數(shù)字電子技術(shù)課件新章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

函數(shù)的簡化依據(jù)

邏輯電路所用門的數(shù)量少

每個門的輸入端個數(shù)少

邏輯電路構(gòu)成級數(shù)少

邏輯電路保證能可靠地工作降低成本提高電路的工作速度和可靠性2.5邏輯函數(shù)的化簡最簡式的標(biāo)準(zhǔn)

首先是式中乘積項最少

乘積項中含的變量少

與或表達(dá)式的簡化與門的輸入端個數(shù)少方法：

并項：利用將兩項并為一項，且消去一個變量B

消項：利用A+AB=A消去多余的項AB

配項：利用和互補(bǔ)律、

重疊律先增添項，再消去多余項BC

消元：利用消去多余變量A2.5.1代數(shù)化簡法

實現(xiàn)電路的與門少例用并項法化簡

下列邏輯函數(shù)

F1=ABCD+ABCDF2=AB+ACD+AB+ACD

解：F1=A(BCD+BCD)=AF2=A(B+CD)+A(B+CD)=（B+CD

）（A+A）

=（B+CD）2.吸收法

利用定理：A+AB=A可將AB項消去。A和B同樣也可以是任何一個復(fù)雜的邏輯式。例:用吸收法化簡下列邏輯函數(shù)F1=(AB+C)ABD+ADF2=AB+ABC+ABD+AB(C+D)解：F1=［(AB+C)B］AD+AD=ADF2=AB+AB[C+D+（C+D)］=AB

3.消項法

利用定理5：AB+AC+BC=AB+AC及

AB+AC+BCD=AB+AC將BC或BCD消去。其中A、B、C、D都可以是任何復(fù)雜的邏輯式。例用消項法化簡下列邏輯函數(shù)

F1=AC+AB+B+C=AC+BCF2=ABCD+ABE+ACDE=(AB)CD+(AB)E+(CD)EA=ABCD+ABE4.消因子法

利用定理2：A+AB=A+B可將AB中的A消去。A、B均可以是任何復(fù)雜的邏輯式。例利用消因子法化簡下列邏輯函數(shù)

F1=B+ABCF2=AB+B+AB解：F1=B+ABC=B+ACF2=AB+B+AB=A+B+AB=A+B

5.配項法

(1)根據(jù)基本公式中的A+A=A可以在邏輯函數(shù)式中重復(fù)寫入某一項，有時能獲得更加簡單的化簡結(jié)果。例化簡邏輯函數(shù)F=ABC+ABC+ABC。解：若在式中重復(fù)寫入ABC，則可得到

F=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB(C+C)+BC(A+A)=AB+BC代數(shù)法化簡函數(shù)例：簡化函數(shù)解：利用反演律配項加AB消因律消項AB

或與表達(dá)式的簡化F（或與式）求對偶式F

（與或式）簡化F

（最簡與或式）求對偶式F（最簡或與式）化簡利用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式對邏輯代數(shù)式進(jìn)行運算，消去式中多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子。例：Y=A+A’B(A’+C’D)+A’B’CD’代數(shù)法化簡函數(shù)例：試簡化函數(shù)解：消項DEF消因律

或與表達(dá)式的簡化F（或與式）求對偶式F

（與或式）簡化F

（最簡與或式）求對偶式F（最簡或與式）

卡諾圖（K圖）AB00011011m0m1m2m3BBAAABABBA1010m0m2m1m3miCAB01000111100001111000011110m0m2m4m6m1m3m5m7m0m4m8m12m1m5m9m13m3m7m11m15m2m6m10m14CDAB二變量K圖三變量K圖四變量K圖2.5.2卡諾圖化簡法圖中的一小格對應(yīng)真值表中的一行，即對應(yīng)一個最小項，又稱真值圖。ABABK圖的特點圖形法化簡函數(shù)

k圖為方形圖。n個變量的函數(shù)k圖有2n個小方格，分別對應(yīng)2n個最小項；

k圖中行、列兩組變量取值按格雷碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?nèi)，只有一個因子不同。

有三種相鄰：幾何、相對（行列兩端）和對稱相鄰（圖中以0、1分割線為對稱軸）方格均屬相鄰。P350001111000011110m0m4m8m12m1m5m9m13m3m7m11m15m2m6m10m14CDAB四變量K圖圖形法化簡函數(shù)0001111000011110m0m4m8m12m1m5m9m13m3m7m11m15m2m6m10m14CDAB四變量K圖兩個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去一個變量CBDCBC1四個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去兩個變量。八個相鄰格圈在一起，結(jié)果消去三個變量。十六個相鄰格圈在一起，結(jié)果

mi=1

卡諾圖化簡函數(shù)規(guī)則

幾何相鄰的2i（i=1、2、3…n）個小格可合并在一起構(gòu)成正方形或矩形圈，消去i個變量，而用含（n-i）個變量的積項標(biāo)注該圈。圖形法化簡函數(shù)

與或表達(dá)式的簡化步驟

先將函數(shù)填入相應(yīng)的卡諾圖中，存在的最小項對應(yīng)的方格填1，其它填0或不填。

合并：按作圈原則將圖上填1的方格圈起來，要求圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍，但每個圈內(nèi)必須有新的最小項。

每個圈寫出一個乘積項，按取同去異原則

最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達(dá)式。

根據(jù)函數(shù)填寫卡諾圖1、已知函數(shù)為最小項表達(dá)式，存在的最小項對應(yīng)的格填

1，其余格均填0或不填；2、若已知函數(shù)的真值表，將真值表中使函數(shù)值為1的那些最小項對應(yīng)的方格填1，其余格均填0；例子3、函數(shù)為一個復(fù)雜的運算式，則先將其變成與或式，再用直接法填寫。例子

作圈的步驟1、孤立的單格單獨畫圈；2、圈的數(shù)量少、范圍大，圈可重復(fù)包圍但每個圈內(nèi)必須有新的最小項；3、含1的格都應(yīng)被圈入，以防止遺漏積項。圖形法化簡函數(shù)例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非—與非式。解：0100011110001110CDABAB111111BCD11ACDABC11AC1111m14,m15兩次填10000圖形法化簡函數(shù)例：圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡諾圖ABCF00000101001110010111011100111000ABC0100011110

1

1100000010111001110圖形法化簡函數(shù)例：圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡諾圖ABCF00000101001110010111011100111000ABC010001111011100000ABABCF=ABC+AB得：圖形法化簡函數(shù)為了更有規(guī)律的化簡邏輯函數(shù)，先來看幾個概念

蘊(yùn)涵項在函數(shù)的與或表達(dá)式中，每一個與項稱為該函數(shù)的~。對應(yīng)在卡諾圖中它就是一個卡諾圈。

質(zhì)蘊(yùn)涵函數(shù)中的蘊(yùn)涵項不是該函數(shù)的其它蘊(yùn)涵項的子集，則此蘊(yùn)涵項稱為~，在卡諾圖中稱之為極大圈。

實質(zhì)最小項只被一個質(zhì)蘊(yùn)涵所覆蓋的最小項稱為~，又稱實質(zhì)1單元。

必要質(zhì)蘊(yùn)涵包含實質(zhì)最小項的質(zhì)蘊(yùn)涵，稱為~，在卡諾圖上稱為必要極大圈。

卡諾圖上的最小覆蓋挑選數(shù)目最少的質(zhì)蘊(yùn)涵（極大圈），即覆蓋了卡諾圖上所有標(biāo)1的小方格，這就是~。例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非—與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡得：最簡與非—與非式為：圖形法化簡函數(shù)用卡諾圖化簡1.F=∑m4（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）2.F（ABCD）=AD+ABD+ABCD+ABCD3.F（ABC）=AB+BC+BC+AB卡諾圖化簡的另一種方法—圈0法

如果一個邏輯函數(shù)用卡諾圖表示后，里面的0很少且相鄰性很強(qiáng)，這時用圈0法更簡單。但要注意，圈0后，應(yīng)寫出反函數(shù)F，再取反，得原函數(shù)卡諾圖化簡的另一種方法—圈0法F=∑m4（0,1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15）

2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式一、約束項、任意項和無關(guān)項1、約束項：在具體邏輯電路中，某些邏輯變量的取值不是任意的，對輸入變量取值所加的限制稱為約束，同時，把這一組變量稱為具有約束的一組變量。若有三個邏輯變量ABC分別表示一臺電動機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止，即A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止，則ABC取值只能是001、010、100，而不能是其它5種組合2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式1、約束項：即具有約束A?B?C=A?B?C=A?B?C=A?B?C=A?B?C=0A?B?C+A?B?C+A?B?C+A?B?C+A?B?C=0這些恒等于0的最小項稱為約束項2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式2、任意項：任意項指輸入在某些取值下函數(shù)取值01均可，并不影響電路功能。例：在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關(guān)系2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式紅燈綠燈黃燈車ABCF000×00100101011×000101×10×111×2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式

在這個函數(shù)中，有5個最小項是不會出現(xiàn)的，如三個燈都亮，都不亮，因為一個正常的系統(tǒng)不可能出現(xiàn)這樣的情況，如果出現(xiàn)了，車也可以停也可以行，即邏輯任意值，對應(yīng)的5個最小項稱為任意項2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式3、無關(guān)項：存在約束的情況下，由于約束項恒為0，所以既可以把約束項放到邏輯函數(shù)中，也可以在邏輯函數(shù)中刪除某些約束項，同樣，任意項也可以寫入或不寫入，因而把任意項和約束項統(tǒng)稱這無關(guān)項。無關(guān)項在卡諾圖中用d或×

表示。帶有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式為F=∑m3（）+∑d3（）2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式定義：當(dāng)函數(shù)輸出與某些輸入組合無關(guān)時，這些輸入組合稱為無關(guān)項。產(chǎn)生原因：①這些輸入組合在正常操作中不會出現(xiàn)(即輸入具有約束條件)；②即使這些輸入可能出現(xiàn)(即輸入不具有約束條件)，但實際上輸出與它們無關(guān)。2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式

化簡具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)時，要充分利用無關(guān)項可以當(dāng)0也可以當(dāng)1的特點，盡可能擴(kuò)大卡諾圈，使邏輯函數(shù)更簡。只包含一個最小項F=A?B?C如果把它相鄰的三個d當(dāng)作1，則卡諾圈包含四個最小項，F(xiàn)=B，其含義為，只要綠燈亮，車就行ddd00d1dAB0001111001C2.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式

某邏輯函數(shù)輸入是8421BCD碼（即不可能出現(xiàn)1010～1111這6種輸入組合），其邏輯表達(dá)式為F=∑m4（1,4,5,6,7,9）+∑d4（10,11,12,13,14,15）用卡諾圖法化簡該邏輯函數(shù)。不考慮無關(guān)項F=AB+BCD111111AB000111100001CD11102.5.3利用無關(guān)項輸入簡化函數(shù)表達(dá)式

某邏輯函數(shù)輸入是8421BCD碼（即不可能出現(xiàn)1010～1111這6種輸入組合），其邏輯表達(dá)式為F=∑