由線性表示，可知r()r(r(s，于是當rs時，有rsr(r(，即線性相關.(D(5)設有齊次線性方程Ax0Bx0AB均為mn42003年?第3 Ax0Bx0的解，則秩A)秩(B 若秩A秩(BAx0Bx0③Ax0Bx0同解，則秩A) Ax0Bx0的解，則秩A)秩(B 若秩A秩(BAx0Bx0③Ax0Bx0同解，則秩A)秩(B④若秩A)秩(BAx0Bx0同解① ① ② ③(B)Ax0Bx0Ax0Bx0空間的維數(shù)，即nrAnrB，亦即rArB，故①正確；同理③也正確.又由兩個解空同理，④也不成立.故選(B).1(6)設隨機變量X~t(n)(n1)，Y X(B)Y~2(n(A)Y~2(C)(D)Y~F(1,(C)Y~FZ~tn，其Z~N(0,1，2~2(nZn1n相互獨立，于是Z~(1)，從 □F(n,1).(C)X Z1(1)DA(2)Dxe旋轉一周所得旋轉體的體積V(1)x0ylnx在點(x0lnx01y (xx100x01由該切線過原點知lnx010x0e,yex……3平面圖形D的面積A (eey)dy1e11y……620e為 =1e2；曲線ylnx與x軸及直線xe所圍成的圖形繞直線xe旋轉所得的131轉體體積為V (ee)dyy2……8202003年?第4因此所求旋轉體的體積為VVV1e2 (ee)dy (5e1y212e……10 3601f(x)展開成x四、(本題滿分12分)1的和2n2f(x……214x12(1)4 x ,nn=……42因此所求旋轉體的體積為VVV1e2 (ee)dy (5e1y212e……10 3601f(x)展開成x四、(本題滿分12分)1的和2n2f(x……214x12(1)4 x ,nn=……42又f(0),故f(x)=f(0) fx40= (1)n4nt2n]dt=(1)n11).……82xx2n1,x2n440(1)1收斂，函數(shù)f(x)在x 22n所以f(x=(1)n1,1102n42x1f1)[(1)n4n1222n2 (1)nf(1) 再由f(1)02……122n （本題10分）Dx(1)xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx0x,0y}LD(2)xesinydyyesinxdx22LLsinL0證法 (1)左邊 dy dx= sinsinxesinx3000 sindy dx= sinxesinxsin00xesinydyyesinxdxxesinydyyesinx6LLesinxesin(2)由8故由(1)得 dy dx esinx)dx2sinsinsin100L2003年?第5證法 (1)根據(jù)格林公式得xesinydyyesinxdx(esinesinx2LesinxDxesinydyyesinxdx(esin4LDDyx對稱，所(esin證法 (1)根據(jù)格林公式得xesinydyyesinxdx(esinesinx2LesinxDxesinydyyesinxdx(esin4LDDyx對稱，所(esin(esinyesinxesinzDxesinydyyesinxdxxesinydyyesinx6LLxesinydyyesinxdx(esinyesinx(2)由(1)ldsinxesinx)d8 dd=210（比例系數(shù)為kk0,汽錘第一次擊打將樁打進地am.根據(jù)設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0r1).問:汽錘擊打樁3若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？（注：m解：(1)設第n次擊打后，樁被打進xn，第n次擊打時，汽錘所作W kxdxkkax12111220kkx2W2kxdx x) a2 22(122222x2a，由W2r3kx 2又W 3kxdx ) [x(1r)a223323222W3rW2r2W1可得x21ra2r2a2x31rr2a63 1rr2 (2)用歸納法：設xn1r... a,k kxdx x2)kx(1rLrn1)a228 22n2003年?第6由于Wn1rWnr2Wn1LrW,故得 2rL )a22nnan1r1從而xn1=1r... ana.于是limxn1a111a101由于Wn1rWnr2Wn1LrW,故得 2rL )a22nnan1r1從而xn1=1r... ana.于是limxn1a111a101（本題12分）yy(x)在(,y0xxyyy(xd2ysinxdx)3=0yy(x(1)xxydy32y(0)0,y(0)1y解:(1)由反函數(shù)導數(shù)公式 2 yy d2d2 (y)20,所=5=dy (y) ( dyyysin6(2)方程（*）所對應的齊次方y(tǒng)y0yC1exC8A0,B1 AcosxBsinx,代入方程（*）求2y*1sinxyysinx 1siny(x)ee……102y(0)0,y(0)1221sin232得C1,1yx)ee……1212f(x2y2z2f(x2y2(tF(t)D(t,G(t),f(x2y2tf(x2D(t其中(txyz|x2y2z2t2},D(txy|x2y2t(2)證明當t0F(t)2G(t(1)F(t在區(qū)間(0,2003年?第72tt f(r2)r2sin f(r2)r2(1)解:F(t0000……2 2t f(r2 f(r2d2000ttf f(r2)r(t2F(t)0t f(r220所以在(0,F(t)2tt f(r2)r2sin f(r2)r2(1)解:F(t0000……2 2t f(r2 f(r2d2000ttf f(r2)r(t2F(t)0t f(r220所以在(0,F(t)0F(t在(0,內單調增加t……6 f(r2(2)證:因G(t)0……8tf(r2022要證明t0F(t)t0F(tG(t)0,ttt f(r)r f(r)dr f(r2)rdr]2222000ttt令g(t) f(r)r f(r)dr f(r2222……10000t則g(t)f(t f(r2)(tr)2dr>0,故g(t)在(0,)內單調增加20g(t在t0處連續(xù)，所以當t0g(tg(0).g(0)0,故當t0g(t02因此，當t0時，F(xiàn)(t)……12232100（本題10分）A2,P1BP1A*PB31的特征值與特征向量.其中 為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣551A*=……2055 70 0，BP1A*PP3 9070B2E……552003第80204(9)2(E(B225B2E的特征值為9,9,3……7129時，對應的線性無關特征向量可取為10204(9)2(E(B225B2E的特征值為9,9,3……7129時，對應的線性無關特征向量可取為11,2當0 k11 k11+k22,其中k1是不全為零的任0 當33時，對應的一個特征向量為31，其中k3是非零的任意常數(shù).……103 32設A的特征值為，對應的特征向量為A.由于|A|70所以0又因A*A=|A|=EA*|A|……2|A于是有B(P) AP(P) (P)，(B2E)P12)P|A因此 2為B2E的特征值……437由于|EA|2(1)2(A的特征值為12=3……6當= =1時，對應的線性無關特征向量可取為=1=0 122003年?第9A=7時，對應的一個特征向量為……833 1由P10P11=1==7時，對應的一個特征向量為……833 1由P10P11=1=PP00 12311k1k1，其中kkPPk+ 1 2 P 對應于特征值3的全部特征向量為=其中 是非零的任意常數(shù).……10 33l1：ax2by3cl2：bx2cy3al3：cx2ay3b試證這三條直線交于一點的充分必要條件為abcax2by證法1必要性：設三直線l1，l2，l3交于一點，則線性方程 bx2cy3a,cx2ay2c與增廣A2c3a2，于是|A|0……2 2a3ba6(abc)[a2b2c2abac|A|3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2但(ab)2bc)2ca20，故abc……42003年?第10充分性：由abc0，則從必要性的證明可知,|A|=0A)……6a=2(acb2)2[a(ab)b2]=2[(a充分性：由abc0，則從必要性的證明可知,|A|=0A)……6a=2(acb2)2[a(ab)b2]=2[(a1b)23b2] 24故秩（A）2.于是，秩（A）秩（A）因此方程組（）有唯一解，即三直線l1l2l3交于一點……8x0必要性：設三直線交于一點(x,y)， 為Ax0的非零解，其0y 1 A3a，于是|A|=……2a6(abc)[a2b2c2abac而|A|c3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2但(ab)2bc)2ca20，故abc0ax2by-3c,bx2cy-cx2ay-將方程組（）的三個方程相加，并由abc0可知，方程組（）ax2by-bx2cy-a=2(acb2)2[a(ab)b2]=[a2b2(ab)2] 解法1 X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布XkC /C3，k P 62003年?第11X0123即192911P……3199因此EX0 3……5 (2)A3P(A)P{Xk}P{A|X……7k1 1 0 X0123即192911P……3199因此EX0 3……5 (2)A3P(A)P{Xk}P{A|X……7k1 1 0 ……10 Xi解法 (1)Xi的概率分布1EXi(i……33XX1X2X3EXEX1X2X3EX1EX2EX32……5(2)設A表示事件“從乙箱中任意取出的一件產品是次品由于X0X1,X2和X33構成完全事件組，因此根據(jù)全概率公式……7P(A)PXkPA|X3 111PX ……1066k66 k2e2(x),x，其中x是未知參數(shù).XX1X2LXn，記?minX1X2LXn 的分布函數(shù)F?(x) 作為的估計量，討論它是否具有無偏性2003年?第12X P xxx解(1)F(x) f……2(2)F?(x)P(?x)P{min(X1,X2,Lxxx解(1)F(x) f……2(2)F?(x)P(?x)P{min(X1,X2,L,Xn)1P{min(X1,X2,L,Xn)x}1P{X1x,X2x,L,1P{X1x}P{X2x}LP{Xnx}1[1F(x)]1e2n(x)x,x=52ne2n(xxx?(3)fF(x)6??1因為E? xf(x)dx 2n(xdx= 所以?作為的估計量不具有無偏性8數(shù)學（二1(1)若x0時，(1ax2)41與xsinx是等價無窮小，則a 【答】應填411lim(1ax211a1，故a444【解】因xsin(2)設函數(shù)yf(x)由方程xy2lnxy4所確定則曲線yf(x)在點(1,1)處的切線方 【答】應填xy0xyxdy24y3dyx1,y1 1y1x1xy0dx(3)y2x的麥克勞林公式中xn項的系數(shù) (ln.2003年?第13(ln n(n|x0xln |x0ln2)n(4)設曲線的極坐標方程為ea(a0)，則該曲線上相應于從0變到2的一段弧與 【答】應 (e4a1)11212 1e2220(e)da (e4(ln n(n|x0xln |x0ln2)n(4)設曲線的極坐標方程為ea(a0)，則該曲線上相應于從0變到2的一段弧與 【答】應 (e4a1)11212 1e2220(e)da (e4a【解】A001(5)設3維列向量，T是的轉置若，則 TT11【答】應填3xxxx1113 【解】設 ，則xxx x2x2x2123222 xxxx3333x2x2x23 1 100201 B則1【答】應 2320A2BABE，得AEAEBAE.AE 020可逆陣，故有AEBEBAE1100012AEAE1B (1)22003年?第14n03321xdx，則極限limnan(2)設ann3(B)(1e1)23(C)(1e1)23(D)(1e)2(A)(1e)2(B)n32【解】因limna1xndx1xnd(1xnn2 033n3lim(1xn)2|n1lim[(1)n21]1e1)21.(B)0n(3)已知y 是微n03321xdx，則極限limnan(2)設ann3(B)(1e1)23(C)(1e1)23(D)(1e)2(A)(1e)2(B)n32【解】因limna1xndx1xnd(1xnn2 033n3lim(1xn)2|n1lim[(1)n21]1e1)21.(B)0n(3)已知y 是微分方程yy()的解，則()的表達式xxxlnxyyyxyxxyxy(A)(C)(Alnx1xln1(x)yyln2x2/ln2ln2 lnx1于是得() .(Aln2y(4)44tanxdx，I2xtan00I1I21I1I2I11I2(B)x[0,時，有sinxxtanx4tanxx tan44tanxxI1dxdxI2，即應排除選項(C)和tan000f(x在[04xsec2xtanxtanf(x)f(xx2cos2xtan44I4tanxdx dx1.(B)41xx00(6)42003年?第15ln(1ax3 x0xarcsinx（本題滿10分）f(x，問a6x0e axx x0x4xsf(xx0ax0f(xln(1ax3解:limf(x)xarcsinxarcsin1x26a……3ln(1ax3 x0xarcsinx（本題滿10分）f(x，問a6x0e axx x0x4xsf(xx0ax0f(xln(1ax3解:limf(x)xarcsinxarcsin1x26a……3 11111x2axxsinx2axlimf(x)4x42x42lim(a22)2a2……5limf(x=limf(x，有6a2a24，得a1，或a2……6……8a1時，limf(x)6f(0)f(xx0處連續(xù)f(0)x0f(x的可去間斷點a2limf(x)12……10x12t（9分）yy(x由參數(shù)方程（t1）eu12lnydu1d2求x9e12ln2解： 4t,……3 12ln 12lne12ln，……42(12lntd2 1e2e . ，……7dx dt2(12lnt)2t 4t2(12ln2003年?第16x9x12t及t1得t2d2ee.……94t2(12lnt)dxtxearctandx3(1+x22et解法 設xtant則dxsectdtesintdtx9x12t及t1得t2d2ee.……94t2(12lnt)dxtxearctandx3(1+x22et解法 設xtant則dxsectdtesintdt……22t33(1tan2(1+x222又etsintdtetdcost(etcostetcosetcostetsintetsin……4……6 etsintdt1et(sintcost)……82dx1earctan2xearctanx1(x1)earctan)(C……931x1x1x(1x222xearctanxdx……3312(1x22xearctanearctan……5321xxearctan(1x21……7312121212(1x22(x1)earctanxearctan移項整理得dxC……93212(1x22（本題12分）（本題滿12分）y4lnxky4xln4x的交點個數(shù).解：問題等價于討論方程ln4x4lnx4xk0有幾個不同的實根.設(xln4x4lnx4xk……34(ln3x1則有x)……5x當0x1時,x0,即(xx1時,x)0,即(x2003年?第17故(1)4k為函數(shù)(x的最小值k4，即4k0時，(x0無實根，即兩條曲線無交點k4，即4k0時，(x0有惟一實根，即兩條曲線只有一個交點.k4時，即4k0時，lim(xlim[lnx(ln故(1)4k為函數(shù)(x的最小值k4，即4k0時，(x0無實根，即兩條曲線無交點k4，即4k0時，(x0有惟一實根，即兩條曲線只有一個交點.k4時，即4k0時，lim(xlim[lnx(ln3x4)4xk……8……9lim(x)lim[lnx(ln3x4)4xk]故(x0有兩個實根，分別位于(0,1)與(1)內，即兩條曲線有兩個交點……12八（本題滿分12分）設位于第一象限的曲線yf(x)過點 2,1)，其上任一 求曲yf(x已知曲ysinx在[0,上的弧長為l，試用lyf(xs解：(1)曲線yf(x)在點P(x,y)處的法線方程為Yy (X1x其中(X,Y)X0，則Yy……2故Q點坐標為(0,yx,yyx22y2CC為任意常數(shù)0即2ydyxdx……5由y 1知C1，故曲線y 2y2x(x0,y……6x22(2)ysinx在0,上的弧長為l 1cos22……80xcosyf(x的參數(shù)方程為……92212siny21sin2 cos2d1sin2s2200令2l 2l……12412120t，則s1cos2t(dt)1cos222022003年?第18要求，當以3m3/minm2/min的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體根據(jù)t時刻液面的面積，寫出t與(y)（注：m表示長度單位米min表示時間單位分解：(1)t時刻,液面的高度為y，則由題設知此時液面的面積為2y)4t從而t2y……2要求，當以3m3/minm2/min的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體根據(jù)t時刻液面的面積，寫出t與(y)（注：m表示長度單位米min表示時間單位分解：(1)t時刻,液面的高度為y，則由題設知此時液面的面積為2y)4t從而t2y……2……4y(2)液面的高度為y時，液體的體積為 (u)du3t32(y)20求導，得解此微分方程，得(yCe6,其中C成為任意常數(shù).由(0)2知C2，故所求曲線方程為x2e6……6……8……10（10分）設函數(shù)f(x)的閉區(qū)間[ab上連續(xù)，在開區(qū)間a,b內可導f(2xaxxab2a (1)在abf(x0；(2)在ab內存在點；f(bfaf()(b2a2) f(3)在ab內存在與（2）中相異的點b.af(2xa存在,limf(2xa0,f(x在[abf(a0證xf(x)0f(x在a,bf(xf(a0,x(a……3x(2)記F(x)x,g(x) f(t)dt(ax2……5ag(xf(x0F(xg(x滿足柯西中值定理的條件，于是在ab內存在點b2af(F(b)b2(x2使……7bg(b)baxf(t)dt f ffaaaa(3)f(f(0f(f(a，在a,……9 b2 b,()(ba) f(x)dx……10f()(aafa2003年?第19 0 a相似于對角矩陣，試確定常數(shù)a6000|EA( 0 a相似于對角矩陣，試確定常數(shù)a6000|EA(6)[(2)216](6)2(A的特征值為126……3A相似于對角矩陣，故對應于126應有兩個線性無關的特征向量，因此知陣線6EA的秩應為1.4000400 從而由6EAaa，知a0……5 000 01于是對應于6的兩個線性無關特征向量可取為02 1210001 當32EA0 00 12x1 ，得對應于32的特征向量32……9x 30 11P 2PPAP……10002003年?第20數(shù)學（三一、填空題：（本題6小題，每小424分,(1)f(x，其導數(shù)在x0處連續(xù)，則的取值范圍是 x 若x【答】應填2f數(shù)學（三一、填空題：（本題6小題，每小424分,(1)f(x，其導數(shù)在x0處連續(xù)，則的取值范圍是 x 若x【答】應填2f(xx0處連續(xù)，故limf(xf(0).f(0)與limf(x存在xcos1fxf0x0lim limx1cos1，反證易見1；f0xx同理，由limfxlim(x1cos1x2sin1，反證易見2xx又顯然在2時，有l(wèi)imf(xf(0)0.故所求的取值范圍是2(2)已知曲線yx33a2xb與x軸相切，則b2可以通過a表示為b2 【答】應填4a6【解】由題設x軸是曲線的切線，設切點為x00，則y(x0)x33a2xb.于是有x2a2，且b24a6，即00y(x)03x23a2 0 0x(3)設a0f(x)g(x)D表示全平面，其他If(x)g(yx)dxdy D【答】應填a2 0yxa2 (x,y)fxgyx【解】易見gyx，(x,y)其他D1xy|0x1,xy1x}D2DD1.1f(x)g(yx)dxdya2dxdy0dxdy ady22I0xD設n維向量a,0,L,0,a)Ta0.E是n維單位矩陣，AETBE1Ta其中A的逆矩陣為B，則a 2003年?第21【答】應填BAABE，即(ET)(E1TEaE1TT1TTE，于是1112a2T0aa【答】應填BAABE，即(ET)(E1TEaE1TT1TTE，于是1112a2T0aaaa由于T0112a0，即2a2a10，亦即2a1a10a又由a0，知2a10，故a10，因此a1(5)設隨機變量X和Y的相關系數(shù)為0.9，若ZX0.4，則Y與Z的相關系數(shù) 【答】應填0.9E{[YEY][ZEZDZDX0.4DXDYZE(Z)(X0.4)E(X0.4)XEX， YXXY0.9(6)設總X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1X2XnXn1nn時X依概率收斂 2ni【答】應填12 22EXEX1,DXDX1i1,2,Lnii24EX2DXEX211)21i1,2,Ln.iii n1X21in2二、選擇題：（本題6小題，每小424分ff(0)g(x)設f(x)x0(C)x0(Dx(B)x(D)xfx0g(x)x0g(x的間斷點.f(xxf(x)limf(x)f(0)數(shù)及f(0)存在，知limg(x)f(0)，因此g(x)xx2003年?第22x0x0g(x的可去間斷點.(Df(x0yyy0處的導數(shù)等于零f(x0yyy0處的導數(shù)大于零f(x0yyy0處的導數(shù)小于零f(x0yyy0處的導數(shù)不存在(A【解】因可微函數(shù)f(x,y)點(x0y0取得極小值，故對(x0y0xx0f(x0yx0x0g(x的可去間斷點.(Df(x0yyy0處的導數(shù)等于零f(x0yyy0處的導數(shù)大于零f(x0yyy0處的導數(shù)小于零f(x0yyy0處的導數(shù)不存在(A【解】因可微函數(shù)f(x,y)點(x0y0取得極小值，故對(x0y0xx0f(x0yf(x0yyy0f(x0yy0(A，qn1,2,L(3)nn22(A)若an條件收斂，則pn與qn(B)若an絕對收斂，則pn與qn(C)若an條件收斂，則pn與qn的收斂性不(D)若an絕對收斂，則pn與qn的收斂性不【解】對于選項(A)和(C)，若an條件收斂，則an收斂，且11121 與 paa都發(fā)散，故排除選項(A)和222條件收斂，則an收斂，且對于選項(B)和(D)，若收斂，因而此時111anan與pn2222 b bA的伴隨矩陣的秩等1，則ab2003年?第23ananab或a2bab且aab或a2bab且a2b(C)(B)ab或a2b(D)ab且a2b【解】因rA*1，故由rA*rA)的關系，知rA)2.于是有|A|0，即(ab)2a2b0.由于ab時，有rA1，從而rA*01，與題設矛盾，因此有ab，且a2b0.故選(C).設1,2,,s均為n若對于任意一組不全為零得數(shù)k1k2ks，都有k11k22kss0，則1,2,,s線性無關.若1,2,,s線性相關，則對于任意一組不全為零得數(shù)k1k2ksk11k22kss0(B)對于選項(D)，根據(jù)“部分相關，一定整體相關”這一結論知，該說法正確對于選項(B)，按照定義，向量組線性相關是指“存在一組不全為零得數(shù)k1k2ks，使k11k22kss0”.這里把“存在”該成了“任意”，因而結論不正確，故面}A3{正反面各出現(xiàn)一次}A4{正面出現(xiàn)兩次}，則事件(A)A1A2A3(C)A1A2A3(C)(B)A2A3A4(D)A2A3A4A4生A1A2必發(fā)生，因此A4A2不獨立，因而可排除(D)；故(C1112三（本題滿分8分）設f(x) sin (1f(x在1,1]上連續(xù)22003年?第24解：y1x1lim(1x)sin1limysinlimf(x)……2(1x)sin ysinx1limysin21limcos……4221lim2sin12111由于f(x)在[,1)上連續(xù)，因此定義f(1) 就可使f(x)在,1]上連續(xù)……解：y1x1lim(1x)sin1limysinlimf(x)……2(1x)sin ysinx1limysin21limcos……4221lim2sin12111由于f(x)在[,1)上連續(xù)，因此定義f(1) 就可使f(x)在,1]上連續(xù)……82222u21（8分）f(uv)具有二階連續(xù)偏導數(shù)且滿足221g(x,y)f[xy, (xy，求 y .2gyfxgxfy,……2x 2222 22故4x2u22v2x2y……6yuv22xy 22yxy 22 ……8x yuv五、（本題滿8分）計算二重積分Ie(x2y2)sin(x2y2)dxdy，其中積分區(qū)DD{(x,y)|x2y2解：xrcosyrsin rersinr2Ie(x2y2)sin(x2y2)dxdy ……200D令tr2，則I e ……40記A esindt，00A sin[esinecosdt] cos0000[etcossintdt] 1……602003年?第25因此A1(1e)，從而 (1)(1e)……8222x2n因此A1(1e)，從而 (1)(1e)……8222x2n1)f(x及其極值( 1x解：f(x)(1)nx ……2x 1上式兩邊從0xf(xf(0)2dt ln(1x2……4012f(0)1,f(x11ln(1x22……5……61f(x,f(0)10,f(xx0f(0)1……9(1x2（9分）F(x)f(x)g(x),，其中函數(shù)f(xg(x在(,)f(xg(xg(xf(xf(0)0,f(xg(x)2ex(1)F(x所滿足的一階微分方程(2)F(x的表達式(1)F(xf(x)g(xg(xf(x)g2xf2[f(x)g(x)]22f(x)g(x)(2ex)22FF(x所滿足的一階微分方程為F(x2F(x)(2)F(x)e2dx[4e4xe2dxdx……2……6e2x[4e4xdxC]Ce2……7……9F(0)f(0g(0)0代入上式，得C1F(xf(0)f(1)f(2)3f(3)1.試證：必存在(0,3f(和最小值m，于是mf(0)Mmf(1)Mmf(2)M……2f(0)f(1)f因此mM.故由介值定理知，至少存在一點c[0,2]3f(0)f(1)f(2)f(c)……43f(c1f(3f(x在[c,3]上連續(xù)，在(c,3)2003年?第26在(c3)(0,3，使f(……8(a1b)x1a2x2a3xLanxnax(ab)xaxLax在(c3)(0,3，使f(……8(a1b)x1a2x2a3xLanxnax(ab)xaxLax1 n（本題滿13分）已知齊次線性方程組a1x1a2x2a3b)xLanxn0LLLLLLa1x1a2x2a3xL(anb)xnn其中ai0.試討論a1a2Lan和b滿足何種關系時(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系aKaan|Aa (b a……51M2M3nManMn當b0且bai0時，秩An，方程組僅有零解……5(2)當b0時，原方程組的同解方程組為a1x1a2xLanxnn由ai0可知，ai(i1,2,Ln不全為零.不妨設a10(an,0,a(a2,1,0,L,0)T,(a3,0,1,L,0)T,……1012aa111n當b時，有b0LL10M0001M00na110M001M0LaniML0M0M1x1,x3x1,L,xn……132003年?第27f(xxxXTAXax22x22x22bxx(b0)A1 1231和為1，特征值之積為12求ab的值利用正交變換將二次型f化為標準型,并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣020f(xxxXTAXax22x22x22bxx(b0)A1 1231和為1，特征值之積為12求ab的值利用正交變換將二次型f化為標準型,并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣020b1：(1)fA0……1設A的特征值為i(i1,2,3).由題設，有123a22)1a0b020b01234a2b212，解得a1,b……40000(2)由矩A|EA(2)2(A的特征值122,……6對于122，解齊次線性方程組(2EA)X0……8對于 3，解齊次線性方程組(0,得基礎解系(1,0,2)……10由于1,2,3已是正交向量組，為得到規(guī)范正交向量組,只需將1,2單位化，由此 12 )T，(0,1,0)T， )T123 5525015150010令矩陣Q1,2,3……12250200QY下，有QTAQ0且Qf2y22y23y……131232003年?第28020b2(1)fA0……1 EA 0(020b2(1)fA0……1 EA 0(2)[2(a2)(2ab2……3 設A的特征值為12,3，則12,23a2,23(2ab2，由題設得1232a2)1，且1232(2ab212.解的a1,b2(2)由(1)可得A得特征值為122,33……5……61若x,F(xX的分布函數(shù)，求隨機變量YFX的分布函數(shù)x1f(x0x8F(x1；x其……2 xF(x)dtx3t21設Gy是YF(xy0時，有G(x)0y1時，有G(x)1y(0,1時，有GyP{YyP{FXyF[(y1)3]X1y}P{X(yy若0yy于是YF(x的分布函數(shù)為Gy) ~.而Yf(x，求隨機變量UXYg(uX 解：Fy是Y的分布函數(shù)，則有全概率公式，知UXY2003年?第29G(u)PXYu0.3PXYu|X10.7PXYu|0.3PYu1|X10.7PYuG(u)PXYu0.3PXYu|X10.7PXYu|0.3PYu1|X10.7PYu2|XX和Y獨立，可見G(u0.3PYu10.7PYu0.3Fu10.7F(u由此，得U的概率密度g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u0.3f(u1)0.7f(u……4……13數(shù)學（四一、填空題：（6小題，每小4分24分2(1)極限lim[1ln(1x)]x 【答】應填e222ln(1【解】因limln[1ln(1x)]x 2xxx故原式e21 (|x| dx .應填2(12e1因在區(qū)間1,1上|x|e|x|為偶函數(shù)，而xe|x|為奇函數(shù)，1111(|x| dx xedx 2(xex1 edx)xxx2e)0000(3)(3) 20402則(AE)1 1 0001【解】由AB2AB，得ABB2A2E2E，即AE (B2E)22003年?第30 2 1故AE11B2E1 0 02 20 000 (4)X和Y0.5EXE(X 2 1故AE11B2E1 0 02 20 000 (4)X和Y0.5EXE(XY)2 0EX2EY22【答】應填6【解】因0.5X,YcovX,Y EXYEX EXY DXDXDXE(XY)0.5DXDY0.5EX2(EX)2EY2(EY)20.522EXY)2EX22EXYEY22226二、選擇題：（6小題，每小4分24分1(1)yxe(A)僅有水平漸進線(B)僅有鉛直漸近線(D)既有鉛直又有斜漸近線(D1【解】因limxex2不存在，故曲線沒有水平漸近線，可排除選項(A)和1又由limxex2lim lim2tet2，知曲線有鉛直漸近線x0ttt111limex21，且blim(xex2x)lime1lim再由alim0xt(2)設函f(x|x31|(x，其中(xx1處連續(xù)，則(1)0f(xx1處(A)(A lim1xx2x2003年?第31x3xlim1xx2x31xf(xx1處可導的充要條件為3lim1xx2x31xf(xx1處可導的充要條件為3131，即10.(A(3)(2)0101(4)設矩B0AB，則秩A2E與秩AE (C) A~BA2E~B2EAEBE.rA2Er(B2ErAE)r(BE.rA2ErAEr(B2Er(BE314.(C)(A)AB，則AB一定獨立(C)AB，則AB一定獨立(B)(B)AB，則AB有