材料力學(xué)-彎曲桿的強度計算（建筑力學(xué)課件）

單跨靜定梁彎曲的內(nèi)力計算1.平面彎曲的概念2.梁的分類3.彎曲內(nèi)力―

剪力和彎矩本節(jié)內(nèi)容單跨靜定梁彎曲時的內(nèi)力計算平面彎曲的概念一、彎曲變形受力特點：垂直于軸線的橫向力或軸線平面內(nèi)的力偶變形特點：原為直線的軸線變?yōu)榍€梁(beam)——以彎曲變形為主的構(gòu)件平面彎曲的概念Pmq縱向?qū)ΨQ面軸線RARB對稱軸當(dāng)所有外力(或者外力的合力)作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時，桿件的軸線在對稱面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。平面彎曲梁的計算簡圖二、靜定梁的三種基本形式①簡支梁(simplebeam)②外伸梁(overhangingbeam)③懸臂梁(cantileverbeam)僅由靜力平衡條件就可確定梁的全部支反力和內(nèi)力靜定梁彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩計算方法：截面法【例】求截面1-1上的內(nèi)力?！窘狻浚海?）確定支反力RA和RB（2）取左段梁為研究對象：xF1aABF2m11RARBxCF1RAMFSMFSRBm內(nèi)力的正負規(guī)定:①剪力FS:繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；反之為負?；蛘哒f：左上右下的FS為正，反之相反。②彎矩M：使梁下凸變形的彎矩為正；使梁上凸變形的彎矩為負?；蛘哒f：左順右逆的M為正，反之相反。FS(–)FS(–)FS(+)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩【例】求圖示梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。【解】：1-1截面:2-2截面:qqlab1122x1qlx2qlFS1M1FS2M2彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩另外還可以直接利用外力簡化法求解內(nèi)力。內(nèi)力與外力之間的大小關(guān)系規(guī)律：橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力在軸線垂直方向投影的代數(shù)和。01橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對截面形心取矩的代數(shù)和。02彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩另外還可以直接利用外力簡化法求解內(nèi)力。內(nèi)力符號與外力方向之間的關(guān)系規(guī)律：“左上右下”的外力引起正值剪力，反之則相反。03“左順右逆”的外力偶引起正值彎矩，反之則相反。04所有向上的外力均引起正值彎矩，反之則相反。051、理解梁平面彎曲的概念及其受力特點、變形特點；2、會用截面法計算梁的剪力和彎矩.課后小結(jié)單跨靜定梁彎曲的內(nèi)力圖繪制方法（一）

內(nèi)力方程法本節(jié)內(nèi)容單跨靜定梁彎曲時的內(nèi)力圖繪制方法內(nèi)力方程法1、內(nèi)力方程2.剪力圖和彎矩圖剪力方程：彎矩方程：FS=FS（x）M=M（x）表示梁在各截面上剪力和彎矩的圖形內(nèi)力方程法xFSxM

2.剪力圖和彎矩圖計算步驟：確定支座反力；01分段建立剪力、彎矩方程；02作剪力圖、彎矩圖。03ql/2ql/2-+FSql2/8M+內(nèi)力方程法【例】列圖示簡支梁的內(nèi)力方程并畫內(nèi)力圖【解】：（1）計算支反力：以整梁為研究對象lABq

（2）建立剪力、彎矩方程：xRAxqFS(x)M(x)RARB在FS=0處，M取得最大值。（3）繪制剪力圖、彎矩圖內(nèi)力方程法【解】：（1）計算支反力：（2）建立剪力、彎矩方程：

分AC、CB兩段考慮，以A為原點。在集中力F作用點處，F(xiàn)S圖發(fā)生突變，M圖出現(xiàn)尖角。（3）繪制剪力圖、彎矩圖：AC段：CB段：RAxFS(x)M(x)FS(x)M(x)RAxFFb/lFa/l-++Fab/lFSMABFalbCRBRAxxMm/l+-+ma/lmb/lFS內(nèi)力方程法【解】：（1）計算支反力：（2）建立剪力、彎矩方程：

分AC、CB兩段考慮，以A為原點。在集中力偶m作用點處，M圖發(fā)生突變，F(xiàn)S圖不受影響。（3）繪制剪力圖、彎矩圖：AC段：CB段：RAxFS(x)M(x)ABalbmCFS(x)M(x)RAxmCRARBxx內(nèi)力方程法總結(jié)得以下規(guī)律：（a）在集中力作用處，F(xiàn)s圖上有突

變，突變值等于集中力的大小，在M圖的相應(yīng)處有一尖角。（b）在集中力偶作用處，M圖上有突變，突變值等于集中力偶的大小，在Fs

圖的相應(yīng)處無變化。

形狀規(guī)律：(1)

突變規(guī)律：(2)分段規(guī)律：(3)q零零平M斜平拋

lMMMFsFs＝0幾種常見荷載下梁的剪力圖與彎矩圖的特征20外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q圖特征M圖特征CPCM水平直線xQ>0Q<0x斜直線xxxC自左向右突變xC無變化斜直線xMxM曲線xMxM自左向右折角自左向右突變xM

MxM1M21、掌握畫梁的內(nèi)力圖的基本方法及其規(guī)律；課后小結(jié)單跨靜定梁彎曲的內(nèi)力圖繪制方法

（二)1.微分關(guān)系法2.疊加法和區(qū)段疊加法本節(jié)內(nèi)容單跨靜定梁彎曲時的內(nèi)力圖繪制方法微分關(guān)系法可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確;01可以不建立剪力方程和彎矩方程，利用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖。02利用內(nèi)力方程法總結(jié)的規(guī)律：微分關(guān)系法1求支座反力2分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀3計算控制截面內(nèi)力值，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖4

利用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖的步驟：微分關(guān)系法dxxq(x)q(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)FS(x)M(x)dx對dx段進行平衡分析：剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處的荷載集度微分關(guān)系法彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小FS(x)dxAM(x)+dM(x)M(x)q(x)微分關(guān)系法作圖步驟按規(guī)律連線4分段描述：判斷各段形狀（水平線、斜直線、曲線）分段原則：集中力、集中力偶、支座、分布荷載起點及終點處2求每一段控制截面的FS、M值3求支座反力1FSxxMaaqaqBCA微分關(guān)系法【例】求下列外伸梁的內(nèi)力方程并畫內(nèi)力圖。BA段qa2qa--相切

AC段

疊加法和區(qū)段疊加法(繪制內(nèi)力圖的第三種方法)1、疊加原理2、疊加疊加法繪制彎矩圖⑶將各彎矩圖中同一截面上的彎矩進行代數(shù)相加，即可得到梁在所有荷載作用下的彎矩圖。⑴將需要繪制彎矩圖的梁等效為簡單荷載分別作用下的幾個梁。⑵分別繪制出梁在每個荷載作用下的彎矩圖。梁在n個荷載共同作用時所引起的某一參數(shù)(內(nèi)力、支座反力、應(yīng)力或變形等)，等于梁在各個荷載單獨作用時所引起的同一參數(shù)的代數(shù)和，這種關(guān)系稱為疊加原理。單跨梁在簡單荷載作用下的彎矩圖單跨梁在簡單荷載作用下的彎矩圖單跨梁在簡單荷載作用下的彎矩圖引例用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖區(qū)段疊加法繪制彎矩圖1分段，根據(jù)作用在梁上的荷載及支座情況分成若干區(qū)段，每一段都可以看成是一個由簡單荷載作用下的簡支梁。2將各區(qū)段當(dāng)作簡支梁，計算各區(qū)段端點截面上的彎矩值(即是該簡支梁端點所受的集中力偶)。3根據(jù)疊加法在梁上繪制出各區(qū)段的彎矩圖，即可得到全梁的彎矩圖。步驟：1、掌握畫梁的內(nèi)力圖的基本方法及其規(guī)律；2、理解荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系；3、理解疊加原理；會用疊加法畫彎矩圖。課后小結(jié)單跨靜定梁彎曲時的強度計算單跨靜定梁彎曲時的強度計算1.梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力2.梁的強度條件3.提高梁強度的措施本節(jié)內(nèi)容梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力梁在彎曲時，橫截面上一般既有剪力又有彎矩。顯然，只有剪應(yīng)力才能構(gòu)成剪力，只有正應(yīng)力才能構(gòu)成彎矩。因此，梁在彎曲時，橫截面一般將同時存在剪應(yīng)力和正應(yīng)力，分別稱為彎曲剪應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力。一、

純彎曲試驗與基本假設(shè)1、純彎曲和橫力彎曲的概念梁在彎曲時，若各橫截面上既有彎矩又有剪力，我們稱之為橫力彎曲；若梁上只有彎矩而無剪力時，我們稱之為純彎曲。梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力

CD段屬于純彎曲，AC和DB段屬于橫力彎曲。DAaPCBaPa梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力實驗現(xiàn)象梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力實驗現(xiàn)象1變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。2變形前垂直于縱向線的橫向線,變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對轉(zhuǎn)動了一個角度。梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力2、純彎曲試驗觀察梁的變形，可以看到：01橫向線m-m和n-n在變形后仍保持為直線，只是相對轉(zhuǎn)過了一個微小角度，但仍保持與各縱向線垂直。02各縱向線變?yōu)閳A弧線，且a1-a1縮短，b1-b1伸長。M外

M外

梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力3、純彎曲假設(shè)01平面假設(shè)：

梁在純彎曲時，各橫截面始終保持為平面，且保持與各縱向線垂直。02單向受力假設(shè)：

設(shè)想梁是由無數(shù)縱向“纖維”組成，則各縱向“纖維”之間沒有相互拉伸或擠壓作用，均處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)。根據(jù)以上變形現(xiàn)象，可以做出以下假設(shè)：由平面假設(shè)和單向受力假設(shè)可知，梁在純彎曲時，橫截面上各點無剪應(yīng)變，所以梁在純彎曲時橫截面上無剪應(yīng)力，而只有正應(yīng)力。梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力從上圖還可以看出，梁的下部纖維伸長，上部纖維縮短。由于變形的連續(xù)性，沿梁的高度必有一層纖維既不伸長也不縮短(如果把梁看成一層層纖維疊加而成)，這一纖維層稱為中性層，如圖所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，用Z表示。顯然，它與橫截面的縱向?qū)ΨQ軸垂直，且可證明它通過橫截面的形心。梁在純彎曲時，各橫截面繞中性軸做相對轉(zhuǎn)動。中性層中性軸截面形心二、彎曲正應(yīng)力一般公式根據(jù)單向受力假設(shè)，各縱向纖維只受到單向拉伸或壓縮作用，且越靠近中性層各縱向纖維變形越小。進一步分析可知，各縱縱向纖維的線應(yīng)變與其到中性層的距離成正比，也即橫截面上各點的線應(yīng)變與點到中性軸的距離成正比，即其中y為所求應(yīng)力點到中性軸的距離。ρ為中性層曲率半徑。當(dāng)橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限時，由胡克定律可知：即純彎曲梁橫截面上任一點的正應(yīng)力與其到中性軸的距離成正比，其應(yīng)力分布圖如圖：

二、彎曲正應(yīng)力一般公式彎曲正應(yīng)力分布圖:顯然，中性軸上各點處的彎曲正應(yīng)力均為零，距中性軸同一高度上各點的彎曲正應(yīng)力相等。進一步分析可知：

所以純彎曲梁橫截面上任一點的正應(yīng)力公式為：

M：為橫截面上的彎矩y：為所求應(yīng)力點到中性軸的距離

為截面對Z軸的慣性矩，其大小和截面的形狀和尺寸有關(guān)，單位為m或mm二、彎曲正應(yīng)力一般公式顯然正應(yīng)力的最大值對應(yīng)于該點到中性軸的距離(y)的最大值。該點到中性軸距離橫截面上某點正應(yīng)力

該截面慣性矩該截面彎矩二、彎曲正應(yīng)力一般公式

令則在離中性軸最遠處即梁的上下邊緣處彎曲正應(yīng)力最大，其值為：

二、彎曲正應(yīng)力一般公式簡單截面的慣性矩3121bhIz=261bhW=464DIzp=332DWzp=)()1(6444DdDIz=-=aap)()1(3243DdDWz=-=aap平面彎曲強度條件及應(yīng)用前面分析表明,一般情況下，梁的橫截面上同時存在彎曲正應(yīng)力和彎曲剪應(yīng)力。最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在離中軸最遠的各點處；最大彎曲剪應(yīng)力通常發(fā)生在中性軸上各點處。因此，針對上述情況應(yīng)該分別建立相應(yīng)的強度條件。梁的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠的各點處，而這些點處的剪應(yīng)力或為零或很小，這些點處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)，所以梁的彎曲正應(yīng)力強度條件為一、彎曲正應(yīng)力強度條件

即要求整個梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力不得超過材料在單向受力時的許用正應(yīng)力。只適用于許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相等的塑性材料。平面彎曲強度條件及應(yīng)用一、彎曲正應(yīng)力強度條件

對于等截面梁，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面，其彎曲正應(yīng)力強度條件為

應(yīng)用彎曲正應(yīng)力強度條件，可以解決彎曲強度校核，設(shè)計截面尺寸和確定許可載荷三類問題。只適用于許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相等的塑性材料。提高梁強度的主要措施一般情況下，梁的強度是由彎曲正應(yīng)力控制的。所謂提高梁的彎曲強度是指用盡可能少的材料，使梁能夠承受盡可能大的載荷，達到既經(jīng)濟又安全、減輕結(jié)構(gòu)重量等目的。工程中常見的提高梁強度的措施有以下幾種。

1、彎曲正應(yīng)力強度條件

1對于一定的WZ值，選擇合理的截面形狀，使截面積盡可能小。如采用工字型截面要比采用矩形截面更合理。2對于一定的橫截面積A，選擇合理的截面形狀，使其WZ值盡可能大。如矩形截面豎放要比橫放更合理。上述措施可以從梁橫截面上彎曲正應(yīng)力分布找到解釋。在彈性范圍內(nèi)，彎曲正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布，距中性軸愈遠的點正應(yīng)力愈大，中性軸附近點上的正應(yīng)力很小。當(dāng)距中性軸最遠點的應(yīng)力達到許用應(yīng)力值時，中性軸附近點的應(yīng)力還遠遠小于許用應(yīng)力，這部分材料便沒有充分利用。在不破壞整體性的前提下，可以將中性軸附近的材料移至離中性軸較遠處，從而形成工程結(jié)構(gòu)中常用的空心截面以及工字型、箱型和槽型截面等的“合理截面”構(gòu)件。提高梁強度的主要措施合理設(shè)計梁的截面時，在考慮使材料盡可能離中性軸較遠時，還應(yīng)考慮不同材料的特性。對于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料，應(yīng)采用工字型等Z軸對稱的截面，使其截面上的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力同時達到材料的許用應(yīng)力，從而使材料得以充分利用；對于許用拉、壓應(yīng)力不等的脆性材料，則應(yīng)采用T字型等Z軸不對稱的截面，并使距中性軸較遠的點受壓應(yīng)力，距中性軸較近的點受拉應(yīng)力，充分發(fā)揮抗壓性能強的優(yōu)點。

提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施2．采用變截面梁或等強度梁梁的強度計算中，主要是以限制危險面上危險點的彎曲正應(yīng)力不大于許用應(yīng)力為依據(jù)的。除了純彎梁之外