六年級(jí)奧數(shù)舉一反三典型例題詳細(xì)講解及培優(yōu)練習(xí)附答案詳解

六年級(jí)奧數(shù)舉一反三典型例題詳細(xì)講解及培優(yōu)練習(xí)附答案詳解

假設(shè)法解題專項(xiàng)

一、假設(shè)法

假設(shè)法解體的思考方法是先通過假設(shè)來改變題目的條件，然后再和已知

條件配合推算。有些題目用假設(shè)法思考，能找到巧妙的解答思路。

運(yùn)用假設(shè)法時(shí)，可以假設(shè)數(shù)量增加或減少，從而與已知條件產(chǎn)生聯(lián)系；

也可以假設(shè)某個(gè)量的分率與另一個(gè)量的分率一樣，再根據(jù)乘法分配律求出這

個(gè)分率對(duì)應(yīng)的和，最后依據(jù)它與實(shí)際條件的矛盾求解。

二、精講精練

【例題1】

甲、乙兩數(shù)之和是185,已知甲數(shù)的1/4與乙數(shù)的1/5的和是42,求兩

數(shù)各是多少？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)將題中“甲數(shù)的1/4”、“乙數(shù)的1/5”與“和為42”同

時(shí)擴(kuò)大4倍，則變成了“甲數(shù)與乙數(shù)的4/5的和為168”，再用185減去168

就是乙數(shù)的l/5o

解：乙：(185-42X4)+(1-1/5X4)=85

答：甲數(shù)是100,乙數(shù)是85。

練習(xí)1：

1.甲、乙兩人共有錢150元，甲的1/2與乙的1/10的錢數(shù)和是35元,

求甲、乙兩人各有多少元錢？

2.甲、乙兩個(gè)消防隊(duì)共有338人。抽調(diào)甲隊(duì)人數(shù)的1/7,乙隊(duì)人數(shù)的1/3,

共抽調(diào)78人，甲、乙兩個(gè)消防隊(duì)原來各有多少人？

3.海洋化肥廠計(jì)劃第二季度生產(chǎn)一批化肥，已知四月份完成總數(shù)的1/3

多50噸，五月份完成總數(shù)的2/5少70噸，還有420噸沒完成，第二季度原

計(jì)劃生產(chǎn)多少噸？

【例題2】

彩色電視機(jī)和黑白電視機(jī)共250臺(tái)。如果彩色電視機(jī)賣出1/9,則比黑白

電視機(jī)多5臺(tái)。問：兩種電視機(jī)原來各有多少臺(tái)？

【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出：假設(shè)黑白電視機(jī)增加5臺(tái)，就和彩色電

視機(jī)賣出1/9后剩下的一樣多。

黑白電視機(jī)增加5臺(tái)后，相當(dāng)于彩色電視機(jī)的(1-1/9)=8/9o

(250+5)4-(1+1-1/9)=135(臺(tái))

250-125=115(臺(tái))

答：彩色電視機(jī)原有135臺(tái)，黑白電視機(jī)原有115臺(tái)。

練習(xí)2：

1.姐妹倆養(yǎng)兔120只，如果姐姐賣掉1/7,還比妹妹多10只，姐姐和妹

妹各養(yǎng)了多少只兔？

2.學(xué)校有籃球和足球共21個(gè)，籃球借出1/3后，比足球少1個(gè)，原來

籃球和足球各有多少個(gè)？

3.小明甲養(yǎng)的雞和鴨共有100只，如果將雞賣掉1/20,還比鴨多17只，

小明家原來養(yǎng)的雞和鴨各有多少只？

【例題3]師傅與徒弟兩人共加工零件105個(gè)，已知師傅加工零件個(gè)數(shù)的

3/8與徒弟加工零件個(gè)數(shù)的4/7的和為49個(gè)，師、徒各加工零件多少個(gè)？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)師、徒兩人都完成了4/7,一個(gè)能完成(105X4/7)=

60個(gè)，和實(shí)際相差(60—49)=11個(gè)，這11個(gè)就是師傅完成將零件的3/8

與完成加工零件的4/7相差的個(gè)數(shù)。這樣就可以求出師傅加工了111+(4/7

-3/8)]=56個(gè)。即:

師傅：(105X4/7-49)+C4/7-3/8)=56(個(gè))

徒弟：105-56=49(個(gè))

答：師傅加工了56個(gè)，徒弟加工了49個(gè)。

練習(xí)3：

1.某商店有彩色電視機(jī)和黑白電視機(jī)共136臺(tái)，賣出彩色電視機(jī)的2/5

和黑白電視機(jī)的3/7,共賣出57臺(tái)。問：原來彩色電視機(jī)和黑白電視機(jī)各有

多少臺(tái)？

2.甲、乙兩個(gè)消防隊(duì)共有336人，抽調(diào)甲隊(duì)人數(shù)的5/7、乙隊(duì)人數(shù)的3/7,

共抽調(diào)188人參加滅火。問：甲、乙兩個(gè)消防隊(duì)原來各有多少人？

3.學(xué)校買來足球和排球共64個(gè)，從中借出排球個(gè)數(shù)的1/4和足球個(gè)數(shù)

的1/3后，還剩下46個(gè)，買來排球和足球各是多少個(gè)？

【例題4】甲、乙兩數(shù)的和是300,甲數(shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55,甲、

乙兩數(shù)各是多少？

【思路導(dǎo)航】甲數(shù)的2/5與乙數(shù)的2/5的和就是甲、乙兩數(shù)的2/5,是

300X2/5=120,因?yàn)榧讛?shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55,所以從120中減去55

所得的差就可以看成是乙數(shù)的1/4與乙數(shù)的2/5的和。

乙：(300X2/5-55)4-(2/5+1/4)=100

甲：300-100=200

答：甲數(shù)是200,乙數(shù)是100。

練習(xí)4：

1.畜牧場有綿羊、山羊共800只，山羊的2/5比綿羊的1/2多50只，

這個(gè)畜牧場有山羊、綿羊各多少只？

2.師傅和徒弟共加工零件840個(gè)，師傅加工零件的個(gè)數(shù)的5/8比徒弟加

工零件個(gè)數(shù)的2/3多60個(gè)，師傅和徒弟各加工零件多少個(gè)？

3.某校六年級(jí)甲、乙兩個(gè)班共種100棵樹，乙班種的1/10比甲班種的

1/3少16棵，兩個(gè)班各種多少棵？

【例題5】育紅小學(xué)上學(xué)期共有學(xué)生750人，本學(xué)期男學(xué)生增加1/6,女

學(xué)生減少1/5,共有710人，本學(xué)期男、女學(xué)生各有多少人？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)本學(xué)期女學(xué)生不是減少1/5,而是增加1/6,半學(xué)期應(yīng)

該有750X(1+1/6)=875人，比實(shí)際多875—710=165人，這165人是假

設(shè)女學(xué)生也增加1/6多出的人數(shù)，而實(shí)際女學(xué)生減少1/5,所以，這165人對(duì)

應(yīng)著女學(xué)生的(1/5+1/6)=11/30。

上學(xué)期女生：[750X(1+1/6)-710]4-(1/5+1/6)=450(人)

本學(xué)期女生：450X(1-1/5)=360(人)

本學(xué)期男生：710-360=350(人)

答：本學(xué)期男學(xué)生有350人，女學(xué)生有360人。

假設(shè)法解題(二)

一、知識(shí)要點(diǎn)

已知甲是乙的幾分之幾，又知甲與乙各改變一定的數(shù)量后兩者之間新的

倍數(shù)關(guān)系，要求甲、乙兩個(gè)數(shù)是多少，這樣的應(yīng)用題稱為變倍問題。

應(yīng)用題中的變倍問題，有兩數(shù)同增、兩數(shù)同減、一增一減等各種情況。

雖然其中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，但解答時(shí)的關(guān)鍵仍是確定哪個(gè)量為單位“1”，

然后通過假設(shè)，找出變化前后的相差數(shù)相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，從而求

出單位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。

二、精講精練

【例題1】兩根鐵絲，第一根長度是第二根的3倍，兩根各用去6米，第

一根剩下的長度是第二根剩下的長度的5倍，第二根原來有多少米？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)第一根用去6X3=18米，那么第一根剩下的長度仍是

第二根剩下長度的3倍，而事實(shí)上第一根比假設(shè)的少用去(6X3-6)=12米，

也就多剩下第二根剩下的長度的(5-3)=2倍。

(6X3-3)4-(5-3)+6=12(米)

答：第二根原來有12米。

練習(xí)1:

1.丁曉原有書的本數(shù)是王陽的5倍，若兩人同時(shí)各借出5本給其他同學(xué)，

則丁曉書的本數(shù)是王陽的10倍，兩人原來各有書多少本？

2.在植樹勞動(dòng)中，光明中學(xué)植樹的棵數(shù)是光明小學(xué)的3倍，如果中學(xué)增

加450棵，小學(xué)增加400棵，則中學(xué)是小學(xué)的2倍。求中、小學(xué)原來各植樹

多少棵？

3.兩堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8噸，第二堆用去11

噸，第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原來是多少噸？

【例題2】王明平時(shí)積蓄下來的零花錢比陳剛的3倍多6.40元，若兩個(gè)

人各買了一本4.40元的故事書后，王明的錢就是陳剛的8倍，陳剛原來有零

花錢多少元？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)仍然保持王明的錢比陳剛的3倍多6.40元，則王明要

相應(yīng)地花去4.40X3=13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20

-4.40=8.80元，那么王明買書后的錢比陳剛買書后的錢的3倍多6.40+8.80

=15.20元，而題中已告訴：買書后王明的錢是陳剛的8倍，所以,15.20元

就對(duì)應(yīng)著陳剛花錢后剩下錢的8-3=5倍。

[6.40+(4.40X3-4.40]4-(8—3)+4.40=7.44(元)

答：陳剛原來有零花錢7.44元。

練習(xí)2：

1.甲書架上的書比乙書架上的3倍多50本，若甲、乙兩個(gè)書架上各增

加150本，則甲書架上的書是乙書架上的2倍，甲、乙兩個(gè)書架原來各有多

少本書？

2.上學(xué)年，馬村中學(xué)的學(xué)生比牛莊小學(xué)的學(xué)生的2倍多54人，本學(xué)年

馬村中學(xué)增加了20人，牛莊小學(xué)減少了8人，則馬村中學(xué)的學(xué)生比牛莊小學(xué)

的學(xué)生的4倍少26人，上學(xué)年馬村中學(xué)和牛莊小學(xué)各有學(xué)生多少人？

3.箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球比白球的3倍多2粒，每次從箱子

里取出7粒白球和15粒紅球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒紅球，

那么，箱子里白球原有多少粒？

【例題3】小紅的彩筆枝數(shù)是小剛的1/2,兩人各買5枝后，小紅的彩筆

枝數(shù)是小剛的2/3,兩人原來各有彩筆多少枝？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)小剛買了5枝后，小紅的彩筆仍為小剛的1/2,則小紅

只需買(5X1/2)=2又1/2枝，但實(shí)際上小紅買了5枝，多買了5—2又1/2

=2又1/2枝。將小剛買了5枝后的枝數(shù)看作“1”，小紅多買了2又1/2,

相當(dāng)于(2/3-1/2)=1/6。

小剛原來：（5-5X1/2）+（2/3-1/2）-5=10（枝）

小紅原來：10X1/2=5（枝）

答：小剛原來有彩筆10枝，小紅原來有彩筆5枝。

練習(xí)3：

1.小華今年的年齡是爸爸年齡的1/6,四年后小華的年齡是爸爸的1/4,

求小華和爸爸今年的年齡各是多少歲？

2.小紅今年的年齡是媽媽的3/8,10年后小紅的年齡是媽媽的1/2,小

紅今年多少歲？

3.甲書架上的書是乙書架上的5/7,甲、乙兩個(gè)書架上各增加90本后，

甲書架上的書是乙書架上的4/5,甲、乙兩各書架原來各有多少本書？

【例題4】王芳原有的圖書本數(shù)是李衛(wèi)的4/5,兩人各捐給“希望工程”

10本后，則王芳的圖書的本數(shù)是李衛(wèi)的7/10,兩人原來各有圖書多少本？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)李衛(wèi)捐了10本后，王芳的圖書仍是李衛(wèi)的4/5,則王

芳只需捐10X4/5=8本，實(shí)際王芳捐了10本，多捐了10—8=2本，將李衛(wèi)

捐書后剩下的圖書看作“1”，著2本書相當(dāng)于4/5—7/10=1/10。

（10-10X4/5）+（4/5—710）=30（本）

30X4/5=24（本）

答：李衛(wèi)原有圖書30本，王芳原有圖書24本。

練習(xí)4：

1.甲書架上的書是乙書架上的4/5,從這兩個(gè)書架上各借出112本后，

甲書架上的書是乙書架上的4/7,原來甲、乙兩個(gè)書架上各有多少本書？

2.小明今年的年齡是爸爸的6/11,10年前小明的年齡是爸爸的4/9,小

明和爸爸今年各多少歲？

3.甲車間的工人是乙車間的1/4,從甲、乙兩個(gè)車間各抽出30人后，甲

車間的工人只占乙車間的1/6,甲、乙兩個(gè)車間原來各有多少名工人？

【例題5】某校六年級(jí)男生人數(shù)是女生的23,后來轉(zhuǎn)進(jìn)2名男生，轉(zhuǎn)走3

名女生，這時(shí)男生人數(shù)是女生的3/4,現(xiàn)在男、女生各有多少人？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)轉(zhuǎn)走3名女生后，男生人數(shù)仍是女生的2/3,則男生應(yīng)

轉(zhuǎn)走3X2/3=2人，實(shí)際上男生卻轉(zhuǎn)進(jìn)2人，與應(yīng)轉(zhuǎn)走2人相差2+2=4人。

將轉(zhuǎn)走3名女生后的女生人數(shù)看作“1”，則相差的4人相當(dāng)于現(xiàn)在女生的3/4

-2/3o

（2+3X2/3）+C3/4-2/3）=48（人）

48X3/4=36（人）

答：現(xiàn)在男生有36人，女生有48人。

倒推法解題專項(xiàng)

一、知識(shí)要點(diǎn)

有些應(yīng)用題如果按照一般方法，順著題目的條件一步一步地列出算式求

解，過程比較繁瑣。所以，解題時(shí)，我們可以從最后的結(jié)果出發(fā)，運(yùn)用加與

減、乘與除之間的互逆關(guān)系，從后到前一步一步地推算，這種思考問題的方

法叫倒推法。

二、精講精練

【例題1】一本文藝書，小明第一天看了全書的1/3,第二天看了余下的

3/5,還剩下48頁，這本書共有多少頁？

【思路導(dǎo)航】從“剩下48頁”入手倒著往前推，它占余下的1—3/5=2/5。

第一天看后還剩下48+2/5=120頁，這120頁占全書的1-1/3=2/3,這本

書共有120+2/3=180頁。即

48+(1-3/5)+(1-1/3)=180(頁)

答：這本書共有180頁。

練習(xí)1:

1.某班少先隊(duì)員參加勞動(dòng)，其中3/7的人打掃禮堂，剩下隊(duì)員中的5/8

打掃操場，還剩12人打掃教室，這個(gè)班共有多少名少先隊(duì)員？

2.一輛汽車從甲地出發(fā)，第一天走了全程的3/8,第二天走了余下的

2/3,第三天走了250千米到達(dá)乙地。甲、乙兩地間的路程是多少千米？

3.把一堆蘋果分給四個(gè)人，甲拿走了其中的1/6,乙拿走了余下的2/5,

丙拿走這時(shí)所剩的3/4,丁拿走最后剩下的15個(gè)，這堆蘋果共有多少個(gè)？

【例題2】筑路隊(duì)修一段路，第一天修了全長的1/5又100米，第二天修

了余下的2/7,還剩500米，這段公路全長多少米？

【思路導(dǎo)航】從“還剩500米”入手倒著往前推，它占余下的1—2/7=

5/7,第一天修后還剩500+5/7=700米，如果第一天正好修全長的1/5,還

余下700+100=800米，這800米占全長的1-1/5=4/5,這段路全長8009

4/5=1000米。列式為：

[5004-(1-2/7)+100]+(1-1/5)=1000米

答：這段公路全長1000米。

練習(xí)2:

1.一堆煤，上午運(yùn)走2/7,下午運(yùn)的比余下的1/3還多6噸，最后剩下

14噸還沒有運(yùn)走，這堆煤原有多少噸？

2.用拖拉機(jī)耕一塊地，第一天耕了這塊地的1/3又2公頃，第二天耕

的比余下的1/2多3公頃，還剩下35公頃，這塊地共有多少公頃？

3.一批水泥，第一天用去了1/2多1噸，第二天用去了余下1/3少2

噸，還剩下16噸，原來這批水泥有多少噸？

【例題3】有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出1/3給乙桶后，又從乙桶中倒

出1/5給甲桶，這時(shí)兩桶油各有24千克，原來甲、乙兩個(gè)桶中各有多少千克

油？

【思路導(dǎo)航】從最后的結(jié)果出發(fā)倒推，甲、乙兩桶共有(24X2)=48千

克，當(dāng)乙桶沒有倒出1/5給甲桶時(shí)，乙桶內(nèi)有油24個(gè)(1-1/5)=30千克,

這時(shí)甲桶內(nèi)只有48—30=18千克，而甲桶已倒出1/3給了乙桶，可見甲桶原

有的油為18+(1-1/3)=27千克，乙桶原有的油為48-27=21千克。

甲：【24義2—24+(1-1/5)]+(1-1/3)=27(千克)

乙：24X2-27=21(千克)

答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。

練習(xí)3：

1.小華拿出自己的畫片的1/5給小強(qiáng)，小強(qiáng)再從自己現(xiàn)有的畫片中拿

出1/4給小華，這時(shí)兩人各有畫片12張，原來兩人各有畫片多少張？

2.甲、乙兩人各有人民幣若干元，甲拿出1/5給乙后，乙又拿出1/4

給甲，這時(shí)他們各有90元，他們?cè)瓉砀饔卸嗌僭?/p>

3.一瓶酒精，第一次倒出1/3,然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶

中酒精的5/9,第三次倒出180克，瓶中好剩下60克，原來瓶中有多少克酒

精？

【例題4】甲、乙、丙三人共有人民幣168元，第一次甲拿出與乙相同的

錢數(shù)給乙；第二次乙拿出與丙相同的錢數(shù)給丙；第三次丙拿出與這時(shí)甲相同

的錢數(shù)給甲。這樣，甲、乙、丙三人的錢數(shù)相等，原來甲比乙多多少元錢？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，由最后甲錢數(shù)是168+3=56元可推出：第一次

甲拿出與乙同樣的錢數(shù)給乙后，甲剩下的錢是56+2=28元，這28元就是原

來甲比乙多的錢數(shù)。

168+3+2=28元

答：原來甲比乙多28元。

練習(xí)4：

1.甲、乙、丙三個(gè)班共有學(xué)生144人，先從甲班調(diào)出與乙班相同的人

數(shù)給乙班，再從乙班調(diào)出與丙班相同的人數(shù)到丙班。再從丙班調(diào)出與這時(shí)甲

班相同的人數(shù)給甲班，這樣，甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)相等。原來甲班比乙班

多多少人？

2.甲、乙、丙三個(gè)盒子各有若干個(gè)小球，從甲盒拿出4個(gè)放入乙盒，

再從乙盒拿出8個(gè)放入丙盒后，三個(gè)盒子內(nèi)的小球個(gè)數(shù)相等。原來乙盒比丙

盒多幾個(gè)球？

3.甲、乙、丙三個(gè)倉庫面粉袋數(shù)的比是6：9：5,如果從乙倉庫拿出

400袋平均分給甲、丙兩倉庫，則甲、乙兩個(gè)倉庫的數(shù)量相等。這三個(gè)倉庫共

存面粉多少袋？

【例題5】甲、乙兩個(gè)倉庫各有糧食若干噸，從甲倉庫運(yùn)出1/4到乙倉庫

后，又從乙倉庫運(yùn)出1/4到甲倉庫，這時(shí)甲、乙兩倉庫的糧食儲(chǔ)量相等。原

來甲倉庫的糧食是乙倉庫的幾分之幾？

【思路導(dǎo)航】解題關(guān)鍵是把兩個(gè)倉庫糧食的和看作“1”，由題意可知，

從乙倉庫運(yùn)出1/4到甲倉庫，乙倉庫最后占兩倉庫和的1/2。

①當(dāng)乙倉庫沒有往甲倉庫運(yùn)時(shí)，乙倉庫占兩倉庫和的幾分之幾？

1/2-r(1-1/4)=2/3

②甲倉庫占兩倉庫和的幾分之幾？

1-2/3=1/3

③甲倉庫原來占兩倉庫和的幾分之幾？

1/34-(1-1/4)=4/9

④原來甲倉庫時(shí)乙倉庫的幾分之幾？

44-(9-4)=4/5

答：原來甲倉庫的糧食是乙倉庫的4/5。

代數(shù)法解題專項(xiàng)

一、知識(shí)要點(diǎn)

有一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，用算術(shù)方法解答比較繁、難，

甚至無法列式算式，這時(shí)我們可根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程解答。

二、精講精練

【例題1】某車間生產(chǎn)甲、乙兩種零件，生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多

12個(gè)，乙種零件全部合格，甲種零件只有4/5合格，兩種零件合格的共有42

個(gè)，兩種零件個(gè)生產(chǎn)了多少個(gè)？

【思路導(dǎo)航】本體用算術(shù)方法解有一定難度，可以根據(jù)兩種零件合格的

一共有42個(gè)，列方程求解。

解：設(shè)生產(chǎn)乙種零件x個(gè)，則生產(chǎn)甲種零件(x+12)個(gè)。

(x+12)X4/5+x=42

4/5x+9+x=42

9/5x=42-9又3/5

x=18

18+12=30(個(gè))

答：甲種零件生產(chǎn)了30個(gè)，乙種零件生產(chǎn)了18個(gè)。

練習(xí)1:

1.某校參加數(shù)學(xué)競賽的女生比男生多28人，男生全部得優(yōu)，女生的3/4

得優(yōu)，男、女生得優(yōu)的一共有42人，男、女生參賽的各有多少人？

2.有兩盒球，第一盒比第二盒多15個(gè)，第二盒中全部是紅球，第一盒

中的2/5是紅球，已知紅球一共有69個(gè)，兩盒球共有多少個(gè)？

3.六年級(jí)甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人參加課

外數(shù)學(xué)組，兩個(gè)班參加課外數(shù)學(xué)組的共有29人，甲、乙兩班共有多少人？

【例題2】閱覽室看書的學(xué)生中，男生比女生多10人,后來男生減少1/4,

女生減少1/6,剩下的男、女生人數(shù)相等，原來一共有多少名學(xué)生在閱覽室看

書？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)剩下的男、女人數(shù)相等的題意來列方程求解。

解：設(shè)女生有x人，則男生有(x+10)人

(1-1/6)x=(x+10)X(1-1/4)

x=90

90+90+10=190人

答：原來一共有190名學(xué)生在閱覽室看書。

練習(xí)2：

1.某小學(xué)去年參加無線電小組的同學(xué)比參加航模小組的同學(xué)多5人。今

年參加無線電小組的同學(xué)減少1/5,參加航模小組的人數(shù)減少1/10,這樣，

兩個(gè)組的同學(xué)一樣多。去年兩個(gè)小組各有多少人？

2.原來甲、乙兩個(gè)書架上共有圖書900本，將甲書架上的書增加5/8,

乙書架上的書增加3/10,這樣，兩個(gè)書架上的書就一樣多。原來甲、乙兩個(gè)

書架各有圖書多少本？

3.某車間昨天生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多700個(gè)。今天生產(chǎn)的甲種零

件比昨天少1/10,生產(chǎn)的乙種零件比昨天增加3/20,兩種零件共生產(chǎn)了2065

個(gè)。昨天兩種零件共生產(chǎn)了多少個(gè)？

【例題3】甲、乙兩校共有22人參加競賽，甲校參加人數(shù)的1/5比乙校

參加人數(shù)的1/4少1人，甲、乙兩校各有多少人參加？

【思路導(dǎo)航】這題中的等量關(guān)系是：甲乂1/5=乙乂1/4-1

解：設(shè)甲校有x人參加，則乙校有(22—x)人參加。

l/5x=(22-x)X1/4-1

x=10

22—10=12(人)

答：甲校有10人參加，乙校有12人參加。

練習(xí)3：

1.學(xué)校圖書館買來文藝書和連環(huán)畫共126本，文藝書的比連環(huán)畫的少7

本，圖書館買來的文藝書和連環(huán)畫各是多少本？

2.某小有學(xué)生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多

少人？

3.王師傅和李師傅共加工零件62個(gè)，王師傅加工零件個(gè)數(shù)的比李師傅

的少2個(gè)，兩人各加工了多少個(gè)？

【例題4】甲書架上的書是乙書架上的5/6,兩個(gè)書架上各借出154本后，

甲書架上的書是乙書架上的4/7,甲、乙兩書架上原有書各多少本？

【思路導(dǎo)航】這道題的等量關(guān)系是；甲書架上剩下的書等于乙書架上剩

下的4/7。

解：設(shè)乙書架上原有x本，則甲書架上原有5/6x本。

(x-154)X4/7=5/6x-154

x=252

252X5/6=210(本)

答：甲書架上原有210本，乙書架上原有252本。

練習(xí)4：

1.兒子今年的年齡是父親的1/6,4年后兒子的年齡是父親的1/4,父親

今年多少歲？

2.某校六年級(jí)男生是女生人數(shù)的2/3,后來轉(zhuǎn)進(jìn)2名男生，轉(zhuǎn)走3名女

生，這時(shí)男生人數(shù)是女生的3/4。原來男、女生各有多少人？

3.第一車間人數(shù)的3/5等于第二車間人數(shù)的9/10,第一車間比第二車間

多50人。兩個(gè)車間各有多少人？

【例題5】一個(gè)班女同學(xué)比男同學(xué)的2/3多4人，如果男生減少3人，女

生增加4人，男、女生人數(shù)正好相等。這個(gè)班男、女生各有多少人？

【思路導(dǎo)航】抓住“如果男生減少3人，女生增加4人，男、女生人數(shù)

正好相等”這個(gè)等量關(guān)系列方程。

解：設(shè)男生有x人，則女生有(2/3x+4)人。

x—3=2/3x+4+4

x=33

2/3X33+4=26(人)

答：這個(gè)班男生有33人，女生有26人。

比的應(yīng)用(一)專項(xiàng)

一、知識(shí)要點(diǎn)

我們已經(jīng)學(xué)過比的知識(shí)，都知道比和分?jǐn)?shù)、除法其實(shí)是一回事，所有比

與分?jǐn)?shù)能互相轉(zhuǎn)化。運(yùn)用這種方法解決一些實(shí)際問題可以化難為易，化繁為

簡。

二、精講精練

【例題1】甲數(shù)是乙數(shù)的2/3,乙數(shù)是丙數(shù)的4/5,甲、乙、丙三數(shù)的比

是()：()：()。

【思路導(dǎo)航】

甲、乙兩數(shù)的比2：3

乙、丙兩數(shù)的比4：5

甲、乙、丙三數(shù)的比8：12：15

答：甲、乙、丙三數(shù)的比是8：12：15o

練習(xí)1:

1.甲數(shù)是乙數(shù)的4/5,乙數(shù)是丙數(shù)的5/8,甲、乙、丙三數(shù)的比是()：

()：()。

2.甲數(shù)是乙數(shù)的4/5,甲數(shù)是丙數(shù)的4/9,甲、乙、丙三數(shù)的比是()：

()：()。

3.甲數(shù)是丙數(shù)的3/7,乙數(shù)是丙數(shù)的2又1/2,甲、乙、丙三數(shù)的比是

()：()：()。

【例題2】光明小學(xué)將五年級(jí)的140名學(xué)生，分成三個(gè)小組進(jìn)行植樹活動(dòng)，

已知第一小組和第二小組人數(shù)的比是2：3,第二小組和第三小組人數(shù)的比是

4：5o這三個(gè)小組各有多少人？

【思路導(dǎo)航】先求出三個(gè)小組人數(shù)的連比，再按求出的連比進(jìn)行分配。

①一、二兩組人數(shù)的比2：3二、三兩組人數(shù)的比4：

5

一、二、三組人數(shù)的比8：12：15

②總份數(shù)：8+12+15=35

③第一組：140X8/35=32(人)

④第二組：140X12/35=48(人)

⑤第三組：140X15/35=60(人)

答：第一小組有32人，第二小組有48人，第三小組有60人。

練習(xí)2：

1.某農(nóng)場把61600公畝耕地劃歸為糧田與棉田，它們之間的比是7：2,

棉田與其他作物面積的比6：1。每種作物各是多少公畝？

2.黃山小學(xué)六年級(jí)的同學(xué)分三組參加植樹。第一組與第二組的人數(shù)的比

是5：4,第二組與第三組人數(shù)的比是3：2o已知第一組的人數(shù)比二、三組人

數(shù)的總和少15人。六年級(jí)參加植樹的共有多少人？

3.科技組與作文組人數(shù)的比是9：10,作文組與數(shù)學(xué)組人數(shù)的比是5：7o

已知數(shù)學(xué)組與科技組共有69人。數(shù)學(xué)組比作文組多多少人？

【例題3】甲、乙兩校原有圖書本數(shù)的比是7：5,如果甲校給乙校650

本，甲、乙兩校圖書本數(shù)的比就是3：4o原來甲校有圖書多少本？

【思路導(dǎo)航】由甲、乙兩校原有圖書本數(shù)的比是7：5可知，原來甲校圖

書的本數(shù)是兩校圖書總數(shù)的7/(7+5),由于甲校給了乙校650本，這時(shí)甲校

的圖書占兩校圖書總數(shù)的3/(3+4),甲校給乙校的650本圖書，相當(dāng)于兩校

圖書總數(shù)的7/(7+5)-3/(3+4)=13/84。

6504-(7/(7+5)-3/(3+4))X7/(7+5)=2450(本)

答：原來甲校有圖書2450本。

練習(xí)3：

1.小明讀一本書，已讀的和未讀的頁數(shù)比是L5o如果再讀30頁，則

已讀和未讀的頁數(shù)之比為3：5o這本書共有多少頁？

2.甲、乙兩包糖的重量比是4：1。從甲包取出130克放入乙包后，甲、

乙兩包糖的重量比為7：50原來甲包有多少克糖？

3.五年級(jí)三個(gè)班舉行數(shù)學(xué)競賽。一班參加比賽的占全年級(jí)參賽總?cè)藬?shù)的

1/3,二班與三班參加比賽人數(shù)的比是11：13,二班比三班少8人。一班有多

少人參加了數(shù)學(xué)競賽？

【例題4】從前有個(gè)農(nóng)民，臨死前留下遺言，要把17頭牛分給三個(gè)兒子，

其中大兒子分得1/2,二兒子分得1/3,小兒子分得1/9,但不能把牛賣掉或

殺掉。三個(gè)兒子按照老人的要求怎么也不好分。后來一位鄰居順利地把17頭

牛分完了，你知道這到底是怎么回事嗎？

【思路導(dǎo)航】因?yàn)?/2+1/3+1/9=17/18,17/18<1,就是說三兄弟并未

將全部牛分完，所以我們求出三個(gè)兒子分牛頭數(shù)的連比，最后再按比例分配。

①三個(gè)兒子分牛頭數(shù)的連比：1/2：1/3：1/9=9：6：2

②總份數(shù)：9+6+2=17

③三個(gè)兒子各分得牛的頭數(shù)：17X9/17=9(頭)17X6/17=6(頭)17

X2/17=2(頭)

答：大兒子分得9頭，二兒子分得6頭，小兒子分得2頭。

練習(xí)4：

1.圖書室取出一批書，按照一年級(jí)得1/2,二年級(jí)得1/3,三年級(jí)得1/7,

正好是41本，各年級(jí)各得多少本？

2.古羅馬富豪約翰遜再臨終前，對(duì)懷孕的妻子寫下這樣一份遺囑：如果

生下來是個(gè)男孩，就把遺產(chǎn)的三分之二給兒子，母親拿三分之一；如果生下

來的是女孩就把遺產(chǎn)的三分之一給女兒，三分之二給母親。結(jié)果他的妻子生

了雙胞胎，一男一女，這是他沒有預(yù)料到的。求出接近于遺囑條件，把遺產(chǎn)

分給三個(gè)繼承人的比。

(1)從兒子、母親、女兒所得的比例來看，他們?nèi)怂玫倪z產(chǎn)的比是

()：()：()o

(2)從母親至少得遺產(chǎn)的1/3來看，兒子、母親、女兒所得遺產(chǎn)的比是

()：()：()o

3.甲、乙、丙三人共做零件900個(gè)。甲做總數(shù)的30%,乙比丙多做l/3o

三人各做多少個(gè)？

【例題5】兩個(gè)相同的瓶子裝滿酒精溶液。一個(gè)瓶中酒精與水的體積之比

是3：1,另一個(gè)瓶中酒精與水的體積之比是4：1。若把兩瓶酒精溶液混合，

混合液中酒精與水的體積之比是多少？

【思路導(dǎo)航】抓住兩個(gè)瓶子相同的關(guān)系，分別求出每個(gè)瓶中的酒精占瓶

子容積的幾分之幾再解答。

①一個(gè)瓶中酒精占瓶子容積的比3/(1+3)=3/4

②另一個(gè)瓶中酒精占瓶子容積的比4/(1+4)=4/5

③兩瓶子里的酒精占一個(gè)瓶子容積的比3/4+4/5=31/20

④水占一個(gè)瓶子容積的比2-31/20=9/20

⑤混合液中酒精與水的比31/20：9/20=31：9

答：混合液中酒精與水的比是31：90

比的應(yīng)用(二)專項(xiàng)

一、知識(shí)要點(diǎn)

比是反映數(shù)量關(guān)系的一種常見形式，也是解數(shù)學(xué)題的一種重要工具，有

了它，我們處理倍數(shù)關(guān)系、解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就方便靈活得多。在這一講，我

們講探討稍復(fù)雜的比是應(yīng)用題。

二、精講精練

【例題1】甲、乙兩個(gè)學(xué)生放學(xué)回家，甲要比乙多走1/5的路，而乙走的

時(shí)間比甲少1/11,求甲、乙兩人速度的比。

【思路導(dǎo)航】因?yàn)樗俣?路程+時(shí)間，所以，甲、乙速度的比=甲路程

/甲時(shí)間：乙路程/乙時(shí)間

(1)甲、乙路程的比：(1+1/5)：1=6：5

(2)甲、乙時(shí)間的比：1：(1-1/11)=11：10

(3)甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11

答：甲、乙速度的比是12：llo

練習(xí)1:

L小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多1/5,小芳用的時(shí)間

比小明多1/8。求小明和小芳速度的比。

2.甲走的路程比乙多1/3,乙用的時(shí)間比甲多l(xiāng)/4o求甲、乙的速度比。

3.一個(gè)人步行每小時(shí)走5千米，如果騎自行車每1千米比步行少用8分

鐘。這個(gè)人騎自行車的速度和步行速度的比是多少？

【例題2】制造一個(gè)零件，甲需6分鐘，乙需5分鐘，丙需4.5分鐘?，F(xiàn)

在有1590個(gè)零件的制造任務(wù)分配給他們?nèi)齻€(gè)人，要求在相同的時(shí)間內(nèi)完成，

每人應(yīng)該分配到多少個(gè)零件？

【思路導(dǎo)航】先求出工作效率的比，然后根據(jù)同一時(shí)間內(nèi)，工作總量的

比等于工作效率的比進(jìn)行解答。

甲、乙、丙工作效率的比：1/6：1/5：1/1.5=15：18：20

總份數(shù)：15+18+20=53

甲：1590X15/53=450（個(gè)）

乙：1590X18/53=540（個(gè)）

丙：1590X20/53=600（個(gè)）

答：甲、乙、丙分配到的零件分別是450個(gè)、540個(gè)、600個(gè)。

練習(xí)2：

1.加工一個(gè)零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘?，F(xiàn)在有1825

個(gè)零件需要甲、乙、丙三人加工。如果規(guī)定用同樣的時(shí)間完成任務(wù)，那么各

應(yīng)加工多少個(gè)？

2.甲、乙、丙三人在同一時(shí)間里共制造940個(gè)零件。甲制造一個(gè)零件需

5分鐘，比乙制造一個(gè)零件所用的時(shí)間多25%,丙制造一個(gè)零件所用的時(shí)間

比甲少2/5。甲、乙、丙各制造了多少個(gè)零件？

3.加工某種零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時(shí)分

別能完成零件48個(gè)，32個(gè)，28個(gè)，現(xiàn)有118名工人，要使每天三道工序完

成的零件個(gè)數(shù)相同，每道工序應(yīng)安排多少工人？

【例題3】兩個(gè)服裝廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)服裝的數(shù)量是6：5,兩廠西服價(jià)格

的比是11：10。已知兩廠這個(gè)月內(nèi)總產(chǎn)值為6960萬元。兩廠的產(chǎn)值各是多少

萬元？

【思路導(dǎo)航】因?yàn)楫a(chǎn)值=價(jià)格X產(chǎn)量，所以

甲產(chǎn)值：乙產(chǎn)值=（甲價(jià)格義甲產(chǎn)量）：（乙價(jià)格X乙產(chǎn)量）

兩廠的產(chǎn)值比為：（11義6）：（10X5）=66：50

甲廠產(chǎn)值為：6960X66/（66+50）=3960（元）

乙廠產(chǎn)值為：6960X50（66+50）=3000（元）

答：兩廠的產(chǎn)值分別是3960萬元和3000萬元。

練習(xí)3：

1.甲、乙兩個(gè)長方形長的比是4：5,寬的比是3：2,面積的和是242

平方厘米。求甲、乙兩個(gè)長方形的面積分別是多少平方厘米？

2.蘋果和梨的單價(jià)的比是6：5,王大媽買的蘋果和梨的重量的比是2：

3,共花去18元。王大媽買蘋果和梨各花了多少元？

3.大、小兩種蘋果，其單價(jià)比是5：4,重量比是2：30把兩種蘋果混

合，成為100千克的混合蘋果，單價(jià)為每千克4.40元。大、小兩種蘋果原來

每千克各是多少元？

【例題4】A、B兩種商品的價(jià)格比是7：3o如果它們的價(jià)格分別上漲70

元，它們的價(jià)格比就是7：4,這兩種商品原來的價(jià)格各是多少元？

【思路導(dǎo)航】

解法一：因?yàn)锳、B兩種商品漲價(jià)的數(shù)值相同，所以漲價(jià)后兩種商品價(jià)格

差不變。由于價(jià)格差不變，所以價(jià)格差對(duì)應(yīng)的份數(shù)也應(yīng)該相同。

原價(jià)格比=7：3=21：9現(xiàn)價(jià)格比=7：4=28：16

【這樣前后項(xiàng)的差都是12,價(jià)格漲了(28—21)=7份，是70元】

70+(28—21)=10元A：10X21=210(元)B：10X9=90(元)

解法二：由于兩種商品的價(jià)格不變，選兩種商品的價(jià)格差做單位“1”進(jìn)

行解答。

(1)原來A商品的幾個(gè)是價(jià)格差的幾倍7+(7-3)=7/4

(2)后來A商品的價(jià)格是價(jià)格差的幾倍7+(7-4)=7/3

(3)A、B兩種商品的價(jià)格差是704-(7/3-7/4)=120(元)

(4)原來A商品的價(jià)格是120+(7-3)X7=210(元)

(5)原來B商品的價(jià)格是120+(7-3)X3=90(元)

答：A、B兩種商品原來的價(jià)格分別是210元和90元。

練習(xí)4：

用兩種思路解答下列應(yīng)用題：

1.甲、乙兩個(gè)建筑隊(duì)原有水泥重量的比是4：3o甲隊(duì)給乙隊(duì)54噸水泥

后，甲、乙兩隊(duì)水泥重量的比是3：4o原來甲隊(duì)有水泥多少噸？

2.甲書架上的書是乙書架上的4/7,兩書架上各增加154本后，甲書架

上的書是乙書架上的，甲、乙兩書架上原來各有多少本書？

3.兄弟兩人，每年收入的比是4：3,每年支出的比是18：13。從年初

到年底，他們都結(jié)余720元。他們每年的收入各是多少元？

【例題5】如圖是甲、乙、丙三地的線路圖，已知甲地到丙地的路程與乙

地到丙地的路程比是1：2o王剛以每小時(shí)4千米的速度從甲地步行到丙地，

李華同時(shí)以每小時(shí)10千米的速度從乙地騎自行車去丙地，他比王剛早1小時(shí)

到達(dá)丙地。甲、乙兩地相距多少千米？

【思路導(dǎo)航】

解法一：根據(jù)路程的比和速度的比求出時(shí)間的比，從而求出王剛和李華

所用的時(shí)間，再求出各自所走的路程。

王剛和李華所用時(shí)間的比1/4：2/10=5：4

王剛所用的時(shí)間1+（5-4）X5=5（小時(shí)）

甲地到丙地的路程4X5=20（千米）

甲、乙兩地的路程20X（1+2）=60（千米）

解法二：如果李華每小時(shí)行4義2=8千米，他將與王剛同時(shí)到達(dá)丙地。

現(xiàn)在他每小時(shí)多行10—8=2千米。在王剛從甲地到丙地的這段時(shí)間內(nèi)，李華

比應(yīng)行的路程多行了10X1=10千米。據(jù)此，可求出王剛從甲地到丙地的時(shí)

間。

王剛從甲地到丙地的時(shí)間10X1-?（10-4X2）=5（小時(shí)）

甲、乙兩地的路程4X5X（1+2）=60（千米）

解法三：如果王剛每小時(shí)行10+3=5千米，就能和李華同時(shí)到達(dá)。由此

可見，王剛走完甲地到丙地的路程，用每小時(shí)4千米的速度和每小時(shí)5千米

的速度相比，所用的時(shí)間相差1小時(shí)。再根據(jù)1千米的路程，兩種速度所用

的時(shí)間相差1/4-1/5=1/20小時(shí)。最后求出甲地到丙地的路程。

甲地到丙地的路程1+（1/4-1/（104-4-2）=20（千米）

甲、乙兩地的路程20X（1+2）=60（千米）

答：甲、乙兩地相距60千米。

用“組合法”解工程問題專項(xiàng)

一、知識(shí)要點(diǎn)

在解答工程問題時(shí)，如果對(duì)題目提供的條件孤立、分散、靜止地看，則

難以找到明確的解題途徑，若用“組合法”把具有相依關(guān)系的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行

恰當(dāng)組合，使之成為一個(gè)新的基本單位，便會(huì)使隱蔽的數(shù)量關(guān)系立刻明朗化，

從而順利找到解題途徑。

二、精講精練

【例題1】一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作15天完成，若甲隊(duì)做5天，乙隊(duì)

做3天，只能完成工程的7/30,乙隊(duì)單獨(dú)完成全部工程需要幾天？

【思路導(dǎo)航】此題已知甲、乙兩隊(duì)的工作效率和是1/15,只要求出甲隊(duì)

貨乙隊(duì)的工作效率，則問題可解，然而這正是本題的難點(diǎn)，用“組合法”將

甲隊(duì)獨(dú)做5天，乙隊(duì)獨(dú)做3天，組合成甲、乙兩隊(duì)合作了3天后，甲隊(duì)獨(dú)做2

天來考慮，就可以求出甲隊(duì)2天的工作量7/30—1/15X3=1/30,從而求出甲

隊(duì)的工作效率。所以

14-[1/15-(7/30-1/15X3)4-(5-3)]=20(天)

答：乙隊(duì)單獨(dú)完成全部工程需要20天。

練習(xí)1:

1.師、徒二人合做一批零件，12天可以完成。師傅先做了3天，因事外

出，由徒弟接著做1天，共完成任務(wù)的3/20。如果這批零件由師傅單獨(dú)做，

多少天可以完成？

2.某項(xiàng)工程，甲、乙合做1天完成全部工程的5/24。如果這項(xiàng)工程由甲

隊(duì)獨(dú)做2天，再由乙隊(duì)獨(dú)做3天，能完成全部工程的13/124。甲、乙兩隊(duì)單

獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？

3.甲、乙兩隊(duì)合做，20天可完成一項(xiàng)工程。先由甲隊(duì)獨(dú)做8天，再由乙

隊(duì)獨(dú)做12天，還剩這項(xiàng)工程的8/15。甲、乙兩隊(duì)獨(dú)做各需幾天完成？

【例題2】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天可以完成。甲隊(duì)先做了3天，再由

乙隊(duì)做2天，則能完成這項(xiàng)工程的1/2。現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，再由

乙隊(duì)單獨(dú)做。做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等。求兩段一共用了幾天？

【思路導(dǎo)航】此題很容易先求乙隊(duì)的工作效率是：(1/2—1/12X3)+2

=1/8；再由條件“做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時(shí)間相等”的題意，可組合成由兩個(gè)

乙隊(duì)和一個(gè)甲隊(duì)合做需若干天完成，即可求出相等的時(shí)間。

(1)乙隊(duì)每天完成這項(xiàng)工程的(1/2-1/12X3)+2=1/8

(2)兩段時(shí)間一共是1+(1/8X2+1/12)義2=6(天)

答：兩段時(shí)間一共是6天。

練習(xí)2：

1.一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做15天完成。若甲隊(duì)先做5天，乙隊(duì)再做4天能

完成這項(xiàng)工程的8/15?，F(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做若干天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)做。做

完后發(fā)現(xiàn)，兩段時(shí)間相等。這兩段時(shí)間一共是幾天？

2.一項(xiàng)工程，甲、乙合做8天完成。如果先讓甲獨(dú)做6天，再由乙獨(dú)做,

完成任務(wù)時(shí)發(fā)現(xiàn)乙比甲多了3天。乙獨(dú)做這項(xiàng)工程要幾天完成？

3.某工作，甲單獨(dú)做要12天，乙單獨(dú)做要18天，丙單獨(dú)做要24天。

這件工作先由甲做了若干天，再由乙接著做；乙做的天數(shù)是甲3倍，再由丙

接著做，丙做的天數(shù)是乙的2倍。終于完成了這一工作。問總共用了多少天？

【例題3】移栽西紅柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小時(shí)完成，先由

哥哥栽了3小時(shí)后，又由弟弟栽了1小時(shí)，還?？偪脭?shù)的11/16沒有栽，已

知哥哥每小時(shí)比弟弟每小時(shí)多栽7棵。共要移栽西紅柿苗多少棵？

【思路導(dǎo)航】把“哥哥先栽了3小時(shí)，弟弟又栽了1小時(shí)”組合成“哥、

的合栽了1小時(shí)后，哥哥又獨(dú)做了2小時(shí)“，就可以求出哥哥每小時(shí)栽總數(shù)的

幾分之幾。

哥哥每小時(shí)栽總數(shù)的幾分之幾(1-11/16-1/8X1)+(3-1)=3/32

一共要移栽的西紅柿苗多少棵7+[3/32-(1/8-3/32)]=112(棵)

答：共要移栽西紅柿苗112棵。

練習(xí)3：

1.加工一批機(jī)器零件，師、徒合做12小時(shí)可以完成。先由師傅加工8

小時(shí)，接著再由徒弟加工6小時(shí)，共加工了這批零件的3/5。已知師傅每小時(shí)

比徒弟多做10個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？

2.修一條公路，甲、乙兩隊(duì)合做6天可以完成。先由甲隊(duì)修5天，再由

乙隊(duì)修3天，還剩這條公路的3/10沒有修。已知甲隊(duì)每天比乙隊(duì)多修20米。

這條公路全長多少米？

3.修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)修要40天，乙隊(duì)獨(dú)修要用24天。兩隊(duì)同時(shí)從兩

端開工，結(jié)果在距中點(diǎn)750米處相遇。這段公路全長多少米？

【例題4】一項(xiàng)工作，甲、乙、丙3人合做6小時(shí)可以完成。如果甲工作

6小時(shí)后，乙、丙合做2小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的2/3；如果甲、乙合做3

小時(shí)后，丙做6小時(shí)，也可以完成這項(xiàng)工作的2/3。如果由甲、丙合做，需幾

小時(shí)完成？

【思路導(dǎo)航】將條件“甲工作6小時(shí)后，乙、丙合做2小時(shí)，可以完成

這項(xiàng)工作的2/3”組合成“甲工作4小時(shí)，甲、乙、丙合做2小時(shí)可以完成這

項(xiàng)工作的2/3”，則求出甲的工作效率。同理，運(yùn)用“組合法”再求出丙的工

作效率。

甲每小時(shí)完成這項(xiàng)工程的幾分之幾(2/3-1/6X2)4-(6-2)=1/12

丙每小時(shí)完成這項(xiàng)工程的幾分之幾(2/3-1/6X3)+(6-3)=1/18

甲、丙合做需完成的時(shí)間為：1+(1/12+1/18)=7由1/5(小時(shí))

答：甲、丙合做完成需要7有1/5小時(shí)。

練習(xí)4:

1.一項(xiàng)工作，甲、乙、丙三人合做，4小時(shí)可以完成。如果甲做4小時(shí)

后，乙、丙合做2小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的13/18；如果甲、乙合做2小時(shí)

后，丙再做4小時(shí)，可以完成這項(xiàng)工作的11/18。這項(xiàng)工作如果由甲、丙合做

需幾小時(shí)完成？

2.一項(xiàng)工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。

現(xiàn)在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天則可以完成。乙獨(dú)做這

項(xiàng)工程要幾天就可以完成？

3.一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合做10天完成，乙、丙兩隊(duì)合做8天完成。

現(xiàn)在甲、乙、丙三隊(duì)合做4天后，余下的工程由乙隊(duì)獨(dú)做5又1/2天完成。

乙隊(duì)單獨(dú)做這項(xiàng)工程需多少天可以完成？

4.一件工作，甲、乙合做4小時(shí)完成，乙、丙合做5小時(shí)完成。現(xiàn)在由

甲、丙合做2小時(shí)后，余下的由乙6小時(shí)完成。乙獨(dú)做這件工作需幾小時(shí)才

能完成？

【例題5】一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修24天可以完成，乙隊(duì)獨(dú)修30天可以完成。

先由甲、乙兩隊(duì)合修4天，再由丙隊(duì)參加一起修7天后全部完成。如果由甲、

乙、丙三隊(duì)同時(shí)開工修這條公路，幾天可以完成？

【思路導(dǎo)航】將條件“先由甲、乙兩隊(duì)合修4天，再由丙隊(duì)參加一起修7

天后全部完成”組合成“甲、乙兩隊(duì)各修(4+7)=11天后，再由丙隊(duì)單獨(dú)修

了7天才全部完成?！本涂梢郧蟪霰?duì)的工作效率。

丙隊(duì)每天修這條公路的11-(1/24+1/30)]X(4+7)=1/40

三隊(duì)合修完成時(shí)間為1+(1/24+1/30+1/40)=10(天)

答：10天可以完成。

濃度問題專項(xiàng)

一、知識(shí)要點(diǎn)

在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類叫溶液配比問題，即濃度問題。我們知道，將

糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的

量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說糖水甜的程度是由糖（溶

質(zhì)）與糖水（溶液=糖+水）二者質(zhì)量的比值決定的。這個(gè)比值就叫糖水的含

糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者質(zhì)量的比值

叫酒精含量。因而濃度就是溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量的比值，通常用百分?jǐn)?shù)表示，

即，

濃度=溶質(zhì)質(zhì)量/溶液質(zhì)量X100%=溶質(zhì)質(zhì)量/（溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量）

X100%

解答濃度問題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問題時(shí)，根據(jù)題意

列方程解答比較容易，在列方程時(shí)，要注意尋找題目中數(shù)量問題的相等關(guān)系。

濃度問題變化多，有些題目難度較大，計(jì)算也較復(fù)雜。要根據(jù)題目的條

件和問題逐一分析，也可以分步解答。

二、精講精練

【例題1】有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%,需

要再加入多少克糖？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，在7%的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度,

糖的質(zhì)量增加了，糖水的質(zhì)量也增加了，但水的質(zhì)量并沒有改變。因此，可

以先根據(jù)原來糖水中的濃度求出水的質(zhì)量，再根據(jù)后來糖水中的濃度求出現(xiàn)

在糖水的質(zhì)量，用現(xiàn)在糖水的質(zhì)量減去原來糖水的質(zhì)量就是增加的糖的質(zhì)量。

原來糖水中水的質(zhì)量：600X（1-7%）=558（克）

現(xiàn)在糖水的質(zhì)量：5584-（1-10%）=620（克）

加入糖的質(zhì)量：620-600=20（克）

答：需要加入20克糖。

練習(xí)1:

1.現(xiàn)在有濃度為20%的糖水300克，要把它變成濃度為40%的糖水，

需要加糖多少克？

2.有含鹽15%的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20%,需加鹽多少千

克？

3.有甲、乙兩個(gè)瓶子，甲瓶里裝了200毫升清水，乙瓶里裝了200毫升

純酒精。第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升

溶液倒回乙瓶，此時(shí)甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多？

【例題2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲最有效。用多

少千克濃度為35%的農(nóng)藥加多少千克水，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

【思路導(dǎo)航】把濃度高的溶液經(jīng)添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^程稱為

稀釋。在這種稀釋過程中，溶質(zhì)的質(zhì)量是不變的。這是解這類問題的關(guān)鍵。

800千克1.75%的農(nóng)藥含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800X1.75%=14（千克）

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14?35%=40（千克）

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800—40=760（千克）

答：用40千克的濃度為35%的農(nóng)藥中添加760千克水，才能配成濃度為

1.75%的農(nóng)藥800千克。

練習(xí)2：

1.用含氨0.15%的氨水進(jìn)行油菜追肥?，F(xiàn)有含氨16%的氨水30千克，

配置時(shí)需加水多少千克？

2.倉庫運(yùn)來含水量為90%的一種水果100千克。一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含

水量降低到80%?，F(xiàn)在這批水果的質(zhì)量是多少千克？

3.一容器內(nèi)裝有10升純酒精，倒出2.5升后，用水加滿；再倒出5升，

再用水加滿。這時(shí)容器內(nèi)溶液的濃度是多少？

【例題3］現(xiàn)有濃度為10%的鹽水20千克。再加入多少千克濃度為30%

的鹽水，可以得到濃度為22%的鹽水？

【思路導(dǎo)航】這是一個(gè)溶液混合問題?；旌锨?、后溶液的濃度改變了，

但總體上溶質(zhì)及溶液的總質(zhì)量沒有改變。所以，混合前兩種溶液中溶質(zhì)的和

等于混合后溶液中的溶質(zhì)的量。

20千克10%的鹽水中含鹽的質(zhì)量20X10%=2（千克）

混合成22%時(shí)，20千克溶液中含鹽的質(zhì)量20X22%=404（千克）

需加30%鹽水溶液的質(zhì)量（4.4-2）4-（30%—22%）=30（千克）

答：需加入30千克濃度為30%的鹽水，可以得到濃度為22%的鹽水。

練習(xí)3：

1.在100千克濃度為50%的硫酸溶液中，再加入多少千克濃度為5%的

硫酸溶液就可以配制成25%的硫酸溶液？

2.濃度為70%的酒精溶液500克與濃度為50%的酒精溶液300克混合

后所得到的酒精溶液的濃度是多少？

3.在20%的鹽水中加入10千克水，濃度為15%。再加入多少千克鹽，

濃度為25%?

【例題4］將20%的鹽水與5%的鹽水混合，配成15%的鹽水600克，

需要20%的鹽水和5%的鹽水各多少克？

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，將20%的鹽水與5%的鹽水混合配成15%的鹽

水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質(zhì)量和與混合后鹽水中鹽的質(zhì)量是相等的。

可根據(jù)這一數(shù)量間的相等關(guān)系列方程解答。

解：設(shè)20%的鹽水需x克，則5%的鹽水為600-x克，那么

20%x+(600-x)X5%=600X15%

X=400

600-400=200(克)

答：需要20%的鹽水400克，5%的鹽水200克。

練習(xí)4：