內(nèi)蒙古呼和浩特市2022年中考數(shù)學(xué)試題真題（含答案+解析）

內(nèi)蒙古呼和浩特市2022年中考數(shù)學(xué)真題

一、單選題

1.（2022?呼和浩特）計(jì)算-3-2的結(jié)果是（）

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的減法

【解析】【解答】解：—3—2=—3+（—2）=—5.

故答案為：C.

【分析】直接計(jì)算即可。

2.（2022?呼和浩特）據(jù)2022年5月26日央視新聞報(bào)道，今年我國(guó)農(nóng)發(fā)行安排夏糧收購(gòu)準(zhǔn)備金1100

億元.數(shù)據(jù)“1100億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.1x1012B.1.1x1011C.11xIO10D.0.11x1012

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法一表示絕對(duì)值較大的數(shù)

【解析］【解答】解：1100億=110000000000=1.1x1011,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的一般式：axion,其中l(wèi)Wa<10,n為正整數(shù)。

3.（2022?呼和浩特）不透明袋中裝有除顏色外完全相同的。個(gè)白球、b個(gè)紅球，則任意摸出一個(gè)球是紅

球的概率是（）

A°B°C----D-

A.申aa+bU-b

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】概率公式

【解析】【解答】?.?共有（a+b）個(gè)球，其中紅球b個(gè)

???從中任意摸出一球，摸出紅球的概率是金.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)概率公式可得答案。

4.（2022?呼和浩特）圖中幾何體的三視圖是（）

B

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖

【解析】【解答】由幾何體可知，該幾何體的三視圖為

故答案為：C

【分析】根據(jù)三視圖的定義可得答案。

5.（2022?呼和浩特）學(xué)校開展“書香校園，師生共讀”活動(dòng)，某學(xué)習(xí)小組五名同學(xué)一周的課外閱讀時(shí)間

（單位：h）,分別為：4,5,5,6,10.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差是（）

A.6,4.4B.5,6C.6,4.2D.6,5

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；方差

【解析】【解答】解：平均數(shù)為表4+5+54-6+10）=6;

方差為專[（4-6）2+（5-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（10-6）2]=4.4.

故答案為：A

【分析】先求出平均數(shù)，再求出方差即可。

6.（2022?呼和浩特）下列運(yùn)算正確的是（)

A.xV8=±2B.(m+n)2=m2+n2

n-2y29x2

C.D

x—1X=X-+=-藥

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；完全平方公式及運(yùn)用；分式的乘除法；分式的加減法

【解析】【解答】解：A.J1XV8=V4=2;故此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意;

B.(m4-n)2=m2+2mn+n2,故此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C?告一1=一宗馬，故此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D.3xy+=3xy-=一號(hào)計(jì)算正確，符合題意，

故答案為：D.

【分析】逐項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算判斷即可。

7.(2022?呼和浩特)如圖，△ABC中，乙4cB=90。，將△2BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC,使點(diǎn)2的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在4B邊上，4C、EC交于點(diǎn)F.若乙BCD=a,貝“EFC的度數(shù)是(用含a的代數(shù)式表示)

()

1142

A.90。+加B.90°-1aC.180°D.|a

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：.將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△￡1￡>(：,SLABCD=a

，BC=DC,ZACE=a,NA=NE,

.?.ZB=ZBDC,

=乙BDC=18(^—■=90°-*，

：.^A=NE=90°一乙B=90°-90。+*=.

Z-A=Z.E=當(dāng)

乙EFC=180°-AACE-乙E=180°-a-^=180°-^a,

故答案為：C.

【分析】將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AEOC,且/BCO=a,BC=DC,ZACE=a,NA=NE,

NB=/BDC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理zB=zBDC=竺學(xué)工=90。一系乙4=4=90。-ZB=等

ZZ,

ry.yyO

="=2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理NEFC=180°-AACE-Z-E=180°-a-^=180°-1a?

8.(2022?呼和浩特)已知xi，%2是方程好一支一2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式尺一2022勺+蛀的

值是()

A.4045B.4044C.2022D.1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：解：:Xi，冷是方程X2-“一2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

...x/—2022=打，%i%2=-2022,%i+%2=1

=xx2222

—2022xi+%2i(i—2022)+x2=x/+%2=(巧+%2)—2x-[X2=1-2x(—2022)

=4045

故答案為：A

=

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得x/一2022=%i，%i%2—2022,xx+x2=1,則支；—

2222x2

2022%1+x2=%i(xi—2022)+x2=%i+%2=(%i+2)—2%62=1-2X(—2022)=4045?

9.(2022?呼和浩特)如圖，四邊形/BCD是菱形，=60。，點(diǎn)E是ZM中點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，

月/OEF=45°,貝尸C的值是()

A.3B.V5+1C.242+1D.24-V3

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：如圖所示：取AC的中點(diǎn)M,連接EM,設(shè)CD=2x,

D

?.?點(diǎn)E是中點(diǎn)，

.二EM是△ACD的中位線，

1

:'EM"CD,EM=5CD,

乙

.?.EM=%,

v乙DAB=60°,四邊形ABC。是菱形，

???Z.DAC=/LDCA=/.EMA=30°,

???乙DEF=45°

???zFFM=45°-30°=15°,匕FEM=30°-15°=15%

???Z.EFM=乙FEM=15°,

??.FM=EM=x,

vCD=DA=2%,/LCAD=Z-ACD=30°,

??.AC=2y/3xf

???AM=V3x,

:.FC=2V3x—V3x—x=V3x—x,

AF73%+%73+1l

?-?許=-----=——=2+V5,

FCy[3x—x43—1

故答案為：D.

【分析】取AC的中點(diǎn)M,連接EM,設(shè)CD=2x,根據(jù)三角形中位線定理可得EM〃CD,EM=

1

^CD,EM=x,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得FM=EM=x,由

CD=DA=2x,Z.CAD=AACD=30°,根據(jù)直角三角邊角關(guān)系可得AC=2V5x,AM=V3x,

FC=2A/3X—V3x—x=V3x—x,霄==/+；=2+遮。

10.(2022?呼和浩特)以下命題：①面包店某種面包售價(jià)a元/個(gè)，因原材料漲價(jià)，面包價(jià)格上漲10%,

會(huì)員優(yōu)惠從打八五折調(diào)整為打九折，則會(huì)員購(gòu)買一個(gè)面包比漲價(jià)前多花了0.14a元；②等邊三角形4BC

中，。是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AD=4E,則/BAD=3/EDC；③兩邊及第三邊上的中

線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④一列自然數(shù)0,1,2,3,55,依次將該列數(shù)中的每一個(gè)數(shù)平方后

除以10(),得到一列新數(shù)，則原數(shù)與對(duì)應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大.其中真命題的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；二次函數(shù)y=axA2+bx+c的性質(zhì)；真命題與假命題

【解析】【解答】解：①項(xiàng)，會(huì)員原來購(gòu)買一個(gè)面包需要0.85a元，現(xiàn)在需要ax(l+10%)x0.9=0.99a,

則會(huì)員購(gòu)買一個(gè)面包比漲價(jià)前多花了0.992-0.852=0.142元，故①項(xiàng)符合題意；

②項(xiàng),如圖，

ABC是等邊三角形，

.,.ZB=ZC=60°,

VZB+ZBAD=ZADE+ZEDC,ZC+ZEDC=ZAED,

又：AD=AE,

.,.ZADE=ZAED,

.*.ZB+ZBAD=ZADE+ZEDC=ZC+ZEDC+ZEDC,

/.ZBAD=ZEDC+ZEDC=2ZEDC,故②項(xiàng)不符合題意；

③項(xiàng)，如圖，△ABC和ADEF,AB=DE,AC=DF,AM是△ABC的BC邊上的中線，DN是△DEF

的邊EF上的中線，AM=DN,即有AABC絲4DEF,理由如下：

延長(zhǎng)AM至G點(diǎn)，使得AM=GM,連接GC,延長(zhǎng)DN至H點(diǎn)，使得DN=NH,連接HF,

AD

VAM是中線，

ABM=MC,

VAM=MG,ZAMB=ZGMC,

?.△AMB^AGMC,

/.AB=GC,

同理可證DE=HF,

VAM=DN,

AAG=2AM=2DN=DH,

VAB=DE,

AGC=HF,

，結(jié)合AC=DF可得△ACG之△DFH,

AZGAC=ZHDF,

同理可證NGAB二NHDE,

JZBAC=ZGAB+ZGAOZHDF+ZHDE=ZEDF,

VAB=DE,AC=DF,

/.△ABC^ADEF,故③符合題意；

④設(shè)原數(shù)為X,則新數(shù)為忐設(shè)原數(shù)與新數(shù)之差為y,

即丁=%-^^X2,變形為：y=—^^（%―50）2+25，

將x等于0、1、2、3、55分別代入可知，y隨著x的增大而增大,

故④符合題意；

即正確的有三個(gè)，

故答案為：C,

【分析】①項(xiàng)，列代數(shù)式求解；②項(xiàng)，利用三角形內(nèi)角和及外角關(guān)系定理求解；③項(xiàng)，利用三角形

全等進(jìn)行判斷；④項(xiàng)，利用作差法比較代數(shù)式的大小。

二、填空題

11.(2019七下?金寨期末)因式分解：x3-9x=.

【答案】x(x+3)(%-3)

【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用

【解析】【解答】解：X3-9X,

=x(x2—9),

=x(x+3)(%-3).

【分析】先提取公因式X,然后利用平方差公式分解即可.

12.(2022?呼和浩特)點(diǎn)(2a-1,%)、(a,y?)在反比例函數(shù)V=>0)的圖象上，若0<丫1<、2,

則a的取值范圍是.

【答案】/<a<1

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：：在反比例函數(shù)潔中，k>0,

在同一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

:0<yi<，

.?.這兩個(gè)點(diǎn)在同一象限，

0<2a—1<a,

解得：|<a<1.

故答案為：a<1.

【分析】先判斷反比函數(shù)的增減性，再根據(jù)題意可知：這兩個(gè)點(diǎn)在同一象限，則0<2a-l<a,解

得：<a<lo

13.(2022?呼和浩特)如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)是a的正五邊形紙片上剪出一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的面積為一

(用含兀的代數(shù)式表示)；如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓直徑為.

CD

【答案】需;等

【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；圓錐的計(jì)算；正多邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：?.?五邊形4BC0E為正五邊形，

???乙BCD=108°,

防=罌、2兀、。=智，這個(gè)扇形的面積為：黑x兀xa2=番，

oou□Jou1U

設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則直徑為：2r,則：個(gè)=2w,

解得r=符

?n3a

??2「二百

故答案為：婆，理

【分析】先求出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，再求出這個(gè)扇形的面積，設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則直徑

為：2r,則等=2兀r，解得r=瑞，2r=等。

14.(2022?呼和浩特)某超市糯米的價(jià)格為5元/千克，端午節(jié)推出促銷活動(dòng)：一次購(gòu)買的數(shù)量不超過

2千克時(shí)，按原價(jià)售出，超過2千克時(shí)，超過的部分打8折.若某人付款14元，則他購(gòu)買了千

克糯米；設(shè)某人的付款金額為x元，購(gòu)買量為y千克，則購(gòu)買量y關(guān)于付款金額x(x>10)的函數(shù)解析式

為.

【答案】3；y=4x+2

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)表達(dá)式

【解析】【解答】解：???14>10,

???超過2千克，

設(shè)購(gòu)買了a千克，貝眨x5+(a—2)x0.8x5=14,

解得a=3,

設(shè)某人的付款金額為x元，購(gòu)買量為y千克，則購(gòu)買量y關(guān)于付款金額%(x>10)的函數(shù)解析式為：

y=2x5+(x-2)x5x0.8=10+4x—8=4%+2,

故答案為：3,y=4x+2.

【分析】根據(jù)題意設(shè)購(gòu)買了a千克，則2x5+(a-2)x0.8x5=14,解得a=3,設(shè)某人的付款金額

為x元，購(gòu)買量為y千克，則購(gòu)買量y關(guān)于付款金額>10)的函數(shù)解析式為：y=2x5+(x-2)x

5x0.8=4%+2o

15.（2022?呼和浩特）已知4B為。。的直徑且4B=2,點(diǎn)C是。0上一點(diǎn)（不與4、B重合），點(diǎn)。在半

徑0B上，且4E與過點(diǎn)C的。。的切線垂直，垂足為E.若乙EAC=36。，貝ljCD=,

OD=.

【答案】1；與1

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，連接CO,

???EC是。。的切線，AE1EC./LEAC=36°,

???OC1EC,

???AE||OC,

Z.ACO=^LEAC=36°,

???OA=OC,

???(OAC=Z.OCA=36°,

???乙COD=2Z.CAO=72°,

-AC=ADf

???/,ADC=Z.ACD=72°,

???Z.ADC=(COD=72°,

???CD=CO=\AB=1,

???乙COD=Z.CD0=72°

???Z,OCD=180°-2x72°=36°

???乙CAD=乙OCD=36°,^ADC=Z.CDO=72。，

ACD八COD

AC__CD^

"CO=OD

設(shè)OD=x,則AC=AD=1+x

1+X1

?_____________—_____

1,1-%

解得％=與1,%=等二1（舍去）

即。0=與1

故答案為：1,與

【分析】連接C。，根據(jù)切線的性質(zhì)可得AE||OC,Z.ACO=2LEAC=36°,從而可得乙4DC=乙COD=

72°,CD=CO=^AB=1，由"0。=乙CDO=72°可得乙OCD=180°-2X72°=36°,可證△ACD一

△CO。，器=器，設(shè)0D=x，^\AC=AD=l+x,即43=],解之即可。

16.（2022?呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C和點(diǎn)。的坐標(biāo)分別為（一1,一1）和（4,-1）,拋物線

y=mx2-2mx+2（m。0）與線段CO只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是.

【答案】m=3或m<-|

O

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax9+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：拋物線的對(duì)稱軸為：％=—/=1,當(dāng)％=0時(shí)，y=2,故拋物線與y軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2-m）,直線CD的表達(dá)式y(tǒng)=-1,

當(dāng)m>0時(shí)，且拋物線過點(diǎn)0（4,-1）時(shí)，

16m-8m+2=-1,解得m=—盤（舍去），

O

當(dāng)血>0,拋物線y=mx2-2mx+2（m豐0）與線段CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

即頂點(diǎn)在直線CD上，則2—m=—1,解得m=3,

當(dāng)m<0時(shí)，且拋物線過點(diǎn)0（4,-1）時(shí)，

16m-8m+2=-1,解得m=-。

O

由拋物線的性質(zhì)可知，當(dāng)|a|越大，則拋物線的開口越小，且拋物線與線段C。只有一個(gè)公共點(diǎn),

\m\>|-gI，且租<0,

解得？n<—I，

o

綜上所述，m的取值范圍為m=3或m<—￡

o

故答案為m=3或

o

【分析】根據(jù)拋物線求出對(duì)稱軸X=l,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(()，2),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2-m),直線CD

的表達(dá)式y(tǒng)=-1,分兩種搶礦討論：血>0或6<0,利用拋物線的性質(zhì)分析求解。

三、解答題

17.(2022?呼和浩特)計(jì)算求解：

(1)計(jì)算2sin45。-|2-V2|+(-1)-1

4%+y=5

(2)解方程組,y,

(―+3=2

【答案】(1)解：原式=2工孝+/一2—3

=2\[2—5；

(2)解：整理方程組得：[4x+y=5?,

由①得：y=5-4x③，

將③代入②得：-5x=5,

解得：x=-l,

將x=-l代入③得：y=9,

則方程組得解為：

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；代入消元法解二元一次方程組

【解析】【分析】(1)按照實(shí)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)利用代入法解二元一次方程組即可。

18.(2022?呼和浩特)“一去紫臺(tái)連朔漠，獨(dú)留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區(qū)現(xiàn)已成為

外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地.如圖，為測(cè)量景區(qū)中一座雕像AB的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在。

處用測(cè)角儀測(cè)得雕像頂部4的仰角為30。，測(cè)得底部B的俯角為10。.已知測(cè)角儀CZ)與水平地面垂直且

高度為1米，求雕像4B的高.(用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可)

A

【答案】解：如圖，過點(diǎn)。作CE143于E,則四邊形CDBE是矩形,

Rt△ACE中，tanz.ACE=器=tan30°=空，

???4E=骨心

,ER

Rt△EBC中，tanZ.FCB=瓦=tanlO%

???EB=CD=，

,pr_EB1

?&-tanlO°-tanlO°，

???AB=AE+EB=1T”行+^-4no=米

3-tanl00tanlO03tanl0°

答：雕像48的高為卓熊米

3-tanl0°

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

【解析】【分析】過點(diǎn)C作CE148于E,則四邊形CD8E是矩形，CD=BE=1,在Rt△力CE中，

tan乙4CE=縹=tan30。=f，AE=*CE，利用銳角三角函數(shù)的定義，在RtaEBC中，tanzFCS=

CE33

ff=tanl。。，由骸=8=1可得"=品=面%'則4B=4E+E8=昂為+薪=

-米。

3tanl0°

19.（2022?呼和浩特）某商場(chǎng)服裝部為了調(diào)動(dòng)營(yíng)業(yè)員的積極性，決定實(shí)行目標(biāo)管理，根據(jù)目標(biāo)完成的

情況對(duì)營(yíng)業(yè)員進(jìn)行適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì).為了確定一個(gè)適當(dāng)?shù)脑落N售目標(biāo)，商場(chǎng)服裝部統(tǒng)計(jì)了每位營(yíng)業(yè)員在某

月的銷售額(單位：萬元)，數(shù)據(jù)如下：1718161324152726181922

171619323016151628153223171415272716

19,對(duì)這30個(gè)數(shù)據(jù)按組距3進(jìn)行分組，并整理和分析如下：

頻數(shù)分布表:

組別一二三四五六七

13<%16<%19<x22<%25<x28<%31<x

銷售額/萬元

<16<19<22<25<28<31<34

頻數(shù)61033ab2

數(shù)據(jù)分析表:

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

20.3Cd

請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題：

(1)上表中a=,b=,c=,d=；

(2)若想讓一半左右的營(yíng)業(yè)員都能達(dá)到銷售目標(biāo)，你認(rèn)為月銷售額定為多少合適？說明理由；

(3)若從第六組和第七組內(nèi)隨機(jī)選取兩名營(yíng)業(yè)員在表彰會(huì)上作為代表發(fā)言，請(qǐng)你直接寫出這兩名

營(yíng)業(yè)員在同一組內(nèi)的概率.

【答案】(1)4；2；16；18

(2)解：18萬元

理由：根據(jù)中位數(shù)為18萬元，想讓一半左右的營(yíng)業(yè)員都能達(dá)到銷售目標(biāo)，你認(rèn)為月銷售額定為18萬

元合適，

(3)解：設(shè)第六組兩名營(yíng)業(yè)員為力，8和第七組的兩名營(yíng)業(yè)員C,D,列表如下，

ABCD

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

共有12種等可能結(jié)果，兩名營(yíng)業(yè)員在同一組內(nèi)的情形有4種可能,

故兩名營(yíng)業(yè)員在同一組內(nèi)的概率為白=

【知識(shí)點(diǎn)】頻數(shù)（率）分布表；列表法與樹狀圖法；中位數(shù)；眾數(shù)

【解析】【解答】⑴解：將30個(gè)數(shù)據(jù),從小到大排列如下,

13,14,15,15,15,15,16,16,16,16,16,17,17,17,18,18,19,19,19,22,23,24,

26,27,27,27,28,30,32,32,

在25W%<28的數(shù)據(jù)為26,27,27,27,4個(gè)，故a=4,

在28sx<31的數(shù)據(jù)為28,30,共2個(gè)，故匕=2,

其中16出現(xiàn)了5次，次數(shù)最多，故c=16,

第15和第16個(gè)數(shù)據(jù)為18,故d=18,

故答案為：4,2,16,18.

【分析】（1）利用唱票的形式可得到a、b的值，然后根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得答案；

（2）根據(jù)中位數(shù)的意義確定月銷售額定為多少；

（3）利用樹狀圖即可求出兩名營(yíng)業(yè)員在同一組內(nèi)的概率。

20.（2022?呼和浩特）如圖，在△力BC中，AB=AC,以ZB為直徑的。。交BC于點(diǎn)D,交線段C/4的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE.

（1）求證：BD=CD；

（2）若tanC=BD=4,求AE.

【答案】（1）證明：連接AD,如圖所示:

?.NB為。。的直徑,

.\AD±BC,

又=AC,

三角形ABC為等腰三角形，

.?.AD為BC的垂直平分線，

；.BD=CD.

（2）解：由（1）可得BD=CD=4,

??.tanC=舞=華=[BC=2BD=8,

AD=2,

在RtAACD中，

?1?AC=y/AD2+CD2=V22+42=2A/5>

又???AB為。。的直徑，

，NBEC=NADC=90。，且NC=NC,

△ADC~ABEC,

,AC_CDn2V54

-~BC=CE，Nn8=CE'

“16V5

：-CE=-,

AE=CE-AC=-2V5=等

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）連接AD,利用直徑所對(duì)的圓周角是直角可得AD1BC,再利用等腰三角形的

性質(zhì)可得AD為BC的垂直平分線，則BD=CD；

（2）由（1）可得BD=CD=4,利用銳角三角函數(shù)定義求出AD,利用勾股定理求出AC,再證△ADC?

△BEC,利用相似三角形的性質(zhì)求出CEo

21.（2022?呼和浩特）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)為=kx+b的圖象與反比例函數(shù)為=*的

圖象交于A、B兩點(diǎn),且4點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作BE11%軸，AD1BE于點(diǎn)。，點(diǎn)C&,—3是直線

BE上一點(diǎn)，且=

(2)根據(jù)圖象，請(qǐng)直接寫出不等式以+人一￡<0的解集.

【答案】⑴解：—芬且4點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,

75=1f

'.CD-Xc—xA-\旦/~2

AC=V2CD=芋，

在Rt中，

：.AD=y/AC2-CD2=J(零)_(|\=|，

51_

??yA=2~2=2,

.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),且點(diǎn)A在反比例函數(shù)丫2=子的圖象上,

2=y,解得m=2,

???反比例函數(shù)的解析式為：為=2,

NX

當(dāng)丫=—；時(shí)，—；=［，解得］=-4,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(—4,—今，

將4(1,2)和8(一4,-3代入一次函數(shù)=kx+b得，

2=k+b

-i=-4k+b'

...一次函數(shù)的解析式為：yx=1%+|.

(2)解：(2)不等式的解集為：》<-4或0<%<1.

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

【解析】【解答】解：(2)由題意得，

kx+b——<0,即kx+b<—,即為<y2，

只需反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方即可,

由圖可得當(dāng)x<一4或0<久<1,時(shí)，為<丫2,

,不等式的解集為：》<-4或0<%<1.

【分析】(1)利用點(diǎn)A的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用

待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；

(2)觀察函數(shù)圖象誰(shuí)的圖象在上方誰(shuí)的值就大即可求解。

22.(2022?呼和浩特)今年我市某公司分兩次采購(gòu)了一批土豆，第一次花費(fèi)30萬元，第二次花費(fèi)50

萬元，已知第一次采購(gòu)時(shí)每噸土豆的價(jià)格比去年的平均價(jià)格上漲了200元，第二次采購(gòu)時(shí)每噸土豆的

價(jià)格比去年的平均價(jià)格下降了200元，第二次的采購(gòu)數(shù)量是第一次采購(gòu)數(shù)量的2倍.

(1)問去年每噸土豆的平均價(jià)格是多少元？

(2)該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設(shè)備原因，兩種產(chǎn)品不能同時(shí)加工，若單獨(dú)加工成薯

片，每天可加工5噸土豆，每噸土豆獲利70()元；若單獨(dú)加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土

豆獲利400元.由于出口需要，所有采購(gòu)的土豆必須全部加工完且用時(shí)不超過60天，其中加工成薯

片的土豆數(shù)量不少于加工成淀粉的土豆數(shù)量的|,為獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)將多少噸土豆加工成薯片？最

大利潤(rùn)是多少？

【答案】(1)解：設(shè)去年每噸土豆的平均價(jià)格是x元,

300000、500000

由題意得,x+200XZ—x-200

解得：x=2200,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=2200是原分式方程的解，且符合題意,

答：去年每噸土豆的平均價(jià)格是2200元；

(2)解：由(1)得，今年的土豆數(shù)為：弓黑2x3=375(噸),

設(shè)應(yīng)將m噸土豆加工成薯片，則應(yīng)將(375-m)噸加工成淀粉,

2

m>式375—m)

由題意得,

375-m

<60

8

解得：150<m<175,

總利潤(rùn)為：700m+400(375-m)=300m+150000,

當(dāng)血=175時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為：300x175+150000=202500(元).

答：應(yīng)將175噸土豆加工成薯片，最大利潤(rùn)為202500元.

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)設(shè)去年每噸土豆的平均價(jià)格是x元，根據(jù)題意列出分式方程，解之即可；

(2)設(shè)應(yīng)將m噸土豆加工成薯片，則應(yīng)將(375-m)噸加工成淀粉，根據(jù)題意列出不等式組，解

之可得150<m<175,再寫出總利潤(rùn)的關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出應(yīng)將多少的噸土豆加工成薯

片可獲得最大利潤(rùn)。

23.(2022?呼和浩特)下面圖片是八年級(jí)教科書中的一道題：如圖，四邊形4BC0是正方形，點(diǎn)E是邊BC

的中點(diǎn)，乙4EF=90。，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.求證4E=EF.(提示：取的中點(diǎn)G,

(1)請(qǐng)你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：；

(2)如圖1,若點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)(不與B、C重合)，其他條件不變.求證：AE=EF-,

圖1

(3)在(2)的條件下，連接AC,過點(diǎn)E作EP1AC,垂足為P.設(shè)第=k,當(dāng)k為何值時(shí)，四邊形

ECFP是平行四邊形，并給予證明.

【答案】(1)AG=CE

(2)證明：取AG=EC,連接EG.

???四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC,ZB=90°.

VAG=CE,

ABG=BE,

???△BGE是等腰直角三角形，

/.ZBGE=ZBEG=45°,

/.ZAGE=135°.

???四邊形ABCD是正方形，

AZBCD=90°.

VCF是正方形ABCD外角的平分線，

AZDCF=45°,

.?.ZECF=90°+45°=135°.

VAE1EF,

AZAEB+ZFEC=90°.

VZBAE+ZAEB=90°,

AZBAE=ZCEF,

.*.△GAE^ACEF,

/.AE=EF；

(3)解：當(dāng)攵=&時(shí)，四邊形PECF是平行四邊形.

如圖.

由(2)得，△GAE^ACEF,

.*.CF=EG.

設(shè)BC=x,則BE=kx,

:.GE=yj2kx>EC=(1—k)x.

VEP±AC,

/.△PEC是等腰直角三角形，

/.ZPEC=45°,

??.NPEC+NECF=180°,PE=芋（1一k）x.

：.PE||CF,

當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形PECF是平行四邊形，

二￥（1—k）x-y/2kx>

解得k=

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形

【解析】【解答】（1）解：：E是BC的中點(diǎn)，

.\BE=CE.

?.?點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，

，BG=AG,

/.AG=CE.

故答案為：AG=CE；

【分析】（1）根據(jù)E是BC的中點(diǎn)和點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)可得BG=AG；

（2）取AG=EC,連接EG.證明△BGE是等腰直角三角形，再證△GAE名ACEF,可得答案；

（3）設(shè)BC=x,貝ijBE=kx,則GE=V^cx，EC=（1-fc）x,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得PE,

利用平行四邊形的判定可得當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形PECF是平行四邊形，即乎（1-乃％=或收，解

之即可。

24.（2022?呼和浩特）如圖，拋物線y=-#+"+<:經(jīng)過點(diǎn)8（4,0）和點(diǎn)C（0,2）,與工軸的另一個(gè)

交點(diǎn)為4連接ZC、BC.

y

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)如圖1,若點(diǎn)。是線段47的中點(diǎn)，連接BD,在y軸上是否存在點(diǎn)E,使得ABDE是以為斜

邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖2,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)