人教版八年級數(shù)學下冊全冊課件（2024年春季版）

人教版八年級下冊數(shù)學全冊教學課件16.1二次根式二次根式的概念你能說出下列問題的結果嗎？（1）16的平方根是多少？算術平方根是多少？（2）0的平方根是多少？算術平方根是多少？（3）﹣2有沒有平方根？有沒有算術平方根？平方根的性質：1.正數(shù)有兩個平方根且互為相反數(shù)；2.0的平方根是0；3.負數(shù)沒有平方根；4.非負數(shù)a的平方根表示為.復習回顧你能說出下列問題的結果嗎？（1）16的平方根是多少？算術平方根是多少？（2）0的平方根是多少？算術平方根是多少？（3）﹣2有沒有平方根？有沒有算術平方根？1.正數(shù)只有一個算數(shù)平方根；2.0的算術平方根是0；3.負數(shù)沒有算術平方根；4.非負數(shù)a的算術平方根表示為.算術平方根的性質：復習回顧填一填：（1）面積為3的正方形的邊長為_____，面積為S的正方形的邊長為_____.（2）一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為_____m．（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t為_____．探索新知觀察：上面問題的結果分別是

，

，

，.（1）這些式子表示的意義是？分別表示3，S，65，的算術平方根．（2）這些式子有什么共同特征？①根指數(shù)都為2；含有“”.②被開方數(shù)為非負數(shù).二次根式的定義一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號.a叫做被開方數(shù).二次根式的兩個必備特征1.含有二次根號“”（根指數(shù)為2）；2.被開方數(shù)必須是非負數(shù).下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：(m<0)6分析：是否含二次根號是被開方數(shù)是否為非負數(shù)是是二次根式否不是二次根式否√√√√1.要畫一個面積為18cm2的長方形，使它的長與寬之比為3∶2.它的長、寬各應取多少？【選自教材第3頁練習第1題】解：設矩形的長寬分別是3xcm、2xcm，由題意得2x×3x=18，解得x1=，x2=(舍).答：它的長取cm，寬取cm.練習例1當x是怎樣的實數(shù)時，

在實數(shù)范圍內有意義？

二次根式

有意義的條件是：被開方數(shù)為非負數(shù)，即a≥0.解：由x-2≥0，得x≥2.當x≥2時，在實數(shù)范圍內有意義.當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？（1）（2）（3）（4）（5）（6）x可以為任意實數(shù)x≥0x可以為任意實數(shù)x＞0x＞﹣1x≤1且x≠0要使二次根式在實數(shù)范圍內有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時，應同時考慮分母不為0.2.當a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？【選自教材第3頁練習第2題】（1）

；（2）

；（3）

；（4）.要使二次根式在實數(shù)范圍內有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若二次根式為分式的分母時，應同時考慮分母不為0.a≥1a≥a≤0a≤5練習

二次根式的實質是表示一個非負數(shù)（或式）的算術平方根.對于任意一個二次根式，必須滿足以下兩條：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個數(shù)或式的算術平方根，可知≥0.

二次根式的雙重非負性二次根式的被開方數(shù)非負二次根式的值非負歸納小結1.下列各式中一定是二次根式的是（

）.A. B. C. D.BD2.二次根式

中，字母x的取值范圍是（）.A.a＜2B.a≤2C.a≥2D.a＞2隨堂練習3.當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？（1）

；解：根據(jù)題意可得-x2+2x-1≥0，∴-(x2-2x+1)≥0.∴x2-2x+1≤0.∴(x-1)2≤0.∵(x-1)2≥0，∴當x=1時，

在實數(shù)范圍內有意義.（2）.解：根據(jù)題意可得-x2-2x-3≥0，∴-(x2+2x+3)≥0.∴x2+2x+3≤0.∴(x+1)2+2≤0.∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0.∴無論x為何實數(shù)，

在實數(shù)范圍內都無意義.被開方數(shù)是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當分組湊成含完全平方的形式，再進行分析討論.3.當x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？4.若+｜b-2｜+(c-1)2=0，求2a-b+3c的值.提示：多個非負數(shù)的和為0，則可得每個非負數(shù)均為0.初中階段學過的非負數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.解：由題意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.5.已知|3x-y-1|和

互為相反數(shù)，求x+4y的平方根．解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根為±3.1.若

，則x的取值范圍是_______.2.實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，試化簡：=_______.ab0x≤1-3b拓展提升二次根式定義在有意義條件下求字母的取值范圍雙重非負性帶有二次根號被開方數(shù)為非負數(shù)被開方數(shù)≥0分母≠0a≥0≥0課堂小結1.從教材習題中選取；2.

《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》相應課時訓練.課后作業(yè)同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家R·八年級數(shù)學下冊16.1二次根式二次根式的性質二次根式的定義一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號.a叫做被開方數(shù).復習回顧問題1：如圖，一塊正方形的方巾，面積為a，求它的邊長，并用所求得的邊長表示出面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？正方形的邊長為.用邊長表示正方形的面積為.又∵面積為a.∴=a.這個式子對所有的二次根式都成立嗎？探索新知問題2：驗證問題1的結論是否具有廣泛性，下面根據(jù)算術平方根及平方的意義填空，你又發(fā)現(xiàn)了什么？a(a≥0)024…02…()2024…算術平方根平方運算根據(jù)問題2直接寫出結果，然后根據(jù)問題2的探究過程說明理由：=____；=____；=____；=____.420把上述計算結論推廣到一般，并用字母表示：一般地，.即一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于它本身.例2

計算：（1）()2；

（2）()2.解：（1）()2=1.5；（2）()2積的乘方：(ab)2=a2b2=22×()2=4×5=20.1.計算：練習（1）()2；

（2）()2；【選自教材第4頁練習第1題】解：（1）()2=3；（2）()2=32×()2=9×2=18.2.在實數(shù)范圍內分解因式：（1）x2-7；

（2）x4-4x2+4.解：（1）x2-7=(x+)(x-)；（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-()2]2=(x+)2(x-)2這里逆用了()2=a(a≥0)在實數(shù)范圍內分解因式.在實數(shù)范圍內分解因式時，原來在有理數(shù)范圍內分解因式的方法和公式仍然適用.練習問題3：填一填，你發(fā)現(xiàn)了什么？a(a≥0)20.10…a240.010…20.10…平方運算算術平方根觀察兩者有什么關系？思考：當a＜0時，問題3中的結論還成立嗎？a(a＜0)﹣2﹣0.1﹣3…a240.013…20.13…平方運算算術平方根把得到的結論推廣到一般，并用含字母的二次根式表示：即任意一個數(shù)的平方的算術平方根等于它本身的絕對值.歸納小結運算順序先開方，后平方先平方，后開方取值范圍a≥0a取任何實數(shù)運算結果a｜a｜表示意義表示一個非負數(shù)a的算術平方根的平方表示一個實數(shù)a的平方的算術平方根討論：如何區(qū)別

與

？例3

化簡：（1）

；

（2）.解：（1）

==4；（2）

==5.3.說出下列各式的值：【選自教材第4頁練習第2題】（1）

；

（2）

；（3）

；

（4）.0.3﹣π練習問題4：回顧我們學過的式子，如5，a，a+2b，﹣ab，

，﹣x3，

，(a≥0)，這些式子有哪些共同特征？含有數(shù)或表示數(shù)的字母；用基本運算符號連接數(shù)或表示數(shù)的字母．

用基本運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.整式分式二次根式4.下列式子：(1)x;(2)a-b；(3)；(4)

；(5)m=1+n；(6)2x>1；(7)﹣2.其中是代數(shù)式的有().A.4個B.5個C.6個 D.7個B方法總結：單個的數(shù)字或字母也是代數(shù)式，代數(shù)式中不能含有“=”“>”或“<”等.練習2.當1<x<3時，的值為().A.3

B.﹣3 C.1 D.﹣11.化簡的結果是().A.±4 B.±2 C.4 D.﹣43.在下列各式中，不是代數(shù)式的是().A.3

B.3＞1+1 C. D.CDB隨堂練習4.a，b，c為三角形的三邊長，化簡：.解：由三角形兩邊之和大于第三邊得：a+b-c>0，a+c-b>0.∴=a+b-c+(a+c)-b=2a.已知a為實數(shù)，求代數(shù)式

的值.解：由題意可知﹣a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0.∴==2-3+0=﹣1.拓展提升二次根式的性質拓展a為全體實數(shù)課堂小結1.從教材習題中選??；2.

《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》相應課時訓練.課后作業(yè)同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家R·八年級數(shù)學下冊16.2二次根式的乘除二次根式的乘法

學校教學樓后有一矩形空地（長寬如圖所示），現(xiàn)在學校根據(jù)需要，想把它改建為草坪.若全部鋪滿，預算一下：需購買多少平方米的草皮呢？數(shù)學就在我們身邊計算下列各式：（1）=_______，=_______；（2）=_______，=_______；（3）=_______，=_______；2×3=64×5=205×6=30觀察計算結果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？探索新知觀察三組式子的結果，我們得到下面三個等式:你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？一般地，二次根式的乘法法則是二次根式相乘，根指數(shù)不變，被開方數(shù)相乘.語言描述：算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.a、b

必須都是非負數(shù)！在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù).歸納小結例1計算：解：(1)；(2)想一想：可先用乘法結合律，再運用二次根式的乘法法則.解：只需其中兩個結合就可實現(xiàn)轉化進行計算，說明二次根式乘法法則同樣適合三個及三個以上的二次根式相乘，即：想一想：可類比單項式乘單項式的法則計算.解：當二次根式根號外的因數(shù)不為1時，可類比單項式乘單項式的法則計算，即：一般地，由等式的對稱性，反過來：這個性質在有的地方稱之為“積的算術平方根的性質”.語言描述：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積.我們可以運用它來進行二次根式的解題和化簡.例2化簡：解：(1)(2)

被開方數(shù)4a2b3含4，a2，b2這樣的因數(shù)或因式，它們被開方后可以移到根號外，是開得盡方的因數(shù)或因式.化簡二次根式初步達到求簡意識：（1）被開方數(shù)進行因數(shù)或因式分解;（2）分解后把能開盡方的開出來.例2變式化簡：解：1.把被開方數(shù)分解因式（或因數(shù)）；2.把各因式（或因數(shù)）積的算術平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術平方根的積；3.如果因式中有平方式（或平方數(shù)），應用關系式

(a≥0)把這個因式（或因數(shù)）開出來，將二次根式化簡.化簡二次根式的步驟思考與交流：這位同學的做法對嗎？如果不對，請改正.×不對.被開方數(shù)的兩個因數(shù)是負數(shù)，不能直接套用積的算術平方根的性質.改正：例3計算：解：二次根式的性質解：例3變式計算：

學校教學樓后有一矩形空地（長寬如圖所示），現(xiàn)在學校根據(jù)需要，想把它改建為草坪.若全部鋪滿，預算一下：需購買多少平方米的草皮呢？1.分組答題.【選自教材第7頁練習第1、2題】練習15627712點擊標簽1、2觸發(fā)動畫2.一個長方形的長和寬分別是和．求這個長方形的面積.解：長方形的面積S【選自教材第7頁練習第3題】練習3.化簡二次根式.解：根據(jù)題意，知，所以x＜0.所以原式=易錯提醒：中，a，b必須是非負數(shù)！設x，y是有理數(shù)，且x，y滿足等式x+2y-=17+

，則的平方根是多少？解：因為x，y為有理數(shù)，所以x+2y為有理數(shù)，又因為x+2y-=17+，所以，解得.所以的平方根是±1．拓展探究二次根式乘法：正用：計算逆用：化簡簡單應用課堂小結1.教材第10,11頁習題16.2第1,5,6,7,12題；2.

《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》相應課時訓練.課后作業(yè)同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家16.2二次根式的乘除二次根式的除法R·八年級數(shù)學下冊二次根式的乘法法則：算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.計算公式逆用：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積.化簡復習回顧計算下列各式：（1）=_______，=_______；（2）=_______，=_______；（3）=_______，=_______.觀察計算結果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？探索新知一般地，二次根式的除法法則是語言描述：兩個數(shù)的算術平方根的商，等于這兩個數(shù)商的算術平方根.歸納小結例4計算：（1）

；（2）.解：（1）（2）像(2)中除式是分數(shù)或分式，先要轉化為乘法再進行運算.計算：（1）

；（2）

；（3）.解：（1）（2）=3；（3）類比單項式除以單項式法則.思考：是否是最簡的形式？鞏固練習類比有理數(shù)的乘法法則，把有理數(shù)的除法法則反過來，也有類似的性質.語言描述：兩個數(shù)商的算術平方根，等于這兩個數(shù)的算術平方根的商.我們可以運用它來進行二次根式的化簡.例5化簡：（1）

；（2）.解：（1）（2）還有其他解法嗎？補充解法：

你能從上面的解答過程中，總結一下二次根式的運算結果有什么特征嗎？①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)(或因式)；③分母中不含二次根式.最簡二次根式的概念歸納小結下列二次根式是否是最簡二次根式.（1）

；（2）

；（3）

；（4）.×××√①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)(或因式)；③分母中不含二次根式.最簡二次根式的概念：小試牛刀解：（1）問：你還能想出其他的方法嗎？解法1解法2：當分母中含有二次根式時，可以利用分式的基本性質，分子、分母同乘一個適當?shù)囊蚴?，化去分母中的根號，即進行分母有理化.例6計算：（1）

；（2）

；（3）.例6計算：（1）

；（2）

；（3）.解：（2）（3）小結：在二次根式的運算中，一般要把最后結果化成最簡二次根式.例7設長方形的面積為S，相鄰兩邊長分別為a,b.已知S=

，b=

，求a.解：因為S=ab，所以1.計算：練習【選自教材第10頁練習第1題】（1）

；（2）

；解：（1）（2）1.計算：【選自教材第10頁練習第1題】（3）

；（4）

；（3）（4）解：練習2.把下列二次根式化成最簡二次根式：（1）

；（2）

；（3）

；（4）

；【選自教材第10頁練習第2題】練習3.設長方形的面積為S，相鄰兩邊長分別為a，b．已知S=16，b=，求a.【選自教材第10頁練習第3題】解：因為S=ab，所以練習在物理學中有公式W=I2Rt，其中W表示電功（單位：焦耳），I表示電流（單位：安培），R表示電阻（單位：歐姆，t表示時間（單位：秒），如果已知W、R、t，求I，則有.若W=2400焦耳，R=100歐姆，t=15秒．試求電流I.解：當W=2400，R=100，t=15時，（安培）拓展提升一、二次根式的除法法則：(a≥0,b>0)二、最簡二次根式特征：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)(或因式)；③分母中不含二次根式.三、利用商的算術平方根的性質：(a≥0,b>0)四、思想方法：類比思想，轉化思想課堂小結1.從教材習題中選??；2.

《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》相應課時訓練.課后作業(yè)同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家二次根式的加減R·八年級數(shù)學下冊活動一、創(chuàng)設情境，導入新課

問題現(xiàn)有一塊長7.5dm、寬5dm的木板，能否采用如圖所示的方式，在這塊木板上截出兩個面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？5dm7.5dm8dm218dm2活動二、問題引入，自主探究1.活動一中問題的關鍵是要比較與7.5的大小，用計算器算一下成立嗎？5dm7.5dm8dm218dm2不成立.探究點1可以合并的二次根式5dm7.5dm8dm218dm22.將與化為最簡二次根式，看看它們可以合并嗎？

為什么？,,可以合并，由于它們有共同的因數(shù)，可以利用分配律進行合并.即5dm7.5dm8dm218dm2歸納總結：可以合并的二次根式：化簡為最簡二次根式后被開方數(shù)相同的二次根式.3.若和最簡二次根式可以合并，則m=______.2m-1=53[對應訓練]1.下列各式中，能與合并的是（）A.

B. C. D.2.下列各組二次根式中，化簡后能合并的是（）A.

B. C. D.DD探究點2二次根式的加減（1）；例1計算：（2）.解：（1）；（2）.[選自教材P13]例2計算：（1）；（2）.解：（1）（2）.[選自教材P13]1.計算，并說明其中的依據(jù).將看成共同的因式，依據(jù)是分配律.2.教材P13例1和例2的計算中先做了什么？后做了什么？先把每個二次根式化簡成了最簡二次根式，然后把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.

一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.歸納總結：3.比較二次根式的加減與整式的加減，你能得出什么結論？二次根式的加減,第一步是化簡,第二步是合并被開方數(shù)相同的二次根式,第二步類似于整式的加減中的合并同類項.[對應訓練]（1）；（3）.（2）；1.下列計算是否正確？為什么？錯誤，因為；錯誤，因為；正確.[選自教材P13]原式=；（1）；2.計算：[選自教材P13]（2）；（3）；（4）.

原式=；原式=；原式=.3.如圖，兩個圓的圓心相同，它們的面積分別是12.56和25.12.

求圓環(huán)的寬度d（π取3.14，結果保留小數(shù)點后兩位）.d[選自教材P13]解：設大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，答：圓環(huán)的寬度d

約為0.83.[鞏固練習]1.可以合并的二次根式例1若最簡二次根式與二次根式可以合并，求a，b

的值.解：首先把二次根式化為最簡二次根式，即由題意得解得故a=1，b=1.4a+3b=2a-b+6，3a-b=2，a=1，b=1.2.二次根式的加減例2已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求的值.解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0，∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0，∴(2x-1)2+(y-3)2=0.∴x=，y=3.當x=，y=3時，3.二次根式的大小比較方法：比較二次根式的大小，通常有

平方比較法、作差比較法、作商比較法、倒數(shù)比較法、分子

有理化法等.（1）運用平方法如：比較和的大小.解：∵()2=32×2=18，()2=22×3=12，又18>12，∴>

.（2）運用作差法如：比較和的大小.解：∵()2=32×2=18，()2=22×3=12，∴>

.（3）運用作商法如：比較和的大小.解：∵，∴>

.（4）運用倒數(shù)法如：比較和的大?。ㄆ渲衝

為正整數(shù)）.解：∵，又n為正整數(shù)，∴，∴.（5）運用分子有理化法如：比較和的大小.解：∵，又，∴

，即.[課堂總結]什么樣的二次根式可以合并？二次根式的加減的一般步驟是怎樣的？類比整式的加減二次整式的加減化簡合并計算應用[作業(yè)布置]1.教材P15習題16.3第1，2，3，5題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練.同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家二次根式的混合運算R·八年級數(shù)學下冊活動一：創(chuàng)優(yōu)情境，導入新課【情境導入】生活中有許多梯形，比如足球球門的側面.如果一個梯形的上、下底邊長分別為，，高為，那么它的面積是多少？狀狀是這樣算的：他的作法正確嗎？正確活動二：問題引入，自主探究探究點1二次根式的混合運算1.對比(a+b)c=________，想想成立的依據(jù)是什么？ac+bc分配律2.類似地，參考(a+b)÷c=_____________，(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn，計算：a÷c+b÷c（1）；計算：[選自教材P14]（2）

；解：

[對應訓練]（3）

；探究點1二次根式的混合運算1.對比(a+b)(a-b)=______，想想該怎么計算？a2–b2（1）

；2.類似地，參考(a+b)2=_________；(a-b)2=_________，計算：a2+2ab+b2a2-2ab+b2（2）

；[對應訓練]計算：（1）

；（2）

；（3）

；（4）

；（5）

.[對應訓練]計算：（1）

；（2）

；（3）

；（4）

；（5）

.活動三：重點突破，提升探究例1計算：（1）

；（2）

；（3）

.（1）

；（2）

；（3）

.例2已知a=3+，b=3-，求a2b-ab2

的值.[對應訓練]1.計算：（1）

；（2）

；（3）

.

2.先化簡，再求值：，其中.【習題16.3】1.下列計算是否正確？為什么？（1）

；（2）

；（3）

；（4）

.不正確，

與

不能合并；不正確，

與

不能合并；不正確，

；不正確，.[選自教材P15]2.計算：[選自教材P15]（1）

；（2）

；解：

（3）

；（4）.3.計算：[選自教材P15]（1）

；（2）

；解：

（3）

；（4）

；（1）

；4.計算：[選自教材P15]（2）

；解：

（3）

；（4）

.解：

5.已知

，求

的近似值（結果保留小數(shù)點后兩位）.[選自教材P15]解：

6.已知

，

，求下列各式的值：[選自教材P15]7.如圖，在Rt△ABC

，∠C=90°，CB=CA=a，求

AB

的長.（提示：作出

AB

邊上的高，借助△ABC的面積求解.）[選自教材P15]解：如圖，過點

C

作

CD⊥AB于點

D.因為

CB=CA，∠ACB=90°，所以∠A=∠B=45°.又CD⊥AB，所以∠A=∠DCA=45°，所以

CD=AD.同理

CD=BD，故

CD=AB.由三角形面積公式可知

AB·CD=AC·CB，即

AB·AB=a·a，所以

AB==.ABCD[選自教材P15]8.已知

，求

的值.（提示利用

與

之間的關系.）9.在下列各方程后面的括號內分別給出了一組數(shù)，

從中找出方程的解：[選自教材P15]解：運用代入法檢驗得到：【課堂總結】以前學過的運算律、運算法則和乘法公式在二次根式的混合運算中依然適用嗎？二次根式的混合運算最后的計算結果有什么要求？類比整式的混合運算二次根式的混合運算運算順序運算律化簡最簡形式同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家第十六章二次根式單元解讀R·八年級下冊了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算.課標分析“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言，初中階段關注用字母表述代數(shù)式，以及代數(shù)式的運算，字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理，通過字母運算和推理得到的結論具有一般性.數(shù)與代數(shù)領域的學習，有助于學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運算能力.課標要求本章主要討論如何對數(shù)和字母開平方而得到的特殊式子——二次根式的加、減、乘、除運算.通過本章學習，學生將建立起比較完善的代數(shù)式及其運算的知識結構，并為勾股定理、一元二次方程、二次函數(shù)等內容的學習作好準備.教材分析二次根式的縱向聯(lián)系七年級上冊第一章有理數(shù)第二章整式的加減七年級下冊第六章實數(shù)八年級上冊第十四章整式的乘法與因式分解第十五章分式八年級下冊第十七章勾股定理九年級上冊第二十一章一元二次方程第二十二章二次函數(shù)教材分析概念二次根式的定義二次根式有意義的條件二次根式的加法二次根式的減法混合運算運算分母有理化最簡二次根式二次根式化簡的一般步驟化簡性質二次根式教材分析二次根式的橫向聯(lián)系教材分析16.1二次根式研究二次根式的概念和性質.教材通過幾個具體問題，引導學生根據(jù)已學的平方根和算術平方根的知識寫出結果，并概括它們的共同特點，引出二次根式的概念.理解被開方數(shù)不能是負數(shù)的要求是理解二次根式概念的關鍵，教材結合例題對此進行了具體分析.16.2二次根式的乘除通過探究，引導學生利用二次根式的性質，從具體數(shù)字的運算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而歸納得出二次根式的乘法法則、除法法則.最簡二次根式的概念是加減運算的基礎，實際上也是對二次根式運算結果的一種要求，同時也為二次根式的運算明確了方向.16.3二次根式的加減采用歸納的方法，從特殊到一般，引導學生概括了二次根式加減運算法則，并通過幾個二次根式混合運算的例題，引導學生認識二次根式和整式在性質、運算法則上的一致性.學習目標經(jīng)歷探索二次根式的性質以及有關運算法則的過程，理解二次根式的有關運算的算理，進一步發(fā)展觀察、操作、概括等能力，發(fā)展有條理的思考能力以及語言表達能力01了解二次根式、最簡二次根式的概念，會辨別最簡二次根式，理解二次根式的性質02能熟練地進行二次根式的化簡和二次根式的加、減、乘、除四則運算03能利用二次根式的知識解決實際問題，在解決問題的過程中體會數(shù)學的應用價值04教材分析01教學重點（1）二次根式的化簡與運算方法，關鍵是正確了解與運用二次根式的概念與性質；（2）學習二次根式的有關概念與性質，直接目的就是為了熟練地掌握二次根式的化簡與運算.02教學難點正確理解與運用二次根式的性質加強符號意識、運算能力的培養(yǎng)教材分析概念性質運算引入二次根式的加法與減法.然后，二次根式的乘法與除法.最后，在二次根式四則運算的基礎上，講述二次根式的簡單混合運算通過觀察、操作、歸納、類比等方法，給出二次根式的概念介紹二次根式的性質，包括一個非負數(shù)的平方的算術平方根的性質、積的算術平方根和商的算術平方根的性質，并歸納出最簡二次根式的概念教材分析設計思路本章是初中階段“數(shù)與式”內容的最后一章.實際上，二次根式并不是一個全新的概念，它是一個非負數(shù)，是非負數(shù)的算術平方根概念的一般表示.因此，本章內容的核心是以二次根式這一特殊的“式”為載體，進一步引導學生體會運算在代數(shù)中的核心地位，學習用運算法則進行運算，體會運算法則的邏輯相容性，體會運算律在代數(shù)中的基礎地位.本章教學時間約需9課時，具體分配如下（僅供參考）：教學內容建議課時16.1二次根式2課時16.2二次根式的乘除3課時16.3二次根式的加減2課時數(shù)學活動實踐作業(yè)章末小結2課時單元整體規(guī)劃3個概念：二次根式，代數(shù)式，最簡二次根式4個性質：()2=a(a≥0)；=｜a｜=積的平方根的性質(a≥0，b≥0)；商的平方根的性質(a≥0，b＞0)3種運算：二次根式的乘除運算，二次根式的加減運算，二次根式的混合運算2個互逆過程：

(a≥0，b≥0),二次根式的乘法積的算術平方根的性質(a≥0，b＞0)二次根式的除法商的算術平方根的性質3種思想方法：整體思想，轉化思想，分類討論思想本章內容要點注意代數(shù)學的整體性01作為初中階段“數(shù)與式”內容的最后一章，本章不僅承擔二次根式的知識教學任務，而且也有整理“數(shù)與式”的內容、方法和基本思想的任務.因此，教學時一定要有整體觀.具體包括：（1）從運算的角度提出學習任務，在分析開方運算的意義中使學生認識被開方數(shù)為非負數(shù)的合理性，并通過簡單的變式，使學生養(yǎng)成“看到根號就要注意被開方數(shù)的符號”的習慣；（2）對于二次根式的性質，要注意從“考察特例”的角度提出問題，并注意從聯(lián)系性中發(fā)現(xiàn)它們的關系；（3）對于二次根式的運算，要注意放在代數(shù)運算這個大系統(tǒng)下，加強“從概念到法則”“利用運算律進行運算”“利用乘法公式簡化運算”等思想方法的教學；（4）教學中，結合具體內容進行“聯(lián)系性的教學”，使學生通過本章學習建立完整的代數(shù)知識結構，并進一步地體會代數(shù)問題的基本研究方法.本章教學建議前已指出，教材對本章內容的處理，一以貫之地用“從具體數(shù)字的算術平方根的運算中觀察規(guī)律，歸納得出二次根式的性質、運算法則”的方式展開.因此，教學時一定要根據(jù)教材的這一編寫意圖，讓學生通過觀察、思考、討論等，經(jīng)歷從特殊到一般的過程，歸納得出有關結論.例如，對于二次根式的乘法法則和除法法則，都應該先讓學生利用二次根式的概念和性質進行一些具體數(shù)字的計算，并觀察所得結果，發(fā)現(xiàn)二次根式相乘(除)與積(商)的算術平方根之間的關系；然后讓學生自己舉例，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行驗證性計算；最后歸納出二次根式的乘法、除法法則.本章教學建議加強歸納法，使學生經(jīng)歷從特殊到一般的認識過程02運算技能的訓練是代數(shù)教學的基本任務，本章的“訓練點”在兩個方面：一是“用二次根式的運算法則進行運算”，核心是有效地利用二次根式的性質和乘法法則、除法法則，其中將各式轉化為最簡二次根式是關鍵步驟；二是運算習慣的培養(yǎng)，與“數(shù)感”“符號意識”等相關，具體可以從“先觀察，后計算”“先化為最簡二次根式，后計算”“利用乘法公式進行計算”等方面著手.本章教學建議加強運算技能訓練，提高運算能力03同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家整理與復習二次根式人教版八年級下冊知識梳理知識梳理概念二次根式的定義二次根式有意義的條件二次根式的加法二次根式的減法混合運算運算分母有理化最簡二次根式二次根式化簡的一般步驟化簡性質二次根式知識梳理知識梳理3個概念：二次根式，代數(shù)式，最簡二次根式4個性質：()2=a(a≥0)；=｜a｜=積的平方根的性質

(a≥0，b≥0)；商的平方根的性質

(a≥0，b＞0)3種運算：二次根式的乘除運算，二次根式的加減運算，二次根式的混合運算2個互逆過程：

(a≥0，b≥0),二次根式的乘法積的算術平方根的性質(a≥0，b＞0)二次根式的除法商的算術平方根的性質3種思想方法：整體思想，轉化思想，分類討論思想1．當x是怎樣的實數(shù)時，在實數(shù)范圍內有意義？2．什么叫最簡二次根式？你能舉出一些最簡二次根式的例子嗎？

3．請你分別舉例說明二次根式的加、減、乘、除運算法則。被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.回顧與思考1.當

x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義？（1）3+x≥0x≥-3（2）2x-1＞0（3）2-3x＞0（4）x-1≠0x≠1【選自教材第19頁復習題16第1題】復習鞏固復習鞏固x＞x＜2.化簡：解：（1）原式=（2）原式（3）原式【選自教材第19頁復習題16第2題】復習鞏固復習鞏固（4）原式（5）原式（6）原式復習鞏固3.計算：解：（1）原式=【選自教材第19頁復習題16第3題】復習鞏固復習鞏固（2）原式=復習鞏固復習鞏固（3）原式（4）原式復習鞏固復習鞏固（5）原式復習鞏固復習鞏固（6）原式復習鞏固4.正方形的邊長為

acm，它的面積與長為

96cm、寬為

12cm的長方形的面積相等.求

a的值.解：由題意得：答：a的值為【選自教材第19頁復習題16第4題】復習鞏固5.已知x=，求代數(shù)式的值.【選自教材第19頁復習題16第5題】綜合運用解：將代入得：

答：代數(shù)式

的值為6.已知x=，求代數(shù)式的值.【選自教材第19頁復習題16第6題】綜合運用解：代數(shù)式變形得：

答：代數(shù)式的值為7.電流通過導線時會產(chǎn)生熱量，電流I（單位：A）、導線電阻R（單位：Ω）、通電時間t（單位：s）與產(chǎn)生的熱量Q（單位：J）滿足Q=.已知導線的電阻為5Ω，1s時間導線產(chǎn)生30J的熱量，求電流I的值（結果保留小數(shù)點后兩位）.【選自教材第19頁復習題16第7題】綜合運用解：由題意得：答：電流

I的值約為2.45A.

I≈2.458.已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，求n的最小值.【選自教材第19頁復習題16第8題】拓廣探索解：又

n是正整數(shù)，也是正整數(shù)所以n的最小值是21.9.（1）把一個圓心為點O,半徑為r的圓的面積四等分.請你盡可能多地設想各種分割方法.解：(1)如圖所示：【選自教材第19頁復習題16第9題】拓廣探索（2）如圖，以點O為圓心的三個同心圓把以OA為半徑的大圓O的面積四等分.求這三個圓的半徑OB,OC,OD的長.AOBCD拓廣探索解：由題意得：故：

10.如圖，判斷下列各式是否成立：類比上述式子，再寫出幾個同類型的式子，你能看出其中的規(guī)律嗎？用字母表示這一規(guī)律，并給出證明.【選自教材第20頁復習題16第10題】拓廣探索解：拓廣探索證明：同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家第十六章二次根式數(shù)學活動人教版八年級下冊

1活動一書籍和紙張的長與寬都有固定的尺寸，常用紙張的規(guī)格由下列兩個表給出（單位：mm）：A型寬×長A5148×210A4210×297A3297×420A2420×594A1594×841B型寬×長B5182×257B4257×364B3364×515B2515×728B1728×1030（1）使用計算器求出各規(guī)格紙張長與寬的比值，你有什么發(fā)現(xiàn)？各規(guī)格紙張的長與寬的比有什么關系？A型寬×長A5148×210A4210×297A3297×420A2420×594A1594×841B型寬×長B5182×257B4257×364B3364×515B2515×728B1728×1030A型寬×長長/寬A5148×210A4210×297A3297×420A2420×594A1594×8411.4189...1.4142...1.4141...1.4142...1.4158...B型寬×長長/寬B5182×257B4257×364B3364×515B2515×728B1728×10301.4120...1.4163...1.4148...1.4135...1.4148...你發(fā)現(xiàn)了什么？不論是A型還是B型，順次兩個型號的紙張，小號的紙張的長是大號紙張的寬.想一想，折一折，你的猜測正確嗎？

順次兩個型號的紙張，小號的紙張的長是大號紙張的寬.長和寬的比近似.（2）測量教科書與課外讀物的長與寬，看看它們的長與寬的比是否也有類似確定的關系？做長方體紙盒2活動二做一個底面積為24cm2，長、寬、高的比為4：2：1的長方體。解：設長方體的長為4xcm，則寬為2xcm，高為xcm.由題意，得4x·2x=24解得x=或x=-

（舍去）.所以，長4x=4，寬2x=2，高x=.（1）這個長方體的長、寬、高分別是多少？你還能想到別的辦法嗎？如何畫出一條長為的線段？（2）長方體的表面積是多少？解：長方體的表面積=84（cm2）.（3）長方體的體積是多少？解：長方體的體積=2×（4×2＋2×＋4×）=4×2

×=24（cm3）.隨堂練習在數(shù)軸上與表示的點的距離最近的整數(shù)點所表示的數(shù)是_________.一個長方形魚塘的長是寬的2倍，其面積是1600m2，魚塘的長是________，寬是_________.已知等腰直角三角形的直角邊的長度是，那么這個等腰直角三角形的面積是_________.214020課后思考通過本節(jié)數(shù)學活動的研究，你有什么收獲？同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家17.1勾股定理>>>勾股定理R·八年級數(shù)學下冊復習回顧我們學習了直角三角形的哪些性質？直角三角形的兩個銳角互余.在直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半.直角三角形還有哪些性質？探索新知相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家作客……帶著發(fā)現(xiàn)的眼睛.圖中三個正方形面積貌似有著某種關系.ABSC=SA+SBabc2=a2+b2在等腰直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.Cc探究直角三角形三邊的關系A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位面積）491392534A,B,C的面積關系SA+SB=SC直角三角形三邊關系a2+b2=c2探究猜一猜：直角三角形三邊之間應該有什么關系？猜想：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.探究利用拼圖來驗證猜想：1.準備4個全等的直角三角形（設直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c）.2.你能用這四個直角三角形拼成一個以斜邊c為邊長的正方形嗎？拼一拼算算看！abcabacbcab大正方形的面積可以表示為c2.也可以表示為.4×

ab+(b-a)2∵c2=4×

ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2∴c2=a2+b2趙爽弦圖朱實黃實

在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股此結論被稱為“勾股定理”.

古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯，在公元前5世紀給出了這個定理的證明，所以在國外這個定理也稱為畢達哥拉斯定理，相傳他證出這個定理后非常高興，宰了一百頭牛進行慶祝，于是也有人把它稱為“百牛定理”.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2.幾何語言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2.勾股定理勾股定理和人類文明

我國是最早了解勾股定理的國家之一.早在三千多年前，周朝數(shù)學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中．在我國勾股定理也叫做“商高定理”.畢達哥拉斯：利用拼接圖形的面積法重新組合勾股定理的證明S左=a2+b2+4×

abS右=c2+4×

ab∵S左=S右∴a2+b2=c2加菲爾德：梯形面積法題設：Rt△ABC≌Rt△CDE易證：△ACE為直角三角形，四邊形ABDE為梯形S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE即(a+b)(a+b)=×2×ab+c2化簡得：a2+b2=c2勾股定理的證明劉徽：青朱出入圖以直角三角形的勾、股、弦為邊，分別作出正方形勾自乘為朱方股自乘為青方弦2=朱方+青方弦2=勾2+股2勾股定理的證明

勾股定理在數(shù)學發(fā)展中起到了重大的作用，其證明方法據(jù)說有400多種，有興趣的同學可以繼續(xù)研究，或到網(wǎng)上查閱勾股定理的相關資料.勾股定理的證明練習1.設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.【選自教材第24頁練習第1題】abca2+b2=c2b=8c=13a=20隨堂練習2.如圖所示，已知以直角三角形的三邊為邊長做3個正方形，求出其中問號正方形的面積.36100？S=643.如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的邊長分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.【選自教材第24頁練習第2題】練習解：根據(jù)圖形正方形E的邊長為:故E的面積為：252=625.4.求證：S1+S2=S3.S2S3bcS1a證明：由圓的面積計算公式可知：S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2，則S1+S2=π(a2+b2)，在直角三角形中，a2+b2=c2，∴S1+S2=S3.

如圖，已知長方形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的長.解：∵∠A=∠C′=∠C=90°,∠AEB=∠C′ED，AB=C′D,∴△AEB≌△C′ED.∴AE=C′E,∴C′E=AD-ED=8-ED.又在△EC′D中，ED2=C′E2+C′D2.∴ED2=(8-ED)2+42，解得ED=5.拓展延伸歷史背景實踐探究體驗應用數(shù)學啟示數(shù)學思想：數(shù)形結合思想特殊到一般的思想轉化思想分類討論思想觀察猜想實踐得出結論課堂小結1.從教材習題中選??；2.

《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》相應課時訓練.課后作業(yè)同學們，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲呢？謝謝大家17.1勾股定理>>>勾股定理的應用R·八年級數(shù)學下冊勾股定理

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2.幾何語言：在Rt△