江蘇省南京2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4=｛目/—2x—3<0｝8=｛.%<2｝,則AD8=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)A(l,2)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到點(diǎn)8,設(shè)直線(xiàn)08與x軸正半軸所成的最小正

角為a,則cose等于()

2A/5A/5「6n2

AA.---------BR.-------C?D.

5555

r、r、IX+I=a”+10"a”

3.已知正項(xiàng)數(shù)列｛為｝,也｝滿(mǎn)足：丁，，設(shè)。，=,，當(dāng)C3+C4最小時(shí)，Q的值為()

12+1=4+2hn

14?

A.2B.一C.3D.4

4.設(shè)a=log73,b=bg|7,c=3。，，則a,b,c的大小關(guān)系是()

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

5.已知向量￡=&&),B是單位向量，若口一q=百，貝騎，今=()

ne兀一兀>2萬(wàn)

A.-B.—C.—D.—

6433

6.已知函數(shù)/(x)=也(+1_%)+3=-3*，不等式/(a+4)+/(,+5),,0對(duì)％wR恒成立,則。的取值范

圍為()

A.[-2,+oo)B.(-oo,-2]C.-1,+oo1D.^-00,

7.已知當(dāng)〃2,we[-l,1)時(shí)，sin--sin—<n3-m\則以下判斷正確的是()

22

A.m>nB.|/M|<|/?|

C.m<nD.相與"的大小關(guān)系不確定

8.已知三棱錐￡>-ABC的外接球半徑為2,且球心為線(xiàn)段8c的中點(diǎn)，則三棱錐。-A8C的體積的最大值為()

9,若a=log23,b=log47,c=0.74,則實(shí)數(shù)。，仇c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>hC.h>a>cD.c>b>a

10.設(shè)萬(wàn)，5是非零向量，若對(duì)于任意的2eR，都有,一6?,一萬(wàn)|成立，則

.,rr、r

A.allbB.albC.ya-bj±aD.\^a-bj±b

11.黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平

臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門(mén)

進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門(mén)的發(fā)展

有顯著效果的圖形是（）

12.若直線(xiàn)二不平行于平面二，且二仁則（）

A.二內(nèi)所有直線(xiàn)與二異面

B.二內(nèi)只存在有限條直線(xiàn)與二共面

C.二內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與二平行

D.二內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與二相交

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在四棱錐。一458中，底面ABCO為正方形，/%，面48。。,抬=鉆=4,瓦￡”分別是棱28,8。,尸。的

中點(diǎn)，過(guò)”的平面交棱C。于點(diǎn)G,則四邊形EEG”面積為.

14.已知等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S,,a,=9,%含=-4,則%=.

95

15.已知關(guān)于x的方程a|sinx|+；=sinx在區(qū)間［0,2加上恰有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

16.運(yùn)行下面的算法偽代碼，輸出的結(jié)果為5=.

s^o.............;

FortFrom1To10Step1;

IEndFbr；

,PrintS\

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）某網(wǎng)絡(luò)商城在2019年1月1日開(kāi)展“慶元旦”活動(dòng)，當(dāng)天各店鋪銷(xiāo)售額破十億，為了提高各店鋪銷(xiāo)售的積

極性，采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式，抽取了40家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的40家店鋪元旦當(dāng)天的銷(xiāo)售額（單位：千元）

的頻率分布直方圖.

（1）求抽取的這40家店鋪，元旦當(dāng)天銷(xiāo)售額的平均值；

（2）估計(jì)抽取的40家店鋪中元旦當(dāng)天銷(xiāo)售額不低于4000元的有多少家；

（3）為了了解抽取的各店鋪的銷(xiāo)售方案，銷(xiāo)售額在［0,2）和［8,10］的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷(xiāo)售研究，求抽取的

店鋪銷(xiāo)售額在［0,2）中的個(gè)數(shù)二的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.（12分）為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng),并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記

X表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定XN85為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：

$I0II6

60133458

7||2367778

8I12459

900I23%

（I）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;

(II)從圖中考核成績(jī)滿(mǎn)足Xe[8(),89]的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

(y_oc、

(ID)記表示學(xué)生的考核成績(jī)?cè)趨^(qū)間[a,句的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P—<120.5時(shí)

培訓(xùn)有效.請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由.

114

19.(12分)在①人=4，②--------,③&=35這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.

Q]CL>1^2

已知等差數(shù)列｛《,｝的公差為，等差數(shù)列｛4｝的公差為2d.設(shè)4,紇分別是數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項(xiàng)和，且

仇=3,A2=3,,

(1)求數(shù)列｛/｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

3

⑵設(shè)C.=2%+——,求數(shù)列￡｝的前〃項(xiàng)和5,,,

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，2S,,+a“=l(〃eN)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

11-1

(2)若％「+二一,I,為數(shù)列｛c“｝的前”項(xiàng)和.求證：Tn>2n--.

21.(12分)設(shè)點(diǎn)廠(1,0),動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且和直線(xiàn)x=-l相切.記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線(xiàn)W.

(1)求曲線(xiàn)W的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)用(0,2)的直線(xiàn)/與曲線(xiàn)W交于A、3兩點(diǎn)，且直線(xiàn)/與8軸交于點(diǎn)C,設(shè)次=2/，MB=pBC,

求證：a+4為定值.

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，Q4_L底面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,

AB^BC=-AD=-PB^2,E為必的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC上的點(diǎn).

22

(1)若E/7〃平面B4O,證明：石戶(hù)，平面Q46.

(2)求二面角B-PD-。的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫(xiě)出4nB.

【詳解】

集合4=住如-加-340}={*|-14x43},

B={x|x<2},/.Anfi={x|-l<x<2}

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解不等式與交集的運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

設(shè)直線(xiàn)直線(xiàn)。4與x軸正半軸所成的最小正角為夕，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得sin/?的值，依題有

。4_1。/?,則。=P+90,利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.

【詳解】

如圖，設(shè)直線(xiàn)直線(xiàn)。4與x軸正半軸所成的最小正角為尸

因?yàn)辄c(diǎn)A（l,2）在角的終邊上，所以sin夕二/_玄=5

依題有OA±03,則a=￡+90°,

所以cosa=cos(1+90°)=-sin/?=-----,

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

fn0

=a”+1Gb―四~=1H------199

由，得％4+1,即c“M=l+—7,所以得。3+。4=。3+1+—7,利用基本不等式求出最

獷+

[bn+l=an+b?1c,I+lC3+I

小值，得到=2,再由遞推公式求出C：5.

【詳解】

%+10

an+i=an+\0b?an+1_an+Wbtl_bn9

由<ASS----------------------------------------------------------------------]-|-----------------------

b”+i=a“+bn%an+b?￡k+iS+i

b,b.

,9

即q,M=i+一；

q,+i

9

C3+Q=C3+1+---->6,當(dāng)且僅當(dāng)。3=2時(shí)取得最小值,

C3+1

9914

此時(shí)，4=1+不4,C.1-

5+T

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了數(shù)列中的最值問(wèn)題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

4.D

【解析】

l>a=log73>0,"=地!7<0,c=3°，>l得解.

3

【詳解】

l>?=log73>0,"=1%7<0,C=3°7>1，所以/?<a<c,故選D

3

【點(diǎn)睛】

比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見(jiàn)的方法.

5.C

【解析】

設(shè)B=(x,y),根據(jù)題意求出x，y的值，代入向量夾角公式，即可得答案;

【詳解】

設(shè)B=(x,y),

???萬(wàn)是單位向量，，X2+；/=1,

?,-p-^|=V3,A(l-x)2+(V3-y)2=3,

1

x=

~~2y(x=1,1

聯(lián)立方程解得：廠或，、

V3[y=0,

7=T5

i

x=一不2，__1_?_3__一乃

當(dāng)〈/-時(shí)，-E221：-,?<a,b>=—

_V|cos<a,b>=jxi=23

y=Tx

X=1,——11——萬(wàn)

當(dāng)《時(shí)，cos<a,/?>=-----——；-?<a,b>=—

[y=0,2x]23

綜上所述：<〃——/>=:TT.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模、夾角計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)

注意坂的兩種情況.

6.C

【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為a...二二=JGT4+J——\利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值

&+4(VX2+4；

得到答案.

【詳解】

f(-x)=ln(Vx2+l+x)+3V-3-v=/(x)是奇函數(shù),

/(x)=ln(V%2+l-x)+3T-3、=ln(,1—)+3-x-3\

Jf+i+x

易知y=ln(j\+J,y=3,y=-3'均為減函數(shù)，故/(%)且在R上單調(diào)遞減,

不等式/(q+4)+/(X2+5)?0,即/(?Vx2+4)?/(-x2-5),

_12—51、

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得即?！?7=,

，廠+4&+4)

+1)單調(diào)遞減，故一25

設(shè)1=Jf+4，t>2,故y=一VX+4+,

ylx2+4

max5'

當(dāng)「=2,即x=0時(shí)取最大值，所以

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)/(x)=Y+sin段,xe[—1,1],求得可得/(x)為增函數(shù)，又租,1)時(shí),

根據(jù)條件得/(m)</(?),即可得結(jié)果.

【詳解】

解：/(%)=x3+sin,xe[-1,1],

貝！I/'(x)=3x2+cos>0,

即/(x)=x3+sin,xe[-1,1]為增函數(shù)，

又根,nG[-l,1),sm----sin——<n-m9

22

.7rm3.7m

a即nsin----\-m<sin——+n'3,

22

所以/(M</(〃)，

所以〃？<〃.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題.

8.C

【解析】

由題可推斷出和ABCD都是直角三角形，設(shè)球心為。，要使三棱錐￡>-A6C的體積最大，則需滿(mǎn)足〃=07),

結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解

【詳解】

先畫(huà)出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，OA=OB=OC,故AABC是直角三角形，設(shè)AB=x,AC=y,則有

x2+y2=42>2xy,又4^0=^孫，所以50叱=：沖<4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2加時(shí)，5刖尤取最大值4,要使三

11Q

棱錐體積最大，則需使高〃=00=2,此時(shí)匕改."=§5?叱/=§'4乂2=§,

【點(diǎn)睛】

本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

9.A

【解析】

將“化成以4為底的對(duì)數(shù)，即可判斷42的大小關(guān)系；由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出Ec與1的大小關(guān)

系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.

【詳解】

依題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a=log23=log49>Z?=log47.

4

又因?yàn)閏=0.7<0.7°=1=log44<log47=b,故a>h>c.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相

同，則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大??；若真數(shù)相同，則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;

若真數(shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.

10.D

【解析】

畫(huà)出G,b，根據(jù)向量的加減法，分別畫(huà)出3-XB）的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】

由題意，得向量（萬(wàn)-B）是所有向量中模長(zhǎng)最小的向量，如圖，

當(dāng)即5）口時(shí)，|AC|最小，滿(mǎn)足5卜|萬(wàn)一同，對(duì)于任意的/IwR,

所以本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間向量的加減法，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于用有向線(xiàn)段正確表示向量，屬于

基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，

圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，

它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門(mén)的發(fā)展有顯著效果，故選D.

12.D

【解析】

通過(guò)條件判斷直線(xiàn)二與平面二相交，于是可以判斷ABCD的正誤.

【詳解】

根據(jù)直線(xiàn)二不平行于平面二，且二u二可知直線(xiàn)二與平面二相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，難度不大.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.476

【解析】

設(shè)G是CO中點(diǎn)，由于E,尸,"分別是棱PB,BC,PD的中點(diǎn)，所以EFIIPC,EF=-PC,HGUPC,HG^-PC,

22

所以EF//HG,EF="G,所以四邊形EFGH是平行四邊形.由于PA_L平面ABCD，所以,而B(niǎo)O_LAC,

PAC\AC^A,所以30,平面PAC,所以BDLPC.由于FG//BD,所以BGLPC,也即尸G_LEF,所以四

邊形AFG”是矩形.

而即=,PC=273,FG=-BD=2V2.

22

從而SEFGH=2V3x2V2=4屈.

故答案為：4\/6?

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間平面圖形面積的計(jì)算，考查線(xiàn)面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

14.—2〃+11

【解析】

利用？?-5=-4求出公差△，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求

【詳解】

設(shè)公差為d,因?yàn)榻瘛?=T,所以4d—2d=T,即d=—2.

所以%=4+(〃-l)d=9-2(n-1)=-2n+11.

故答案為：—2〃+11

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用等差數(shù)列的基本量是求解這類(lèi)問(wèn)題的通性通法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

心素養(yǎng).

15.(另

【解析】

先換元，令/usinx,將原方程轉(zhuǎn)化為aM+g=L利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)的圖像交點(diǎn)，觀察圖像，即可

求出.

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于x的方程。|sinx|+；=sinx在區(qū)間［0,2汨上恰有兩個(gè)解，令。=sinx,所以方程a卜|+g=，在

1

1

t--―2-0<r<l

re(-l,0)U(0,l)上只有一解，即有。=一/

1

t-一

—Z-l<r<0

-t

直線(xiàn)與y-2在/￡(一1,0)1^0』)的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，

還有一個(gè)根f=l,所以此時(shí)共有3個(gè)根.

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是(--3,11).

■22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點(diǎn)問(wèn)題，是常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方式.

10

16.—

11

【解析】

模擬程序的運(yùn)行過(guò)程知該程序運(yùn)行后計(jì)算并輸出S的值用裂項(xiàng)相消法求和即可.

【詳解】

模擬程序的運(yùn)行過(guò)程知,該程序運(yùn)行后執(zhí)行:

10

一T7，

故答案為:平

【點(diǎn)睛】

本題考查算法語(yǔ)句中的循環(huán)語(yǔ)句和裂項(xiàng)相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.(1)5500元;(2)32家；(3)分布列見(jiàn)解析；-

3

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率，再由平均數(shù)公式，即可求解；

(2)求出［4000,10000］的頻率即可；

(3)［0,2)中的個(gè)數(shù)，的所有可能取值為0,1,2,求出：可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.

【詳解】

(1)頻率分布直方圖銷(xiāo)售額的平均值為

2x(0.025x1+0.075x3+0.2x5+().15x7+0.05x9)=5.5千元，

所以銷(xiāo)售額的平均值為5500元；

(2)不低于4000元的有40x(0.2+0.15+0.05)x2=32家

（3）銷(xiāo)售額在［0,2）的店鋪有2家，

銷(xiāo)售額在［8,10］的店鋪有4家.選取兩家，

設(shè)銷(xiāo)售額在［0,2）的有，家.則，的所有可能取值為0,1,2.

“CX-2“八C\C\8

噌=2"言飛

所以，的分布列為

012

281

P7I?15

Q12

數(shù)學(xué)期望后4=1'=+2、==彳

15153

【點(diǎn)睛】

本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題.

73

is.（I）—（II）-（ni）見(jiàn)解析

305

【解析】

（I）根據(jù)莖葉圖求出滿(mǎn)足條件的概率即可；

（II）結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，從而求出滿(mǎn)足條件的概率即可；

（ni）求出滿(mǎn)足三二wi的成績(jī)有16個(gè)，求出滿(mǎn)足條件的概率即可.

【詳解】

解：（I）設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件A，

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀,

7

所以所求概率P（A）約為正

（n）設(shè)從圖中考核成績(jī)滿(mǎn)足Xe［80,89］的學(xué)生中任取2人，

至少有一人考核成績(jī)優(yōu)秀為事件B,

因?yàn)楸碇谐煽?jī)?cè)冢?0,89］的6人中有2個(gè)人考核為優(yōu),

所以基本事件空間Q包含15個(gè)基本事件，事件B包含9個(gè)基本事件,

93

所以P(B)r=M

(HI)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿(mǎn)足三得卜1的成績(jī)有16個(gè)，

、

X—85。.

所以P<13>5

10/3015

所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.

【點(diǎn)睛】

本題考查了莖葉圖問(wèn)題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題.

19.(1)4=〃也=2〃+1；(2)2n+l-^±^

2n+3

【解析】

方案一：(D根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和公式列方程組，求出卬和d,從而寫(xiě)出數(shù)列｛。,,｝,｛2｝的通項(xiàng)公式;

(2)由第(1)題的結(jié)論，寫(xiě)出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)9,=2"+3(5號(hào)-三片)，采用分組求和、等比求和公式以及裂

項(xiàng)相消法，求出數(shù)列￡｝的前〃項(xiàng)和s..

其余兩個(gè)方案與方案一的解法相近似.

【詳解】

解：方案一：

(1)V數(shù)列｛an｝,也｝都是等差數(shù)列,且4=3,4=々，

2。1+d=3ci,=1

???Jsnnj，解得LI

54]+10d=9+6d[d=1

atJ=%+(〃-1)J=n,

2=4+(〃一l)2d=2〃+1

綜上4f=n,bn=2n+l

(2)由(1)得:

33(11

%=2〃+-------------------=2〃+-

(2〃+1)(2〃+3)2(2〃+12〃+3

.-.s=(2+22+.--+2,,)+-[(---)+(---)+--.+(—^―1

)]

"235572〃+12〃+3

_20-￡)+Vl_O

1-22(32n+3J

=2.+i3(”+2)

2〃+3

方案二：

(D???數(shù)列｛q｝，｛〃｝都是等差數(shù)列，且4=3,'-'=4

a\a2瓦

2。］+d=3q=1

4q(q+d)=d(6+2d)得d-\

an=%+(〃—l)d=n,

2=々+(〃-l)2d=2〃+1.

綜上，

an=n,bn=2n+\

(2)同方案一

方案三：

(1)???數(shù)列｛%｝，｛d｝都是等差數(shù)列，且4=3,員=35.

24+d=3

4=

5x4解得

3x5+3x21=35d=1

I2

an=q+(n-l)d=n,

bn=b｝+(n-T)2d=2〃+1.

綜上，%=他=2n+l

(2)同方案一

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了分組求和、等比求和及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和,

屬于中檔題.

20.(D%=上(2)證明見(jiàn)解析

\3>

【解析】

S],〃=1ZN

(1)利用。。.求得數(shù)列4｝的通項(xiàng)公式.

電-5,i，〃N2

(2)先將%縮小即%>2-1卷一擊],由此結(jié)合裂項(xiàng)求和法、放縮法，證得不等式成立.

【詳解】

(1)?.,2S“+a“=l(〃eN*),令〃=1,得％=g.

又2S,I+4T=1(〃22),兩式相減，得區(qū)=；.

Un-\J

c11cl

=2n-\----：---->2n——.

3"M33

T>2〃—.

3

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查已知S“求?！埃疾槔梅趴s法證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

21.(1)/=4x；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)已知P點(diǎn)軌跡是以尸為焦點(diǎn)，直線(xiàn)x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，由此可得曲線(xiàn)W的方程；

2

(2)設(shè)直線(xiàn)方程為y=^+2,攵。0,則c(_：,o),設(shè)4%，乂),6(%,%)，由直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消元應(yīng)

k

用韋達(dá)定理得X+W，?%，由腸4=aXC，蕨=，團(tuán)，用橫坐標(biāo)表示出名，，然后計(jì)算。+￡，并代入X+W，

X1%2可得結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)動(dòng)圓圓心P(x,y),由拋物線(xiàn)定義知：P點(diǎn)軌跡是以尸為焦點(diǎn)，直線(xiàn)x=-l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，設(shè)其方程為

y2=2px(p＞0),則t=1,解得。=2.

二曲線(xiàn)W的方程為＞2=4無(wú)；

2

(2)證明：設(shè)直線(xiàn)方程為丁=丘+2,%。。，則。(一一,0),設(shè)4%，必),5(々,力)，

K

v=lex+2

由＜2得公％2+(4&-4"+4=0,①，

=4%

巾4人一44公

則x+x=--——,xx——,②，

]2k12k~

由兇=a/，MB=J3BC9得

22

(玉，丁1-2)==(一%一:，一,)，(入2，%—2)=/?(-x——,—y),

kk22

-kx,--丘

整理得a---